1. 서 론

기존의 리아푸노프 안정성은 무한시간에서 시스템의 점근적 안정성(asymptotic stability)에 관심을 가졌으나, 실제 시스템의 응용문제에 있어서는 정해진 시간안에 시스템의 동특성 등의 작동을 다루기 때문에 유한시간에 대한 제어시스템 해석과 설계문제에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다⁽¹⁾. 그러므로 유한시간 안정성은 실제 시스템의 성능을 다루는 측면에서 더욱 적절하다고 할 수 있다. 유한시간 안정성(finite-time stability)에 대한 연구는 1950년대에 개념이 처음으로 소개되면서 미리 설정한 유계(bound)와 유한시간 구간을 다루는 연구결과가 나왔다⁽²⁾. Amato 등^(3,4)은 연속시간에서 변수 불확실성을 가지는 선형시스템의 유한시간 강인 안정성을 다루었고, 이산시간에서는 이산시간 시스템에 대한 유한시간 제어에 대한 해석과 설계조건에 대한 결과를 제시하여 연구범위를 확대하였다. 하지만, 다루는 시스템이 비특이 시스템이었다. 상태공간 모델은 매우 유용하지만 상태 변수가 모든 물리적 의미를 포함하지는 못한다. 따라서, 특이현상은 선형 동적시스템의 자연스러운 형태이고, 물리적 변수들 사이에 존재하는 대수 제약조건을 표현하는 이론적인 면이나 실용적인 면에서 중요한 동적 시스템이다⁽⁵⁾. 또한, 특이시스템의 안정성과 제어문제는 특이시스템의 특별한 성질로 인하여 대규모 시스템, 특이 섭동 이론, 제약조건이 있는 기계시스템 등에 광범위하게 적용되기 때문에 이산시간 영역에서 유한시간 특이시스템에 대한 연구^(6-10)가 활발히 진행되고 있다.

이산시간 특이시스템에 대한 유한시간 안정성 해석 문제와 유한시간 상태궤환 제어기 설계방법에 대하여 Antic 등⁽⁶⁾이 행렬부등식의 충분조건을 제시하였다. 그러나, 제어기 설계방법의 충분조건에 비선형 변수들이 포함되어 있어서 구하고자 하는 변수의 측면에서 선형행렬부등식의 형태가 아니므로 최적화 문제를 해결하기 어렵다는 문제점이 있다. Wo와 Han⁽⁷⁾은 이산시간 선형 특이시스템에 대한 유한시간 안정성을 만족하기 위한 양의 준정부호(positive semidefinite) 안정화 조건을 제시하였지만, 등호를 포함하는 조건은 해를 구하기 쉽지 않다는 단점이 있다. 또한, Ma 등⁽⁸⁾은 시간지연과 구동기 포화를 가지는 이산시간 마코프 점프 특이시스템에 대한 강인 유한시간 H∞제어기 설계방법을 제시하였으나, 제어기의 존재 조건에 등호가 포함된 준정부호 행렬부등식 형태이므로 최적화 문제를 해결하기 쉽지 않은 점이 있다. 그리고, Ma 등⁽⁹⁾은 이산시간 마코프 점프 특이시스템에 대한 유한시간 산일성 제어기(dissipative controller) 설계 방법을 제시하였으나, 충분조건에 등호가 포함된 음의 준정부호 조건이 포함되어 있어서 수치적으로 해를 구하기 쉽지 않다. 최근, Wang 등⁽¹⁰⁾은 해가 존재하기 위한 조건에서 등호가 포함된 준정부호 행렬부등식의 문제점^(6-9)을 해결하기 위하여 빠른 부시스템(fast sub- system)과 느린 부시스템(slow subsystem) 사이의 대수관계를 표현하는 추가적인 행렬(additional matrix)을 사용하여 이산시간 특이시스템에 대한 강인 유한시간 안정성 조건과 상태궤환 제어기 설계방법을 다루었다. 이산시간 특이시스템이 정규적(regular)이고 인과적(causal)이며 유한시간 안정이 되기 위한 조건을 구하는 변수의 측면에서 볼록최적화(convex optimiza- tion)가 가능한 선형행렬부등식으로 제시하였다. 그러나, 강인 유한시간 특이안정화하게 하는 상태궤환 제어기를 구하는 충분조건에서 제어기의 명확한 형태는 제시하였으나 구하려는 변수의 견지에서 볼록최적화로 표현되지 않아서 해를 구하기 쉽지 않았다. 또한, 제안한 제어기의 형태가 지루한 과정(tedious procedure)이 필요하고 구하려는 변수의 해를 얻기가 어려웠다. 따라서, 본 논문의 목적은 Wang 등⁽¹⁰⁾이 다루었던 변수 불확실성을 가지는 이산시간 특이시스템에 대해, 유한시간 특이안정성 조건과 주어진 시스템이 정규적(regular)이고 인과적(causal)이며 강인 유한시간 특이안정성을 보장하는 상태궤환 제어기 설계방법을 구하려는 변수의 측면에서 볼록최적화가 가능한 선형행렬부등식 기법으로 표현하여 기존의 문제점을 극복하는 것이다. 이를 위하여 본 논문에서는 먼저, 등가적으로 변형한 폐루프 시스템을 이용하여 정규성, 인과성, 유한시간 특이안정성을 만족하는 새로운 충분조건을 제시한다. 그리고, 구한 충분조건과 다루는 특이시스템의 등가 성질(equivalent property)을 이용하여 강인 유한시간 상태궤환 제어기 설계방법을 제안한다.

