1. 서 론

높은 효율과 출력 밀도, 우수한 동특성으로 인해 다양한 전동기 구동 분야에서 사용되는 영구자석 동기 전동기(PMSM)는 환경 보호 및 에너지 자원 고갈에 대한 관심이 증가함에 따라 고효율 운전이 요구된다. 영구자석 전동기의 손실 중 큰 비중을 차지하는 동손은 고정자 전류의 제곱에 비례한다. 영구자석 전동기 구동 시에는 통상 동손을 줄이기 위해 지령 토크 출력에 필요한 고정자 전류의 크기를 최소화하여 운전하는 MTPA 제어를 하고 있다⁽¹⁾.

이러한 문제들을 해결하기 위한 연구는 크게 세 가지로 분류할 수 있다. 첫째, 정확한 MTPA 제어 수행을 위해 고정자 인덕턴스의 변동을 고려하도록 전동기의 인덕턴스를 실시간으로 추정하는 방법이 연구되었다^(2)-(5). ⁽²⁾에서는 자속 추정기를 통해 추정된 쇄교 자속과 전류 모델에서 얻은 쇄교 자속과의 차이를 이용하여 고정자 인덕턴스를 추정하여 적용한다. ⁽³⁾에서는 추정한 쇄교 자속으로부터 고정자 인덕턴스를 추종하는데, 인덕턴스 오차로 인해 발생하는 전류 제어기의 적분기 출력 특성을 이용하여 쇄교 자속 추정의 정확성을 높이고 있다. 이러한 쇄교 자속 추정 기반의 인덕턴스 추정 방법은 고정자 저항과 영구자석의 자속 오차에 취약하며, 전압 모델을 기반으로 하므로 인버터의 비선형성에 의한 전압 왜곡의 영향으로 추정 값의 정확성이 저하된다.

둘째, 고주파 신호를 주입함으로써 전동기 제정수의 정보 없이 MTPA 운전점을 찾아내는 방법이 제안되었다^(6)-(11). 전류 각에 대한 토크의 미분이 MTPA 운전점에서 0이 된다는 특징을 기반으로 ^(6)~(9)에서는 전류 각에 고주파 신호를 주입하고 주입된 신호에 대한 토크의 크기 변화 정보를 간접적으로 추출하여 정확한 MTPA 운전점을 판별한다. 이 경우 주입된 고주파 신호로 인한 토크 리플 발생으로 제어 성능이 저하된다는 문제점이 있다. ⁽¹⁰⁾과 ⁽¹¹⁾에서는 실제 신호를 주입하는 대신 가상의 고주파 신호로 인한 계산된 토크의 크기 변화를 통해 MTPA 운전점을 찾아내는 방법을 제안하였다. 하지만 토크를 계산하기 위해 고정자 저항에 대한 정보가 요구되며, 전류 제어기 출력인 전압 지령을 이용하기 때문에 인버터의 비선형성으로 인한 전압 왜곡의 영향으로 정확한 MTPA 제어를 수행하는 데에는 한계가 있다.

셋째, 설정한 목적 함수가 최대 혹은 최소가 되도록 제어 물리량을 점진적으로 조정하는 방법인 SC(Search Control)를 기반으로 한 방법이 제안되었다^(12)-(14). ⁽¹²⁾에서는 미리 선정한 크기만큼 전류 각 지령을 조정한 뒤 고정자 전류 크기의 증가 혹은 감소 여부를 확인하고, 그 크기가 감소하는 방향으로 동일한 크기만큼 전류 각 지령을 조정하는 단순한 방법으로 MTPA 운전점을 추종한다. 이 방법은 일정한 크기로 전류 각 지령을 조정하기 때문에 MTPA 운전점을 추종하는데 오랜 시간이 소요되며 그 추종 시간이 운전 조건에 따라 달라진다. ⁽¹³⁾에서는 q축 고정자 전압에 고주파 신호를 주입하여 회전자 속도에 존재하는 고주파 성분의 크기로부터 간접적으로 토크의 크기 정보를 얻어, 이 토크 크기와 고정자 전류 크기의 비가 최대가 되는 운전점을 추종하도록 전류 각 지령을 조정한다. 이 경우 주입된 고주파 신호에 의해 토크 리플이 발생되는 문제점이 있다.

