2.1 자이로 안정기의 수학적 모델

자이로 안정기는 그림 1과 같이 관성 모멘트 발생용 플라이휠, 플라이휠 구동용 전동기, 세차 토크 생성을 위한 짐벌, 짐벌축의 회전각을 조절하기 위한 브레이크로 구성된다. 선박에 자이로 안정기가 설치된 상태에서 파도의 영향으로 롤링이 발생하면 롤링축으로 각속도가 발생하고 플라이휠의 회전력으로 피치축의 각속도가 유도된다. 피치축으로 유도된 각속도로 인하여 자이로 안정기의 내부 짐벌의 세차운동이 발생하고 내부 짐벌의 운동으로 롤링축과 반대방향의 각속도가 발생하여 선박의 횡동요를 저감하는 효과가 있다 ⁽³⁾.

플라이휠 회전으로 인한 각운동량 $K$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 $J_{spin}$는 플라이휠의 관성 모멘트, $w_{spin}$는 플라이휠의 각속도를 나타낸다. 파도의 롤링 토크 $T_{wave}$로 인해 선박의 횡동요가 발생하면 선박의 횡축 각속도 $w_{roll}$에 비례하는 세차 토크 $T_{pre}$와 자이로 토크 $T_{gyro}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다 ⁽⁴⁾.

여기서 $\omega_{pre}$는 세차축의 회전 각속도이다. 자이로 토크 $T_{gyro}$의 수직 성분이며 선박의 횡동요 저감 효과를 나타내는 안정화 토크 $T_{stab}$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 $\alpha$는 세차축 각도를 나타낸다. 플라이휠의 사양 선정을 위한 세차축의 회전 각속도는 다음과 같이 표현할 수 있다⁽²⁾.

여기서 $\tau_{wave}$는 평균 파도 주기를 나타낸다. 표 1은 자이로 안정기의 주요 파라미터를 나타낸다. 평균 파도 주기는 4초, 한 주기당 세차축의 회전각은 240°로 선정하였을 때 세차축의 회전각속도는 1.05rad/s로 계산된다. 세차 토크 $T_{pre}$를 조절하기 위해서는 브레이크가 세차축에 연결되므로 브레이크의 출력을 6kW로 선정하고 브레이크 효율과 기계 효율을 각각 고려한 세차 토크는 7359Nm로 계산된다. 롤링 각속도는 세차축의 회전각속도와 동일하므로 수식 (2)를 이용하여 플라이휠의 요구되는 각운동량을 계산하면 7199Nms이다. 플라이휠의 관성 모멘트는 수식 (1)에서 속도에 따라 달라지며 정격속도를 4000rpm으로 선정하였을 때 관성 모멘트는 17.19kgm$^{2}$ 이상으로 설계되어야 한다.

2.2 자이로 안정기용 기존 짐벌

그림 2는 관성 모멘트 발생용 플라이휠, 플라이휠 구동을 위한 전동기, 플라이휠과 전동기 사이에 회전력 전달을 위한 벨트 풀리, 플라이휠 회전을 위한 베어링, 전동기 회전을 위한 벨트 풀리용 베어링, 세차운동을 위한 짐벌로 구성된 자이로 안정기용 기존 짐벌을 나타낸다. 짐벌 프레임의 사이즈와 무게는 플라이휠과 전동기의 배치에 따라 영향을 받으며 플라이휠과 전동기 간의 체결을 위한 부속품인 벨트 풀리와 벨트 풀리용 베어링이 추가되는 단점이 있다.

기존 짐벌의 플라이휠 관성 모멘트는 17.68kgm$^{2}$이며 4000rpm 회전에서의 원심력에 대한 응력 확인을 위한 안전율 $SF$는 다음과 같이 표현할 수 있다 ⁽⁵⁾.

여기서 $\sigma_{M}$는 허용 응력, $\sigma_{W}$는 사용 응력을 나타낸다. 그림 3은 림(Rim), 웹(web) 및 보스(Boss)로 구성된 플라이휠의 형상과 보스의 양단에 베어링지지 구속 조건에서 4000rpm으로 회전하였을 때의 응력 해석 결과를 나타낸다. 최대 응력 지점은 프레임 두께가 가장 얇은 웹에서 발생하며 최대 응력은 61.41Mpa로 플라이휠의 허용 응력은 340Mpa이므로 안전율은 약 5.5로 여유가 있음을 확인할 수 있다.

2.3 자이로 안정기용 제안된 짐벌

플라이휠과 전동기의 배치 공간의 최소화와 부속품의 제거를 위한 자이로 안정기용 제안된 짐벌은 그림 4와 같다. 기존 플라이휠의 내부의 빈 공간에 전동기를 배치하는 구조로 플라이휠의 샤프트를 전동기의 샤프트로 사용하여 배치 공간을 최소화할 수 있으며 단일 샤프트로 인해 벨트 풀리와 벨트 풀리용 베어링을 제거할 수 있는 효과가 있다. 플라이휠의 설계 요구 사양은 자이로 안정기의 주요 파라미터인 관성 모멘트 17.19kgm$^{2}$ 이상과 안전율 3 이상으로 선정하였다.

