2.1.1 %임피던스

변압기의 %임피던스는 전력계통에서 전력 설비들의 용량이 다를 때 계산의 편의성을 위해 사용한다. %임피던스는 권선 저항에 의한 %저항과 누설자속에 의한 %리액턴스로 계산할 수 있으며, 전력용 변압기는 %저항보다 %리액턴스가 훨씬 크기 때문에 %임피던스는 %리액턴스에 의해 결정된다고 볼 수 있다. 고압권선과 저압권선이 동심원 배치인 구조의 변압기의 경우, %리액턴스는 해석적 방법을 통해 식 (1)과 같이 표현한다^[3].

여기서, $N$은 권선의 턴수, $I$는 정격전류[A], 는 $V$ 정격전압[V], $\% IX$는 %리액턴스[%], $H_{eq}$는 권선의 평균 높이[cm], $T_{1}$은 저압권선의 두께[cm], $T_{g}$는 저압권선과 고압권선 사이 공극의 두께[cm], $T_{2}$는 고압권선의 두께[cm], $D_{1}$은 저압권선의 평균 지름[cm], $D_{g}$는 저압권선과 고압권선 사이 공극의 평균 지름[cm], $D_{2}$는 고압권선의 평균 지름[cm]이다.

%리액턴스를 계산하기 위한 다른 방법으로는 자기에너지와 인덕턴스의 관계를 이용해서 계산할 수 있다. 유한 요소법과 같은 수치적 방법이 사용될 때, 인덕턴스는 식 (3)과 같이 표현한다. 식 (3)에 $w=2\pi f$를 곱하면 누설리액턴스를 구할 수 있다^[3].

여기서, $W_{H}$는 자계 내에 축적되는 총에너지[J], $I$는 정격전류[A], $L$은 인덕턴스[H], $\vec{B}$는 자속밀도[T], $\vec{H}$는 자계의 세기[A/m], $\vec{A}$ 는 자기 벡터 포텐셜, $\vec{J}$는 전류밀도[A/m²]이다.

%저항은 변압기 권선에 정격전류가 흐를 때 저항성분에 의한 전압강하와 정격전압의 비를 의미하며 부하손실과 정격용량의 비로 식 (4)과 같이 표현한다.

여기서, $\%IR $은 %저항[%], $I_{r}$은 정격전류[A], $V_{r}$은 정격전압[V], $P_{load}$는 부하손실[W], $S_{r}$은 정격용량[VA]이다. %임피던스는 식 (1)과 식 (2)을 이용하여 계산한 %리액턴스와 %저항으로 식 (5)와 같이 표현한다.

여기서 $\%IZ$는 %임피던스[%]이다.

변압기의 %임피던스가 작으면 단락 전류의 크기가 증가하고 %임피던스가 크면 온도 상승의 문제가 발생하기 때문에 적절한 %임피던스의 결정이 필요하다.

2.1.2 단락전류

전력설비의 회로에 절연파괴, 불꽃방전, 금속성 이물질의 접속 등 사고에 의해 그 회로가 정상 시에 매우 작은 임피던스로 접속된 상태가 되어 순간적으로 매우 큰 전류가 흐르는 현상을 단락이라 하며, 단락사고에 의해 흐르는 전류를 단락 전류라고 한다. 단락사고는 일반적으로 1선 지락사고(Single Line-to- Ground Short Circuit), 2선 지락사고(Double Line-to-Ground Short Circuit), 선간 단락사고(Line-to-Line Short Circuit), 3상 단락사고(Three-phase Short Circuit)로 분류되며, 전력시스템의 사고 중 1선 지락사고가 가장 빈번하게 발생하나 전력기기의 안정성을 위해 설계 과정에서는 가장 가혹한 조건인 3상 단락사고를 가정하여 설계에 적용한다.

단락 전류는 그림. 1과 같이 단락상태를 모의한 정현파 전압원, 저항, 인덕턴스가 직렬로 연결된 R-L 단상회로로등가화하여 계산할 수 있다. 여기서 전압원은 발전기로부터 얻은 기전력, 인덕턴스는 변압기의 누설인덕턴스, 저항은 변압기의 부하손실이다. 등가화 된 회로의 스위치가 닫히면 회로에 흐르는 전류는 기본 주파수를 가진 교류 성분과 시간에 따라 지수적(exponent)으로 감쇠하는 직류성분으로 구성된 비대칭 단락전류(asymmetrical short-circuit current)로 식 (6)와 같이 표현한다^[6].

여기서, $E_{m}$은 최대 전압[V], $\omega$는 위상각[rad/s], $\alpha$는 전압의 스위칭 각[rad], $\varphi =\tan^{-1}(\omega L/R)$이다.

또한, 전력시스템에서 리액턴스의 크기는 저항의 크기보다 훨씬 크기 때문에 위상각 $\varphi$는 $\pi /2$로 볼 수 있고 전압이 0인 시점에 단락사고가 발생하면 식 (6)은 식 (7)과 같이 표현한다^[7].