본 논문에서는 앞서 언급한 기존 방법들의 여러 문제들을 보완하고, 정확한 MTPA 제어를 수행하기 위해 경사 하강법(Gradient Descent Algorithm)을 응용한 적응형 알고리즘(Adaptive Algorithm)을 통해 동손이 최소가 되는 최적의 전류 각을 추종하는 방법을 제안한다. 제안된 기법은 고정자 전류의 크기 정보만을 이용하기 때문에 전동기의 제정수 변동이나 레졸버 신호의 오차에 영향을 받지 않으며, 별도의 신호 주입 방법 없이 동손을 최소화할 수 있다. 제안된 기법을 210kW 및 800W IPMSM에 대해 Matlab/Simulink를 이용한 시뮬레이션과 800W IPMSM에 대한 실험을 통해 그 유효성을 검증하였다.

2. 경사 하강법을 이용한 MTPA 제어

PMSM의 토크는 식(1)과 같이 영구자석의 자속 $\phi_{f}$와 q축 전류 $i_{qs}^{r}$가 상호작용하여 발생하는 전자기적 리액션 토크(Reaction Torque) 성분과 d와 q축의 인덕턴스 차이로 인해 발생하는 릴럭턴스 토크(Reluctance Torque) 성분으로 구성된다.

여기서 $L_{ds}$, $L_{qs}$는 각각 d축과 q축 인덕턴스, $\phi_{f}$는 영구자석의 자속 그리고 $P$는 극수이다.

식 (1)에서 SPMSM(Surface mounted Permanent Magnet Synchronous Motor)은 d와 q축 인덕턴스가 같아 d축 고정자 전류 $i_{ds}^{r}$는 토크 발생에 아무런 기여를 하지 않지만, 릴럭턴스 토크를 발생하는 IPMSM은 효율적으로 토크를 출력하기 위해 d축 전류 $i_{ds}^{r}$가 필요하다. 이 경우 동일한 크기의 토크를 출력하는 d와 q축 전류 지령의 조합은 무수히 많다. MTPA 제어에서는 이들 전류 조합 중 동손이 최소가 되는 d와 q축 전류를 선택하여 전류 지령으로 사용한다. d와 q축 전류에 의한 동손 $P_{cu}$는 식(2)와 같이 고정자 전류의 크기 $I_{s}$의 제곱에 비례한다.

여기서 $R_{s}$는 고정자 저항이다.

출력 토크 지령 $T_{e}*$에 대한 고정자 전류의 크기 $I_{s}$는 식(3)과 같이 전류 각 $\beta$의 함수로 표현되며, 동손 $P_{cu}$이 최소가 되는 전류 각은 식(4)에서 구할 수 있다.

제안된 기법에서는 식(4)의 계산 값을 사용하는 대신에, 경사 하강법을 응용한 적응형 알고리즘을 사용하여 MTPA 제어를 위한 최적의 전류 각 $\beta_{MTPA}$를 구한다.

본 논문에서 응용한 경사 하강법의 원리가 그림 1에 보인다. 경사 하강법은 주어진 목적 함수 $f(x)$의 극소점을 찾기 위해 식(5)와 같이 $f(x)$의 그래디언트(Gradient)의 반대 방향으로 그래디언트의 크기에 비례한 만큼 이동해 가는 방법이다⁽¹⁵⁾.

$f(x)$의 극소점을 추종할 때 $x$가 일정 크기만큼 이동하는 경우 이동 거리에 비례하여 추종 시간이 증가하게 되지만, 경사 하강법을 사용하는 경우 그래디언트의 크기에 비례하게 이동하기 때문에 추종 시간을 단축시킬 수 있다.

MTPA 제어를 위해 경사 하강법을 적용하는 경우에는 동손을 목적 함수로 선정하고 이를 최소로 하는 운전 점을 알아낸다. 즉, 경사 하강법을 적용한 MTPA 제어에서는 그래디언트가 0이 될 때(동손 최소 점)까지 식(6)에 보이듯이 점진적으로 전류 각 지령 $\beta^{*}$를 변화시켜 최소 동손인 전류 각 $\beta_{MTPA}$를 추종하도록 한다.

여기서 $\rho$는 전류 각 지령의 변동 폭을 조절하는 파라미터로 스텝 사이즈(step size)이다. 식(6)의 그래디언트는 연속 신호에 대한 함수이기 때문에 이를 이산화하여 표현하면 식(7)과 같이 나타낼 수 있다.

