2.1 시선변화율 측정치 활용의 유용성

대함 유도탄과 등속직선 운동하는 함 표적 간의 수평면 상대기하는 그림. 1과 같다. 그림에서 $\lambda$는 시선각, $r$은 유도탄으로부터 표적까지의 상대거리를 나타내며, $\gamma _{m}$와 $\gamma _{t}$는 각각 유도탄과 표적의 비행경로각, $V _{m}$와 $V _{t}$는 유도탄과 표적의 속력을 의미한다. 이때, 대함 유도탄의 속력 $V _{m}$은 함 표적의 속력 $V _{t}$에 비해 월등히 큰 값을 갖고 있다고 가정한다. 그림. 1의 수평면 상대기하로부터 시선방향 및 수직방향의 상대속도에 관한 방정식을 얻을 수 있다.

그림. 1에서 시선각 $\lambda$는 직교좌표계 표적 상대위치 $(x,y)$의 비선형 함수로 기술된다.

기존 비선형 피동 표적추적필터는 대부분 비선형 측정방정식 (2)를 이용하여 직교좌표계 표적 상대위치 $(x,y)$와 상대속도 $(\dot { x } , \dot { y })$를 추정하는 BOM(bearing only measurement) 기법을 채택하고 있다 ^(9,10). 이러한 이유로 BOM 표적추적 문제 해결을 위해 확장칼만필터, 무향칼만필터, 파티클필터 등 다양한 비선형 상태추정 이론이 적용되어 왔다. 기존 비선형 피동 표적추적필터는 실제 상황에서 만족할 만한 피동 표적추적 성능을 제공하지 못하며, 이러한 성능저하 현상은 장거리 교전 상황에서 더욱 두드러진다. 지금까지의 연구결과들에 따르면 비선형 필터에 기반한 기존 BOM 표적추적 필터의 성능저하의 원인은 다음과 같다⁽¹¹⁾.

C1. 상대거리 추정을 위해 많은 상태변수를 이용하여 표적 상대운동을 모델링해야 함

C2. 시선각 측정치와 상태변수 간의 관계를 비선형 측정방정식을 통해 즉각 결정할 수 없음

C3. 시선각 측정치를 통해 상대거리에 대한 정보량을 확보하는 것이 물리적으로 용이하지 않음

위 원인들은 모두 피동 측정치로부터 상대거리 추정에 필요한 정보량을 확보하는 문제와 밀접한 연관관계를 갖는다. 이를 설명하기 위해, 시선각 측정치가 포함하고 있는 상대거리 정보량을 그림. 2(a)와 같이 개략적으로 도시해보자. 그림에서 유도탄에 탑재된 피동 탐색기의 시선각 측정 오차는 $\epsilon _{\lambda}$이다. 유도탄이 횡방향 기동에 의해 서로 다른 두 지점에서 시선각이 획득되고 시선각 측정오차가 충분히 작다면($\left| \epsilon _ { \lambda } \right| \ll 1$), 상대거리 결정 시 유발되는 불확실성 $\Delta _{r}$은 다음과 같이 근사된다.

여기서 $r _{o}$는 유도탄과 표적 함정 간의 공칭 상대거리를, $\Delta _{\lambda}$는 시선각 측정 지점 간의 각도 차를 의미한다.

식(3)으로부터 유도탄이 표적에 근접할수록($r _{o}$가 작아질수록) 혹은 시선각 측정지점 간 각도차 $\Delta _{\lambda}$가 커질수록 $\Delta _{r}$이 줄어들어 더 정확한 상대거리 정보를 시선각 측정치로부터 획득할 수 있음을 알 수 있다. 즉, 장거리 교전 상황에서 만족할만한 피동 거리추정 성능을 얻기 위해서는 유도탄이 횡방향으로 많은 거리를 비행해야만 하며, 이는 상대거리 추정치의 수렴속도가 느려지는 주 요인으로 작용한다.

