1. 서 론

최근 많은 제어 시스템이 샘플데이터 제어 이론 ⁽¹⁾에 근거하여 설계되고 있다. 샘플데이터 제어 이론은 연속시간 시스템을 디지털 컴퓨터에 의해 제어하기 위해 사용되는 이론이다. 기존의 연속시간 혹은 이산시간 제어 이론과는 달리 샘플데이터 제어 이론은 연속시간과 이산시간 상태 변수가 혼재되어 있는 동역학 모델을 다루기 때문에 기존과는 다른 접근을 요구한다.

한편, 비선형 동역학 시스템을 선형 부분 시스템의 퍼지합으로 표현하는 타카기-수게노 (Takagi-Sugeno, T-S) 퍼지 모델 ⁽²⁾에 대한 샘플데이터 제어 이론 역시 활발히 연구되어 오고 있다 ^(5-14). T-S 퍼지 시스템의 샘플데이터 제어 이론은 크게 입력 지연 방법 ^(3-7)과 완전 이산화 방법 ^(8,9)으로 나뉘어 연구되고 있다. 입력 지연 방법은 이산시간 상태 변수를 등가의 시간 지연된 상태 변수로 변환하고 Lyapunov-Krasovskii functional (LKF)을 이용하여 이에 대한 안정도를 분석한다. 최근에는 시간 종속 LKF를 사용하여 시변 샘플링 주기에 대응하는 안정도 분석 이론이 연구되었다 ⁽⁴⁾. 또한 ⁽⁷⁾에서는 제어 규칙에 지수 함수를 포함하여 지수 안정도의 충분조건을 수치적으로 완화하는 연구도 수행되어 오고 있다. 반면에, 이산화 접근법은 전체 제어 시스템을 등가의 이산화 모델로 변환하고, 이산 Lyapunov 함수를 기반으로 이에 대한 안정도 분석을 수행한다. ⁽⁹⁾에서는 완전 이산화 접근법을 기반으로 샘플데이터 퍼지 관측기를 설계하는 연구가 수행되었다.

일반적으로 제어기는 상태 변수를 되먹임하여 시스템을 안정화하며, 이러한 제어 방법을 상태 피드백 제어라고 한다. T-S 퍼지 모델의 안정화에도 parallel-distributed- compensation (PDC) 기법 ⁽¹²⁾을 기반으로 한 상태 피드백 제어가 널리 사용되고 있다. PDC 제어 기법을 사용하기 위해서는 시스템의 상태 변수 및 전제 변수를 정확하게 알고 있어야 하지만, 일반적으로 비용의 절감이나 측정 불가능 등의 이유로 인해 모든 상태 변수와 전제 변수를 정확하게 측정하는 것은 불가능하다. 이러한 문제를 해결하고자 상태 추정 연구가 활발히 진행되어 오고 있다. T-S 퍼지 시스템의 상태 추정에는 퍼지 필터 ⁽¹⁰⁾나 퍼지 관측기 ⁽¹¹⁾가 일반적으로 사용된다. 퍼지 필터는 일반적으로 점근 안정한 시스템의 상태 추정에 사용되나, 최근에는 진동하는 시스템에 관한 적용 연구도 수행되었다.

퍼지 관측기의 설계는 관측기 시스템과 추정 대상 시스템의 상태 벡터의 오차 벡터에 대한 오차 동역학을 수립하고, 이를 점근 안정화하는 관측기 이득 행렬을 찾음으로써 이루어진다. 이때 퍼지 제어기의 제어 이득과 관측기의 이득은 서로 분리되어 동시에 설계할 수 있으므로, 이를 동시에 설계 하는 관측기 기반 제어기에 대한 연구가 수행되었다 ⁽¹²⁾. 한편, 상태 추정 만을 위한 퍼지 관측기 연구도 활발히 수행되어 오고 있으나, 기존 연구 대부분은 시스템의 모델을 정확히 알고 있을 때를 가정하여 연구가 진행되었고, ⁽¹³⁾에서는 퍼지 관측기의 하드웨어 구현 가능성을 검증하는 연구가 수행되었다. 그러나 앞선 연구는 대부분 퍼지 규칙의 전제 변수가 측정 가능하다는 가정하에 연구되었다는 단점을 가진다. 최근 ⁽¹⁴⁾에서 전제 변수를 측정할 수 없는 모델 불확실성을 포함하는 시스템의 상태 추정을 위한 샘플데이터 관측기 설계 연구가 수행되었다. 이를 위해 관측기가 시스템과 다른 전제부를 가지며, 그로 인해 시스템과 관측기의 소속 함수가 불일치되는 상황을 가정하여 연구하였다. 그러나 이런 불일치 문제를 해결하기 위해, ⁽¹⁵⁾에서 연구된 소속 함수의 관계를 이용한 slack matrix 조건을 추가함으로써 안정화 조건이 많은 수의 선형 행렬 부등식을 포함하는 단점을 가진다. 이것은 여러 논문에서도 나타나 있다 ^(18-24)