식 (7)로서 $\beta_{MTPA}$를 추종하는 경우 그 추종 성능은 스텝 사이즈 $\rho$의 크기에 큰 영향을 받는다. $\rho$를 작게 선정하는 경우 $\triangle\beta$의 크기가 작아지기 때문에 수렴 시간이 길어지며, 그래디언트의 크기가 작은 구간에서 $\beta^{*}$가 $\beta_{MTPA}$로 수렴하기도 전에 $\triangle\beta$의 크기가 0에 가까운 매우 작은 값을 갖게 되어 추종을 멈출 수 있다. 반대로 $\rho$를 크게 선정하는 경우 추종 초기에 그래디언트가 매우 커지기 때문에 $\beta^{*}$가 진동을 하거나 발산하는 문제가 발생할 수 있다.

$\rho$를 적절하게 선정하는 경우 비교적 짧은 시간 내에 $\beta_{MTPA}$를 정확하게 추종할 수 있다. 하지만, 목적 함수인 동손 $P_{cu}$는 부하에 따라 그 크기가 달라지기 때문에 그래디언트의 크기가 부하에 따라 달라질 수 있다. 따라서 모든 부하 조건에서 동일한 $\rho$를 사용하는 경우 부하 조건에 따라 $\beta_{MTPA}$를 추종하는 소요 시간과 추종 정확도 등의 성능이 달라지게 된다.

예로서 그림 2는 두 가지의 부하 조건에 대해 식(7)의 경사

하강법을 적용한 경우 전류 각 지령 $\beta^{*}$의 추종 성능을 보인다. 초기 전류 각 지령은 90܁°이고 동일한 $\rho$를 사용하였다. 그림 2(a)는 100% 부하 조건에서 전류 각 지령 $\beta^{*}$가 초기 값에서 최종 값인 120.9°까지 조정되는데 0.285초가 소요되어 짧은 시간 내에 $\beta_{MTPA}$를 추종할 수 있다. 그러나 그림 2(b)의 50% 부하 조건에서는 전류 각 지령 $\beta^{*}$가 최종 값인 113.6°까지 조정되는데 1.193초가 소요된다. 이 경우 전류 각 지령 $\beta^{*}$가 $\beta_{MTPA}$까지 조정되어야 하는 크기가 그림 2(a)의 경우보다 작음에도 불구하고 더 오랜 시간이 소요되며, $\beta_{MTPA}$에 도달하기 전에 추종을 멈춤을 알 수 있다.

이러한 현상은 그림 3에 보이듯이 부하 조건에 따라 그래디언트가 달라지기 때문으로 부하가 클수록 그래디언트의 크기가 커지게 되며 추종 속도가 빨라지게 된다. 이와같이 부하 조건에 따라 추종 성능이 변동하는 문제점을 해결하기 위해 본 논문에서는 그래디언트의 크기에 따라 $\rho$를 조정하는 적응형 알고리즘을 이용한 추종 기법을 제안한다.

3. 제안된 MTPA 제어 방법

4. 시뮬레이션 결과

제안된 기법의 효용성 검증을 위해 Matlab/Simulink를 이용하여 시뮬레이션을 수행하였다. 시뮬레이션에 사용된 210kW IPMSM의 제정수가 표 1에, 800W IPMSM의 제정수가 표 2에 보인다. 스위칭 주파수는 210kW IPMSM에 대해 2kHz, 800W IPMSM에 대해 5kHz를 적용하였다.

그림 8은 210kW IPMSM에 대해 속도 500r/min, 50%부하 조건에서, 제정수 오차가 존재할 시 통상적인 MTPA 제어 방법으로 운전 중 제안된 기법을 적용한 경우에 대한 시뮬레이션 결과를 나타낸다. q축 인덕턴스의 변동으로 $1.5\hat L_{qs}=L_{qs}$인 상황을 가정하였다. 여기서 $\hat L_{qs}$는 제어기가 알고 있는 q축 인덕턴스이다. 통상적인 MTPA 제어 방법으로 계산된 인덕턴스 오차가 있는 전류 각 지령 $\beta^{*}$=103.1°에서 운전 중 제안된 기법이 적용됨에 따라 약 0.141초 후에 114.8°로 올바른 최소 동손의 운전 점으로 조정되었으며, 이로 인해 고정자 전류의 크기 $I_{s}$가 199.9A에서 194.7A로 감소하여 동손 $P_{cu}$는 1295W에서 1229W로 감소하였다.

