2.1 전력량요금의 최소화

전력량요금은 TOU요금과 전력량을 곱해서 산출된다. TOU요금은 미리 정해진 상수이므로 제어변수는 사용전력량이 되며, 전력량 요금 최소화를 위한 비용함수는 식(1)과 같다.

여기서, $P_{n,\:t}^{m}$는 식(2)와 같이 기존의 전력량인 $d_{n,\:t}^{m}$와 ESS를 통한 부하 이전량인 $ESS_{n,\:t}^{m}$의 합으로 나타낼 수 있다.

한편, 식(2)를 사용하여 식(1)을 정리하면,

$\rho_{n,\:t}^{m}· d_{n,\:t}^{m}$는 상수이므로 식(3)의 2번째 항이 실제로 최적화가 적용될 비용함수가 된다. ESS PCS 효율이 100%가 아닐 경우에는 실제 충전량과 방전량을 구분하여 산출해야 하므로, 이진 변수를 추가해야 한다. 이진변수는 식(4)와 같이 연속변수의 Sigmoid 함수값을 이용하였다.

여기서,

$$logsig(n)=\dfrac{1}{(1+e^{-n})}$$

연속 변수 $y_{n,\:t}^{m},\: z_{n,\:t}^{m}$는 log-sigmoid Transfer Function을 거쳐 이진 변수인 $Y_{n,\:t}^{m},\: Z_{n,\:t}^{m}$로 변환된다. 이진 제약 조건을 포함한 제약조건은 식(5)~(11)과 같다.

여기서,

- 제어변수 $\mathbb{X}$

$y_{n,\:t}^{m}$ : 충전 변수

$z_{n,\:t}^{m}$ : 방전 변수

$ESS_{cha}^{m,\:n,\:t}$ :　m월 n일 t시의 ESS 충전량 [kW]

$ESS_{dis}^{m,\:n,\:t}$ :　m월 n일 t시의 ESS 방전량 [kW]

- 상수

$\rho_{n,\:t}^{m}$ : m월 n일 t시의 TOU [kWh/￦]

$P_{n,\:t}^{m}$ : m월 n일 t시의 전력량 [kWh]

$Y_{n,\:t}^{m}$ : 충전 이진 변수 $\begin{cases} 1& \quad{if}\quad{charged}\\ 0&\quad{otherwise} \end{cases}$

$Z_{n,\:t}^{m}$ : 방전 이진 변수 $\begin{cases} 1& \quad{if}\quad{charged}\\ 0&\quad{otherwise} \end{cases}$

$H_{div}$ : 시간 분할 계수

$d_{n,\:t}^{m}$ : m월 n일 t시의 기존 부하량 [kWh]

$ESS_{n,\:t}^{m}$ :　m월 n일 t시의 ESS 충방전(+,-)량 [kW]

$ESS_{capa}$ : ESS 총용량 [kWh]

$ESS_{minmax}$ : ESS PCS의 최대 충방전량 [kW]

$\eta$ : ESS PCS의 충방전 효율 [%]

$\eta_{cha}$ : ESS PCS의 충전 효율 [%]

$\eta_{dis}$ : ESS PCS의 방전 효율 [%]

$So C_{t}$ :　t 시의 SoC [%]

$So C_{0}$ : SoC 초기값 [%]

$So C_{max}$ : SoC 최대값 [%]

$So C_{min}$ : SoC 최소값 [%].

식(5)은 구간 t에의 동시 충방전 금지 제약조건이며, 식(6) 및 식(7)은 식(5)를 통해 결정된 충전 혹은 방전 구간의 최대 충방전량에 대한 제약조건이다. 식(9)의 SoC(State Of Charge)는 시간 t에서의 충전 상태를 의미하며, 구간 t의 $So C_{t}$는 식(10)을 통해 계산할 수 있다. $H_{div}$는 시간 분할 계수로써, 사례연구 수행시의 1시간을 몇 개의 구간으로 나눌 지 결정한다. 예를 들어 $H_{div}=4$이면 1시간을 15분씩 4개 구간으로 나누어 고려하게 된다. 식(11)은 매일 기준시간의 SoC가 일정하게 유지되는 것을 가정한 제약조건이다.

2.2 계약 요금의 최소화

계약요금은 당월의 최대수요전력(요금적용전력)과 기본료를 곱하여 계산된다. 계약요금의 최소화를 위한 방법으로는 최대수요 산정법과 부하평준화법이 있으며, 전력량요금과 동일한 가치평가를 위해서 최대수요산정법을 사용하여야 한다.

2.2.1 최대수요 산정법

최대수요 산정법은 계약 요금의 결정 방법을 수식화 하였으며, max함수를 통해 첨두치를 감소시켜 계약요금을 감소시킬 수 있으며 비용함수는 식(12)와 같다.