이러한 분석에 착안하여, 본 논문에서는 모델 불확실성을 갖는 비선형 시스템의 상태를 추정하기 위한 샘플데이터 퍼지 관측기 설계 기법을 제안한다. 퍼지 시스템의 전제부에는 측정할 수 없는 전제 변수가 존재하는 상황을 가정한다. 이러한 측정할 수 없는 전제 변수를 다루기 위해 본 논문에서 관측기는 시스템과 IF-THEN 규칙의 전제 부분을 공유하지 않으며, 관측기와 시스템 간의 오차 동역학을 T-S 퍼지 모델로 유도한다. 측정 불가능한 전제 변수, 모델 불확실성, 시스템 외란이 상태 추정에 미치는 영향을 최소화하기 위해 $H_{\infty} $ 성능 기준을 이용한다. 또한, 안정도 조건을 수치적으로 완화하기 위해 퍼지 Lyapunov 함수 ⁽¹⁶⁾를 기반으로, 오차 동역학의 점근 안정도와 $H_{\infty} $ 조건을 만족하도록 하는 선형 행렬 부등식 형태의 충분조건을 유도한다. 마지막으로, 시뮬레이션 예제를 통해 제안된 방법의 우수성을 검증한다.

표기법: 임의의 행렬 $X$에 대해 ${sym}\{X\}=X+X^{T}$이며, $col\left\{c_{1,\:}c_{2,\:}\cdots ,\: c_{n}\right\}$은 $c_{1}$에서 $c_{n}$을 원소로 갖는 열벡터, $diag\left\{d_{1,\:}\right.$$\left. d_{2,\:}\cdots ,\: d_{n}\right\}$은 $d_{1}$에서 $d_{n}$을 원소로 갖는 대각 행렬을 의미한다.

2. 문제 제기

본 논문에서는 다음의 식으로 표현되는 T-S 퍼지 시스템의 상태 추정을 다룬다.

여기서 $r\in R_{>0}$은 퍼지 규칙의 수, $x(t)\in R^{n_{X}}$은 시스템의 상태 변수, $\varpi(t)\in R^{n_{W}}$는 시스템 외란, $z(t)\in R^{n_{Z}}$는 시스템의 전제 변수, $y(t)\in R^{n_{Y}}$는 시스템의 출력이고, $A_{i}\in R^{n_{X}\times n_{X}}$와 $B_{i}\in R^{n_{X}\times n_{W}}$, $C\in R^{n_{Y}\times n_{X}}$는 알고 있는 시스템 행렬이며, $\Delta A_{i}\in R^{n_{X}\times n_{X}}$는 시스템 모델의 불확실성을 나타낸다. 마지막으로, $w_{i}(z(t))\in[0,\: 1]$은 $i$번째 규칙에 대한 소속 함수로 다음을 만족한다.

$\sum_{i=1}^{r}w_{i}(z(t))=1$, $\sum_{i=1}^{r}\dot w_{i}(z(t))=0$ 한편, (1)의 상태 변수를 추정하기 위한 샘플데이터 퍼지 관측기의 시스템 모델은 다음과 같다.