본 논문에서는 이산시간 불확실 특이시스템에 대하여 정규적이고 인과적이며 유한시간 특이안정성을 만족하는 충분조건을 새로운 접근방식으로 제안한다. 또한, 구한 조건으로부터 강인 유한시간 특이안정성을 보장하는 상태궤환 제어기 설계방법을 구하려는 변수의 측면에서 한번에 해를 구할 수 있는 충분조건의 형태로 제시한다. 제안한 제어기 설계방법의 타당성을 확인하기 위하여 불안정한 개루프 시스템을 가지는 수치 예제를 다룬다. 제안한 방법은 다양한 제어기와 필터 설계방법으로 확장 가능하다.

본 논문에서 사용하는 표기는 일반적인 기호를 사용한다. $I$, $0$과 $bold R^{r}$은 적절한 차원을 가지는 단위행렬, 영행렬과 $r\times 1$ 차원을 가지는 실수 벡터를 각각 의미한다. $P>0$은 양의 정부호 행렬(positive definite matrix)이고, $Ex(k+1)=Ax(k)$는 $(E,\:A)$로 표현한다. $\ast$는 대칭행렬(symmetric matrix)의 주 대각선 아래에 놓이는 요소, $diag\{\bullet\}$는 주 대각선에만 값을 가지는 대각행렬(diagonal matrix), $< X > =X + X^{T}$, $\lambda_{\max}(\bullet)$는 가장 큰 고유값이고 $\lambda_{\min}(\bullet)$는 가장 작은 고유값을 의미한다.

2. 강인 유한시간 H∞ 상태궤환 제어

변수 불확실성을 가지는 이산시간 특이시스템

을 다룬다. 여기서, $x(k)\in bold R^{n}$는 상태변수, $u(k)\in bold R^{m}$는 제어입력, $E$는 $rank(E)=r\le n$을 만족하는 특이행렬(singular matrix)이고, 모든 시스템 행렬은 적절한 차원을 가진다. $\Delta A(k)$와 $\Delta B(k)$는

를 만족하는 모르는 행렬이다. 여기서, $M_{a}$, $M_{b}$, $N_{a}$, $N_{b}$는 적절한 차원을 가지는 상수행렬이고, $F(k)$는 $F^{T}(k)F(k)\le I$에 의해 유계되는 모르는 행렬이다. 본 논문의 목적은 변수 불확실성을 가지는 이산시간 특이시스템 (1)에 대하여 정규적이고 인과적이며 강인 유한시간 특이안정성을 만족하는 상태궤환 제어기

을 설계하는 것이다.

