2.1 시장가격의 도출

완전경쟁 형태의 전력시장에서 시장가격은 오로지 수요 특성에 의해서만 결정되고 어떠한 형태의 시장지배력도 존재하지 않는다. 따라서 모든 공급자는 가격수용자(price taker)의 기능만 갖는다. 완전경쟁 시장에서 2인의 공급자가 경쟁하는 관계를 간단히 나타내면 그림 1과 같다.

수요함수에서 p는 시장가격을, d는 전체 부하량을 나타낸다. 공급함수로는 발전기의 한계비용함수를 사용하고 그림에서 MC는 공급함수를 의미하며 q1, q2 는 발전력을 나타낸다. 따라서 수급조건인 d=q1+q2가 성립된다. 또한 a, r은 수요함수의 파라미터이고 bi, mi은 한계비용 함수의 파라미터이다. 송전선 혼잡 등의 제약이 없으면, 균형상태에서 한계비용 값은 서로 같으며 이는 시장가격과도 일치한다. 이러한 관계를 수요-공급함수를 적용하여 정리하면 다음과 같은 시장가격의 식이 도출된다.

시장가격 식에는 수요함수의 파라미터는 물론 두 공급자의 한계비용 특성까지 포함되어 있다. 시장의 설계에 따라 다르겠지만 일반적으로 모든 시장 정보가 정확히 공개되는 것은 기대하기 어렵다. 공급경쟁을 하는 입장에서 한계비용 등은 상호간에 비밀에 해당되기 때문이다. 수많은 거래의 결과가 누적되다 보면 이러한 파라미터는 자연스럽게 노출이 된다고 볼 수도 있지만 그러한 과정은 분명하지 않고 모호성이 매우 강하다. 따라서 ANN을 사용하여 한계비용정보 등의 모호성을 신경망 내부로 흡수하도록 하는 것이다.

2.2 다층 신경망의 구조와 학습

인공신경망의 발전 과정 중에서 다층의 신경망의 고안은 획기적이라 할 수 있다. 하지만 뉴런의 연결강도인 가중치를 어떻게 정하는가의 문제가 발생하고 이러한 고민은 역전파(Backpropagation) 알고리즘이라는 학습법이 개발되면서 해결할 수가 있었다^[9].

본 연구에서는 그림 2와 같은 1개의 은닉층(Hidden Layer)에 입력과 출력층이 있는 다층 신경망을 사용한다. 은닉층과 출력층에서의 뉴런은 활성화(Activation) 함수를 통과한 값을 방출한다. 활성화 함수에는 여러 종류가 있으며 주로 시그모이드(Sigmoid) 함수가 사용된다. 하지만 여기서는 ReLU(Rectified Linear Unit) 함수를 사용한다. ReLU 함수는 그림 3의 (b)와 같이 입력 값이 음수일 때는 영의 값을, 양수일 때는 입력값 x를 그대로 내보낸다. 즉 y=max(0, x)와 같은 의미를 갖는다.

신경망이 기능을 발휘하기 위해서는 학습과정을 거쳐야 한다. 학습이란 샘플 데이터의 입력과 출력의 상호관계를 그림 2에서의 데이터 전파 방향에 따라 만족하도록 가중치 w와 v 값을 조정하는 것이다. 이 과정에서 뉴런의 출력값과 샘플 데이터의 출력에 차이가 발생하며 이러한 오차에 대하여 비용함수를 정의하고 이를 최소화하는 문제를 수행한다.

최소화 알고리즘에는 가중치에 대한 비용함수의 경사도(Gradient)가 사용되며 경사도의 유도식에는 출력에서의 오차가 역방향으로 전파되어 온 형태가 나타난다. 이러한 역전파 알고리즘의 성능은 수렴성이 핵심 요소이다. 수렴성에 영향을 미치는 여러 요인 중에서 활성화 함수가 크게 작용한다. 시그모이드 함수 보다는 ReLU 함수가 수렴성에 보다 효과적이라는 것이 딥러닝(Deep Learning) 이론에서의 중요한 부분이며, 2장의 사례에서 시그모이드 대신에 ReLU 함수를 사용한 이유이다.

2.3 샘플 데이터의 학습

완전경쟁 모형인 그림 1의 사례에 다음 표 1과 같은 수치를 적용하여 신경망을 학습한다.

균형가격을 유도한 식(2)에 표 1의 수치를 적용하면 시장가격은 30.54 로 계산되며 수요함수 파라미터(a, r) 만을 변수로 두고 가격을 나타내면 다음 식(3)과 같다.

발전회사 입장에서 자신 발전기의 한계비용 특성을 경쟁상대를 포함한 공공에게 공개한다고 보기 어려우므로 식(3)과 같은 식의 형태는 실제로는 알아내기가 어렵다. 따라서 정확한 식 대신에 신경망을 학습시켜 식(3)과 같은 기능을 수행하도록 하려는 것이다.

