2.1 과도안정도

전력계통에 외란이 발생할 경우 이 충격에 의해 발전기들 간 동기성이 상실될 수 있으며 이는 발전기 및 계통자체의 복원능력에 의해 안정되어야 한다. 이러한 발전기의 안정성 회복정도를 과도안정도라 정의한다. 부하의 급변과 같이 전력상태의 불평형이 발생되면 발전기 위상각은 동기발전기의 관성력에 의해 평형점을 중심으로 상하로 동요하면서 새로운 동작점에 도달한다. 하지만 새로운 평형점이 전기적 불안정 범위에 존재한다면 발전기 위상각은 발산하게 되며, 이러한 경우 발전기를 정지 혹은 탈락시켜야 한다^(9,12).

2.1.1 과도안정도와 관성계수와의 관계

인버터 기반 재생에너지원이 동기발전기를 대체함에 따라 전력계통의 관성계수는 감소하게 된다. 감소된 발전기 관성계수는 외란 발생 시 발전기 회전속도의 변화량을 증가시킨다. 또한 증가된 회전속도는 위상각에 큰 변화를 만들어내며, 이러한 관계성은 아래 식(1)의 발전기 동요방정식에서 확인할 수 있다. 따라서 과도안정도 평가에 중요한 기준인 임계 고장제거시간(Critical Clearing time, CCT)이 감소하여 과도안정도가 저하된다. CCT의 이론적 배경은 등면적법(Equal-area criterion)을 통해 파악할 수 있다.

2.1.2 등면적법(Equal-area criterion)

등면적법은 위의 그림 1과 같은 발전기 위상각에 대한 전기적 출력 그래프에서 가속영역(A1)보다 감속영역(A2)이 크면, 외란 후 발전기는 안정적으로 동작한다는 이론이다⁽²⁰⁾. 이때, 가속영역과 감속영역을 같게 만드는 발전기 위상각은 임계 고장제거 위상각(Critical clearing angle, $\delta_{ct}$), 그리고 이 위상각에 도달하는 시간은 CCT로 정의된다. 즉, CCT 이후 사고를 제거한다면 가속영역이 감속영역보다 커지게 되어 발전기 위상각은 발산하며 전력계통은 불안정한 상태가 된다. 따라서 전력계통은 충분한 CCT를 가져야하며, 이는 과도안정도를 평가하는 중요한 기준이 된다.

아래의 그림 2와 같은 간략한 1기 무한모선계통에 발생된 3상 지락사고 상황을 통해 발전기 관성계수와 CCT간의 상관관계는 쉽게 파악될 수 있다.

사고 시간 동안, 식(1)을 적분하면 위상각은 아래와 같이 시간에 대한 이차방정식으로 나타낼 수 있다.

위의 식(2)-(4)에 의해 관성계수와 위상각의 변화는 반비례의 관계성을 가지는 것을 이론적으로 파악할 수 있다. 즉, 감소된 관성계수를 가지는 전력계통은 사고 시간 동안 임계 고장제거 위상각에 더 빠르게 도달하는 결과를 나타내며, 이는 그림 3에 보인 과도안정도 시뮬레이션을 통해서도 확인할 수 있다. 따라서 재생에너지원의 투입에 의해 전력계통의 관성계수가 감소하면 CCT가 감소하여 과도안정도는 저하된다.

2.2 미소신호안정도

미소신호안정도는 스위치의 개폐, 소규모 부하의 변동과 같은 미소외란에 대해서 전력계통 내 발전기들이 동기 상태를 유지할 수 있는 능력으로 정의한다^(9,12). 미소신호안정도 해석은 주로 전력계통의 고유치(Eigenvalue) 분석을 통해 이루어지며, 전력계통의 고유치는 전력계통 모델의 선형화 과정을 통해 산출할 수 있다. 미소신호안정도 관점에서 안정성을 확보하기 위해서는 실제 전력계통에서 나타나는 고유치들이 충분한 크기의 감쇄율(Damping ratio)을 가져야한다⁽¹⁴⁾.