그림 5와 표 2는 제안된 플라이휠의 형상과 응력 해석 결과 및 기존과 제안된 플라이휠의 사양 비교를 나타낸다. 기존 플라이휠의 웹을 상단으로 배치하여 전동기 설치 공간을 확보하였다. 해석 조건은 기존 플라이휠 구속 조건과 동일하게 보스의 양단에 베어링지지 구속 조건에 4000rpm으로 회전시켰다. 플라이휠의 관성 모멘트는 17.35kgm$^{2}$으로 기존 플라이휠에 비해 약 0.33kgm$^{2}$로 감소하였지만 요구 사양은 만족한다. 플라이휠의 허용응력은 기존 플라이휠과 동일한 340Mpa이며 응력 해석결과 최대 응력 지점은 림의 하단부로 최대 응력은 92.43Mpa로 웹의 상단 배치로 인한 응력이 커지지만 안전율은 약 3.7로 요구 사양을 만족함을 확인할 수 있다. 무게의 경우 기존 플라이휠은 397kg이며 제안된 플라이휠의 경우 373kg으로 24kg 감소 효과를 확인할 수 있다.

큰 관성을 가진 플라이휠의 제작에서 발생할 수 있는 비대칭 관성으로 인한 안정성도 검증되어야 한다. ISO 1940 기준으로 평형잡기가 수행되며 허용 잔류 불평형 Uper은 다음과 같이 나타낼 수 있다 ⁽⁶⁾.

여기서 G는 평형 품질 등급, m의 회전체의 무게, n은 분당 회전수를 나타낸다. 표 3은 혀용 잔류 불평형을 계산하기 위한 사양과 계산값을 나타낸다. 평형 품질 등급은 속도 950rpm 이상이며 최소 80mm 축 높이를 갖는 전동기를 기준으로 2.5로 선정하였으며 플라이휠의 무게는 373kg이므로 계산된 허용 잔류 불평형은 2226μm이다. 이 값은 회전자의 양단에 절반씩 동위상(Case 1)과 역위상(Case 2)으로 각각 무게로 부가하여 응답 확인하였다 ⁽⁷⁾.

표 4는 속도별 플라이휠의 불균형을 고려한 응력과 변위의 해석 결과를 나타낸다. 속도 증가에 따라 응력과 변위가 증가함을 확인할 수 있다. 최대 응력 지점은 그림 5와 동일한 지점에서 발생하며 이상적인 플라이휠일 경우 최대 응력은 92.43Mpa이며 Case 1과 Case 2는 92.75Mpa로 약간 증가하였지만 그 변화는 미비하다. 최대 변위 지점은 플라이휠의 내측 하단 모서리에서 발생하며 이상적인 경우 변위 크기는 95.09μm이다. Case 1과 Case 2는 102.9μm로 동일하며 변화는 미비함을 확인할 수 있다. 제안된 플라이휠의 웹이 상단에 배치되어 상단부 불균형으로 인한 변위는 영향을 받지 않아 동일한 변위가 발생하는 것으로 판단되며 허용 잔류 불평형 내에 있음을 확인할 수 있다.

2.4 일체형 플라이휠 구동용 전동기

플라이휠은 전동기의 관성부하이므로 전동기의 정격토크 $T_{m}$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 정격속도 4000rpm에서 시간에 따라 정격토크가 결정되므로 표 5와 같이 도달시간을 선정하고 그에 따른 각가속도와 정격토크를 산출하였다.

표 6은 플라이휠 구동용 전동기의 요구 사양을 나타낸다. 전동기의 구동을 위한 제어기의 전원전압은 220Vac이며 정격속도 4000rpm에서 전류 밀도 5A/mm$^{2}$ 이하, 토크는 10Nm 이상, 효율은 95% 이상, 코깅 토크는 0.25 Nm 이하, 토크 리플은 5% 이하, 역기전력 왜곡율 (BEMF THD: Back electromotive force total harmonic distortion)은 5% 이하로 선정하였다. 플라이휠의 샤프트에 전동기의 회전자가 부착되는 구조로 회전자의 내경은 60mm가 되어야 한다.

플라이휠 구동용 전동기의 정격속도와 최대속도가 4000rpm으로 동일하므로 권선의 전류 밀도를 낮추기 위해서는 정격부하 구동에서의 전동기의 상전압을 제한조건의 근접하게 설계해야한다. 상전압 제한 조건은 다음과 같이 표현할 수 있다 ⁽⁸⁾.

여기서 $V_{ll}$는 인버터의 입력전압, $\eta_{c}$은 제어 여분으로 0.9로 선정하였다. 상전압 제한 조건을 고려한 한상의 기전력의 선정 수식은 다음과 같이 나타낼 수 있다 ⁽⁸⁾.

여기서 $k_{w1}$는 기본 고조파 권선 계수, $T_{ph}$는 상당 턴수, $\Phi_{1}$는 자속밀도, $f$는 기본 주파수를 나타낸다. 전동기의 사이즈 결정을 위한 단위 회전자의 부피당 출력 토크는 다음과 같이 표현할 수 있다 ⁽⁸⁾.

여기서 $A$는 전기 장하, $B$는 자기 장하를 나타낸다. 회전자의 기 결정된 내경을 고려하여 회전자의 부피당 출력 토크를 이용한 전동기의 초기 설계 사양은 표 7과 같다. 슬롯/극수 조합은 24/4, 정격전류는 14A로 선정하였다.