2.1.3 누설자속밀도

변압기 권선에 단락 전류가 흐르게 되면 정상상태에 비해 권선 주변에 많은 누설자속이 발생하게 된다. 이 누설자속은 Maxwell 방정식을 이용하여 유도된 식 (8)과 같은 자계 지배 방정식으로부터 구한 자기 벡터 포텐셜 $\vec{A}$를 이용하여 계산할 수 있다. 누설자속밀도는 식 (9)와 같이 축 방향과 반경 방향 성분으로만 나타나게 된다^[8].

여기서, $\mu$는 투자율[H/m], $\vec{A}$는 자기 벡터 포텐셜, $\vec{J}$는 전류밀도[A/m²]이다.

그림. 2와 같이 권선 사이에 발생한 누설자속은 대부분 축 방향으로 흐르는 경향을 띄며, 식 (10)와 같이 해석적 방법을 통해 최대 누설자속밀도를 계산할 수 있다^[4].

여기서, $B_{\max}$는 최대 누설자속밀도[T], $\mu_{0}$는 진공의 투자율[H/m], $H_{w}$는 권선의 길이[mm]이다.

축 방향 성분의 누설자속밀도는 반경 방향 성분의 단락 전자력에 영향을 미치고 반경 방향 성분의 누설자속밀도는 축 방향 성분의 단락 전자력에 영향을 주게 된다.

2.1.4 단락 전자력

단락사고 발생 시 유입된 단락 전류와 그 단락 전류에 의해 발생한 권선 주변의 누설자속의 수직된 방향으로 힘이 작용하며, 이 힘을 단락 전자력이라 한다. 이 힘은 자기장에서의 Lorentz 힘으로 식 (11)과 같이 표현한다.

여기서, $\vec{F}$는 전자력[N]이다.

식 (9)와 같이 권선에서 축 방향과 반경 방향 성분으로 나타나는 누설자속밀도에 의해 단락 전자력 또한 축 방향과 반경 방향 성분으로 나누어지며 식 (12)과 같이 표현한다^[8].

축 방향 성분의 단락 전자력은 단락 전류와 반경 방향 성분의 누설자속밀도와 상호작용을 하여 발생하고 고압권선과 저압권선 모두 권선 중심부로 향하는 압축력으로 발생한다. 반대로 반경 방향 성분의 단락 전자력은 단락 전류와 축 방향 성분의 누설자속밀도와 상호작용을 하여 발생하고 고압권선에서는 철심 반대 방향, 저압권선에서는 철심 방향으로 향하는 인장력으로 발생한다.

2.2.1 해석 모델

탭 조건에 따른 변압기 권선에서 발생하는 단락 전자력을 예측하기 위해 고압권선에 탭 권선이 포함된 그림. 3과 같은 모델을 선정하였다^[5]. 표 1은 변압기 모델의 사양이며, 자계해석의 시간을 단축시키기 위해 2차원 축대칭 형상으로 모델링하였다.

권선의 각 disk로 발생하는 단락 전자력의 크기를 확인하고 실제 변압기와 최대한 유사하게 모델링하기 위해 고압권선은 48disk, 저압권선은 44disk로 나누어 모델링하였고 자계해석은 표 1에 표시한 것처럼 각각 최고 탭 조건, 정격 탭 조건, 최저 탭 조건에서 진행하였다.

2.2.2 해석 모델의 타당성 검증

3차원 전체 모델을 2차원 축대칭 모델로 표현하는 것은 3상을 1상으로 표현하는 것을 의미한다. 3상을 1상으로 표현하기 위해서는 3차원 전체 모델의 각 상에 최대 전류가 흐를 때 각 상에 위치한 권선의 disk에서 발생하는 평균 전자력 밀도가 모두 유사하거나 어느 1상에 위치한 권선의 disk에서 발생하는 평균 전자력 밀도가 2차원 축대칭 모델로 계산한 평균 전자력 밀도와 유사할 경우에 가능하다. 따라서 3상 전력용 변압기의 각 상에 위치한 권선의 disk에서 발생하는 축 방향 평균 전자력 밀도를 비교하였으며, 그림. 4에 나타내었다. 또한 2차원 축대칭 모델링을 이용하여 권선의 disk에서 발생하는 평균 전자력 밀도를 계산하고, 이를 3차원 전체 모델링을 이용해서 계산한 평균 전자력 밀도와 비교하여 2차원 축대칭 모델링의 타당성을 검증했다. 비교 결과는 그림. 5와 그림. 6에 나타내었으며, 이때, 3차원 전체 모델링의 퍙균 전자력밀도 결과는 B상일 때이다.

전체적으로 A상과 B상 및 C상을 비교하였을 때 3상 모두 유사한 결과를 얻었으며, 이를 통해 권선의 disk에서 발생한 평균 전자력 밀도는 3상 중 1상만 고려해도 문제가 없음을 확인하였다.

전체적으로 2차원 축대칭 모델링을 이용해 계산한 반경 방향과 축 방향 평균 전자력 밀도는 3차원 전체 모델링을 이용해 계산한 결과와 비교하였을 때 유사한 결과를 얻었다.