신경망 학습을 위한 샘플 데이터로 a=[90, 95, 100, 105, 110], r=[0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7], 각각에서 5구간씩을 변화시키면서 전체 5×5=25 개의 샘플 (입력, 출력) 값을 사용한다. 출력값이 가장 작은 경우는 a=90, r=0.7 일 때 가격이 23.49이고, 가장 큰 경우는 a=110, r=0.3 일 때 가격이 43.72이다. 신경망에서의 뉴런 개수는 입력층에서 2개 (a와 r 파라미터 입력), 은닉층에서 15개, 출력층에서 1개이다.

비용함수의 최소화 과정은 25개 학습 데이터에 대하여 출력의 오차가 가장 큰 값이 허용범위보다 작을 때 학습을 종료시켰다. 수렴 후에 학습 데이터를 다시 입력하면 학습된 출력값과 신경망의 출력값은 정확히 일치하지 않고 오차가 발생한다. 본 사례에서 가장 오차가 크게 나타난 경우가 a=90, r=0.6일 때 오차는 0.0769, 오차율은 1.99%로 나타났다. 전체 샘플 데이터에 적용하면 다음 표 2와 같다. 오차율은 |신경망 출력값-샘플 시장가격|/샘플시장가격×100으로 계산하였다.

뉴런 개수 15개는 여러 가지 경우를 시도해 본 결과 가장 적정한 것을 선택한 것이다. 그림 4는 은닉층 뉴런수의 변화(12~18)에 따른 최대오차를 나타낸 것이다. 뉴런이 10개 보다 많을수록 오차가 감소하다가 15개를 지나면서 오히려 증가함을 알 수 있다. 이는 ANN 에서의 overfitting 현상을 보이는 것이다. 뉴런 개수가 과도하게 많아지면 불필요한 작용을 하게 되어 정확성을 떨어트리는 특성을 의미한다^[10]. 이는 딥러닝 분야에서 연구되고 있는 주제이다.

2.4 신경망의 결과 분석

학습이 완료된 신경망은 임의의 변수가 입력될 때 신뢰성 높은 결과 값을 보여야 한다. 이를 검증하기 위해서 입력변수를 난수로 발생시켜 신경망의 출력과 식(3)에 의한 정확한 값을 비교한다. 10000개의 입력 변수를 발생시켜 신경망에 적용한 결과, 최대오차는 대략 0.107로서 샘플 데이터를 입력했을 때인 0.0769 보다 큰 값이다. 최대 오차가 발생한 구간은 대략 a=100~105 사이, r=0.3~0.4 사이의 값일 때다. 즉 샘플 데이터가 존재하지 않는 지점에서 오차가 크게 발생하며 당연한 것이다. 이러한 현상은 10000개의 랜덤 수를 변경해도 비슷하게 유지된다.

샘플 데이터의 구간을 좀 더 조밀하게 나누어 샘플 수를 늘려본다. 샘플을 5구간에서 9구간으로 늘려서 a=[90, 92.5, 95, 97.5, 100, 102.5, 105, 107.5, 110], r=[0.3, 0.35, 0.4, 0.45, 0.5, 0.55, 0.6, 0.65, 0.7]로 정의하고 9×9=81 개의 샘플 데이터를 대상으로 신경망 학습을 다시 시도한다. 은닉층에서의 뉴런 개수는 15개로 유지한다.

학습이 완료된 신경망에 81개의 샘플 데이터를 입력하여 오차를 계산하니 최대 오차가 약 0.042 정도로 25개 샘플일 때의 0.0769 보다 크게 감소하였다. 또한 난수로 발생시킨 임의의 10000개 데이터에 대해 오차를 계산하니 최대오차가 대략 0.076 로서 25개 샘플일 때의 0.107 보다 크게 감소하였고 최대오차가 발생한 구간은 대략 a=109.4, r=0.377 로서 샘플 구간의 빈틈 혹은 가장자리에서 발생하였다.

3.1 쿠르노(Cournot) 모형의 균형상태내용

전력시장에 어떠한 형태로든 시장지배력(market power)이 발생하면 불완전한 경쟁 형태가 된다. 이는 참여자의 전략적 선택을 유발시키고 시장은 전력공급자의 전략적 선택에 영향을 받게 된다. 이러한 상황을 분석하는 기법으로 쿠르노(Cournot) 모형이 주로 사용된다. 쿠르노 모형에서는 발전량을 전략변수로 두고 시장에 미치는 영향을 분석한다. 공급자는 자신이 선택한 발전량에 따라 시장가격이 달라지고 자신의 이득도 달라지기 때문에 매우 전략적인 고려를 하게 된다. 이를 더욱 복잡하게 만드는 요인은 경쟁자의 선택 또한 시장에 영향을 미치기 때문에 결국 자신의 선택에도 깊은 연관성을 갖는다는 점이다^[12].

