2.1 문제 정의 I

임의의 동적 시스템에서 구동축의 각가속도 정보는 이동체 시스템의 선가속도 정보를 알아내는데 필요하게 된다. 그림. 1(a)에서와 같은 독립 구동기 구조의 동적 시스템을 가정한다. 그림. 1(a)에서 $\vec { \tau } _ { A } [ n ]$는 이산시간에서 구동기 입력 토크이고 $\vec { a } _ { A } [ n ]$는 이산시간에서 구동기 각가속도 상태이고 $\vec { f } _ { L } [ n ]$은 이산시간에서 구동기에 의해 발생되는 힘이고 $\vec { a } _ { L } [ n ]$은 이산시간에서 구동기에 의해 발생된 시스템의 선각속도이고 $\vec { f } _ { f } [ n ]$는 이산시간에서 지면에 의한 마찰력이고 $\vec { f } _ { e } [ n ]$는 이산시간에서 외부 환경에 의해 발생된 힘이고 $\vec { f } _ { d } [ n ]$는 이산시간에서 전체 외란이고 그림. 1(b)에서 $\vec { r } [ n ]$는 토크 발생점으로부터 힘 발생점까지의 변위 벡터이다. 그림. 1(a)에서 지면의 마찰력을 무시할 경우 그림. 1(b)와 같은 간단한 모델링이 가능하게 된다.

그림. 1. 임의 동적 시스템의 간단 모델

Fig. 1. A simple model of Dynamical systems

그림. 1(a)의 시스템 동역학은 다음과 같다.

(1a)은 독립 휠 구동기의 동역학이고 여기서 $I [ n ]$는 이산시간에서 관성 질량이다. (1b)는 시스템의 동역학이고 여기서 $M$은 시스템의 질량이다. $\vec { a } _ { A } [ n ]$과 $\vec { a } _ { L } [ n ]$ 사이에는 다음의 관계식이 존재한다.

만약 $\vec { a } _ { A } [ n ]$와 $\vec { v } _ { A } [ n ]$를 알고 있을 경우 (2) 식에 의해 $\vec { a } _ { L } [ n ]$을 알 수가 있다. (1a)와 (1b)의 토크-힘 관계는 $\vec { r } \neq 0$ 조건에서 $\vec { \tau } _ { A } [ n ] = \vec { r } \times \vec { f } _ { L } [ n ]$를 따르게 된다. 따라서 (1b)의 외란을 다음과 같이 추정할 수가 있다.

1축에서의 간단한 물리적 관계들은 다축으로 확장 적용될 수 있으며 만약 다축의 관성 질량 $I [ n ]$가 서로 독립적인 값으로 정의될 경우 각 각의 모터축은 독립적인 제어 구조를 갖는다.

따라서 각 축의 각가속도 정보를 획득하는 것은 동적 시스템을 쉽게 제어하기 위해 반드시 필요한 절차이다. 본 연구는 일반적인 모터축이 엔코더를 장착하고 있다고 가정하고 각가속도를 추정하는 방법을 제시하고자 한다.

2.2 문제 정의 II

실시간 RLS 방법은 동적 시스템의 변수 인식을 위해 널리 사용되어지고 있다. RLS 알고리듬은 재귀적 방법을 사용하기 때문에 실행 시간이 빠르다는 장점을 갖고 있다. 하지만 RLS 알고리듬은 초기 피킹 효과와 같은 단점도 함께 갖고 있어 초기에 변수 추정 오차가 크게 발생하게 된다. RLS 알고리듬이 정상상태로 작동하기 위해서는 충분한 데이터가 필요하기 때문이다. 이 문제점으로 인해 RLS 모델에 기반한 각가속도 상태관측기는 동일한 문제를 포함하게 된다. 따라서 본 연구에서는 RLS 모델 기반 각가속도 추정 관측기를 설계할 때 발생할 수 있는 초기 피킹 효과를 억제하는 필터링 방법을 함께 제안하고자 한다.

3.1 RLS 시스템 인식

구동축 입력 토크는 다음과 같이 정의된다.

여기서 $k$는 토크 상수이고 $I [ n ]$는 이산시간에서 입력 전류이다.

