2.2.4 대류 발산 열
$\lambda$는 공기의 대류 열전달계수[W/(K‧m)]이다. 대류 열전달 계수는 물성치가 아니다. 대류 열전달계수는 표면의 형상, 유체의 운동
특성, 유체의 물성치 및 유체의 속도 등에 따라 달라지며, 실험/해석에 의해 구해지는 측정값이다. 표 1에 공기에 대한 물성 특성 계수가 나타나 있다(3). 실제적인 계산에서, 공기를 비롯한 모든 유체의 물성치는 경계층 피막(film)에서의 온도인 평균 온도의 값을 적용해야 한다. 즉 도체 온도 $T$와
주위온도 $T_{am}$의 평균온도인 $(T+T_{am})/2$에 해당하는 계수를 사용해야 한다.
표 1. 공기의 물성 특성 계수
Table 1. Material property coefficients of air
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온도 $T$[℃]
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비중 $\gamma$[kg/$m^{3}$]
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대류 열전달 계수 $\lambda$[W/(K‧m)]
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동적 점성도 $\eta$[N‧s/$m^{2}$]
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0
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1.290
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0.0243
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0.175×10$^{-4}$
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10
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1.250
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0.0250
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0.180×10$^{-4}$
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20
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1.200
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0.0257
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0.184×10$^{-4}$
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30
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1.170
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0.0265
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0.189×10$^{-4}$
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40
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1.13
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0.0272
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0.194×10$^{-4}$
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50
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1.09
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0.0280
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0.199×10$^{-4}$
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60
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1.06
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0.0287
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0.203×10$^{-4}$
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70
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1.04
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0.0294
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0.208×10$^{-4}$
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80
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1.01
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0.301
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0.213×10$^{-4}$
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90
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0.97
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0.0309
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0.217×10$^{-4}$
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100
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0.95
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0.0316
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0.222×10$^{-4}$
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$N u$는 누셀 수(Nusselt number)로서, 유체와 고체 표면 사이에서 열을 주고받은 비율을 나타내는 무차원의 수이다. 이 수가 클수록
열전도 속도에 분자의 운동이 미치는 영향이 작다는 것을 의미한다. 강제 대류(forced convection)의 경우에는 IEC 61597에 따라
다음 식과 같이 레이놀즈 수(Reynolds number)에 좌우된다(2-3).
레이놀즈 수 $Re$는 관성에 의한 힘(gravity force)과 점성에 의한 힘(viscous force)의 비로서, 주어진 유동 조건에서 이
두 종류의 힘의 상대적인 중요도를 정량적으로 나타내는 것으로, 다음 식으로 주어진다(3).
여기서, $\nu_{W}$는 바람의 속도, 즉 풍속[m/s]이고, $\gamma$는 공기의 비중[kg/$m^{3}$], $\eta$는 공기의 동적
점성도[N‧s/$m^{2}$]이다.
대류는 유체 유동에 따른 열의 전달이며, 유체 유동에 따라 질량, 운동량 및 에너지가 이동하는 것이다. 강제 대류는 외부의 힘에 의해 유체 유동을
강제적으로 발생시키며 유동 속도에 크게 좌우된다. 반면 자연 대류(free convection)는 온도차에 의해 발생한 유체의 밀도차가 자연 순환을
만들며, 이에 따른 열전달이다. 자연 대류의 경우에는 풍속이 0이다. 따라서 앞에서 설명한 강제 대류에 대한 계수, 즉 레이놀즈 수 $Re$를 이용한
러셀 수 $N u$ 산출 수식이 적용되지 않는다. 자연 대류는 부력, 점성/운동량에 관한 확산계수, 즉, 레일리 수(Rayleigh number)에
지배된다. 레일리 수는 유체층 속에서 열대류가 일어나는지의 여부를 결정하기 위해서 도입한 무차원의 수이다. 레일리 수가 일정한 값이 되면 자연 대류가
발생함을 보인다는 실험결과를 1916년 J. 레일리가 설명했다(4).