쿠르노 모형에서 발전력 선택의 균형상태 계산을 보이기 위해 그림 5와 같은 간단한 계통상황을 가정하고 표 3의 수요-공급함수를 적용한다. 혼잡현상을 다루기 위해 수요함수를 3개의 지역에 분산시켰고 발전 공급자는 2인이다.

공급자가 연료비용을 사용하여 전력공급을 하고 대가로 받는 요금(편의상 시장가격이라 함)을 알면 공급자의 이득이 계산된다. 공급자는 이러한 이득을 극대화하려 할 것이고 이를 식으로 나타내면 식(4)와 같다.

식(4)는 전력제공에 따른 판매금액에서 연료비용을 차감하여 계산된 것이며, q는 발전력, b와 m은 한계비용함수의 파라미터이다. 시장가격 p는 그 지역의 수요함수 식(5)로 나타낸다. 공급자는 전략 변수 q에 따른 이득 극대점을 찾게 되고 이는 다음 식(6)으로 나타난다.

두 공급자가 자신이 결정한 선택을 바꿀 유인이 존재하지 않는 상황을 내쉬균형(Nash Equilibrium)이라 한다^[13]. 균형상태에서는 G1, G2가 모두 식(6)을 만족해야 하고 3개의 수요함수 식과 수급조건인 Σdi=Σqi 식 1개도 포함하면 전체 6개의 최적조건식이 존재하고 이를 계산하면 균형상태를 얻게 된다. 주어진 표 3의 파라미터를 적용하면 다음 표 4와 같은 균형상태가 구해진다.

표에서 알 수 있듯이 전 모선에서의 가격은 동일하다. 이는 송전선 혼잡이 발생하지 않은 경우에 해당된다. 송전선 3개의 선로정수를 모두 같다 하고 모선1->모선2 사이의 송전선(T12) 조류를 계산하면 41.36이 나온다. 송전선 T12 의 한계용량이 41.36보다 크다면 표 4의 결과는 내쉬균형에 해당된다. 하지만 선로조류가 한계용량을 초과한다면 균형상태가 될 수 없다.

3.2 혼잡현상을 반영한 내쉬균형

전력계통에서의 모든 물리적 제약은 항시 만족되어야 한다. 최적화 계산 결과, 부등식 제약조건이 활성화 되지 않으면 부등식 조건은 없는 것과 마찬가지이다. 즉 표 4에서의 상황이 되는 것이다. 만약 송전선 T12의 한계용량이 41.36보다 작은 35라면 송전선 제약조건이 활성화가 되고 혼잡현상이 나타나며 참여자 간의 게이밍(Gaming) 현상이 강하게 나타난다. 이때의 내쉬균형 계산은 간단하지 않다.

참여자의 선택이 하나의 값으로 수렴하는 경우를 단순전략(Pure Strategy) 균형이라 하고, 2개 이상의 값을 확률적으로 선택하는 경우를 복합전략(Mixed Strategy) 균형이라 한다^[13]. 송전선 혼잡현상이 나타나는 경우도 여기에 해당된다. 복합전략 내쉬균형이 계산되는 원리와 과정에 대해서는 논문 ^[14]에 소개되어 있다.

복합전략 내쉬균형의 계산결과는 표 5와 같다^[12]. 계산된 균형상태에 따르면 혼잡선로의 수전단에 위치한 G2가 2개의 값을 전략적으로 선택하며, 송전단의 G1은 하나의 전략을 고수한다. 또한 G2가 q2=55.13을 선택할 때는 혼잡현상이 나타나지 않으며, q2=45.23을 선택할 때는 혼잡현상이 발생하게 된다. 그리고 두가지 전략의 선택이 각각 확률 77.8%와 22.2% 로 나타날 때 균형상태가 된다. 이와 같이 혼잡과 비혼잡 상황도 구분해야 하고 확률값까지 포함되기 때문에 그 계산은 매우 복잡하다.

부하수요가 변하면 균형상태도 달라진다. 부하수요가 적어지면 송전선 조류도 줄어들고 균형상태는 단순전략만이 나타나게 된다. 반면 부하수요가 증가하면 균형상태에 복합전략이 포함될 확률이 커진다. 하지만 부하수요는 지역에 따라 서로 다르게 변하므로 균형상태에서 혼잡현상이 나타날지 아닐지는 간단히 알 수 있는 것이 아니다.

