2.1 단상 영구자석 동기전동기 모델링

단상 영구자석 동기전동기의 해석을 위해 full-bridge인버터와 고정자 전압방정식은 다음과 같다.

$v_{a}$는 고정자 전압이며, $R_{a}$는 고정자 저항, $i_{a}$는 고정자 전류, $L_{a}$는 고정자 인덕턴스, $k_{e}$는 역기전력 상수, $ⲱ_{m}$은 영구자석 동기전동기의 속도, $𝞱_{m}$은 회전자와 고정자가 이루는 각도이다⁽¹⁾.

Full-bridge 인버터를 통해서 정현파 PWM 스위칭 방법을 이용할 경우 인버터 출력전압($v_{inv}$)은 직류단 전압의 크기($v_{dc}$) 이내로 제한되며, 이를 전압제한 원으로 정의한다. 인버터 출력전압은 고정자 저항성분을 무시하였을 때 식 (2)와 같이 $L_{a}$에 걸리는 전압($v_{L}$)과 역기전력($v_{emf}$)의 합으로 표현할 수 있다.

$L_{a}$에 걸리는 전압의 실효값은 아래의 식 (3)이며, 역기전력의 실효값은 식 (4)와 같다.

$L_{a}$에 걸리는 전압과 역기전력의 값에 따라 인버터 출력전압과 역기전력의 위상차는 아래의 식 (5)와 같다.

한편, 역기전력이 속도에 따라 크기가 커지고 인버터 출력전압의 크기와 위상을 변화시키면 고정자 전류의 위상은 변화하지만 크기는 전류제한 이내의 값을 갖도록 해야 한다. 따라서 중심은 역기전력이며, 반지름은 고정자 전류가 전류제한 값일 때 $L_{a}$에 걸리는 전압의 크기로 전류제한 원을 정의할 수 있다. 즉, 전류제한 원 내의 전압에서 고정자 전류는 전류제한 값 이하로 흐르게 된다. 그러므로 인버터 가용전압이 그리는 전압제한 원과 전류제한 원에 의해 전동기에 인가할 수 있는 인버터 출력전압이 제한되며, 제한 내에서 최대 토크를 낼 수 있는 인버터 출력전압의 크기와 위상을 결정할 수 있다. 또한 고정자 전류가 역기전력과 위상이 동상일 때 $L_{a}$에 걸리는 전압은 역기전력보다 90도 앞서므로 이는 복소평면에서의 2사분면에서 최대 토크를 낼 때의 $L_{a}$에 걸리는 전압을 결정할 수 있게 된다.

본론의 능력곡선의 해석방법에 있어서는 전동기의 속도를 2개의 기준속도로 나누고, 전동기의 제정수와 전류제한 값의 크기의 관계에 따라 3개의 조건으로 나눈다. 인버터 출력전압을 인버터 가용전압까지 사용하면서 고정자 전류와 역기전력의 위상을 동상으로 하여 역률을 1로 유지할 수 있는 최대 속도를 $ⲱ_{base1}$로 정의한다. 전류제한 값보다 낮은 전류를 가지거나, 영구자석 동기기가 더 이상 운전을 할 수 없을 때의 최대 속도를 $ⲱ_{base2}$로 정의하였다.

2.2 저속($ⲱ_{base1}$이내)에서의 인버터 출력전압 해석

저속에서는 인버터 가용전압이 충분하기 때문에 고정자 전류와 역기전력의 위상이 동상으로 역률 1을 유지하도록 인버터 출력전압을 제어하면 최대의 효율을 낼 수 있다. 하지만 인버터 가용전압의 한계로 인해 역률 1을 유지할 수 있는 최대속도($ⲱ_{base1}$)가 정해지며 이는 식 (6)과 같이 표현된다.

인버터 출력전압과 역기전력 사이의 위상(𝞱)은 식 (5)에 의해 그림 1(a), 2(a), 3(a)의 빨간색 선과 같이 위상이 고정된다. 이 위상은 그림 1(a), 그림 3(a)와 같이 45도 이상일 때와 그림 2(a)와 같이 45도 미만인 경우에서, 전동기의 속도가 증가하여 고속의 영역으로 갈수록 전동기의 능력이 뚜렷이 차이나는 것을 나머지 그림을 통해 알 수 있다. 저속의 구간에서는 $L_{a}$의 임피던스가 매우 작기 때문에 고정자 전류가 전류제한 값을 가지므로, 인버터 출력전압이 전압제한 원의 내부에서 결정된다. 인버터 출력전압의 크기는 속도에 따라 비례적으로 증가하며 위상은 고정되기 때문에 역기전력과 고정자 전류의 위상이 동상으로 역률 1의 제어를 할 수 있다. 또한 고정자 전류는 일정하며 역기전력은 속도에 비례하여 증가하므로 출력파워가 선형적으로 증가하고 최대 토크는 일정하게 유지된다.

출력파워와 최대 토크는 식 (7), (8)과 같으며 α는 고정자 전류와 역기전력의 위상차로 동상이므로 0이다.

