2.1 순환 최소 자승 알고리즘

순환 최소 자승법은 최소 자승법의 응용형태로 시변 파라미터 추정에 많이 사용되는 적응형 필터 알고리즘이다. 최소 자승법은 측정 신호와 추정 신호 간 오차 제곱의 합이 최소가 되는 파라미터를 산정하는 방법으로 최소 자승법에 의한 추정 파라미터 $\hat X(t)$는 식(1)과 같다.

$$ A(t)=\left[\begin{array}{c}{a^{T}(1)} \\ {a^{T}(1)} \\ {\vdots} \\ {a^{T}(t)}\end{array}\right], Y(t)=\left[\begin{array}{c}{y(1)} \\ {y(1)} \\ {\vdots} \\ {y(t)}\end{array}\right] 이다. $$

여기서, $Y(t)$와 $A(t)$는 $Y = AX$ 선형 방정식에서의 출력 신호와 입력 신호를 나타낸다.

선형 회귀를 비롯해 다양한 분야에서 최소 자승법에 기반한 파라미터 추정이 활용되고 있으나 고조파 모델 파라미터와 같은 시변 파라미터 추정의 경우 망각인자를 갖는 순환 최소 자승법이 보다 효과적이다. 망각인자를 포함한 전형적인 순환 최소 자승 알고리즘은 식(2) ~ (4)와 같다⁽⁷⁾.

여기서, $X_{n+1}$는 추정되는 해, $G_{n+1}$는 이득 행렬이며, $P_{n+1}$은 공분산 행렬, $I$는 단위행렬이다. 반복 계산 과정에서 망각요소 $\lambda$($0<\lambda\le 1$) 값에 따라 과거와 현재 측정값의 비중이 달라지며 이는 공분산 행렬 $P$에 반영되게 된다. 망각인자 $\lambda$값이 작아질수록 새로운 측정 데이터의 비중이 더 크게 되며, $\lambda$값이 커질수록 시스템 변화에 둔감해진다.

2.2 제약된 순환 최소 자승법

순환 최소 자승법을 이용한 고조파 부하 파라미터 추정은 다음과 같다. 식(5)와 같은 선형 방정식에서 전압 $y(t)$와 전류 $\Phi(t)$의 측정값을 이용하여 부하 임피던스와 등가 전원 파라미터 $\Theta$를 추정한다.

그림 1과 같이 PCC점에서 측정된 전압과 전류로부터 $y(t)$와 $\Phi(t)$ 벡터를 식(6) 및 (7)과 같이 정의할 수 있다. 여기서 첨자 $r$과 $i$가 각각 실수부와 허수부를 나타낸다.

또한 부하 임피던스 $Z_{h,\:con\sum er}=R_{h}+j X_{h}$, 부하 고조파 전압원 $V_{0,\:h}=V_{0,\:h,\:r}+j V_{0,\:h,\:i}$의 관계로부터 추정 파라미터 행렬은 식(8)과 같이 정의된다. 여기서 $R_{1}=R_{2}=R_{h}$이며, $X_{2}=-X_{1}=X_{h}$이다.

고조파 부하 모델 파라미터 $\Theta$는 1차적으로 순환 최소 자승 알고리즘에 의해 계산되어지며 식(9)의 제약 조건을 만족하는 최종 $\hat\Theta$는 식(10) ~ (13)의 라그랑주 승수법(Lagrange multiplier)을 이용하여 구하게 된다.

제약 조건을 만족하는 해 $\hat\Theta$는 식(14)와 같이 최종 갱신된다⁽⁸⁾.

여기서 $P$는 공분산 행렬이며, $p_{11}$, $p_{22}$는 공분산 행렬의 요소를 나타낸다.

3.1 가변 망각인자를 적용한 추정

순환 최소 자승법에서는 망각인자를 통해 과거 데이터의 반영률을 결정하게 된다. 망각인자는 $0<\lambda\le 1$값으로 1에 가까우면 과거 데이터 비중이 커서 안정적이지만 시스템 변화에 대한 수렴속도가 느려지고 망각인자 값이 작을수록 수렴속도는 좋아지지만 잡음에 대해 매우 민감해지므로 적절한 값의 선택이 중요하다. 망각인자가 없는 고전적인 순환 최소 자승법은 계산 시간이 지남에 따라 공분산 행렬이 0으로 되어 파라미터 추정 능력을 잃어버릴 수 있다⁽⁹⁾. 또한, 고정 망각인자는 매 반복 계산에서 똑같은 가중치로 공분산 행렬에 나누어진다. 따라서 계통의 운전이 정상 상태일 경우 일정한 값이 오랫동안 유지하게 되면 파라미터의 변화는 없지만 공분산 행렬이 계속 커지게 된다. 이런 상황에서 운전점의 변화가 생길 경우 파라미터 추정의 wind-up 문제를 일으킬 수 있다. wind-up이란 공분산 행렬의 기하급수적으로 증가하여 파라미터 추정이 극도로 민감하게 되어 큰 오차가 발생하는 것을 말한다. 이에 기존의 고정 망각인자 대신 개선된 가변 망각인자를 적용하면 순환 최소 자승 알고리즘은 식(15) ~ (18)과 같이 나타낼 수 있다. $\alpha$는 망각인자의 최댓값을 나타낸다.