유도탄 속력에 비해 함 표적의 속력이 무시할 만한 수준이라면 식(1)의 두 번째 행으로부터 시선벡터에 수직한 유도탄 속도벡터 $v ^ { p } \approx V _ { m } \sin \left( \gamma _ { m } - \lambda \right)$이 시선변화율과 상대거리 $r$의 곱으로 표현됨을 알 수 있다.

유도탄에 탑재된 항법장치 출력을 이용해 $v ^ { p }$ 성분을 산출할 수 있으므로, 선형관계식 (4)에 기반하여 상대거리를 상태변수로 하는 피동 거리추정 필터 설계를 생각해 볼 수 있다. 이 경우, 횡방향 속도 측정치로부터 상대거리에 관한 정보를 직접 수집할 수 있어 기존 비선형 피동 표적추적 필터가 지니고 있는 교전기하 및 초기치 선정의 정확도에 따른 성능저하, 장거리 교전 상황에서의 느린 수렴속도 문제를 효과적으로 해결할 수 있다.

선형 피동 거리추정필터 설계에 앞서, 수직방향 속도로부터 획득 가능한 상대거리 정보량을 분석해보자. 이를 위해, 표적 상대거리, 시선벡터에 수직한 속도성분, 시선변화율을 주어진 표적 조우기하 ($r _ { 0 } , v _ { o } ^ { p } , \dot { \lambda } _ { 0 }$)와 미소섭동항 ($\Delta r , \epsilon _ { v } , \epsilon _ \dot { \lambda } $)의 합으로 근사해보자.

식(5)를 식(4)에 대입한 후, 미소섭동항의 고차항을 무시하면 상대거리 결정 시 유발되는 불확실성 $\Delta r$을 계산할 수 있다.

식(6)으로부터 시선변화율을 크게 할수록 상대거리 추정 정확도가 높아질 것임을 유추할 수 있다. 이 경우 상대거리 추정 시 유발되는 불확실성 $\Delta r$은 그림. 2(b)와 같이 1차원적으로 도식화되어 $\Delta r$이 2차원적으로 표현되는 시선각을 이용하는 경우와는 분명한 차이를 보인다. 불확실성 $\Delta r$는 측정치로부터 획득되는 상대거리 정보량에 반비례하는 개념이므로, 시선변화율을 이용하여 상대거리를 추정하는 것이 시선각을 활용하는 경우에 비해 정보량 확보에 훨씬 유리하다는 결론을 얻을 수 있다.

2.2 극좌표계 피동 상대거리 추정필터

앞서 $V _ { t } \ll V _ { m }$이라 가정했으므로 시선벡터방향의 유도탄 속도벡터를 $v ^ { c } \approx V _ { m } \cos \left( \gamma _ { m } - \lambda \right)$로 근사해도 무방하다. 따라서 식(1)의 첫 번째 행으로부터 상대거리에 대한 동특성 방정식을 다음과 같이 모델링할 수 있다.

이를 샘플링 시간 $T$에 대해 이산화하면 상대거리 추정을 위한 시스템방정식을 얻을 수 있다.

여기서 상태변수 $x _ { k } = r _ { k }$, 외부입력 $u _ { k } = - T v _ { k } ^ { c }$로 정의된다. 상대거리 동특성 모델링 오차를 반영하기 위한 공정잡음 $u _ { k }$는 편의상 분산이 $Q _ { k }$인 영평균 백색잡음으로 가정한다.

식(5)에서 $\chi _ { 0 } = \chi _ { k }$, $\chi = \tilde { \chi } _ { k }$로 간주하고 이를 식(4)에 대입하면 다음 측정 방정식을 얻는다.

식(9)에서 $y _ { k }$는 측정치, $\widetilde { H } _ { k }$는 측정행렬의 관측치, $\Delta H _ { k }$는 통계적 불확실성, $v _ { k }$는 측정잡음을 의미한다. 이들 변수의 정의는 다음과 같다.