정의 1⁽¹¹⁾: 이산시간 특이시스템 $(E,\:A)$에 대하여,

(i) $\det(z E-A)$이 항등적으로 영(identically zero)이 아니면, 이산시간 특이시스템은 정규적(regular)이다.

(ii) $rank(E)=\deg(\det(z E-A))$이면, 이산시간 특이시스템 $(E,\:A)$는 인과적(causal)이다.

정의 2⁽¹¹⁾: (유한시간 특이안정성(Finite-time Singular Stability)) 이산시간 특이시스템 $(E,\:A)$가

를 만족하면, 유한시간 특이안정하다.

정의 3⁽¹⁰⁾: (강인 유한시간 특이안정성(Robust Finite-time Singular Stability)) 이산시간 불확실 특이시스템 (1)이

를 만족하면, 강인 유한시간 특이안정하다.

정의 2와 정의 3에서 양의 실수 $c_{1}$과 $c_{2}$는 $c_{1}<c_{2}$를 만족하고, $R$은 양의 정부호 행렬이고 $N$은 주어진 양의 정수이다. 아래 정리 1에서는 공칭시스템(nominal system) $(E,\:A)$에 대해 정의 1과 정의 2를 만족하는 유한시간 특이안정성 조건을 제시한다.

정리 1: 주어진 양의 실수 $c_{2}>c_{1}$, $\alpha >1$, 양의 정수 $N$과 $R>0$에 대하여, 아래의 선형행렬부등식

을 만족하는 양의 정부호 행렬 $P$, $X$, 행렬 $Z$와 양의 상수 $\theta$가 존재하면, $(E,\:A)$가 정의 1과 정의 2를 만족하는 유한시간 특이안정하다. 여기서, $\Lambda_{1}=\left <(A-E)^{T}X\right > -\alpha E^{T}PE$, $\Phi$는 $E^{T}\Phi =0$을 만족하는 행렬이고, $\widetilde P =R^{-1/2}P R^{-1/2}$이다.

증명: 변수 $y(k)=x(k+1)-x(k)$로 설정하면

가 되고, 여기서, $\bar{E}=\begin{bmatrix}E & 0\\0& 0\end{bmatrix}$, $\bar{A}=\begin{bmatrix}E& I\\A-E& -I\end{bmatrix}$, $\bar{x}(k)=\begin{bmatrix}x(k)\\Ey(k)\end{bmatrix}$이다. 리아푸노프 함수 $V(\bar{x}(k))=\bar{x}^{T}(k)\bar{E}^{T}\bar{P}\bar{E}\bar{x}(k)$를 두고 $\Delta V(\bar{x}(k))-(\alpha -1)V(\bar{x}(k))< 0$이려면, $\alpha >1$이므로

이 되고, $\Delta V(\bar{x}(k))$는 $V(\bar{x}(k))$의 전방향 차분(forward difference)이다. 또한, $\bar{E}^{T}\bar{\Phi}=0$으로 두면

$2\bar{x}^{T}(k+1)\bar{E}^{T}\bar{\Phi}\bar{Z}^{T}\bar{x}(k)=0$ 이고, 식(9)-(11)에서 $\bar{x}^{T}(k)\left(\bar{A}^{T}\bar{P}\bar{A}-\alpha\bar{E}^{T}\bar{P}\bar{E}+\left <\bar{A}^{T}\bar{\Phi}\bar{Z}^{T}\right >\right)x(k)<0$이므로