엔코더에 의해 측정된 출력 각도를 $y [ n ]$ 이라 정의하고 RLS 알고리듬을 통해 추정된 출력 각도를 $\hat { y } [ n ]$ 이라 정의할 경우 추정 오차는 다음과 같이 쓸 수 있다.

RLS 알고리듬에 의한 입력 벡터는 다음과 같다.

RLS 알고리듬에 의한 변수 벡터는 다음과 같다.

$\hat { y } [ n ]$은 다음과 같다.

(5)는 다음과 같다.

RLS 알고리듬은 비용함수 $\frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } e _ { y } [ n ] ^ { 2 }$를 최소화하는 알고리듬이고 $\frac { d \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } e _ { y } [ n ] ^ { 2 } } { d \boldsymbol { \alpha } [ n ] } = 0$을 만족하는 $\alpha [ n ]$을 추정하는 방식이다. 따라서 RLS에 의해 인식된 이차시스템 모델의 전달함수 $\frac { \hat { Y } [ z ] } { T _ { A } [ z ] }$는 (6)~(8)로부터 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 $\hat { Y } [ z ]$는 $\hat { y } [ n ]$에 대한 z-변환 값이고 $T _ { A } [ Z ]$는 $\tau _ { A } [ n ]$의 z-변환 값이다. 본 논문에서는 (10)을 RLS 모델이라고 정의한다.

3.2 이차시스템 상태관측기 게인 설정

상태관측기는 다음과 같이 정의될 수 있다.

여기서 $\boldsymbol { X } [ n ] = \left[ X _ { 1 } [ n ] X _ { 2 } [ n ] \right] ^ { T }$이고 $A [ n ] = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { - \alpha _ { 5 } } & { - \alpha _ { 4 } } \end{array} \right]$이고 $B [ n ] = [ 0 \quad 1 ] ^ { T }$이고 $u [ n ] = \alpha _ { 1 } k i [ n ] + \alpha _ { 2 } k i [ n - 1 ] + \alpha _ { 3 } k i [ n - 2 ]$이다.

$z [ n ] = \left[ z _ { 1 } [ n ] z _ { 2 } [ n ] \right] ^ { T }$는 상태 관측기 보정 벡터이고 루엔버거 관측기 설계를 위해서는 다음과 같이 설정된다.

여기서 $L [ n ]$은 루엔버거 관측기 게인 벡터이고 극점 재배치 방법을 통해서 설정될 수 있다. 하지만 극점 재배치 방법은 연속시간 영역에서 정의되어있기 때문에 이산시간에서의 극점 재배치 방법이 필요하다. 제안하는 이산시간 극점 재배치 방법은 다음과 같다.

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Remark I: RLS model을 위한 극점 배치 방법

(a) 이산영역에서,

(b) (ii)를 사용하여 (i)를 (iii)으로 바꾼다.

(c) (iii)의 극점이 K배의 극점을 갖는다면, (iii)은 (iv)로 표현될 수 있다.

(d) (v)를 이용하여 (iv)를 (vi)로 변환한다.

여기서

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이산시간 극점 재배치 방법은 RLS 모델로부터 빠른 응답을 얻기 위해 시스템 극점을 재배치하는 방법이다. 관측기 모델의 특성 방정식은 다음과 같이 정의 된다.

여기서 $C [ n ] = [ {1} \quad {0} ]$이다. 식(13)으로부터 $L [ n ]$은 다음과 같이 결정된다.

3.3 각가속도 추정 상태관측기

유한 차분법에 의해서 상태를 다음과 같이 정의한다.

(15)에서 $X _ { 2 } [ n ]$은 각속도 상태를 나타내고 $\left( - \alpha _ { 5 } [ n ] X _ { 1 } [ n ] - \alpha _ { 4 } [ n ] X _ { 2 } [ n ] + u [ n ] \right)$는 각가속도 상태를 나타내고 있음을 알 수가 있다. 따라서 확장된 루엔버거 관측기를 다음과 같이 제안한다.

여기서 $X _ { v } [ n ]$ 각속도 상태로 정의되고 $X _ { a } [ n ]$는 각가속도 상태로 정의된다.