$y _ { k } = - \tilde { v } _ { k } ^ { p } = - \left( v _ { k } ^ { p } + \epsilon _ { v } \right) , \tilde { H } _ { k } = \tilde { \lambda } _ { k } = \dot { \lambda } _ { k } + \epsilon _ { \lambda } , \quad \Delta H _ { k } = \epsilon _ { \lambda } , v _ { k } = - \epsilon _ { v }$

여기서 $\tilde { \lambda } _ { k }$와 $\tilde { v } _ { k } ^ { p }$는 각각 상대거리 추정을 위해 주어진 시선변화율 및 시선벡터에 수직한 상대속도에 대한 측정치이다. 측정잡음 $v _ { k }$를 분산이 $R _ { k }$인 영평균 백색잡음으로 가정하면, 식(9)의 정의를 이용하여 $\Delta H _ { k }$의 통계적 특성을 다음과 같이 정리할 수 있다.

상대거리 추정을 위해 유도된 불확정 선형 시스템 식(8), 식(9)는 가용하지 않은 측정행렬의 참값 $H _ { k }$ 대신 통계적 파라미터 불확실성 $\Delta H _ { k }$와 측정행렬의 관측치 $\widetilde { H } _ { k } = H _ { k } + \Delta H _ { k }$로 기술된다. 기존 추정기법에 잡음이 포함된 측정행렬의 관측치 $\widetilde { H } _ { k }$를 직접 사용하는 경우, 환산계수 오차(scale-factor error)와 편향오차(bias error)로 인해 추정성능의 저하가 유발되는 것으로 알려져 있다. 전술한 오차는 각각 측정행렬 관측치 $\widetilde { H } _ { k }$와 통계적 파라미터 불확실성 $\Delta H _ { k }$ 사이의 상관성, 측정잡음 $v _ { k }$와 $\Delta H _ { k }$사이의 상관성에 의해 발생되는데, 이는 의사최적 강인 칼만 필터(NCRKF: non- conservative robust Kalman filter)를 이용하여 효과적으로 제거될 수 있다⁽¹²⁾.

NCRKF는 $\Delta H _ { k }$의 통계적 특성 (10)을 이용하여 앞서 언급한 오차를 보상하는 것으로 알려져 있다. 사전 모델링을 통해 측정잡음의 분산을 알아낼 수 있으므로, $\Delta H _ { k }$에 관한 통계적 특성 (10) 역시 계산 가능한 변수이다. 이제, 불확정 선형 상태공간 방정식 (8)과 (9)에 NCRKF 이론을 적용하면 선형 순환필터 형태의 의사최적 상대거리 추정기를 손쉽게 설계할 수 있다.

여기서 $P _ { k | k } \equiv E \left\{ \left( x _ { k } - \hat { x } _ { k | k } \right) \left( x _ { k } - \hat { x } _ { k | k } \right) ^ { T } \right\}$으로 정의하였다.

3.1 상대운동 방정식

유도탄의 횡방향 가속도 명령 $a _ {m}$이 시선벡터에 수직방향으로 인가된다면 다음 식이 만족된다.

식(1)을 시간에 대해 미분한 후 식(12)를 대입하여 정리하면 다음 식이 얻어진다.

호밍 유도 시작시점 $t=t _ {0}$에서 유도탄과 표적을 잇는 시선벡터를 관성좌표계의 $X _ {1}$축으로 정의하고 이에 수직한 방향을 $Y _ {1}$로 설정하면, 호밍유도 전 구간에서 시선각이 매우 작게 유지($| \lambda | \ll 1$)된다고 가정할 수 있다. 이 경우 접근속력 $V _ { c } = - \dot { r }$은 상수 취급해도 무방하다. 더욱이 유도탄이 충돌 삼각형 근방에 위치한다면, 표적 조우시점 $t=t _ {f}$까지의 잔여 비행시간을 $t _ {go}=t _ {f}-t$라 할 때, 상대거리에 대한 근사식 $r \approx V _ { c } t _ { g 0 }$을 적용할 수 있다. 따라서 식(13)으로부터 시선변화율에 대한 동특성을 다음과 같이 기술할 수 있다.

