표적 추적필터 설계에 앞서 좌표계 선정의 적절성이 의사측정잡음의 통계적 특성 분석 결과와 추적 알고리듬 구현에 어떤 영향을 끼치는지 확인해보자.
레이다 출력에는 수신단 열잡음(thermal noise) 등 다양한 요인에 의해 발생하는 부가(additive) 측정잡음이 포함되므로, 가용한 상대거리
및 방향코사인 측정치를 식 (5)와 같이 기술할 수 있다.
2.2.1 동체좌표계 및 관성좌표계 의사측정치
상대거리, 방향코사인 측정치 $\widetilde r_{k}$, $\widetilde u_{k}$, $\widetilde v_{k}$를 이용하여 동체좌표계
의사측정치 $\widetilde x^{B}_{k}$, $\widetilde y^{B}_{k}$, $\widetilde z^{B}_{k}$를 산출하면
식 (7)과 같다.
여기서
$\boldsymbol{p}_{k}^{B} \equiv r_{k}\left[w_{k} u_{k} v_{k}\right]^{T}, \quad \boldsymbol{v}_{k}^{B}=\left[\delta
x_{k}^{B} \delta y_{k}^{B} \delta z_{k}^{B}\right]^{T}, \quad w_{k} \equiv \sqrt{1-u_{k}^{2}-v_{k}^{2}}$
만일, 상대거리 및 방향코사인 측정잡음이 참값에 비해 작은 값을 갖는다면 2차 테일러 근사를 통해 식 (7)의 동체좌표계 의사측정잡음 $\boldsymbol v_{k}^{B}$을 다음과 같이 근사할 수 있다 (10).
식 (6)의 상대거리 및 방향코사인 측정잡음이 서로 비상관되어 있는 것으로 가정했으므로, 동체좌표계 측정잡음 $\boldsymbol v^{B}$의 평균과 분산은
각각 식 (9) 및 식 (10)과 같이 계산된다.
여기서
$\begin{align*}
\left. R_{xx}\approx\left(\dfrac{d\widetilde x^{B}}{dr}\right)^{2}\sigma_{r}^{2}+\left(\dfrac{d\widetilde
x^{B}}{du}\right)^{2}\sigma_{u}^{2}+\left(\dfrac{d\widetilde x^{B}}{dv}\right)^{2}\sigma_{v}^{2}
+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{d^{2}\widetilde x^{B}}{drdu}\sigma_{u}^{4}+\dfrac{d^{2}\widetilde
x^{B}}{drdv}\sigma_{v}^{4}\right)\\
+ 3(\mu_{x}^{B})^{2}
+\left(\dfrac{d^{2}\widetilde x^{B}}{drdu}\right)^{2}\sigma_{r}^{2}\sigma_{u}^{2}+\left(\dfrac{d^{2}\widetilde
x^{B}}{drdv}\right)^{2}\sigma_{r}^{2}\sigma_{v}^{2}
+\left(\dfrac{d^{2}\widetilde x^{B}}{dudv}\right)^{2}\sigma_{u}^{2}\sigma_{v}^{2}
\right |_{\widetilde r_{k,\:}\widetilde u_{k,\:}\widetilde v_{k}}
\end{align*}$
$R_{yy}\approx\widetilde r^{2}\sigma_{u}^{2}+\widetilde u^{2}\sigma_{r}^{2}+\sigma_{r}^{2}\sigma_{u}^{2}$,
$R_{zz}\approx\widetilde r^{2}\sigma_{v}^{2}+\widetilde v^{2}\sigma_{r}^{2}+\sigma_{r}^{2}\sigma_{v}^{2}$,
$\left. R_{xy}\approx\dfrac{d\widetilde x^{B}}{du}\widetilde r\sigma_{u}^{2}+\dfrac{d\widetilde
x^{B}}{dr}\widetilde u\sigma_{r}^{2}
\right |_{\widetilde r_{k,\:}\widetilde u_{k,\:}\widetilde v_{k}}$,
$\left. R_{xz}\approx\dfrac{d\widetilde x^{B}}{dv}\widetilde r\sigma_{v}^{2}+\dfrac{d\widetilde
x^{B}}{dr}\widetilde v\sigma_{r}^{2}
\right |_{\widetilde r_{k,\:}\widetilde u_{k,\:}\widetilde v_{k}}$,
$R_{yz}\approx\widetilde u\widetilde v\sigma_{r}^{2}$.