2.2.3 해석의 타당성 검증

해석의 타당성을 검증하기 위해 정상 상태에서 %임피던스와 최대 누설자속밀도의 이론값과 해석값을 비교하였다. %임피던스는 식 (1), 식 (2), 식 (4)로부터 계산한 이론값을 해석값과 비교하였고 최대 누설자속밀도는 식 (10)로부터 계산한 이론값을 해석값과 비교하여 확인하였다.

이론식으로부터 계산한 %임피던스와 유한요소법을 이용하여 계산한 %임피던스를 표 2에 나타내었다. 유한요소법의 경우, 자기에너지를 계산하여 자기에너지와 인덕턴스의 관계를 이용해 %리액턴스를 계산하였고 %저항을 추가하여 %임피던스를 계산하였다.

그림. 7은 각각의 탭 조건에서 공극에 발생한 최대 누설자속밀도를 보여준다. 탭 권선의 disk는 다른 고압권선의 disk에 비해 75%의 턴을 가지기 때문에 권선의 1/2 높이에서 자속밀도가 떨어지는 것을 확인할 수 있고, 각각의 탭 조건에서 최대 누설자속밀도는 권선 사이 공극의 1/4과 3/4 높이에서 발생하는 것을 확인하였다. 최대 누설자속밀도의 이론값과 해석값을 비교한 것은 표 3에 나타내었다.

위의 결과에서 보이는 듯이 %임피던스와 최대 누설자속밀도의 해석값을 이론값에 비교해 해석의 타당성을 검증하였으나 해석적 방법에 사용한 권선의 형상은 탭권선이 없는 덩어리 형태로 간략화하여 계산하지만 유한요소법에 사용한 권선의 형상은 탭 권선을 포함하고 있다. 따라서 유한요소법으로 계산한 %임피던스와 누설자속밀도의 계산값을 통해 단락 전류와 단락 전자력의 계산을 할 필요가 있다.

2.2.4 단락 전류 계산

그림. 8, 그림. 9는 식 (7)을 이용하여 계산한 단락 전류 파형을 보여준다. 8.3[]에서 비대칭 단락 전류의 최대값이 발생하는 것을 확인할 수 있으며 표 4와 같이 IEC 규격으로 계산한 비대칭 단락 전류의 최대값과 비교하여 식 (7)으로부터 계산된 단락 전류의 타당성을 검증하였다^[9].

모의 단락회로로부터 계산된 8.3[$ms$]에서의 비대칭 단락 전류의 최대값은 권선의 각 disk별 최대 단락 전자력의 크기를 예측하기 위해 유한요소해석의 전류 입력값으로 사용한다.

2.2.5 단락상태 누설자속밀도

식 (7)로부터 계산한 비대칭 단락 전류의 최대값을 입력값으로 사용하여 유한요소해석을 수행하여 누설자속밀도를 계산하였으며 결과를 그림. 10에 나타내었다.

변압기에 단락 전류가 흐르면 정상상태에서 발생하는 누설자속이 크게 증가한다. 최고 탭 조건에서 발생한 최대 누설자속밀도는 2.46[$T$]이고 정상상태의 최대 누설자속밀도에 비해 약 13.1배 증가하였다. 정격 탭 조건에서 발생한 최대 누설자속밀도는 2.40[$T$]이고 정상상태의 최대 누설자속밀도에 비해 약 12.6배 증가하였다. 최저 탭 조건에서 발생한 최대 누설자속밀도는 2.21[$T$]이고 정상상태의 최대 누설자속밀도에 비해 약 10.9배 증가하였다. 유한요소법을 이용해 계산한 최대 누설자속밀도와 식 (10)으로 계산한 이론값과 비교한 결과를 표 5에 나타내었다.

2.2.6 단락전자력

단락사고 발생 시 변압기에 유입된 단락 전류와 그로 인해 증가한 누설자속이 상호작용을 하여 단락 전자력이 발생한다. 또한, $\phi$방향으로 권선에 흐르는 단락 전류와 축 방향, 반경 방향 성분으로 존재하는 누설자속밀도로 인해 발생된 단락 전자력도 축 방향과 반경 방향 성분으로 나누어졌다. 고압권선과 저압권선에 발생한 반경 방향 성분의 단락 전자력은 그림. 8에 나타내었고 고압권선과 저압권선에 발생한 축 방향 성분의 단락 전자력은 그림. 12에 나타내었다. 본 논문에서 다룬 전력용 변압기 모델의 경우, 그림. 11에서 보듯이 반경 방향 성분의 단락 전자력은 고압권선, 저압권선 모두 최고 탭 조건의 권선 중심 높이에서 최대 크기가 발생한 것을 확인하였고 고압권선, 저압권선에서 서로 반대 방향의 반경 방향 성분의 단락 전자력이 작용하는 것을 확인할 수 있다. 축 방향 성분의 단락 전자력은 그림. 12에서 보듯이 고압권선, 저압권선 모두 최고 탭 조건의 권선 최상단, 최하단 높이에서 최대 크기가 발생한 것을 확인하였고 고압권선의 최저 탭 조건의 경우 최고 탭 조건의 단락 전자력 크기와 유사한 최대치가 권선 중심 높이에서 발생한 것을 확인하였다.