여기서 $\hat x(t)\in R^{n_{X}}$는 관측기의 상태 벡터, $\hat y(t_{k})\in R^{n_{Y}}$는 관측기의 출력, $\hat z(t)\in R^{n_{\hat Z}}$는 관측기의 전제 변수이고, $t_{k}$는 $k$번째 샘플링 시간으로 샘플링 주기 $h$와 $t_{k}= kh$의 관계를 갖는다. $L_{i}\in R^{n_{X}\times n_{Y}}$는 관측기의 이득 행렬로 결정될 값이다. 그리고, $m_{i}(\hat z(t))\in[0,\:1]$은 관측기의 소속 함수로 시스템의 소속 함수와 마찬가지로 다음의 조건을 만족한다.

$\sum_{i=1}^{r}m_{i}(\hat z(t))=1$, $\sum_{i=1}^{r}\dot m_{i}(\hat z(t))=0$

표현을 간단히 하기 위해, 임의의 스칼라 함수 $s_{i}(t)$와 행렬 $X_{i}$에 대해서 다음의 표기법을 사용한다.

이제 시스템과 관측기의 추정 오차에 대한 동역학을 유도하기 위해 $e(t):=x(t)-\hat x(t)$로 정의하면, (1)과 (2)로부터 (3)의 표기법을 사용하여 다음과 같이 오차 동역학을 유도할 수 있다.

여기서 $\overline{e}(t)= e(t)-e(t_{k})$이고, $\Delta(t)=A_{w}(t)-A_{m}(t)$$+\Delta A_{w}(t)$이다.

참고 1: 본 논문에서는 시스템 (1)과 관측기 (2)의 소속 함수 불일치를 해결하기 위해 (4)에서와 같이 두 소속 함수의 차이를 시변의 외란으로 정의했다. 따라서 기존의 방법 ⁽¹⁵⁾ 보다 적은 수의 선형 행렬 부등식으로 안정화 조건을 유도할 수 있다.

본 논문에서는 다음의 가정을 기반으로 관측기 설계 조건을 수립한다.

가정 1: 퍼지 관측기의 소속 함수의 미분은 모든 시간 $t\ge 0$에서 다음을 만족한다.

여기서 $\phi_{i}$는 양의 스칼라이다.

가정 2: 모든 $i\in\{1,\:2,\:\cdots ,\: r\}$에 대해 $(A_{i,\:}C)$은 가관측이다.

가정 3: 시스템의 상태 벡터 $x(t)$와 전제 변수 $z(t)$는 측정 불가능하며, 오직 $t= t_{k}$에서의 시스템 출력 $y(t_{k})$만이 측정 가능하다.

본 논문의 퍼지 관측기 설계 문제는 다음과 같이 정리할 수 있다.

문제 1: 주어진 퍼지 시스템 (1)의 상태 변수를 추정하기 위한 샘플데이터 퍼지 관측기 (2)을 설계하기 위해 미리 정의된 샘플링 주기 $h$에 대해서 다음 두 조건을 만족하는 관측기 이득 행렬 $L_{i}$를 결정하라.

조건 1) $\Delta(t)= 0$, $\varpi(t)=0$일 때 (4)의 평형점이 점근 안정하다.

조건 2) $e(0)=0$일 때 다음의 $H_{\infty}$ 성능을 만족한다.

여기서 $\gamma >0$은 구해지는 감쇠 계수이고, $t_{f}>0$은 종료 시간이며, $W(t)={col}\{x(t),\:\varpi(t)\}$이다.

마지막으로 제안하는 방법의 증명을 위해 사용되는 다음의 보조 정리를 소개하며 본 장을 마무리한다.

보조 정리 1 ⁽¹⁷⁾: 주어진 적절한 차원의 벡터 $\eta(t)$, $\dot e(t)$, 행렬 $N_{m}(t)$, $Q$에 대해서 다음의 부등식이 성립한다.

3. 주요 결과

본 장에서는 문제 1에 대한 설계 조건을 유도한다. 이를 위해 다음의 퍼지 LKF를 정의한다.

여기서 $P_{m}(t)=\sum_{i=1}^{r}m_{i}(\hat z(t))P_{i}$, $P_{i}\in R^{n_{X}\times n_{X}}$와 $Q\in R^{n_{X}\times n_{X}}$는 결정되어질 양부호 대칭 행렬이다.