여기서,

$\rho_{base}^{m}$ : m월의 기본료 [kW/￦]

$\mathbb{D}_{m}$ : m월의 96시간(15분), 31일 부하 데이터 (2976 x 1) [kW]

$\mathbb{ESS}_m$ : m월의 96시간(15분), 31일 ESS 충방전량 (2976 x 1) [kW]

해당 월의 모든 데이터를 확인하고 max함수를 통하여 최대수요전력을 출력해 곱해줌으로써 최소화할 수 있다. 또한 max함수를 사용하여 최적화하기 때문에 비선형이므로 Genetic Algorithm 등의 Heuristic 기법을 사용하였다.

2.2.2 부하 평준화법

부하 평준화 방법은 부하 평준화를 통해 첨두치를 감소시켜 계약요금을 감소시킨다. 그러나, 비용함수를 정량적으로 정확한 계약요금으로 표현하기 어렵다는 단점이 있다.

여기서,

$P_{N}^{mean}$: N일의 부하 평균값

2.3 Penalty Factor를 통한 제약조건의 표현

본 논문에서는 HA를 이용한 다음과 같은 제약 최적화 문제를 Penalty Factor를 사용하여 비제약 최적화 문제로 비용함수를 변경하였다.

식(14)의 제약조건을 Penalty Factor를 사용하여 비제약최적화 문제로 변환한 Penalty 비용함수는 다음과 같다.

여기서,

\begin{align*} G_{i}(\mathbb{X})=\left[g_{i}(\mathbb{X})\right]^{2}\\ T_{j}(\mathbb{X})=\left[max\left(0,\: t_{j}(\mathbb{X})\right)\right]^{2} \end{align*}

로 각각 표현할 수 있으며, $w_{eq},\: w_{ineq}$는 Penalty Weight이다.

2.4 통합 요금의 최소화

통합요금은 식(3), (12), (14)의 합으로 나타낼 수 있다.

2.5 Meta-Heuristic Optimization

반복적인 계산을 통한 해의 개선이기 때문에, 비선형 등 모델링하기 어려운 문제를 풀기에 적합하다. 다만 유전 알고리즘 등의 Heuristic Method는 해석적인 방법으로 해를 찾는 것이 아니므로 수학적인 전역해와 오차가 존재할 수 있다.

2.5.1 Genetic Algorithm

GA(Genetic Algorithm)는 자연계의 생물 유전학에 기본 이론을 두며, 전역적인 탐색 알고리즘으로써 다윈의 적자생존을 기본 개념으로 한다.

생물의 진화를 모방한 진화 연산의 대표적인 기법이다. 전역해를 구하고자 하는 문제에 대하여 가능한 해(Population)들을 퍼뜨려 계산하고, 반복적으로 변형(선택, 교배, 변이)하여 점점 더 좋은 해를 만들어 낸다.

$\quad$ - Population($P_{i}$) : 연속변수 $ESS_{cha}^{n,\:t},\: ESS_{dis}^{n,\:t},\: y_{n,\:t}^{m},\: z_{n,\:t}^{m}$

$\quad$ - 선택, 교배, 변이 : Population의 갱신에 사용되며, 갱신을 통해 최적해를 찾음

$\quad$ - 교배 : $\begin{bmatrix}P_{i+1}^{1}\\P_{i+1}^{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha &1-\alpha \\1-\beta &\beta\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}P_{i}^{1}\\P_{i}^{2}\end{bmatrix}$, $\alpha ,\:\beta =[0 1]$난수

$P_{i}^{1},\: P_{i}^{2}$는 $i$세대에서 교배를 위해 선정된 Population임.

2.5.2 Particle Swarm Optimization

PSO(Particle Swarm Optimization)는 조류 및 어류 무리 등 유기체의 움직임을 양식화 한 표현이며, 움직임을 시뮬레이션하기 위해 처음 고안되었다. 반복적 계산을 통하여 후보 해(Particle)들이 동시에 개선되게 함으로써 최종적으로 비용함수 최적화를 달성한다. 후보 해들의 움직임은 특정한 수학 공식(velocity)을 따르게 된다. 각 입자들의 움직임은 현재의 최적 위치로 움직이며, 최적 위치는 다른 입자에 의해 더 나은 위치가 발견 될 때 업데이트 된다.

$\quad$ - Paticle($P_{i}$) : 연속변수 $ESS_{cha}^{n,\:t},\: ESS_{dis}^{n,\:t},\: y_{n,\:t}^{m},\: z_{n,\:t}^{m}$

$\quad$ - Velocity : $V_{i+1}=w_{i}· V_{i}+c·\alpha·(GBP_{i}-P_{i})$

$\quad$ - Particle update : $P_{i+1}=P_{i}+V_{i}$

$\quad$$\quad$ $GBP_{i}$ : $i$세대의 가장 좋은 위치 (Global Best Point)

$\quad$$\quad$ $w_{i},\: c,\:\alpha$ : $V_{i}$의 변화율을 제어하는 weight

2.5.3 Simulated Annealing Algorithm

SA(Simulated Annealing)는 금속 공학의 가열과 냉각을 반복해 결정의 결함을 줄이는 작업인 담금질에서 착안한 방법으로, 현재의 해 근방에 있는 해를 임의로 찾아 전역 변수, 온도(Temperature, T)와 연계하여 다음 해를 구한다. 다음 세대는 이웃 해를 수용하여 진행되는데, 방법으로는 2가지가 있다. 이웃해가 더 좋을 경우는 무조건 수용하고, 이웃해가 더 나쁠 경우는 Acceptace Probability가 난수보다 높을 경우 수용한다. T는 서서히 작아지므로 처음에는 해가 크게 변화하지만 T가 0에 가까워짐에 따라 변화가 줄어든다.