를 만족하여야 한다. 식(9)가 정규적이고 인과적인 것은 $(E,\:A)$가 정규적이고 인과적인 것과 동일한 것은 정의 1로부터 직접 보일 수 있으므로, 먼저 식(9)가 정규적이고 인과적임을 증명한다. $\bar{E}$가 특이행렬이므로 $U\bar{E}V =\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}$, $U\bar{A}V =\begin{bmatrix}\bar{A}_{11}&\bar{A}_{12}\\\bar{A}_{21}&\bar{A}_{22}\end{bmatrix}$,$U^{-T}\bar{P}U^{-1}=\begin{bmatrix}\bar{P}_{11}&\bar{P}_{12}\\\ast &\bar{P}_{22}\end{bmatrix}$, $V^{T}\bar{Z}=\begin{bmatrix}\bar{Z_{1}}\\\bar{Z_{2}}\end{bmatrix}$, $U^{T}\bar{\Phi}=\begin{bmatrix}0\\\bar{\Phi}_{2}\end{bmatrix}$를 만족하는 비특이행렬 $U$와 $V$가 존재한다. 식(12)의 좌측과 우측에 $U^{T}$와 $U$를 곱해주면, $\begin{bmatrix}\star &\star \\\star &\left <\bar{A}_{22}^{T}\bar{\Phi}_{2}^{T}\bar{Z}_{2}^{T}\right >\end{bmatrix}<0$을 만족하여야 하고, $\star$는 증명에서 필요 없는 부분을 의미한다. 따라서, Xu와 Lam⁽¹²⁾의 결과로부터 $\bar{A}_{22}$가 비특이 행렬(nonsingular matrix)이면 식(9)가 정규적이고 인과적임을 보일 수 있다. 식(12)에서 슈어 여수(Schur complement) 정리⁽¹³⁾를 이용하면

이 된다. 변수들을 $\bar{P}=\begin{bmatrix}P& 0\\\ast & X\end{bmatrix}$, $\bar{\Phi}=\begin{bmatrix}\Phi & 0\\\ast & X\end{bmatrix}$, $\bar{Z}=\begin{bmatrix}Z & I \\0& I\end{bmatrix}$로 두면, 식(6)이 된다. $V(\bar{x}(k))=\bar{x}^{T}(k)\bar{E}^{T}\bar{P}\bar{E}\bar{x}(k)$에서 정의한 변수를 대입하면, $V(\bar{x}(k))=x^{T}(k)E^{T}P Ex(k)\equiv V(x(k))$가 된다. $\Delta V(x(k))-(\alpha -1)V(x(k))< 0$로부터

를 유추할 수 있다. 또한, 설정한 리아푸노프 함수의 초기값은

가 되고, 식(14), (15)와 $V(x(k))\ge\lambda_{\min}(\widetilde P)x^{T}(k)E^{T}REx(k)$로부터

의 관계를 구할 수 있다. 여기서, 식(7)과 (8)은 Wang 등⁽¹⁰⁾이 전개한 내용처럼 일반성을 잃지 않고(without loss of generality) 식(7)을 가정하면, $\theta <\lambda_{\min}(\widetilde P)<\lambda_{\max}(\widetilde P)<1$이 된다. 그러므로, 식(16)에서 $\alpha^{N}c_{1}\lambda_{\max}(\widetilde P)<\alpha^{N}c_{1}$이 되고, $\theta c_{2}<\lambda_{\min}(\widetilde P)c_{2}$가 되기 때문에 식(8)을 구할 수 있다. 따라서, 정리 1을 만족하는 해가 존재하면 이산시간 특이시스템 $(E,\:A)$는 정의 1과 정의 2를 만족하는 유한시간 특이안정하다.

정리 1에서 구한 유한시간 특이안정성 조건을 기반으로 이산시간 불확실 특이시스템 (1)에 대해 강인 유한시간 특이안정성을 만족하는 식(3)의 상태궤환 제어기 설계방법을 정리 2에서 제안한다.