여기서 상태(state) 변수 $x \equiv \dot { \lambda }$, 제어명령 $u \equiv a _ { m } / V _ { c }$으로 정의하였다. 상태변수의 초기값 $x \left( t _ { 0 } \right) = \dot { \lambda } _ { 0 }$은 사전에 주어진다.

3.2 정보량 최대화 피동 호밍궤적 설계

본 절에서는 앞서 구한 상대 운동방정식 (14)에 대해 표적 정보량을 최대화하면서 표적 요격을 위해 요구되는 에너지 최소화를 동시에 만족하는 호밍궤적을 설계 한다. 전통적인 호밍유도 기법 설계의 주요 목표는 호밍유도에 소요되는 에너지를 최소화하는데 있다. 그러나 재밍 등의 이유로 유도탄이 피동 호밍을 수행하는 상황에서 표적 요격 정확도를 향상시키기 위해서는 표적 추적필터로부터 획득되는 표적 정보량을 최대화해야 한다. 피동 호밍 상황에서의 표적 추적성능은 궁극적으로 상대거리 추정 정확도에 좌우되는 경향이 있다. 2절에 소개된 상대거리 추정필터의 형태로부터 표적 정보량 $J _ {i}$은 시선변화율의 제곱에 비례함을 알 수 있다.

식(15)에서 확인할 수 있듯이 유도탄이 의도적인 횡방향 기동을 수행하면 표적 정보량 확보에 더욱 유리한 조건이 만들어지지만 이 경우 추가적인 에너지 소모가 불가피하다. 즉, 피동 표적추적 필터의 성능개선 정도와 호밍유도 시 소요되는 에너지는 서로 상충되는 관계에 놓여있다. 서로 상반된 설계목적을 절충하는 최적 호밍궤적을 찾기 위해, 표적정보량 $J _ {i}$과 소모되는 에너지 $J _ { e } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { f } } u ^ { 2 } d t$가 결합된 새로운 형태의 부정이차 목적함수 식(16)을 고려한다.

여기서 $w ^ { 2 }$은 표적정보량에 대한 가중계수를 의미한다.

상대운동 방정식 (14)에 대해 부정이차 목적함수 (16)를 최소화하는 유도명령은 Pontryagin의 최소원리를 적용함으로써 산출 가능하다. 이를 위해 다음과 같은 Hamiltonian이 정의된다⁽³⁾.

여기서 $\eta$는 부 상태변수(costate)를 의미하며, 종말시점에서 그 값은 $\eta \left( t _ { f } \right) = 0$이다.

정점 조건(stationary condition)으로부터 다음 관계식이 얻어진다.

편의상 $\tau \equiv t _ { g 0 }$라 하면, 식(17)과 식(18)로부터 상태방정식(state equation)과 부 상태방정식(costate equation)은 다음과 같이 표현된다.

위의 식에서 $\chi ^ { \prime } = d \chi / d \tau$는 $\chi$의 $\tau$에 대한 미분을 의미한다.

시변 Hamiltonian 시스템의 해석 해를 산출하기 위해 식(19)의 양변을 $\tau$에 대해 한 번 더 미분하면 상호결합되어 있는 두 개의 Euler-Cauchy 방정식을 얻는다.

잘 알려져 있듯이 Euler-Caucy 방정식의 일반해는 상수 $p$와 미정계수 $k$에 대해 $k \cdot \tau ^ { p }$ 꼴을 갖는다. 이 경우, 상태변수에 대한 식(20)의 특성방정식은 다음과 같다.

표 1에 정리한 바와 같이 $\alpha = - \frac { 1 } { 2 }$, $\beta = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 9 - 4 \omega ^ { 2 } }$로 정의하면 미분방정식 (20)의 해 $x ( \tau )$는 기저함수 $\phi _ { 1 } ( \tau )$ 및 $\phi _ { 2 } ( \tau )$의 선형조합으로 표현된다.