전통적인 변환측정치 필터링 기법을 적용하기 위해서는 식 (7)의 동체좌표계 의사측정치를 관성좌표계로 변환해야 한다. 식 (1)에서 정의한 관성좌표계-동체좌표계 간 좌표변환 관계를 이용하여 동체좌표계 의사측정치 (7)을 다시 쓰면 다음 식을 얻는다.
여기서 관성좌표계 의사측정잡음은 $\boldsymbol{v}_{k}^{I} \equiv\left[\delta x_{k}^{I} \delta y_{k}^{I}
\delta z_{k}^{I}\right]^{T}=C_{B}^{l} v_{k}^{B}$이며, 관성좌표계와 동체좌표계 간 평행이동을 나타내는 전투기의
관성좌표계 위치벡터는 $\boldsymbol{p}_{f, k}^{I} \equiv\left[x_{f, k}^{I} y_{f, k}^{I} z_{f,
k}^{I}\right]^{T}$ 이다.
동체좌표계 의사측정잡음 $\boldsymbol v_{k}^{B}$와 관성좌표계 의사측정잡음 $\boldsymbol v^{I}_{k}$사이의 관계가
식 (11)에 기술된 바와 같이 좌표변환행렬 $C_{B}^{I}$로 표현되므로, 관성좌표계 의사측정잡음의 통계적 특성은 다음과 같이 구해진다.
잘 알려져 있듯이 식 (11)의 의사측정치를 사용하는 경우 선형 추적필터의 설계가 가능하지만, 의사측정잡음의 상관성으로 인해 편향오차가 유발될 수 있다. 이러한 현상은 전투기
자세변화에 따른 좌표변환행렬 $C_{I}^{B}$가 개입되는 경우 더욱 복잡한 양상을 띠게 된다. 따라서, 식 (12)의 근사 정확도가 의사측정치 기반 표적 추적필터의 편향오차 보상항 설계와 성능향상에 결정적 영향을 끼친다. 불행하게도 식 (12)를 정확히 계산하기 위해서는 적어도 레이다 측정잡음의 4차 모멘트가 필요하다. 설사 이들 정보가 사전에 정확히 알려져 있다 하더라도, 의사측정잡음
오차공분산 행렬 $R^{I}$의 비대각(off-diagonal) 성분에 의해 $XYZ$ 각 축방향 필터의 결합특성(coupling)이 초래되는 상황을
피할 수 없다. 즉, 기존 측정치 변환기법을 사용하는 경우 3차원 표적추적을 위해서는 9차 시스템 모델을 직접 활용하여야 하며 이는 표적 필터의 차수
및 계산량 증가로 이어진다.
이상의 관찰결과로부터 CM 기법을 적용하여 전투기 탑재 AESA 레이다 추적 필터를 설계하는 경우 고려되어야 하는 주요 기술적 이슈를 다음과 같이
요약할 수 있다.
첫째, 의사측정치의 통계적 특성을 가급적 레이다 측정잡음의 저차 모멘트를 활용하여 정확히 근사하여 보상항에 대한 추적필터 성능 민감도를 낮춰야 한다.
둘째, 실시간 구현을 위해 $XYZ$축 이득의 결합특성을 완화하여 분리형 의사측정치 필터를 설계할 필요가 있다.
2.2.2 예측시선좌표계 의사측정치
앞서 언급한 기술적 이슈들을 해결하기 위해 예측시선좌표계를 도입하는 방안을 생각해보자. 예측시선좌표계 의사측정치를 정의하기 위한 기본 가정은 다음과
같다.
A1) 공대공 교전 상황에서 방향코사인은 비교적 작은 값을 가지며, AESA 레이다의 방향코사인 측정잡음 표준편차는 통상 수~수십 $mrad$ 수준이다.
A2) 표적 상대위치의 사전추정 오차는 영평균이다.
A3) AESA 레이다의 빔운용 특성을 감안할 때, 표적 상대위치 사전 추정치로 계산된 시선각 예측오차의 크기는 빔폭(수°) 이내로 제한된다.
가정 A1로부터 방향코사인 $u$,$v$의 크기는 1보다 충분히 작은 값을 가지므로, 이들 값이 측정잡음 분산과 더불어 3차 이상의 고차항을 구성하는
경우 0으로 간주해도 무방하다. 즉, 방향코사인 측정치 (5)는 다음과 같이 근사된다.
