2.3.1 대칭적인 권선의 분포를 위한 조건

균형적인 기전력을 유도하기 위한 슬롯피치수 $x$에 대한 조근은 다음 식(4)와 같다.

즉, 슬롯피치 수가 정해질 때 위 식에서 발생하는 상수인 $K$의 값은 임의의 정수를 뺄 때 그 값이 $3^{극수}$와 같아서는 안 되며 $2K$는 $d$값의 배수여야 한다. 또한, 식(5)에 나타낸 역기전력$\left(E_{t}\right)$은 상당턴수 $W_{a}$와 극(pole)당 플럭스(flux) $\Phi_{1}$ 등에 비례한다.

$K_{w}$는 권선계수로서 분포권 계수와 단절권 계수의 곱으로 나타내며 식(6)과 식(7)에 각각 나타내었다.

$\beta$는 단절각으로서, 각 분포권 계수와 단절권 계수에서 매극매상 슬롯수 $q$와 당절각 $\beta$를 적절히 선택하면 고조파를 크게 감소시켜 정현적인 역기전력을 얻을 수 있다. 적절한 $q$와 단절각 $\beta$의 값 선정을 통해 어느정도의 고조파를 저감할 수 있는지, 또한 그에 따른 역기전력은 얼만큼 감소하는지를 가늠할 수 있다.

2.3.2 극/슬롯 조합에따른 매극매상슬롯수 $q$의 선정

앞서 극/슬롯 수와 상수에 대한 매극매상슬롯 수의 관한 식을 수식(3)과 같이 표현하였다. $q$를 기약분수로 표현할 때 $b$를 값의 정수부분, $d$와 $c$는 각각 분수부분의 분모와 분자의 값이며, 균형적인 권선의 분배를 위해 $N_{p}/d=$정수, $d/N_{ph}\ne$정수, $d\le N_{p}/a(a :$병렬회로수)인 조건이 필요하다. 이와 같은 조건을 만족하면서 $d$값의 값이 큰 조합을 선택하면 공간 고조파의 분표계수를 크게 저감할 수 있다. 이에 따라 가장 간단한 조합의 수식과 배열은 식(7), 식(8), 식(9)에 나타내었다.

분수슬롯 권선법에서 저소음을 위해 요구되는 매극매상당슬롯수의 관계식은 아래 식(10)과 같이 표현된다.

또한 저조파를 소거하기 위한 관계식은 식(11)과 같다.

$\dfrac{c}{d}$에서 $d$는 매극매상슬롯수의 기약분수의 분모값으로서 극/슬롯 수의 최소공배수에서 슬롯 수를 나눌 때 나타나는 값이다. 또한 극수에서 극/슬롯 수의 최대공약수를 나눌 때 나타나는 값이다⁽¹⁵⁾. 그래서 $\dfrac{c}{d}=\dfrac{1}{2}(b>3)$일 때 저조파가 소거된다는 것은 코깅토크의 저조파 주기와 매우 밀접한 관련이 있다는 것을 나타낸다. $b$의 값은 매극매상슬롯 수의 기약분수의 분자로서 그 값이 1씩 커질 때 마다 극수에 상수를 곱한 수 만큼 슬롯수 변화에 대한 $q,\: b+c/d$ 최소공배수와 최대공약수의 관계를 표 3에 나타내었다. 이를 통해 극/슬롯 조합에 따라 변하는 앞서 말한 성분들의 규칙을 쉽게 발견할 수 있다.

위 표 3의 굵게 표시된 부분은 위 조건식을 각각 만족하는 극/슬롯 조합이다. 나머지 경우의 수는 조건식을 만족하지 않으며, 극/슬롯 수의 최소공배수가 매우 커 코깅토크의 기본파 성분보다 긴 주기를 가지는 저조파 성분의 영향이 우려되어 통상적으로 사용되지 않는 조합이다. 따라서 본 논문에서는 극수$\times$상수 배 만큼 슬롯수가 증가함을 의미하는 $b$값을 2로 고정하며, 위의 식(6)~ (9)를 만족하는 40극 300/315/330 슬롯 모델에 대하여 전자기 특성을 비교 분석 하였다.

