2.1 Quasi-Newton 법

Newton법은 (Newton's method)은 방정식 f(x)=0의 해를 근사적으로 찾을 때 유용하게 사용되는 방법이다. 그 방법은 미분법을 이용하여 함수의 극값이 0가 되는 곳을 고찰하는 것이다. 이때, 이차 함수가 아닌 경우, 극값을 찾는 것이 쉽지 않다. 이러한 문제점들을 해결하기 위해 Newton은 반복(Iteration) 해결책을 제시하였다.

그림. 1은 Newton이 제시한 반복 해결책의 과정을 나타낸 것이다.

뉴턴법(Newton's method)을 수식으로 표현하면 식(1)로 나타낼 수 있다. 아무 값이나 초기 값 에서 시작해서 다음 수식에 따라 수렴할 때까지 계속 를 이동시켜 나간다.

종료 조건은 x값의 변화가 거의 없을 때까지이다. 즉, |x_n+1-x_n|이 매우 작은 값이면 뉴턴법을 종료하고 x=x_n+1-x_n이 해, 즉 f(x_n+1)=0라고 생각하는 것이다.

Newton법은 빠르게 수렴한다는 장점이 있지만 이차 도함수의 계산은 불가능하거나 비경제적일 수 있는 단점을 갖기 때문에 Quasi-Newton법으로 불리는 반복적으로 근사된 Hessian 역행렬로 사용하는 방법으로 발전했다. 또한 오차 함수를 최소화시키기 위한 Quasi-Newton방법은 수렴 속도가 빠르며 지역 최소값으로 수렴하는 경우는 지극히 적다⁽³⁾.

Quasi-Newton 방법에서는 보통 초기 값으로 H₀=I를 사용하는 Hessian 행렬 대신에 업데이트된 Hessian 행렬을 사용한다. 이 행렬을 updateH_k라 할 때 식은 식(2)와 같다.

기본적인 Quasi-Newton 알고리즘은 다음의 단계에 의해 구성된다^(3,4).

2.2 상관관계 분석

상관관계분석 (correlation analysis)은 변수들간의 상호 선형 관계를 갖는 정도를 분석하는 통계적 기법이다. 상관계수에는 여러 가지 종류가 있는데 피어슨의 상관계수(Pearson correlation coefficient)는 하나의 변수와 다른 변수와의 관련성을 분석하는데 이용한다.

그림. 3에는 상관계수 r에 따른 분산도를 그림. 3에 나타내었고 해석을 위한 일반적 지침을 표 1에 나타내었다.

X축의 값이 커짐에 따라 Y축 값도 커지는 유형은 두변인 간의 양적 상관관계(positive correlation)를 나타낸다. 반면에 분산도상의 점들이 X축 값이 커짐에 따라 Y축 값이 줄어드는 분포를 보인다면 이것은 두 변인간의 음적 상관관계(negative correlation)를 나타낸 것이다. 만일 모든 점들이 한 직선 상에 존재한다면 그것은 두 변인간에 “완전한” 상관관계(perfect relationship)를 드러내는 것이며, 그 직선의 기울기 (slope)방향에 따라 양적 완전 상관관계, 그리고 음적 완전 상관관계라 부른다. 한편 분산도의 점들이 원의 모양을 하고 있다면 두 변인간에 선형적 관계는 찾아 볼 수 없으며 따라서 상관관계는 “0”에 가까울 것이다⁽⁵⁾.

3.1 기본 모델

그림. 4와 표 2에 본 연구에 적용된 실제 제작된 전동기 기본 모델의 형상과 제원을 요약하여 나타내었다. 그림. 5에는 총 13개의 포인트에서의 효율에 대한 해석치와 실험치를 비교하여 나타내었다⁽⁶⁾.

3.2 설계 변수 및 목적 함수

본 논문에서는 총 4가지의 설계 변수를 선정하여 최적화 설계를 진행하였다. 변수 A는 고정자 치 폭, B는 회전자 끝단으로 부터의 자석의 위치, C는 자석의 두께, D는 자석의 너비를 각각 나타낸다. 그리고 각 설계 변수의 초기 값과 최대 및 최소값을 표 3에 나타내었다. 제약함수는 토크로 설정하였으며 기본모델의 출력 600[W]을 만족하는 1.91[Nm]을 목표치로 설정하였으며 목적 함수는 효율로써 최대화하는 것을 목표로 하였다.

4.1 최적화 수행 결과

최적화 알고리즘을 통한 Cost 수렴 결과는 그림. 7과 같다. 본 연구에서 최종 Cost값은 0.017이며 총 43회 반복 후 수렴하였다.

표 4에는 기본 모델과 최적화 모델의 각 설계 변수의 파라미터 값을 비교하여 나타내었다.