2.3 고속(𝛚base1이후)에서의 인버터 출력전압 해석

고속에서는 전압제한 원에 의해 더 이상 역률 1의 운전을 할 수 없게 된다. 따라서 최대 토크를 내기 위해서는 인버터 출력전압을 인버터 가용전압까지 사용하면서 고정자 전류를 최대로 사용할 수 있도록 해야 하며, 역기전력과의 위상차이가 작도록 제어할 필요가 있다. 인버터 출력전압의 위상이 $ⲱ_{base1}$이전까지는 고정되어 있었다면, $ⲱ_{base1}$이후부터는 전동기의 제정수와 전류제한 값에 따라 인버터 출력전압의 위상이 다르게 바뀌는 특징을 가지게 된다. 그림 1(b), 2(b), 2(c), 3(b)와 같이 저속에서 정해진 𝞱값에 따라 특징이 변하게 되며, 속도가 증가할수록 빨간색 실선을 따라 인버터 출력전압의 위상이 바뀌는 것을 볼 수 있다. 인버터 출력전압의 크기가 고정되기 때문에 인버터 출력전압의 위상은 식 (9)과 같이 정의되며, 식 (10)과 같이 결정된 위상차(𝛼)에 의해 무효전력이 생겨 최대 토크는 감소하게 된다.

그림 1(b)의 경우, 인버터 출력전압과 역기전력의 위상이 90도 이면서 고정자 전류가 전류제한 값을 가질 때의 속도까지 위상 𝞱가 90도로 점차 증가하게 되고 그 때의 속도는 식 (11)과 같다.

그림 2(b), 2(c)의 경우, 역기전력의 증가폭이 $L_{a}$보다 걸리는 전압의 증가폭보다 크기 때문에 𝞱가 45도 미만에서 결정된다. 따라서 전압제한 원과 전류제한 원이 접하는 지점이 생기지 않는 경우가 생기므로, 인버터 출력전압과 역기전력의 위상이 일치하고 고정자 전류의 위상이 90도 차이일 때의 속도를 $ⲱ_{base2}$로 정의하고 아래와 같이 구해진다.

그림 2(b), (c)는 앞서 마찬가지로 식 (9), (10)과 같이 위상이 결정되지만, 고정자 전류가 전류제한 값을 가지기 위해 그림 2(b)와 같이 인버터 출력전압과 역기전력 사이의 위상이 증가하는 것을 볼 수 있다. 이는 𝞱와 𝛼가 일치할 때까지 𝞱가 증가하게 되며, 이후 그림 2(c)와 같이 𝞱가 작아지면서 출력파워가 급격히 감소하게 된다. 최대출력파워에 대한 속도($ⲱ_{\mathrm{m}_{-} \text {inflection }}$)는 출력파워를 속도에 대해 미분을 하여 변곡점을 찾았을 때 식 (13)과 같이 얻을 수 있다.

그림 3(b)의 경우, 최대 토크를 낼 때의 $L_{a}$에 걸리는 전압과 역기전력이 같은 비율로 증가하기 때문에 전류제한 원이 항상 원점을 지나게 된다. 속도가 증가할수록 전압제한 원과 전류제한 원이 항상 접하는 지점이 생기게 되고, 이는 인버터 출력전압의 위상이 90도에 가까워지는 것으로 보여준다. 위상 𝞱와 𝛼는 식 (9), (10)과 같이 결정되고, 출력파워를 속도에 대해 극한을 취하면 식 (14)와 같이 일정한 값으로 수렴하게 된다.

이는 전동기의 제정수와 전류제한 값에 대한 조건이 정확하게 일치할 경우에만 성립하며, 그렇지 않을 경우 그림 1(b), 2(b), 2(c)와 같은 그림으로 나타나지만, $ⲱ_{base1}$과 $ⲱ_{base2}$가 높은 속도에서 결정된다.

그림 1(c))는 식 (11)에서 결정된 $ⲱ_{base2}$이후의 속도에서 복소평면을 나타내며, 인버터 출력전압을 전류제한 값에 맞추게 되면 역기전력과의 위상이 180도 차이나는 전압성분이 생기기 때문에 인버터 출력전압이 빨간색 점에서 고정된다. 따라서 최대 토크를 낼 때의 $L_{a}$에 걸리는 전압이 전류제한 원 내부에서 결정되므로, 고정자 전류를 전류제한 값으로 사용하지 않고 그 이내의 값을 가지게 하여 최대 토크를 낼 수 있게 된다.

따라서 역기전력과 고정자 전류의 위상 차이는 식 (15)와 같이 인버터 출력전압과 역기전력의 식으로 표현되며, 고정자 전류의 실효값 크기는 식 (16)으로 표현된다.

출력파워는 식 (17)와 같이 일정한 값을 가지게 되고, 최대 토크는 속도가 증가할수록 점점 떨어지게 된다.