여기서
\begin{align*}
\delta w
&\approx -\dfrac{u}{w}\delta u-\dfrac{v}{w}\delta v
-\dfrac{1}{2}\left(
\dfrac{w^{2}+u^{2}}{w^{3}}\delta u^{2}
+\dfrac{w^{2}+v^{2}}{w^{3}}\delta v^{2}\right)
-\dfrac{uv}{w^{3}}\delta u\delta v \\
&\approx -\dfrac{1}{w}\left\{u\delta u + v\delta v
+\dfrac{1}{2}\left(
\delta u^{2}
+\delta v^{2}\right)\right\}
\end{align*}
일반적으로 표적 상대위치의 사전추정오차 $(\Delta\overline{x}^{B},\:\Delta\overline{y}^{B},\:\Delta\overline{z}^{B})$는
상대거리 $r$에 비해 매우 작으므로 다음 식이 만족된다.
여기서
$\boldsymbol e\equiv\left[\Delta w \Delta u \Delta v\right]^{T}
=\dfrac{1}{r}\left[\Delta\overline{x}^{B} \Delta\overline{y}^{B} \Delta\overline{z}^{B}\right]^{T}$,
$H_{w}=\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}& -wu & -wv\end{bmatrix}$,
$H_{u}=\begin{bmatrix}-wu & w^{2}+v^{2}& -uv\end{bmatrix}$,
$H_{v}=\begin{bmatrix}-wv & -uv & w^{2}+u^{2}\end{bmatrix}$.
식 (3)과 식 (4)의 좌표변환행렬 $C_{L}^{P}= C_{B}^{P}C_{L}^{B}$을 이용하면 예측시선좌표계 표적 상대위치 벡터를 상대거리와 방향코사인의 함수로
표현할 수 있다.
식 (15)에서 $\boldsymbol{p}^{P} \equiv\left[x^{P} y^{P} z^{P}\right]^{T}$와 $\boldsymbol p^{L}\equiv\left[\begin{matrix}r
&0 &0\end{matrix}\right]^{T}$는 각각 예측시선좌표계와 시선좌표계 표적상대위치를 의미한다.
이제, 식 (15)에서 상대거리 및 방향코사인 참값 $r,\:u,\:v$를 레이다 측정치 $\widetilde r ,\:\widetilde u ,\:\widetilde
v$로 대체하면 예측시선좌표계 의사측정치 $\boldsymbol y^{P}$를 정의할 수 있다.
식 (13)과 식 (14)를 식 (16)의 예측시선좌표계 의사측정치 $\boldsymbol y^{P}$에 대입하면 의사측정잡음 $\boldsymbol v^{P}$를 얻는다.
여기서
$\boldsymbol v_{1}^{P}= r \boldsymbol e^{P}$, $\boldsymbol v_{2}^{P}=\delta r\dfrac{1}{r}\boldsymbol
p^{P}$, $\boldsymbol v_{3}^{P}=\delta r \boldsymbol e^{P}$, $\boldsymbol e^{P}=(C_{B}^{L}+\Delta
C_{B}^{P})\begin{bmatrix}\delta w\\\delta u \\\delta v\end{bmatrix}$,
$\Delta C_{B}^{P}
=\begin{bmatrix}
H_{w}\boldsymbol e & H_{u}\boldsymbol e &H_{v}\boldsymbol e \\
-\dfrac{1}{\eta}\left(H_{u}+\dfrac{uv}{\eta^{2}}H_{v}\right)\boldsymbol e &\dfrac{1}{\eta}\left(H_{w}+\dfrac{wv}{\eta^{2}}H_{v}\right)\boldsymbol
e & 0\\
-\dfrac{1}{\eta}\left(v H_{w}+\dfrac{w}{\eta^{2}}H_{v}\right)\boldsymbol e & -\dfrac{1}{\eta}\left(v
H_{u}+\dfrac{u}{\eta^{2}}H_{v}\right)\boldsymbol e & -\dfrac{v}{\eta}H_{v}\boldsymbol
e\end{bmatrix}$
가정 A2와 식 (14)의 정의에 따라 $E\{\boldsymbol e\}= \boldsymbol 0$ 이 성립한다. 또한, AESA 레이다 측정잡음 (6)과 표적 상대위치의
사전추정치는 상호 비상관되어 있으므로 다음 식이 만족한다.