$\quad$ - Variable($\mathbb{X}_{i}$) : 연속변수 $ESS_{cha}^{n,\:t},\: ESS_{dis}^{n,\:t},\: y_{n,\:t}^{m},\: z_{n,\:t}^{m}$

$\quad$ - Temperature : $T_{i+1}=T_{i}· 0.95^{i}$

$\quad$ - Acceptance Probability(AP) : $e^{-\left(\dfrac{\delta_{x}}{\delta_{avg}· T}\right)}$

$\quad$$\quad$ $\delta_{x}= f(\mathbb{X}_{i+1})-f(\mathbb{X}_{i})$, $\delta_{avg}=\dfrac{\sum_{i}^{I}\delta_{i}}{i}$

$\quad$$\quad$ $\mathbb{X}_{i+1}=\begin{cases} \mathbb{X}_{i+1}&{if}\quad f(\mathbb{X}_{i+1})>f(\mathbb{X}_{i})\\ \mathbb{X}_{i+1}& {if}\quad f(\mathbb{X}_{i+1})<f(\mathbb{X}_{i}) \quad but \quad AP_{i}>{rand}[0 1]\\ \mathbb{X}_{i}&{if}\quad f(\mathbb{X}_{i+1})<f(\mathbb{X}_{i})\quad{and}\quad AP_{i}<{rand}[0 1] \end{cases}$

3.1 1번 부하 패턴

3.1.1 충방전 효율이 100%로 동일할 경우

그림 1과 그림 2를 비교해보면, 전력량요금이 높은 9~10시와 12~15 시에서 확실한 차이를 확인 할 수 있다. 차이로는 본 논문에서 제시한 최대수요 산정법을 사용한 그림 1번의 경우 ESS 방전을 통해 전력량요금의 최소화를 수행하였으며, 동시에 첨두치도 감소하는 효과를 확인해 볼 수 있다. 하지만 부하 평준화를 사용한 그림 2의 경우에는 부하 평준화에만 초점이 맞춰져 있으며, 전력량요금의 절감에는 부적합함을 볼 수 있으며, 상대적으로 더 평균값에 가까운 해가 도출되었음을 확인할 수 있다. 또한 각 시뮬레이션의 첨두치 감소값은 평균 161.8, 161.5로 비슷하였지만, 그림 2의 SA에서 112로 가장 최저치를 기록하였다.

3.1.2 충방전 효율이 각각 90%, 97%로 동일한 경우

그림 3에서 충방전 효율이 90%인 경우에는, GA및 PSO의 성능이 SA에 비해 매우 우수하다. 충방전효율이 100%인 경우에 약 6.57%, 120,000원의 이익이 발생했지만 90%일 경우에는 3.47%, 60,000원의 이익이 발생해 약 50%의 차이를 보였다. 이는 SA의 Population이 타 알고리즘들과는 달리 1개이기 때문에 변수의 증가에 더더욱 취약함을 확인 할 수 있다. 하지만 GA와 PSO에서는 첨두치가 더욱 감소한 것을 확인 할 수 있는데, 이는 변수의 갯수가 증가한 만큼 Population또한 증가하여 더 효율적으로 최적화를 수행한 것으로 보인다. 97%의 충방전효율에서도 대체적으로 비슷한 경향을 확인 할 수 있고 충방전효율이 99, 95% 및 95, 99% 인 경우 또한 결과가 비슷하여 그래프를 수록하지 않고 사례연구 결과를 표 4 및 표 5에 수록하였다.

3.2 2번 부하 패턴

그림 5와 그림 6은 그림 1 및 그림 2와 같이 계약요금의 최소화 방법을 달리 하여 사례연구를 수행한 결과를 나타낸 그래프이며, 효율은 100%로 지정하였다. 앞선 설명과 마찬가지로 최대수요 산정법을 사용하였을 때 요금이 비싼 9~10시, 12~15시를 보면 전력량요금의 최소화를 위해 ESS를 방전하여 부하가 감소하는 모습을 확인할 수 있다. 하지만 부하 평준화를 사용하였을 때의 9~10시, 12~15시를 보면 요금이 비쌈에도 불구하고 평준화를 위해 오히려 충전을 하고 있는 것을 확인 할 수 있다. 첨두부하 감소는 두 방법 모두 평균적으로 199kW 및 198kW의 감소를 통해 가장 우수하게 수행하였으나, 통합 요금의 측면에서는 평균 6.8%, 2.5%로 확연한 차이를 보여준다.