앞선 내용을 정리하여 문제 1의 조건을 만족하는 충분조건을 다음의 정리와 같이 얻을 수 있다.

정리 1: 주어진 샘플링 주기 $h$와 양의 스칼라 $\alpha$, $\beta$, $\lambda_{B}$, $\lambda_{\Delta}$, $\phi_{i}$에 대해 다음의 선형 행렬 부등식 조건을 만족하는 대칭 행렬 $0prec P_{i}\in R^{n_{X}\times n_{X}}$, $0prec Q\in R^{n_{X}\times n_{X}}$, $X\in R^{n_{X}\times n_{X}}$, 임의의 행렬 $N_{1i}\in R^{n_{X}\times n_{X}}$, $N_{2i}\in R^{n_{X}\times n_{X}}$, $N_{3i}\in R^{n_{X}\times n_{X}}$, $M\in R^{n_{X}\times n_{X}}$, $\overline{L}_{i}\in R^{n_{X}\times n_{Y}}$이 존재하면 식(4)의 오차 동역학은 문제 1의 조건을 만족한다.

$\quad$$\quad$minimize $\gamma^{2}$

$\quad$$\quad$subject to

여기서 $i\in\{1,\:2,\:\cdots ,\: r\}$,

$\chi_{i}=\chi_{i}^{T}=\left[\chi_{i}^{ab}\right]$, $(a,\:b)\in\{1,\:2,\:3\}\times\{1,\:2,\:3\}$,

$\chi_{i}^{11}=P_{\phi}+{sym}\left\{M^{T}A_{i}-\overline{L}_{i}C\right\}+I$,

$\chi_{i}^{21}=P_{\phi}+\alpha\left\{M^{T}A_{i}-\overline{L}_{i}C\right\}+A_{i}^{T}M +N_{1i}^{T}+I$,

$\chi_{i}^{22}=P_{\phi}+{sym}\left\{\alpha M^{T}A_{i}+N_{2i}\right\}+I$,

$\chi_{i}^{31}=P_{i}+\beta\left\{M^{T}A_{i}-\overline{L}_{i}C\right\}- M$,

$\chi_{i}^{32}=P_{i}+ N_{3i}+\beta M^{T}A_{i}-\alpha M$,

$\chi_{i}^{33}= h Q -\beta\left(M+M^{T}\right)$,

$\widetilde M =\begin{bmatrix}M&\alpha M&\beta M\\M&\alpha M&\beta M\end{bmatrix}$, $\Gamma =\begin{bmatrix}-\dfrac{\gamma^{2}}{\lambda_{B}}I& 0\\0& -\dfrac{\gamma^{2}}{\lambda_{\Delta}}\end{bmatrix}$,

$N_{i}=\begin{bmatrix}N_{1i}& N_{2i}& N_{3i}\end{bmatrix}$이다. 그리고 관측기 이득 행렬은 $L_{i}=M^{-T}\overline{L}_{i}$로부터 얻게 된다.

증명: 식(8)의 퍼지 LKF의 시간 미분은 다음과 같다.

한편, 소속 함수의 조건으로부터 임의의 대칭 행렬 $X$에 대해 다음이 성립함을 알 수 있다.

식(11)에 (12)을 더하고, (5)의 조건을 적용하면, 다음을 얻는다.

여기서 $P_{\phi}=\sum_{i=1}^{r}\phi_{i}(P_{i}+ X)$이다.

한편, 임의의 행렬 $N_{m}(t)=\begin{bmatrix}N_{1m}(t)& N_{2m}(t)& N_{3m}(t)\end{bmatrix}$와 $M$, 양의 스칼라 $\alpha$, $\beta$에 대해 다음이 성립함은 자명하다.

여기서 $\overline{A}_{m}(t)= A_{m}(t)+ L_{m}(t)C$, $\eta(t)= col\left\{e(t_{k}),\:\overline{e}(t)\right .$$,\:\dot e(t)\}$이다.

식(13)에 (14)와 (15)를 더하고, (7)의 부등식을 적용하면, $\dot V(t)$에 대해 다음이 성립한다.