최적화 알고리즘에 의한 변수의 거동을 상기 그림. 8에 나타내었다. 각 변수들은 설계 초기 값인 기본 모델의 치수에서 설정된 목적 함수와 제약 함수에 의해 증가하거나 감소하는 방향성을 가지며 변화한다. 이는 알고리즘 함수의 기울기가 0가 되는 시점까지 반복한다.

그림. 9에는 최적화가 진행되며 설계 변수들의 변화에 따라 변화하는 출력특성의 거동을 나타내었다. 변수들의 거동과 마찬가지로 주어진 목적 함수와 제약함수에 의해 목표를 가지고 최적화가 진행됨을 알 수 있다. 또한 변수 A인 고정자 치 폭이 변함에 따라 슬롯 면적이 종속적으로 변화하게 되며 최적화 진행과 동시에 각각의 슬롯 면적의 넓이가 알고리즘 내에서 계산되어 점적율을 고려한 턴 수를 산정한다. 그림. 9에 나타난 듯이 9번째 모델에서 토크의 특이점이 나타나게 되는 것을 알 수 있다. 그 이유로 9번째 모델은 치 폭이 4.1[mm]로 가장 좁고 슬롯 면적이 가장 넓어 기본 모델 7턴 대비 1턴 수 추가된 8턴이 되어 다른 모델들과 다르게 약 2.1[Nm]의 큰 토크 값을 가지게 되었다.

이와 같은 시각적인 거동을 직관적인 수치를 통한 분석을 하기 위해 통계학을 적용하여 분석한다.

4.2 최적화 결과 분석

최적화 알고리즘에 의한 설계 결과를 토대로 각 설계 변수와 출력 특성간의 상호관계 분석을 위해서 통계학을 적용하였다. 표 5에는 상관 계수(r)과 p-value를 계산하여 나타내었다. 각 셀(Cell)내의 상단 수치는 상관 계수(r)를 나타내며 하단의 수치는 P-value를 나타낸다⁽⁴⁾. p-value는 상관 계수의 값의 신뢰성을 0에서 1 사이의 수치로 표현한 것이며 값이 작을수록 신뢰도가 높다. 그림. 10에는 표 5에서 계산된 각 변인간의 상관 계수를 나타내었으며, 앞서 설명한 바와 같이 기울기와 분포도의 형태를 통해 상관관계를 시각적으로 판단할 수 있다. 표 5의 결과를 종합하면 두 가지의 전제를 유추해낼 수 있다.

Ⅰ. 효율과 토크의 상관계수는 0.772로 큰 상관관계를 가지며 p-value가 0.000이므로 오차일 확률이 거의 없다.

Ⅱ. 변수 A와 효율의 상관계수는 0.735로 큰 상관관계를 가지며 p-value는 0.000이므로 오차일 확률이 거의 없다.

이는 통계학적으로 도출된 결과이므로 추가적인 검토를 통해 의미를 확정한다.

그림. 11는 Ⅰ에서 도출된 결과를 고찰하기 위해 토크와 효율의 상관관계를 시각적으로 나타내었고 최종 모델을 빨간 원으로 표시하였다. 그림. 12에는 최적화가 진행됨에 따른 토크 값을 나타내었고 제약 함수에 따라 1.91[Nm]에서 최종 수렴하였다. 토크와 효율 값이 최종 모델을 기준으로 양의 기울기를 가지고 분포되며 그 상호 관계를 뚜렷하게 목격할 수 있다. 이로써 (가)의 통계 결과는 유의미한 결론임을 알 수 있다.

그림. 13은 (나)의 통계 결과를 고찰하기 위해, 최적화 진행에 따른 변수 A와 효율의 거동을 나타내었다. 그림. 13과 같이 최적화가 진행됨에 따라서 목표로 하는 효율 값에 도달하기 위해 효율을 증대시키고 있는 것을 확인할 수 있다. 또한 효율의 변화양상이 변수 A의 거동에 표시한 부분과 일치하는 것을 알 수 있다. 즉 최적화 알고리즘은 주어진 조건에서 효율을 상승시키는 방법으로 변수 A를 증가시키는 것이 가장 효과적이라고 판단된다.

이는 그림. 13에 나타난 변수 A와 효율과의 분포도가 양의 기울기를 가지며 큰 상관관계를 띄는 것을 통해서 증명할 수 있으며 이를 통해 (나)의 통계 결과가 참임을 알 수 있다. 이와 같은 특성은 본 연구에서 진행된 설계에서만 국한되므로 모든 경우에 일반화되지는 않는다.

상기 최적화 결과를 통해 도출된 최적화 모델과 기본 모델을 비교하여 아래 표 6에 나타내었다⁽⁶⁾.

표 6에서 나타난 것과 같이 철손이 기본 모델 대비 33.94[W]에서 26.45[W]로 약22[%] 저감된 것을 확인할 수 있다. 마찬가지로 최종적인 효율은 86.7[%]에서 87.91[%]로 1.21[%] 증가한 것을 알 수 있다.