3.2 고조파 부하 파라미터 추정 알고리즘 구현

PCC를 기준으로 2개의 수용가가 연결되어 있을 때 고조파 부하 파라미터 추정을 위한 계통 구성은 그림 2와 같다. PCC에서 순차적으로 측정되는 전압 및 전류 데이터와 제안하는 순환 최소 자승법을 이용하여 고조파 부하 파라미터를 추정할 수 있다.

그림 3은 PCC를 기준으로 전원 계통과 2개의 고조파 부하에 대한 등가회로를 나타낸다. PCC에 연결되는 수용가의 수에 따라 병렬 등가 모델이 추가된다. 해당 등가회로 PCC에 대해 키르히호프의 전압 법칙을 적용하면 식(19) 및 (20)과 같이 나타낼 수 있다. 여기서 $k$는 샘플 수, $h$는 고조파 차수를 나타낸다.

순환 최소 자승법을 적용하기 위해 식(19)와 (20)을 행렬의 형태로 나타내면 식(21) 및 (22)와 같고 이는 선형방정식 (5)와 같은 형태가 된다.

수식(9)의 제약 조건에 따라 $R_{1}=R_{2}=R_{h,\:A}^{k}$, $-X_{1}=X_{2}=X_{h,\:A}^{k}$, $R_{3}=R_{4}=R_{h,\:B}^{k}$, $-X_{3}=X_{4}=X_{h,\:B}^{k}$를 만족하게 되며 각 파라미터를 제약된 순환 최소 자승법을 이용하여 추정하게 된다.

4.1 모의 계통과 사례

제안하는 순환 최소 자승법의 파라미터 추정 성능을 평가하기 위해 먼저 PSCAD/EMTDC를 이용하여 계통 모델링을 수행하였다. 그림 4와 같이 PCC를 기준으로 전원과 서로 다른 2개의 수용가를 포함한 계통을 구성하였다. 제안하는 가변 망각인자를 사용한 추정과 기존의 고정 망각인자를 사용한 경우의 비교 분석을 시행하였다. 그림 4의 모의 계통에서 상위 전원 데이터는 E-TRAN을 이용하여 IEEE-39 계통을 축약한 파라미터를 사용하였고 그 값은 표 1과 같다.

본 사례 연구에서는 표 2와 같이 서로 다른 2개의 수용가 운전 조건에 대해 파라미터 추정을 실시하였다. Case 1과 2는 각 수용가 임피던스와 내부 고조파 전압원 값이 서로 다르게 적용되었으며, Case 1에 대해서는 5차 고조파 Case 2에 대해서는 7차 고조파에 대한 파라미터를 추정하였다. 각 운전 조건에서의 PCC 전압 및 전류 측정값을 입력으로 하여 제안하는 방법을 적용하였다. 전체 시뮬레이션 시간은 2[s]이며 time step은 100[μs]로 설정하였다.

모의 계통에서의 각 고조파별 PCC 전압과 전류는 그림 5와 같으며 현실성을 반영하기 위해 일정 부분 노이즈를 포함시켰다. 또한 고정 망각인자를 적용한 모의의 경우 $\lambda$값은 0.9955를 사용하였으며 제안하는 가변 망각인자의 경우 $\alpha$값은 0.9988로 식(15)에 의해 가변하는 값으로 반영되었다.

4.2 파라미터 추정 결과 및 분석

그림 5의 노이즈가 포함된 PCC 전압과 전류를 입력으로 각 수용가에 대한 고조파 모델 파라미터 추정을 수행하였다. 그림 6은 Case 1에 대한 수용가 A와 B의 임피던스 추정 결과이다. 기존의 고정 망각인자를 적용한 경우 시뮬레이션 초기 ramp-up 시간을 지나 평균적으로 실제 파라미터와 유사한 추정값을 나타내기는 하지만 상당히 변동성이 크고 저항 보다 리액턴스의 추정에 오차가 큰 것을 알 수 있다. 이에 반해 가변 망각인자를 적용한 경우에는 ramp-up 시간에 추정의 변동성이 다소 크지만 이후 안정된 추정 성능을 보였다.

그림 7은 Case 2에 대한 수용가 A와 B의 저항 및 리액턴스 추정 결과를 나타낸다. Case 1보다 PCC 전압과 전류의 변동성 및 노이즈가 큰 조건에서도 고정 망각인자보다 더 안정된 추정 성능을 보여주었다. 표 3과 4는 고정 망각인자와 가변 망각인자를 사용한 경우의 부하 파라미터 최종 추정 결과를 나타낸다. 2초 모의 시간의 최종 결과값이며 각 수용가 고조파 임피던스 및 전압원 추정 결과를 정리하였다. 전체적으로 고정 망각인자를 사용한 경우보다 가변 망각인자를 사용한 경우 우수한 추정 결과를 얻었다. 고정 망각인자의 값을 바꿔가며 실시한 추가 모의에서도 가변 망각인자를 사용한 경우의 추정 성능이 우수했다. 가변 망각인자를 사용함으로써 계통 변화가 적은 정상상태에서 고정 망각인자를 사용할 때 공분산 값이 커져서 안정된 추정이 어려워지는 wind-up 문제를 해결할 수 있었다.