레일리 수 $Ra_{L}$은 부력과 점성의 관계를 나타내는 그라스호프(Grashof) 수 $Gr_{L}$와 운동량 확산과 열확산의 관계를 나타내는
프란틀(Prandlt) 수 $Pr$의 곱이다. 그러므로 레일리 수 그 자체는 열과 운동량 확산의 곱에 대한 부력의 비로 불 수 있다.
그라스호프(Grashof) 수 $Gr_{L}$는 자연대류에서 층류와 난류를 구분하는 천이점을 결정하는 무차원의 수이다. 강제 대류의 레이놀즈 수와
비슷한 역할이다. 즉, 강제대류에서는 유동 형태는 유체에 작용하는 점성력에 대한 관성력의 비를 나타내는 레이놀즈 수에 좌우되는 것처럼, 자연대류에서
유동 형태는 유체에 작용하는 점성력에 대한 부력의 비를 나타내는 그라스호프 수에 좌우된다(4).
여기서, $g$는 중력가속도[m/$s^{2}$], $\beta$는 체적팽창계수(온도를 섭씨 1도를 높일 때마다 커지는 물체의 부피와 그 물체가 섭씨
0도일 때의 부피와의 비)로서, $1/K$ (이상기체에서는 $\beta =1/T$)이다. $T_{S}$는 표면 온도[℃]이고, $T_{\infty}$는
표면에서 충분히 멀리 떨어진 유체의 온도[℃]이다. $L_{c}$는 기하학적 특성길이[m], $\nu$는 유체의 동점성계수[$m^{2}$/s]이다.
프란틀 수 $Pr$는 흐름과 열이동의 관계를 정하는 무차원의 수로서, 열 확산에 대한 점성 확산의 비를 나타내며, 프란틀 수가 큰 것은 열확산이 느리다.
$C_{p}$는 비열용량[J/kg-K]이고, $\mu$는 점성도[Ns/$m^{2}$]이고, $k$는 열전도율[W/m-K]이고, $\nu$는 유체의
동점성계수[$m^{2}$/s]이고, $\alpha$는 열확산계수[$m^{2}$/s]이다. 상온의 기체에서는 프란틀 수는 거의 일정한 값을 유지하는데,
상온의 공기는 $Pr\fallingdotseq 0.7$, 상온의 물은 $Pr\fallingdotseq 7$, 엔진오일은 $Pr=100\sim 40000$
정도이다(5).
레일리 수 $Ra_{L}$은 결국 다음 수식으로 표현된다.
물체 표면에서 자연대류에 의한 열전달은 물체 표면의 방향뿐만이 아니라 물체의 기하학적 형상에 따라 좌우되며, 표면에서의 온도 변화와 유체의 열물리학적
물성치에 의존한다. 실제 물리계에서는 매우 다양한 표면 방향과 기하학적 형상이 존재한다. 그러나 다양한 상황에서의 자연대류를 해석하기 위하여 수직판,
수직 원통, 수평판, 수평 원통, 구, 밀폐된 직육면체와 같은 몇 가지 패턴으로 그룹핑하여 해석하고 있다. 각 패턴별 평균 누셀 수 $N u$는 실험적으로
구하고 있으며 이미 관계식이 정형화되어 있다. 우리가 여기서 논의 대상으로 삼는 것은 전차선, 강체전차선과 같은 도체, 전선류이다. 이것은 그림 3의 수평 원통(horizontal cylinder) 패턴에 해당한다. 수평 원통에 대한 평균 누셀 수는 그림 3에 나타나 있는 공식(식 (16))과 같은 복잡한 공식이 적용된다(4).
그림. 3. 수평 원통 패턴 및 수평 원통 형태에 대한 평균 누셀 수 산출공식
Fig. 3. Horizontal cylinder pattern and applied average Nusselt number equation
일반적으로 전차선로 설계에서는 터널 안에서는 풍속이 0이므로 자연 대류 조건에 해당하지만, 터널은 외부보다 낮은 주위 온도와 태양광 조사가 없음에
따라, 전류용량(ampacity) 관점에서는 개횔지(open) 구간보다 유리한 점이 있으므로, 1m/s 또는 그 이하 바람이 부는 오픈 구간 조건으로
계산한 암페서티(ampacity)를 터널 구간에 그대로 적용하기도 한다(2).