위 식에서 $c _ { 1 }$, $c _ { 2 }$는 경계조건으로 결정되는 미정계수이다. 참고로 유의미한 해가 도출되려면 $c _ { 1 }$과 $c _ { 2 }$가 동시에 0이 되는 경우는 배제시켜야 한다.

유사한 방법을 적용하면 부 상태변수 $\eta ( \tau )$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

식(22)와 식(23)을 식(19)에 대입하면 계수 $c _ { k }, d _ { k } ( k = 1,2 )$의 상관관계가 유도된다.

위 식에서 사용된 계수 $\Lambda _ { i , j } , ( i , j = 1,2 )$의 값은 표 2와 같다.

표적 정보량을 최대화하는 에너지 최적 호밍궤적의 닫힌 해를 산출하기에 앞서 물리적으로 유의미한 해가 갖는 특성을 살펴보자. 잘 알려져 있듯이 유도탄이 표적을 요격하기 위해서는 조우시점($t = t _ { f }$ 혹은 $\tau = 0$) 부근에서 충돌삼각형(collision triangle) 위에 위치해야 한다. 즉, $\dot { \lambda } \left( t = t _ { f } \right) = x ( \tau = 0 ) = 0$이 만족되어야 한다. 이 조건을 식(22)에 적용하여 가중계수 $w ^ { 2 }$의 범위를 결정해보자.

이를 위해 우선 $\alpha < 0$이고, $\beta$는 $w ^ { 2 }$에 따라 그 값이 달라진다는 점에 주목하자. 표 1을 참고하면 식(22)의 상태변수를 $x ( \tau ) = \tau ^ { \alpha } f ( \tau )$의 형태로 표현할 수 있으며, $w ^ { 2 }$의 범위에 따른 $f (\tau)$는 표 3에 정리하였다. 이때 $\lim _ { \tau \rightarrow 0 ^ { + } } \tau ^ { \alpha } = \infty$이므로 표적요격 조건 $x ( \tau = 0 ) = 0$이 성립하려면 다음 조건이 만족되어야 한다.

경우 1. ($\omega ^ { 2 } < 9 / 4$)

$\omega ^ { 2 } < 9 / 4$일 때 항상 $\beta > 0$이 되어 $\lim _ { \tau \rightarrow 0 ^ { + } } \tau ^ { - \beta } = \infty$ 이므로, $c _ { 2 } = 0$ 이어야 조건 (25)를 만족한다. 즉, 상태변수는 $x ( \tau ) = c _ { 1 } \tau ^ { \alpha + \beta }$ 이다. 0이 아닌 상수 $c _ { 1 }$에 대해 $x ( \tau = 0 ) = 0$이 성립하기 위해서는 $\alpha + \beta > 0 \quad ( \beta > 1 / 2 )$이 충족되어야 한다. 따라서 가중계수의 범위는 $\omega ^ { 2 } < 2$로 제한되어야 한다.

경우 2. ($\omega ^ { 2 } = 9 / 4$)

$\lim _ { \tau \rightarrow 0 ^ { + } } \ln ( \tau ) = - \infty$이므로 조건 (25)를 만족하려면 $c _ { 1 } = c _ { 2 } = 0$ 일 수 밖에 없다. 따라서 $\omega ^ { 2 } = 9 / 4$인 경우에는 표적 요격조건이 충족되지 않는다.

경우 3. ($\omega ^ { 2 } > 9 / 4$)

만일 식(25)가 만족된다면 계수 $c _ { k }$에 대해 다음 관계식이 만족되어야 한다.

위 식의 우변은 시변인 반면 좌변은 시불변이므로 식(26)은 모순이다. 따라서, $\omega ^ { 2 } > 9 / 4$일 때도 표적 요격조건 (25)가 충족되지 않는다.

이상의 결과를 종합하면, 유도탄이 표적을 요격하기 위해서는 표적 정보량에 대한 가중계수를 $\omega ^ { 2 } < 2$로 설정해야 한다는 결론을 얻을 수 있다.