정리 2: 주어진 양의 실수 $c_{2}>c_{1}$, $\alpha >1$, 양의 정수 $N$과 $R>0$에 대하여, 아래의 선형행렬부등식

를 만족하는 양의 정부호 행렬 $P$, $X$, 행렬 $Y$, $Z$와 양의 상수 $\theta$, $\beta_{1}$, $\beta_{2}$가 존재하면, 상태궤환 제어기 $u(k)=Y X^{-1}x(k)$는 변수 불확실성을 가지는 이산시간 특이시스템 (1)에 대하여 정의 1과 정의 3을 만족하는 강인 유한시간 특이안정하다. 여기서, $\Phi$는 $E\Phi =0$을 만족하는 행렬이고,

$\Omega_{1}= <(A-E)X >+ < BY >-\alpha EPE^{T}+\beta_{1}M_{a}M_{a}^{T}+\beta_{2}M_{b}M_{b}^{T}$, $\Omega_{2}=(A-E)X+BY+Z\Phi^{T}-X$,$\widetilde P =R^{-1/2}P R^{-1/2}$, $\beta_{i}=\epsilon_{i}^{-1}(i=1,\:2)$ 이다.

증명: 식(1)에서 $A_{k}=A+\Delta A(k)$, $B_{k}=B+\Delta B(k)$라 두면, 상태궤환 제어기 식(3)으로부터 폐루프시스템은

과 같고, $A_{c}=A_{k}+ B_{k}K$이다. 식(20)을 식(6)에 대입하면

이 된다. 여기서, $\Theta_{1}=\left <(A_{c}-E)^{T}X\right > -\alpha E^{T}PE$이다. 또한, $\det(z E-A_{c})=\det(z E^{T}-A_{c}^{T})$이므로 $(E,\:A_{c})$가 정규적이고 인과적이기 위한 필요충분조건은 $(E^{T},\: A_{c}^{T})$이 정규적이고 인과적이다. 또한, $\det(z E-A_{c})=0$의 해는 $\det(z E^{T}-A_{c}^{T})=0$의 해와 동일하기 때문에 식(20)의 유한시간 안정성은 $(E^{T},\: A_{c}^{T})$의 유한시간 안정성과 동일한 조건이다. 따라서, $K=YX^{-1}$로 두고, 식(21)에서 $E$와 $A_{c}$를 $E^{T}$와 $A_{c}^{T}$로 대입하여 정리하면

와 같고, $\Sigma_{1}=\left <(A_{k}-E)X\right > +\left < B_{k}Y\right > -\alpha EPE^{T}$이다. 식(22)에서 식(2)를 대입해서 정리하면

이 되고, $\Sigma_{2}= <(A-E)X > + < BY > -\alpha EPE^{T}$이다. 여기서, $F(k)^{T}F(k)\le I$이므로 식(23)의 2번째와 3번째는 수식은

를 만족하는 양의 실수 $\epsilon_{1}$과 $\epsilon_{2}$가 존재하므로, 식(23)에 식(24)와 25의 관계를 대입하여 정리하면 식(17)을 얻을 수 있다. 식(18)과 (19)는 정리 1에서 직접적으로 구하여진다. 따라서, $u(k)=Kx(k)=YX^{-1}x(k)$의 상태궤환 제어기는 이산시간 불확실 특이시스템 (1)이 정규적이고 인과적이며 강인 유한시간 특이안정성을 만족하도록 한다.