여기서 $e(t)= e(t_{k})+\overline{e}(t)$를 사용했다.

이제 식(6)의 $H_{\infty}$ 조건을 보장하기 위해, 다음 식을 고려하자.

식(16)과 (17)로부터 다음을 얻을 수 있다.

여기서 $\chi_{m}(t)=\chi_{m}^{T}(t)=\left[\chi_{m}^{ab}(t)\right]$, $(a,\:b)\in\{1,\:2,\:3\}\times\{1,\:2,\:3\}$,

$\chi_{m}^{11}(t)=P_{\phi}+I+{sym}\left\{M^{T}\overline{A}_{m}(t)\right\}$,

$\chi_{m}^{21}(t)=P_{\phi}+\alpha M^{T}\overline{A}_{m}(t)+A_{m}^{T}(t)M+N_{1m}^{T}(t)+I$,

$\chi_{m}^{22}(t)=P_{\phi}+{sym}\left\{\alpha M^{T}A_{m}(t)+ N_{2m}(t)\right\}$,

$\chi_{m}^{31}(t)=P_{m}(t)+\beta M^{T}\overline{A}_{m}(t)-M$,

$\chi_{m}^{32}(t)= P_{m}(t)+N_{3m}(t)+\beta M^{T}A_{m}(t)-\alpha M$,

$\chi_{m}^{33}(t)=h Q-\beta(M+M^{T})$이다.

한편, 다음이 성립함은 자명하다.

여기서 $X$와 $Y$는 임의의 행렬이고, $\sigma$는 양의 스칼라다.

식(18)의 마지막 식에 (19)의 부등식을 적용하면, 다음을 얻을 수 있다.

여기서 $\Sigma ={diag}\left\{\sigma_{1}I,\:\sigma_{2}I\right\}$이다.

이제 (20)의 결과를 (18)에 적용하면,

따라서 $\dot\upsilon(t)\le 0$를 보장하기 위해서는 다음의 조건이 만족하여야 함을 알 수 있다.

모든 시간 $t\ge 0$에서 $B_{w}^{T}(t)B_{w}(t)$와 $\Delta^{T}(t)\Delta(t)$의 최대 고윳값을 각각 $\lambda_{B}$와 $\lambda_{\Delta}$라고 하면, (23)과 (24)로부터,

를 얻을 수 있다.

이제 (22)에 Schur complement를 적용하면,

을 얻을 수 있으며, 마지막으로 $\Sigma^{-1}$에 (25)를 대입하면, $\Sigma^{-1}=\Gamma$임을 알 수 있다. 따라서 (26)으로부터 (10)의 선형 행렬 부등식을 얻을 수 있다.

이로써 정리 1의 선형 행렬 부등식을 만족하는 해를 찾을 수 있다면, $\dot\upsilon(t)\le 0$이 보장되므로 문제 1의 조건을 만족하는 샘플데이터 퍼지 관측기를 설계할 수 있음을 알 수 있다. 이것으로 증명을 마무리한다. ■

참고 2: 정리 1은 측정 불가능한 전제 변수를 갖는 불확실한 시스템의 상태 추정을 위한 선형 행렬 부등식 기반의 샘플데이터 퍼지 관측기 설계 조건을 제공한다. 정리 1에서는 소속 함수의 불일치 문제를 $H_{\infty}$ 조건을 사용하여 해결하여 기존의 방법에 비해 선형 행렬 부등식의 수를 줄일 수 있다. 또한, 퍼지 LKF를 사용하여 기존 연구보다 수치적으로 완화된 조건을 제공하며, 이를 통해 더욱 개선된 $H_{\infty}$ 성능을 얻을 수 있다.

4. 시뮬레이션 예제

본 장에서는 제안하는 방법의 타당성을 검증하기 위해 다음의 스프링 시스템에 대한 샘플데이터 퍼지 관측기를 설계한다 ⁽¹²⁾.

위의 비선형 동역학 모델을 식(1)의 T-S 퍼지 모델로 표현하면, 다음과 같다.