2.2.1 선형화 과정

전력계통은 발전기 및 다양한 설비의 동적 특성을 나타내는 미분방정식과 계통 네트워크 특성을 표현하는 대수방정식으로 표현되며, 간략히 아래 식과 같이 표현될 수 있다.

where,

$\underline x$ : Dynamic state vectors

$\underline y$ : Algebraic state vectors

$\underline f$ : Set of differential equations

$\underline g$ : Set of algebraic equations

미소신호안정도 측면의 해석을 위해 전력계통의 동작점($x_{0}$, $y_{0}$)에서 작은 변화가 있다고 가정하면 미소변화를 포함한 계통의 동적 및 정적 변수들은 다음과 같이 표현된다.

이에 따른 식(5)의 계통 방정식은 아래와 같다.

식(7)은 테일러급수 전개를 통해 아래와 같이 변환된다.

평형상태인 동작점에서 $\underline f(\underline x_{0},\:\underline y_{0})=\underline g(\underline x_{0},\:\underline y_{0})=\underline 0$ 이며, 미소한 변화에 따른 고차항(Higher-order) 성분들을 무시하면 위 식들은 아래와 같이 간략화 된다.

where,

$A=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}&\cdots &\dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\\\cdots &\cdots &\cdots \\\dfrac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}}&\cdots &\dfrac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}\end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}}&\cdots &\dfrac{\partial f_{1}}{\partial y_{r}}\\\cdots &\cdots &\cdots \\\dfrac{\partial f_{n}}{\partial y_{1}}&\cdots &\dfrac{\partial f_{n}}{\partial y_{r}}\end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial g_{1}}{\partial x_{1}}&\cdots &\dfrac{\partial g_{1}}{\partial x_{n}}\\\cdots &\cdots &\cdots \\\dfrac{\partial g_{m}}{\partial x_{1}}&\cdots &\dfrac{\partial g_{m}}{\partial x_{n}}\end{bmatrix}$ $D=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial g_{1}}{\partial y_{1}}&\cdots &\dfrac{\partial g_{1}}{\partial y_{r}}\\\cdots &\cdots &\cdots \\\dfrac{\partial g_{m}}{\partial y_{1}}&\cdots &\dfrac{\partial g_{m}}{\partial y_{r}}\end{bmatrix}$

식(10)과 식(11)에서 대수방정식 변수 $\underline\triangle y$항을 소거하면 아래 식(12)과 같으며 계통의 상태행렬($A_{sys}$)을 도출할 수 있다.

미소신호안정도는 계통의 상태행렬을 통해 산출한 고유치로 해석한다. 고유치를 구하는 방법은 기본적인 QR 방법을 비롯해 발전된 다양한 방법들이 있다⁽²¹⁾. 미소신호안정도를 통한 시스템의 안정도는 고유치의 실수부의 크기 혹은 감쇄율을 평가한다. 미국의 PJM(Pennsylvania-New Jersey-Maryland Interconnection)과 ERCOT(Electricity Reliability Council of Texas)은 3% 수준, Entergy는 5% 수준의 감쇄율을 임계값으로 정하여 전력계통을 운영하고 있다⁽²²⁾.

2.2.3 미소신호안정도와 관성계수와의 관계

where,

$\lambda_{i}$ : i번 째 고유치

$H_{j}$ : j번 째 발전기의 관성계수

$A$ : 전력계통의 상태행렬

$\psi_{i}$ : i번 째 우고유벡터

$\phi_{i}$ : i번 째 좌고유벡터

고유치는 전력계통의 선형화로 나타나는 상태행렬을 통해 얻어지므로 발전기 파라미터들과 연관성을 가진다. 발전기 관성계수와 고유치의 관계는 위의 식(13)의 고유치 민감도를 통해 파악할 수 있다. 실제 전력계통은 많은 발전기들이 유기적으로 연결되어 하나의 고유치에 많은 발전기가 참여한다. 따라서 고유치 민감도 분석을 통해, 고유치에 대한 각 발전기 관성계수의 영향을 파악할 수 있다⁽²³⁾.