식 (12)에서 결정된 $ⲱ_{base2}$이후부터는 그림 2(d)와 같이 전류제한 원이 전압제한 원을 지나지 않게 되면서 토크를 낼 수 없게 되며, 출력도 0이 된다. 따라서 해당 조건에서는 속도가 $ⲱ_{base2}$일 때 전동기의 최대 속도가 되는 지점이 된다.

2.4 단상 영구자석 동기전동기 능력곡선 비교

제안한 해석방법의 타당성을 위해 표 1과 같이 직류단 전원과 전동기의 제정수를 지정하였다. 전류제한 값은 그림 4의 그래프 왼쪽 상단에 표시하였으며, 전류제한 값의 변화에 따른 능력곡선의 변화를 그림 4(a), (b), (c)에 나타내었다.

그림 4(a), (b), (c)는 그림 2, 3, 4에 대해서 속도(N)에 따른 각각의 능력곡선결과이다. $ⲱ_{base1}$은 식(6)에 의해 19,807 [r/min], 26,530 [r/min], 21,877 [r/min]이며 $ⲱ_{base1}$이전에는 역률을 1로 유지하면서 일정 토크를 낼 수 있게 된다. $ⲱ_{base1}$이후부터는 𝞱가 바뀌면서 𝛼값이 커지고 역률 1을 유지할 수 없게 된다. 그림 4(a)에서 $ⲱ_{base2}$는 46,643 [r/min]이며, $ⲱ_{base2}$이후의 속도에서는 일정 출력파워를 내면서 고정자 전류의 크기가 감소하는 것을 볼 수 있다. 그림 4(b)에서 $ⲱ_{\mathrm{m}_{-} \text {inflection }}$과 $ⲱ_{base2}$는 각각 38,674 [r/min], 77,349 [r/min]이며, $ⲱ_{base2}$이후의 속도에서는 출력파워가 0이기 때문에 더 이상 토크를 낼 수 없게 된다. 그림 4(c)는 𝞱가 계속해서 증가하는 것을 볼 수 있으며, 인버터 출력전압의 위상변화가 그림 4(a)에서 $ⲱ_{base2}$이전과 비슷한 결과를 나타내게 된다.

2.5 컴퓨터 모의실험

본 논문에서 제안한 능력곡선의 검증을 위해 8극의 단상 영구자석 동기전동기로 가정하여 컴퓨터 모의실험을 수행하였다. 모의실험 조건에서는 역기전력상수와 고정자 인덕턴스를 고정시키고, 전류제한 값만 다르게 설정하였다. 그 결과 그림 5와 같이 특정 속도에서 나오는 역기전력과 고정자 전류, 순시 출력파워, 순시 토크의 파형을 나타내었다.

그림 5는 각각의 조건에 대하여 기준 속도에 따라 특정 속도에서의 일정 주기에 대해서 출력 파형을 나타내었다. 표 2에서의 정수를 가지는 전동기의 경우, 무한속도에서 운전을 하기 위해서는 그림 1 또는 그림 3과 같이 𝞱가 45도 이상이 되어야 하며 이때 𝞱가 45도가 되기 위한 전류제한 값은 30.7A이다. 따라서 그림 5와 같이 전류제한 값을 20A, 30A, 40A로 변화시켰다. 제안한 능력곡선 해석방법에서 전류제한 값이 20A인 경우, 계산식에 의하면 $ⲱ_{base1}$, $ⲱ_{\mathrm{m}_{-} \text {inflection }}$, $ⲱ_{base2}$는 각각 628 [r/min], 989 [r/min], 2,152 [r/min]으로 그림 5(a)와 같이 500 [r/min], 1000 [r/min], 1500 [r/min], 2000 [r/min]에서 파형을 나타내었다. 전류제한 값이 30A에서는 계산식에 의해 나온 기준속도 $ⲱ_{base1}$이 536 [r/min], $ⲱ_{\mathrm{m}_{-} \text {inflection }}$은 3,544 [r/min], $ⲱ_{base2}$는 33,119 [r/min]으로 다른 조건에 비해 $ⲱ_{base2}$가 매우 크기 때문에 그림 5(b)와 같이 500 [r/min], 2000 [r/min]에서 파형을 나타내었다. 전류제한 값이 40A에서는 $ⲱ_{base1}$, $ⲱ_{base2}$가 457 [r/min], 898 [r/min]으로 계산식에 의해 결정되어 그림 5(c)와 같이 400 [r/min], 800 [r/min], 2000 [r/min]에서 파형을 나타내었다. $ⲱ_{base1}$ 이전의 구간에서는 역기전력과 고정자 전류의 위상이 동상으로 되면서 역률 1의 제어가 가능하며, 이후의 속도에서는 위상 차이가 생겨 평균 토크가 감소하는 것을 볼 수 있다. 또한 $ⲱ_{base2}$이후에서는 전류제한이 20A인 그림 5(a)에서는 평균 토크가 거의 0에 가까우며, 전류제한이 40A인 그림 5(c)에서는 고정자 전류가 감소하는 것을 볼 수 있다.