위의 결과를 이용하면 식 (17)에 정의된 $\boldsymbol v^{P}$의 통계적 특성을 근사적으로 계산할 수 있다.
여기서 $m_{w}\equiv -(\sigma_{u}^{2}+\sigma_{v}^{2})/2w$ 이다.
가정 A3에 의해 방향코사인 예측오차 $\boldsymbol e$의 크기 역시 1보다 충분히 작은 값을 가지므로 식 (13)의 유도과정과 유사한 방법으로 근사식 (21)을 얻는다.
위의 식에서 $\boldsymbol u_{x} \equiv \left[1 0 0 \right]^{T}$이다.
식 (21)을 식 (20)에 대입하면 예측시선좌표계 의사측정잡음 분산을 다시 쓸 수 있다.
이상의 결과로부터 예측시선좌표계 상에서는 식 (19)의 의사측정잡음 평균 $\boldsymbol \mu^{P}$ 및 식 (22)의 분산 $R^{P}$를 AESA 레이다 측정잡음의 1,2차 모멘트만을 이용하여 근사할 수 있다. 더욱이, 측정잡음 분산 $R^{P}$가 대각행렬
형태를 가지므로 예측시선좌표계 상에서는 의사측정치의 결합특성이 크게 완화되는 효과가 있다.
Remark 1. 잘 알려져 있듯이, 측정잡음 분산의 불확실성은 칼만필터의 안정성을 저해하지 않으며 다만 추정오차 분산에 영향을 끼칠 뿐이다 (13). 이와 달리, 오차보상항의 정확도는 표적 추정치의 편향오차(bias error)에 밀접한 관계를 갖는다. 제안된 기법의 유효성을 확인하기 위해 2차원
표적 조우상황$(v=0)$을 가정하자. 방향코사인 측정잡음 표준편차가 $\sigma_{u,\:v}=0.025[rad]$인 경우, 오차보상항의 근사정확도
$\Delta \boldsymbol \mu\equiv E\{\boldsymbol v^{P}\}- \boldsymbol \mu^{P}$는 그림 2와 같이 계산된다. CMKF1과 CMKF2는 기존 오차보상항 산출방법을, PLCCS는 제안하는 예측시선좌표계 도입 방식을 지칭한다. 가정 A3에 따라
시선각 예측오차가 $|\Delta\lambda |$≤$5^{\circ}$범위에서 변화하더라도, 오차보상항의 정확도 변화는 미미하다. 시선각이 작은
경우 제안된 기법에 의한 오차보상항 산출 정확도는 CMKF2와 거의 동일하다. 시선각이 커짐에 따라 $|\Delta \boldsymbol \mu |$가
점차 증가하는 특성을 보이지만, 그 최대 크기는 $0.1 mrad$에 불과하다. 이로 인해 유발되는 편향오차는 상대거리 $50km$에서 약 $5m$로
레이다의 거리 해상도보다 작은 무의미한 값이다. 즉, 제안된 기법은 방향코사인 측정잡음의 저차 모멘트만을 사용함에도 불구하고 실제상황에서 CMKF2와
대등한 편향오차 특성을 보일 것으로 예상된다.
그림. 2. 거리로 정규화한 편향오차 근사 정확도
Fig. 2. Normalized bebiasing error
Remark 2. 추적필터 구현에 사용된 방향코사인 표준편차 $\sigma_{u,\:v}^{f}$의 불확실성은 오차보상항 근사 정확도를 떨어뜨리는
요인 중 하나이다. $\sigma_{u,\:v}^{f}$의 불확실성이 $+-30\%$일 때 $|\Delta \boldsymbol \mu |$는 그림 3과 같다. 제안된 기법의 경우 $|\Delta\lambda |$≤$5^{\circ}$일 때, $|\Delta \boldsymbol \mu |$의 최댓값을
도시하였다. 그림 3(a)와 3(b)에서 확인할 수 있듯이 표적 시선각에 따라 $\sigma_{u,\:v}^{f}$ 불확실성이 $|\Delta \boldsymbol \mu |$에 미치는
영향이 달라지지만, 제안된 기법의 경우 기존 방법(CMKF2)에 비해 $\sigma_{u,\:v}^{f}$ 불확실성에 상대적으로 둔감한 특성을 보인다.
그림. 3. 측정잡음 불확실성에 대한 편향오차 근사 정확도
Fig. 3. Effect of the uncertain noise standard deviation on the normalized debiasing
error