3.1 과도안정도 관점의 해석

발전기의 관성계수가 감소함에 따라 CCT는 점차 감소하며 이는 과도안정도의 저하를 의미한다. 관성계수 감소에 따른 과도안정도 관점의 영향성은 국내 전력계통의 14개소에 3상 지락사고를 발생시킨 후 관성계수 감소에 따른 CCT의 변화를 시뮬레이션을 통해 분석하였다. 100%의 관성계수 케이스에서 확인된 CCT에 대비하여 70% 수준의 CCT를 보이는 관성계수를 선형 보간법을 통하여 파악하였으며, 이를 과도안정도 관점에서의 임계관성계수로 평가하였다. CCT 분석을 위한 과도안정도 시뮬레이션은 상용 시뮬레이터인 PowerWorld를 활용하였다⁽²⁴⁾.

A. 경부하 케이스(Light Load Case)

국내 전력계통의 14개소에서 발생시킨 3상 지락사고 상황에서 분석된 CCT를 아래 표 2에 나타내었다. 발전기의 관성계수가 75/50/25%로 감소됨에 따라 평균 CCT는 84.33/72.33/52% 수준으로 감소하였다. 100%의 관성계수를 보유한 전력계통의 평균 CCT에 대비하여 CCT를 70% 수준으로 감소시키는 관성계수의 비율을 파악하기 위해 아래의 그림 4와 같이 선형 보간법을 적용하여 그래프로 나타내었다. 분석한 결과, 과도안정도 측면에서 경부하시 임계관성계수는 약 47.14%의 비율로 파악되었다.

B. 최대부하 케이스(Peak load case)

발전기 관성계수를 100%부터 25%로 단계적으로 감소시키며 각 상정사고에서 측정한 CCT를 아래 표 3에 나타내었다. 관성계수가 100%에서부터 75/50/25%로 감소하면 평균 CCT는 87.58/72.98/54.04% 수준으로 감소하는 것을 확인할 수 있었다. 선형 보간법을 통한 평균 CCT의 변화는 그림 5와 같으며, 평균 CCT를 70% 수준으로 감소시키는 관성계수는 약 46.06%의 비율로 파악되었다.

3.2 미소신호안정도 관점의 해석

관성계수 변화에 따른 미소신호안정도 관점에서의 동적 취약성은 고유치의 감쇄율의 변화를 통해 분석되었다. 먼저 고유치 민감도 분석을 통해 각 발전기 관성계수의 감소가 고유치를 긍정적 또는 부정적인 방향으로 변화시킬 수 있는 것을 확인한다. 또한 관성계수 감소에 따라 발생되는 3% 미만의 감쇄율을 나타내는 고유치를 분석의 대상으로 선정하여, 각 베이스케이스별로 관성계수의 감소에 따라 대상 고유치들을 추적하여 감쇄율의 변화를 파악한다. 임계관성계수에 대한 평가는 미소신호안정도 관점에서의 동적안정도 한계를 3% 감쇄율 기준으로 고려하여 진행되었다. 국내 전력계통에 대한 미소신호안정도 분석은 Powertech사의 SSAT를 사용하였다⁽²⁵⁾.