$\dot x(t)=\sum_{i=1}^{r}w_{i}(z(t))\left\{(A_{i}+\Delta A_{i})x(t)+B_{i}\varpi(t)\right\}$,

여기서 $r=2 $, $z(t)= x_{1}(t)$, $w_{1}(z(t))= 1-x_{1}^{2}(t)$, $w_{2}(z(t))$$= x_{1}^{2}(t)$, $A_{1}=\begin{bmatrix}0& 1\\-0.01& 0\end{bmatrix}$, $A_{2}=\begin{bmatrix}0& 1\\-0.68& 0\end{bmatrix}$, $B_{1}=\begin{bmatrix}0.1\\0\end{bmatrix}$, $B_{2}=\begin{bmatrix}0.1\\0\end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix}1& 0\end{bmatrix}$,이다.

$\Delta A$는 시스템 모델의 불확실성을 나타내는 행렬로 정확한 값을 알지 못하는 행렬이지만, 시뮬레이션을 위해 본 논문에서는 $\Delta A=\begin{bmatrix}0& 0\\0.05& 0\end{bmatrix}$으로 설정하였다.

한편, 식(2)의 퍼지 관측기의 전제 변수와 소속 함수는 다음과 같이 설정하였다.

$\hat z(t)=\hat x_{1}(t)$, $m_{1}(\hat z(t))=0.6-0.5\hat x_{1}^{2}(t)$,

$m_{2}(\hat z(t))=1$$-m_{1}(\hat z(t))$.

또한, $h=0.05$, $\varpi(t)=0.1 e^{-0.5 t}$, $x(0)= col\{0.5,\: 0.3\}$, $\hat x(0)={col}\{0,\: 0\}$, $\alpha =1$, $\beta =1$, $\lambda_{B}= 0.1$, $\lambda_{\Delta}=10$으로 설정하고 정리 1의 선형 행렬 부등식을 통해 다음을 얻을 수 있다.

$L_{1}=\begin{bmatrix}11.1673\\21.9618\end{bmatrix}$, $L_{2}=\begin{bmatrix}11.2156\\21.3962\end{bmatrix}$.

동일한 조건에서 ⁽¹⁴⁾의 정리 2를 통해 설계한 관측기 이득 행렬은 다음과 같다.

$L_{1}^{[14]}=\begin{bmatrix}9.8832\\13.1487\end{bmatrix}$, $L_{2}^{[14]}=\begin{bmatrix}9.8864\\12.5037\end{bmatrix}$.

그림 1과 2에 시스템의 상태 변수와 제안된 방법과 ⁽¹⁴⁾의 방법을 통해 추정된 상태 변수의 시간 응답을 나타내었다.

그림을 통해 제안하는 방법이 시스템의 불확실성과 소속 함수의 불일치가 있는 환경에서 기존의 방법보다 나은 상태 추정 성능을 제공하는 것을 알 수 있으며, 이는 퍼지 LKF의 사용과 $H_{\infty}$ 성능 지표를 이용해 기존의 방법을 수치적으로 완화했기 때문으로 생각할 수 있다.

5. 결 론

본 논문에서는 모델 불확실성을 갖는 비선형 시스템의 상태를 추정하기 위한 샘플 데이터 퍼지 관측기 설계 기법을 제안했다. 퍼지 시스템의 IF-THEN 규칙에는 측정할 수 없는 전제 변수가 포함되어 있다고 가정되었다. 본 논문에서 관측기는 측정할 수 없는 전제 변수를 다루기 위해 시스템과 IF-THEN 규칙의 전제 부분을 공유하지 않는 것으로 가정한다. 그 후, 관측기와 모델 불확실성을 포함한 시스템 간의 오차 동역학을 T-S 퍼지 모델로 표현했다. 일치하지 않는 전제 부분의 영향, 모델 불확실성 및 외란이 상태 추정에 미치는 영향을 최소화하기 위해 $H_{\infty} $ 성능 기준이 정의되었다. 퍼지 리아푸노프 함수를 기반으로, 상태 추정 오차 동역학이 점근 안정되고 $H_{\infty} $ 조건을 만족하는 것을 보장하는 선형 행렬 부등식 형태의 충분조건을 유도했다. 마지막으로, 시뮬레이션 예제를 통해 제안된 방법의 우수성을 검증했다.