이제 식(14) 및 식(17)에서 고려된 경계조건을 이용하여 미지계수 $d _ { 1,2 }$를 결정해보자. $\tau _ { 0 } = 0$, $\tau _ { f } = t _ { f }$라면 미지계수 결정을 위한 구속조건은 다음과 같이 재정리된다.

계수 $c _ { k }$와 $d _ { k }$간의 상관관계 (24)를 식(22)에 대입하면 상태변수 $$x (\tau)를 다시 쓸 수 있다.

경계조건 (27)을 각각 식(23)과 (28)에 대입하면 식(29)를 얻는다.

위의 결과와 표 2의 정의로부터, $\omega ^ { 2 } < 2$일 때 계수 $d _ { k }$의 값을 결정할 수 있다.

여기서

$\Delta _ { 1 } = \Lambda _ { 11 } \phi _ { 1 } \left( \tau _ { f } \right) - \Lambda _ { 22 } \left( \frac { \phi _ { 1 } \left( \tau _ { 0 } \right) } { \phi _ { 2 } \left( \tau _ { 0 } \right) } \right) \phi _ { 2 } \left( \tau _ { f } \right)$, $\Delta _ { 2 } = \Lambda _ { 11 } \left( \frac { \phi _ { 2 } \left( \tau _ { 0 } \right) } { \phi _ { 1 } \left( \tau _ { 0 } \right) } \right) \phi _ { 1 } \left( \tau _ { f } \right) - \Lambda _ { 22 } \phi _ { 2 } \left( \tau _ { f } \right)$

한편, $\lim _ { \tau \rightarrow 0 } \left| \frac { \phi _ { 1 } ( \tau ) } { \phi _ { 2 } ( \tau ) } \right| = \lim _ { \tau \rightarrow 0 } | \tau ^ { \sqrt { 9 - 4 \omega ^ { 2 } } } | = 0$임을 이용하여 식(30)을 정리하면 다음과 같다.

식(31)을 식(23) 및 식(28)에 대입하면 상태변수 및 부 상태변수의 닫힌 해를 산출할 수 있다.

매 시점에 대해 부 상태변수 $\eta$를 갱신한다면 식(32)에서 $\tau _ { f } \mapsto \tau = t _ { g 0 }$, $\dot { \lambda } _ { 0 } \mapsto \dot { \lambda } ( t )$로 치환되어 다음과 같이 기술된다.

앞서 $u \equiv a _ { m } / V _ { c }$라 정의했으므로 위의 결과를 식(18)에 대입하여 정리하면 다음과 같은 유도명령을 얻게 된다.

식(34)의 비례항법상수 $N$은 표적 정보량에 대한 가중계수 $\omega ^ { 2 }$로 결정되며, 표적 정보량을 고려하지 않는 경우($\omega \rightarrow 0$) $N=3$ 즉, 에너지 최적 호밍유도기법인 PNG 기법의 비례항법상수로 수렴하는 것을 확인할 수 있다.

유도오차 $y$에 대해 $y \approx r \lambda$, $\dot { y } \approx \dot { r } \lambda + r \dot { \lambda }$으로 근사 가능하므로, 유도명령 (34)로부터 손쉽게 호밍궤적을 산출할 수 있다.

여기서 $T _ { f } \equiv t _ { f } - t _ { 0 }$ , $\dot { y } _ { 0 } = \dot { y } \left( t _ { 0 } \right)$ , $y _ { 0 } = y \left( t _ { 0 } \right)$이다.

식(35)에서 확인할 수 있듯이 호밍궤적은 $t _ { g 0 }$와 $t _ { g 0 } ^ { N }$에 비례하는 항의 조합으로 구성되어 있다. 기존의 호밍유도 기법은 표적 정보량 확보를 위해 의도적으로 유도탄 궤적을 진동시키는 방식을 채택했으나, 이는 수학적으로 볼 때 정보량을 최대화하는 최적 호밍유도 기법이 아닐 수 있다.