국내 전력계통에서 관성계수 비율 변화에 따라 부족한 감쇄율을 보이는 고유치의 수를 아래의 표 4와 5에 나타내었다. 최대부하에서 관성계수가 75%에서 50% 수준으로 감소할 때 감쇄율이 3% 미만인 고유치가 나타나며, 경부하에서 관성계수가 50%에서 25%로 감소하면 3% 미만의 부족한 감쇄율을 가지는 고유치가 새롭게 나타난다. 따라서 해당 고유치들은 최대부하에서 50~75%, 경부하에서 25~50% 수준의 관성계수에서 미소신호안정도 관점의 동적안정도 한계량인 3% 수준의 감쇄율을 보일 것이며, 이를 통해 임계관성계수를 평가할 수 있다. 최대부하의 50% 수준 관성계수 케이스에서 3%미만의 감쇄율을 가지는 2개의 고유치와 경부하의 25% 수준 관성계수 케이스에서 3% 미만의 감쇄율을 보이는 9개의 고유치를 분석의 대상으로 선정하여 관성계수의 변화에 따른 고유치의 변화여부를 분석한다. 분석의 대상이 되는 고유치의 정보는 표 6과 7에 나타난다.

3.2.1 관성계수에 대한 고유치 민감도 분석

관성계수에 대한 고유치 민감도 분석은 SSAT의 계산 옵션 중 Sensitivity analysis를 이용하였다. 이 옵션에서는 관성계수를 민감도 파라미터로 하여 그 크기가 0.5% 증가하였을 때 변화하는 고유치를 통해 고유치 민감도를 나타낸다⁽²¹⁾. 즉, 시뮬레이션의 결과로 나타난 음수의 실수부 민감도는 관성계수 감소에 따른 고유치의 부정적인 변화를 의미한다. 국내 전력계통 내 각 발전기 관성계수 변화가 고유치에 주는 영향을 파악하기 위해, 위의 표 7에서 선정한 고유치들 중 Mode 9의 민감도 분석을 전체 발전기 관성계수에 대해 시행하였다. 해당 고유치에 대한 발전기 관성계수의 민감도는 표 8과 9에서 나타나며, 관성계수의 감소에 따라 고유치에 긍정적인 영향을 주는 발전기와 부정적인 영향을 주는 발전기가 모두 존재하는 것을 확인할 수 있다.

3.2.2 관성계수 변화에 따른 고유치 분석

표 6과 7에서 제시된 최대부하 및 50% 관성계수 케이스와 경부하 및 25% 관성계수 케이스에서 3% 미만의 감쇄율을 보인 고유치들의 변화를 각각 100/75/25% 및 100/75/50% 수준의 관성계수 케이스에서 추적하여 임계관성계수를 평가한다. 고유치의 추적은 각 관성계수 케이스에서 고유치의 참여율(Participation factor)과 모드형상(Mode shape) 정보의 비교를 통해 시행하였다.

A. 경부하 케이스(Light Load Case)

경부하 및 25% 수준의 관성계수 케이스에서 분석대상으로 선정된 고유치들의 변화를 50/75/100% 수준의 관성계수 케이스에서 파악하였다. 표 10의 시뮬레이션을 통한 분석 결과에서 해당하는 모든 고유치들이 관성계수 감소에 따라 부정적인 방향으로 변화하는 것을 확인할 수 있었다. 선형 보간법을 통한 관성계수 변화에 따른 감쇄율의 변화는 그림 6에 보이며, Mode 2가 가장 먼저 3%의 감쇄율에 도달하여 경부하시 임계관성계수는 45.65% 수준으로 파악되었다.

B. 최대부하 케이스(Peak Load Case)

최대부하 및 50% 수준의 관성계수 케이스에서 선정된 2개의 고유치를 25/75%/100% 수준의 관성계수 케이스로 추적하여 표 11에 나타내었다. 고유치를 분석한 결과, 관성계수의 감소가 선정된 두 고유치의 감쇄율을 감소시키는 것을 파악할 수 있었다. 선형 보간법을 통한 관성계수의 변화에 따른 감쇄율의 변화는 그림 7에 보이고 있으며, Mode 2가 임계관성계수 결정의 기준인 3% 감쇄율에 55.07% 수준의 관성계수에서 가장 먼저 도달한다.