2.4.1 무부하 특성해석-역기전력 특성

무부하 해석은 고정자 3상을 개방상태로, 정격속도 상태에서 회전자의 계자 전류를 증가시키면서 그에 따른 선간역기전력을 나타내는 것으로 비교 세 모델에 대한 무부하 특성해석을 그림 2에 나타내었다. 설계시 슬롯수 증가 비율에 따라 치 폭을 증가시켜 치에대한 자속의 포화를 방지하였고, 그림 2에서 나타낸 것과 같이 비교모델의 계자전류 증가에 따른 역기전력 및 기자력의 증가율을 일치시켰다. 300/315/330슬롯 모델의 극당 슬롯수는 7.5/7.875/8.25이므로 동일한 암페어 턴수 대비 앞의 비에 따라 유기기전력은 그림 2와 같이 각각 차이를 갖는다.

그림. 2. 계자 전류에 따른 모델별 역기전력 비교

Fig. 2. Comparison of Back-EMF according to field current

그림. 3. 정격시 계자전류에 따른 무부하 역기전력 및 THD

Fig. 3. Back-EMF and THD of comparison model at rated field current

그림. 4. 수차발전기 해석모델의 단락비

Fig. 4. Short-circuit ratio of hydraulic turbine generator

그러므로 단절각(코일피치)를 슬롯수에 따라 조절하여 권선계수를 최대한 비슷한 수준으로 맞추어 각 모델의 정격 계자전류에 대한 정격전압 비교하여 그림 3에 나타내었다. 300/315/330슬롯 모델의 정격 무부하 선간 역기전력 실효값은 각 21,450/22,174/ 24,250[Vrms]이며, 이의 전고조파왜곡률은 각 0.071/0.057/0.054 [%]이다. 이는 앞의 $q$의 $c/d$에서 일정 $d$값에서 $c$값의 증가비 만큼 THD도 감소하는 것을 확인할 수 있다.

2.4.2 단락비 특성 (Short-circuit ratio : SCR)

단락비는 발전기의 특성을 나타내는 중요한 성능지표로서, 기기의 크기와 공극길이가 클수록 대체적으로 단락비는 커진다. 단락비가 커진다는 것은 동일한 전력을 생산하기 위해 계자권선에 큰 암페어-턴수가 요구되어 효율이 떨어지고, 열 상승을 막고자 전류밀도를 낮추기 위해 기기의 체적이 커져 제작비용이 높아질 수 있다는 것이다. 하지만 전압 변동률이 낮아지고, 과부하 내량 또는 안정도가 매우 좋아진다는 큰 장점이 있다. 즉 장하분배로서 2극의 터보발전기의 동기계 혹은 다극의 저속 수차 발전기의 철기계를 만들지에 따라 단락비 값이 선정된다. 현대 들어 여자 속응성, 인버터, HTS 등의 기술의 발전으로 단락비가 매우 낮은수준의 설계가 가능해졌지만, 높은 비용이 요구된다⁽¹⁶⁾. 본 연구는 낮은 전압변동률과 높은 안정도, 100MW급 수차발전기를 설계목표로 하고 있으므로 단락비 값이 약 2를 가지도록 설계하였다. 위 내용의 무부하 특성해석과 단락회로 특성해석을 통해 단락비를 구할 수 잇는데, 아래 식(12)에 의해 단락비는 계산되며, 비교모델에 대한 단락비 특성을 그림 4와 표 5에 나타내었다.

또한 단락비는 앞서 공극길이의 산정에 필요한 $d$축 리액턴스의 역수로도 표현이 가능한데 아래 식(13)과 같다.

최종적으로 300/315/330슬롯 모델은 각 단락비 약 1.95/ 2.00/2.00, $x_{d}$값은 0.5134/0.5001/0.5012으로 330슬롯 모델이 $d$축 리액턴스가 가장 크며, 315/330슬롯 모델의 단락비가 약 2로 설계 목표치에 가장 가까운 값으로 나타났다.