이러한 상관관계를 인공신경회로망에 학습시키는 것이 본 연구의 두 번째 응용 대상이다.

3.3 균형상태의 군집화(Clustering) 문제에 적용

앞의 표 3 계통을 기준으로 부하수요를 변화시키면 표 5의 상태는 더 이상 내쉬균형이 아니므로 새로운 균형상태를 계산해야 한다. 만약 새로운 균형상태가 혼잡현상을 포함하고 있는지 아닌지를 미리 안다면 균형상태 계산은 훨씬 수월해진다.

변동하는 부하수요를 신경망의 입력 데이터로 정하고 선로조류와 한계용량의 크기를 비교한 값을 출력 데이터로 정의하여 신경망을 학습시킨다. 문제를 간명하게 하기 위해서 부하의 변화는 1번, 2번 모선에서만 가정한다. 각각 파라미터 2개씩 있으므로 4개의 입력 뉴런이 있게 되고, 샘플 값은 수요함수의 변형값으로 두고, 각각의 샘플 입력값에 대해서 출력은 혼잡현상의 발생여부로 나타낸다. 즉 부등식 제약조건을 배제하고 균형상태를 계산한 후 1-2번 선로의 조류를 계산하여 한계용량(=35) 보다 크면 ‘1’의 값을, 작으면 ‘0’의 값을 출력으로 정의한다.

뉴런 개수는 입력층 4개, 출력층 1개, 은닉층 20개로 둔다. 활성화 함수는 은닉층에서는 ReLU, 출력층에서는 시그모이드 함수를 사용한다. 출력값이 1/0 인 클러스터링 문제이기 때문에 ReLU 보다는 시그모이드가 적당하다. 입력의 샘플은 a1=65~80, a2=95~105, r1=0.7~1.5, r2= 0.57~0.63 범위를 각각 9등분한다. 따라서 샘플의 데이터의 개수는 9×9×9×9= 6561 개다. 입력변수가 4개이므로 샘플에 대한 출력값을 그림으로 나타내려면 5차원 표현법이 있어야 한다. 입력 파라미터 a1=70.625, a2=100를 고정한 상태에서 (r1, r2) 평면에 출력값을 나타내면 다음 그림 6과 같다. 작은 원으로 표시된 부분이 샘플 출력값이다. 대략 대각선을 기준으로 한쪽이 1, 나머지가 0 임을 알 수 있다.

3.4 학습결과의 분석

학습을 마친 신경망이 혼잡의 발생 여부를 이진(binary) 값으로 나타내면 좋겠지만 출력의 활성화 함수가 시그모이드이기 때문에 이진값으로만 나타나지 않고 0~1 사이의 값이 된다. 이러한 중간값을 이진값으로 근사화하기 위한 기준치, 즉 허용범위(ε)가 있어야 한다. ε=0.3 이면 시그모이드를 통과한 값이 0.7 이상일 때 ‘1’로 간주하고 0.3 이하 일때는 ‘0’으로 간주하고 중간값이면 판정불가로 처리한다.

앞의 그림 6에서 ‘×’로 표시된 부분은 샘플 데이터를 입력해서 계산된 시그모이드 출력값(근사값)에서 샘플의 출력값(정답)을 뺀 오차를 나타낸 것이다. 대부분은 영에 가까운 값을 보이지만 3군데(굵은 점선으로 처리한 곳)에서 눈에 띄는 오차가 보인다. 이중 2개는 0.3 이하이고 1개는 0.44 정도 이다. 따라서 0.44 오차의 한 샘플에 대해서는 학습한 이후에도 신경망이 혼잡 판별에 실패했다고 볼 수 있다.

샘플 데이터 6561개 전체를 학습이 끝난 신경망에 입력했을 때 판정의 성공/실패 여부를 분석하면 표 6과 같다. ε=0.3 인 경우 성공 확률은 99.38%, 실패 확률은 0.49%이고, 허용범위를 ε=0.1로 낮춰 판정을 좀 더 까다롭게 한 경우는 성공 확률이 98.92%로 미세하게 낮아진다. 실패할 확률도 약간 낮아진다. 난수로 10000개의 입력을 발생시켜 신경망의 출력과 참값과의 오차를 계산한 것도 같이 비교한다. 랜덤 데이터의 입력이 샘플 데이터에 비해 미세하게 성공 확률이 낮음을 알 수 있고 허용범위도 미세하게 영향을 주지만 전체적으로 판정 성공률이 99% 내외로 매우 높게 나타난다.

전력시장의 규모가 증가하고, 송전망 구조가 복잡해지면 신경망에서 은닉층의 개수도 늘려야 한다. 그러면 학습의 수렴성이 나빠져 딥(Deep) 러닝 이론을 좀더 폭넓게 사용해야 할 것이다.