그림 9는 210kW IPMSM에 대해 속도 1000r/min, 100% 부하 조건에서, 레졸버의 위치 신호에 옵셋이 존재할 경우 통상적인 MTPA 제어 방법으로 운전 중 제안된 기법을 적용한 경우에 대한 시뮬레이션 결과를 나타낸다. 레졸버 신호는 $\hat\theta_{r}=\theta_{r}+10^{\circ}$인 상황을 가정하였다. 여기서 $\theta_{r}$은 실제 회전자 위치, $\hat\theta_{r}$은 제어기가 사용하는 회전자 위치이다. 통상적인 MTPA 제어 방법으로 전류 각 지령 $\beta^{*}$가 120.9°에서 운전 중 제안된 기법이 적용됨에 따라 약 0.134초 후에 110.4°로 올바른 동손 최소 운전 점으로 조정되었으며, 이로 인해 고정자 전류의 크기 $I_{s}$가 343.3A에서 335.2A로 감소하여 동손 $P_{cu}$는 3823W에서 3642W로 감소하였다.

그림 10은 800W IPMSM에 대해 속도 2000r/min, 100% 부하 조건에서 초기 전류 각 지령이 90°, 즉 d축 전류를 0으로 제어하던 중에 제안된 기법을 적용한 경우의 시뮬레이션 결과를 나타낸다. 전류 각 지령 $\beta^{*}$가 90°에서 운전 중 제안된 기법이 적용됨에 따라 약 0.14초 후에 101.1°로 올바르게 조정되었으며, 이로 인해 고정자 전류의 크기 $I_{s}$가 4.077A에서 3.996A로, 동손 $P_{cu}$는 41.55W에서 39.92W로 감소함을 알 수 있다.

5. 실험 결과

시뮬레이션을 통해 검증된 제안된 기법의 타당성을 검증하기 위해 디지털 제어기를 사용한 그림 11의 IPMSM 구동 시스템에서 실험을 수행하였다. 실험에 사용된 800W IPMSM의 사양은 시뮬레이션에 사용된 표 2와 같으며, 인버터의 스위칭 주파수는 5kHz이다.

그림 12와 13은 각 운전 조건에 대해 초기 전류 각 지령이 90°, 즉 d축 전류를 0으로 제어하던 중에 제안된 기법을 적용한 경우의 추정 토크 $\hat T_{e}$와 회전자 속도 $\omega_{rpm}$, 고정자 전류 크기 $I_{s}$와 전류 각 지령 $\beta^{*}$을 나타낸다.

그림 12는 75% 부하, 1000r/min에서 제안된 기법이 적용된 경우의 실험 결과를 나타낸다. 전류 각 지령 $\beta^{*}$가 90°에서 운전 중 제안된 기법이 적용됨에 따라 98.3°로 약 0.135초 만에 최적의 값을 찾아 조정되었으며, 전류 각 지령이 조정됨에 따라 고정자 전류의 크기 $I_{s}$가 감소함을 확인할 수 있다. 그림 13은 100% 부하, 2000r/min에서 제안된 기법이 적용된 경우의 실험 결과를 나타낸다. 전류 각 지령 $\beta^{*}$가 90°에서 운전 중 제안된 기법이 적용됨에 따라 101.5°로 약 0.14초 만에 최적의 값으로 조정되었으며, 전류 각 지령이 조정됨에 따라 고정자 전류의 크기 $I_{s}$가 감소함을 볼 수 있어 제안된 기법의 타당성을 알 수 있다.

6. 결 론

본 논문에서는 적응형 알고리즘을 이용한 영구자석 동기 전동기의 MTPA 제어 기법을 제안하였다. 제안된 기법은 전동기의 동손 최소 운전을 위한 최적 전류 각을 적응형 알고리즘을 통해 추종하도록 하였다. 제안된 기법에서는 MTPA 제어를 위해 동손을 목적 함수로 선정하여 최적 운전 점을 찾는 경사 하강법을 기반으로 하였다. 이 경우 부하 조건에 따라 추종 성능이 달라진다는 문제점을 해결하고자, 제안된 기법에서는 Adam 알고리즘을 적용하여 모든 부하 조건에서 추종 성능이 동일하게 보장되도록 하여 짧은 시간 내에 최적의 전류 각을 추종할 수 있도록 하였다. 제안된 기법은 고정자 전류의 크기 정보만을 이용하기 때문에 제정수 변동과 레졸버의 회전자 위치 신호의 옵셋 등에 영향을 받지 않으며, 별도의 신호 주입 방법 없이 동손을 최소화하는 MTPA 제어를 수행할 수 있다. 210kW IPMSM과 800W IPMSM에 대한 시뮬레이션과 800W IPMSM에 대한 실험을 통해 제안된 MTPA 제어 기법의 유효성을 검증하였다.