3.4 상보 필터 설계

RLS 방법은 충분한 데이터를 필요로 한다. 충분한 사전 지식이 부족한 상태에서 RLS 방법은 초기 피킹 효과를 발생시킨다. 이 문제점은 RLS 기반 상태관측기의 각가속도 추정 결과에서 일정한 바이어스 신호로 나타난다. 그림. 2는 그림. 1(b)에 대한 실험 결과를 보여준다. 그림. 1(b)에서 (2)를 이용하여 선가속도를 추정할 경우 측정 값에 비해서 잡음은 작지만 초기 피킹 효과로 인해 일정하게 바이어스된 관측 결과가 나타남을 볼 수가 있다.

그림. 2. 피킹 효과와 바이어스 문제

Fig. 2. Peaking and bias problems

따라서 본 연구에서는 상보 필터에 의한 바이어스 보상 방법을 제안한다. 제안하는 상보 필터 구조는 그림. 3과 같다. 그림. 3에서 $X _ { a , 2 } [ n ]$는 유한차분법에 의한 각가속도 상태이고 $X _ { a , c o m p } [ n ]$는 퓨전된 각가속도 상태이다.

그림. 3. 제안하는 상보 필터

Fig. 3. Proposed complementary filter

그림. 3에서 HPF는 다음과 같다.

그림. 3에서 LPF는 다음과 같다.

여기서 $\omega _ { c } = 2 \pi f _ { c }$이고 $f _ { c }$는 차단주파수이다.

4.1 이산 시간 극점 재배치 방법

두 극점이 각각 0.3, 0.8이라고 가정할 경우 K값에 의한 영향은 그림. 4와 같다. 그림. 4는 시각적으로 확인하기 쉽게 연속시간영역으로 변환된 응답 특성을 제시한다.

그림. 4. 스텝 응답

Fig. 4. Step response

그림. 4에서 보면 K 값의 설정에 따라 응답 시간이 변화됨을 볼 수 있다. K 값이 20일 경우 오실레이션이 발생함을 알 수 있다. 그림. 5는 각 각의 K 값에 따른 극점의 재배치 상태를 나타낸다. K 값이 1보다 작을 경우 극점은 우측으로 이동하게 되고 K 값이 1보다 클 경우 극점은 좌측으로 이동함을 볼 수 있다. 1 보다 큰 K 값은 빠른 응답 특성을 보이지만 매우 큰 값에서는 오실레이션 현상이 발생하므로 적절한 K 값을 사용해야만 한다. 본 연구에서는 K 값은 5를 사용한다.

그림. 5. 극점 위치 변화

Fig. 5. Movements of poles

4.2 상보 필터 효과

다음으로 상보 필터의 효과를 분석한다.

그림. 6에서 estimator1은 유한차분법에 의한 추정 각가속도^[21]이고 estimator2는 관측기에 의한 추정 각가속도이고 estimator3는 상보 필터에 의한 추정 각가속도이다. 제안한 상보 필터의 특성은 주파수 영역 분석을 통해 확인될 수가 있다. 그림. 7은 주파수 영역에서 세 개의 추정기를 비교한 결과이다. Estimator1의 경우 저주파수에서 강건한 특성을 보이고 있고 estimator2의 경우 고주파수에서 강건한 특성을 보이고 있음을 알 수 있다. 또한 estimator2의 경우 RLS에 의한 초기 피킹 효과의 영향에 의해서 저주파수에서 민감하게 반응하고 있음을 알 수 있다. 본 시뮬레이션에서는 0.5 Hz의 차단 주파수를 사용하였다. Estimator3는 저주파수에서는 estimator1의 특성을 주요하게 따르고 고주파수에서는 estimator2의 특성을 주요하게 따르는 상보 효과가 발생함을 확인할 수가 있다. 적절한 차단주파수 설정을 통해서 RLS의 초기 피킹 효과를 억제하고 동시에 이중 필터의 리플 문제를 동시에 해결할 수 있음을 알 수 있다.

그림. 6. 상보 필터 효과–시간 영역

Fig. 6. Effect of a complementary filter-time domain

그림. 7. 상보 필터 효과 - 주파수 영역

Fig. 7. Effect of a complementary filter-frequency domain