2.5.1 설계 파라미터와 등가회로, 출력가능곡선

부하 특성해석과 출력가능곡선을 위해 필요한 등가회로와 설계 파라미터를 표 6과 그림 5에 나타내었다. 등가회로 그림에서 $L_{s,\:m}$은 각 자기인덕턴스와 상호인덕턴스, $R_{ph,\: load}$는 각 상저항과 부하정항, $X_{load,\: a}$는 각 부하리액턴스와 동기리액턴스를 나타낸다. $f$는 주파수, $\omega_{r}$은 회전수, $K_{E}$는 역기전력 상수, $E_{0}$는 역기전력이다. 출력 가능곡선은 앞서 주어진 파라미터로부터 부하회로를 구성하고 변하는 부하에 따라 발전기의 출력과 단자전압의 상응관계를 보는 것이다. 이때 출력을 구하는데 필요한 식은 아래 식(14) ~ (16)으로 계산할 수 있다.

그림. 5. 계자권선형 동기발전기 등가회로

Fig. 5. Equivalent circuit of WFSM generator

위의 수식적 계산으로 얻은 출력곡선으로 최대출력의 정격전압 지점을 알 수 있으므로 비교모델의 최대 출력을 130[MVA]로 맞추어 설계하였다. 또한 정격역률 0.9에서 100MW의 유효전력을 출력하기 위해 역률 1일 때 약 111.12[MVA]를 출력해야 하므로 그림 6과 같이 각 비교모델에 대하여 정격지점을 맞추었다.

그림. 6. 비교 모델별 출력 특성

Fig. 6. Power characteristic of comparison model

2.5.2 토크, 손실 특성 및 효율

100%부하 시 역률 1일 때와 지상역률 0.9(정격)일 때의 토크 특성을 표 7에 나타내었다. 계자 권선형 기기의 동손은 계자권선에서 발생하는 동손과 전기자 권선에서 발생하는 동손의 합으로 이루어지는데, 동일출력 및 정격전압 대비 단락비가 큰 값을 가질 경우 계자권선의 부분의 손실이 동손의 대부분을 차지하며 단락비가 작을수록 계자권선 및 전기자권선의 동손의 비가 비슷해진다. 본 해석모델은 축방향 길이와 슬롯피치, 단절각의 거리 계산을 통해 한상의 코일의 총 길이를 구하고 단면적, 전류와 저항률의 관계로 간단한 계산을 통해 계자권선과 전기자 권선의 동손을 계산하였다. 코일 한턴의 전개도와 계산식을 식(17)과 그림 7에 나타내었다.

그림. 7. 계자권선 및 전기자 권선의 전개도

Fig. 7. Winding Structure of wound field and armature

여기서 $N_{ph}$는 상당턴수, $\rho_{c}$는 저항률, $l_{w}$는 코일 한턴의 길이, $A_{c}$는 코일 단면적, $N_{sm}$은 소선가닥수를 의미한다.

철손은 와류손과 히스테리스스손, 이상와전류 손실의 합으로 이뤄져 있는데 아래 식(18)과 같이 일반적으로 표현된다.

$k_{e}$, $k_{h}$, $k_{a}$는 각 와류손, 히스테리스스손과 이상와전류 손실의 계수이며 $f$는 주파수, $B$는 자속밀도 $n$은 재질에 따라 연결되는 Steinmetz 상수이고 보통 철심에서는 약 1.6의 값을 갖는다. 그림 8과 그림 9의 손실 특성에서 나타나듯 역률1일 때와 지상역률 0.9(정격)일 때, 300/315/330으로 슬롯 수가 증가하면서 일정한 경향성을 나타내었다. 와전류손실은 철심의 도전율과 자속의 변화로 생기는데 지상역률 0.9 기준으로 술롯수가 각 300/315/330일 때 주 자속을 야기하는 계자전류 값은 128/ 397/383[kW]로 나타났다. 또한 시변자계가 히스테리시스 루프를 따라 철심 내에서 에너지 방출과 흡수의 차로 발생하는 히스테리스스손실은 각 1,667/594/600[kW]로 나타났다. 본 수차발전기는 저속의 저주파수 모델로서, 높은 주파수 영역에서 발생하는 이상와전류 손실은 무시하였다.

그림. 8. 역률 1일 때 모델별 손실 특성 비교

Fig. 8. Loss characteristic at PF=1

그림. 9. 지상 역률 0.9일 때 모델별 손실 특성 비교

Fig. 9. Loss characteristic at lagging PF=0.9

또한 100% 부하시 역률 1일 때와 지상역률 0.9일 때의 손실특성을 모델에 따라 비교하여 그림 8과 그림 9에 나타내었다.