정리 2의 식(19)에서 $\alpha^{N}$은 $N$이 무한대로 갈수록 유한시간에서 무한시간 문제로 변경되어지며, $\alpha >1$이므로 $\alpha$는 1에 가까워져야 수렴하게 된다. 최근 Wang 등⁽¹⁰⁾의 유한시간 특이안정성 문제에서 유한시간 안정성 조건은 선형행렬부등식으로 제시하였지만, 강인 유한시간 특이안정화하게 하는 상태궤환 제어기를 구하는 충분조건은 구하려는 변수의 견지에서 볼록최적화로 표현되지 않아서 해를 구하기 쉽지 않았다. 또한, 제안한 제어기의 형태를 제시하였다고 하나 지루한 과정이 필요했다. 하지만, 본 논문에서 제시하는 유한시간 특이안정성 조건의 정리 1과 강인 유한시간 특이안정화하게 하는 상태궤환 제어기 설계방법인 정리 2는 구하려는 모든 변수의 견지에서 선형행렬부등식 조건으로 표현하므로 해를 한번에 구할 수 있다. 또한, 정리 2에서 $E=I$가 되면 비특이시스템에 대한 강인 유한시간 안정성을 만족하는 상태궤환 제어기를 설계할 수 있으므로 일반적인 제어기 설계 알고리듬이다.

3. 수치 예제

제안한 알고리듬의 타당성을 보여주기 위하여 개루프 시스템이 불안정한 변수 불확실성을 가지는 이산시간 특이시스템

을 고려한다. $F(k)=\sin(k)$와 $u(k)=0$인 식(26)의 개루프 시스템에 대한 상태의 궤적은 시간이 증가할수록 발산하고 있음을 그림 1에서 보여준다. 여기서, $c_{1}=2$, $c_{2}=5$, $N=40$, $\alpha =1.0001$, $R=diag\{1,\:1,\:1\}$로 설정하고, $E\Phi =0$을 만족하는 $\Phi =\begin{bmatrix}0& 0& 1\end{bmatrix}^{T}$로 두면, 정리 2를 만족하는 해는

과 같이 한번에 구해진다. 따라서, 본 논문의 목적이 구하려는 변수 측면에서 선형행렬부등식으로 표현한 정리 2에서 식(27)의 해를 한번에 구하는 것이다. 또한, 식(3)의 상태궤환 제어기도 식(27)로부터

과 같이 직접 구해진다. 식(26)과 식(28)로부터 구한 폐루프 시스템의 강인 유한시간 특이안정성의 시뮬레이션 결과를 보여주기 위하여 $F(k)=\sin(k)$, 초기조건을 $x(0)=\begin{bmatrix}1& -0.5& 0.7\end{bmatrix}^{T}$와 같이 두면, 초기조건에 대하여 $x^{T}(0)E^{T}R E x(0)\le c_{1}=2$를 만족한다. 그림 2와 3에서는 폐루프 시스템에 대한 상태의 궤적과 $x^{T}(k)E^{T}REx(k)$에 대한 궤적을 각각 보여준다. 따라서, $k\in\{1,\:2,\:\cdots ,\:N\}$에 대해 $x^{T}(k)E^{T}REx(k)<c_{2}=5$를 만족하므로 제안한 상태궤환 제어기 식(28)은 변수 불확실성을 가지는 이산시간 특이시스템 (26)에 대해 강인 유한시간 특이안정하게 한다.

4. 결 론

본 논문에서는 변수 불확실성을 가지는 이산시간 특이시스템 대한 유한시간 특이안정성 조건과 강인 유한시간 특이안정성을 만족하는 상태궤환 제어기 설계방법을 구하려는 변수의 견지에서 볼록최적화가 가능한 선형행렬부등식으로 제안하였다. 기존의 결과들이 등호조건을 포함하는 준정부호 문제를 다루고 있어서 해를 구하기 어렵다는 문제점을 시스템의 등가성질을 이용한 새로운 접근방법으로 해결하였다. 제안한 정리 1과 정리 2는 특이시스템 뿐만 아니라 비특이시스템에 대해서도 적용가능하므로 일반적인 조건이다. 개루프 시스템이 불안정한 수치예제와 시뮬레이션을 통하여 제안한 조건의 타당성을 확인하였다. 제안한 새로운 상태궤환 제어기 설계방법은 특이시스템을 다루는 다양한 분야에 확장가능하다.