2.1 임의의 시스템에서의 신뢰도함수(Reliability function)

신뢰도는 “임의 시각에서의 생존확률”이며, 식 (1)과 같이 정의할 수 있다⁽⁷⁾. 이는 사고확률밀도 함수 그리고 고장률과도 밀접한 연관성이 있다. 또한, 이들의 상호 관계를 나타내면 그림 1과 같다.

단,

$R(t)$ : 임의시각 $t$에서의 신뢰도 함수

$N_{0}$ : $t=0$에서의 요소의 개수

$N_{s}(t)$ : $t$에서 생존하는 개수

그림 1 신뢰도 함수, 사고확률밀도함수 및 고장률의 상호 관계

Fig. 1 Survival function, Probability density function and Hazard function relationships

2.2 사고확률밀도함수(Failure density function)

이는 주어진 개수에 대한 임의의 시각에서의 실패개수의 비율로 정의된다. 따라서 이는 $Q(t)=1-R(t)$로 정의되는 비신뢰도함수인 $Q(t)$의 미분 값과 동일하게 된다⁽⁷⁾.

그러므로, $\dfrac{d R(t)}{dt}=-f(t)$의 관계가 성립된다.

2.3 고장율 혹은 위험율(Failure Rate or Hazard Rate)

이는 임의의 시각에서의 생존하는 개수에 대한 임의의 시각에서의 실패개수의 순시비율을 의미한다⁽⁷⁾.

2.4 임의의 시스템에서의 복구력 함수(Resiliency function)

앞서의 신뢰도 함수는 데이터베이스(D/B)의 구축이 가능하다. 그러나 근래에는 천년에 한번, 만년에 한번, 억년에 한번 발생하는 사고에 대한 사건, 그러나 그 한 번의 사고가 인류의 생존을 위협하는 사고로부터 시스템의 회복력에 대한 소위 복구력(혹은 복원력, Resiliency)라 불리 우는 주제에 대하여 관심이 높다. 이들은 데이터베이스(D/B)의 구축이 불가능하다. 가령, 1986년 발생한 체르노빌 원전사고, 2011년 발생한 후쿠시마 원전사고, 2019년에 발생한 COVID-19와 같이 발생 확률은 극히 낮지만 한번 발생하면 인류의 생존에 위기를 가져오는 사고, 충격으로부터 원래의 상태로 신속하게 복구하는 능력은 시스템 평가를 위해 중요시되며 연구되고 있다.

2.4.1 전형적인 시스템의 복구력 곡선

시스템은 외부충격 발생을 전후로 상태가 달라진다. 체계적인 복구력 평가 및 계통의 성능개선을 위해서는 각 상태를 분석하고 정의하는 것이 중요하다. 그림 2는 시간에 따른 전형적인 복구력 곡선과 단계를 보인 것이다⁽⁸⁾.

그림 2 시간에 따른 시스템의 복구력 단계 곡선

Fig. 2 System resilience phase curve for time

2.4.2 시스템의 복구력 평가지수(Rj)

그림 3은 전형적인 복구력 곡선과 현재 개발된 복구력 평가지수(Resilience Evaluation Index) 중 하나인 복구소요면적($R_{j}$)의 개념을 보인 것이다. 전형적인 복구력 함수의 경우 정상상태(Steady state)인 100%에서 사건 발생 후 곧 붕괴된다. 붕괴 후 회복 시에는 전형적인 복구력 함수의 경우에는 요동치면서 올라오는 것을 확인할 수 있다. 그림 3의 빗금 친 부분($R_{j}$) 면적이 작을수록 시스템의 복구력이 좋다는 것을 의미한다⁽⁹⁾.

그림 3 복구력 평가지수(Resilience Evaluation Index)

Fig. 3 Resilience Evaluation Index

3.1 부하지속곡선(LDC), 역부하지속곡선(ILDC, $Φ(x)$), 누적 분포함수(CDF, $Φ^{*}(x)$)

전력계통에서 부하변동곡선(Load Variation Curve: LVC)이 주어지면 부하를 큰 순으로 나열하여 부하지속곡선(Load Dura- tion Curve: LDC)을 만든다. 부하지속곡선을 축과 축을 서로 교체하여 눕힌 곡선을 역부하지속곡선(Inverted Load Duration Curve: ILDC, $Φ(x)$)이라 한다. 이를 이용하여 누적분포함수(Cumulative Distribution Function: CDF, $Φ^{*}(x)$) 및 이의 누적함수의 확률밀도함수(Probabilistic Density Function: , $\phi(x)$)를 아래 식처럼 정의하고 그 값들을 구할 수 있다. 참고로 전력부하변동곡선에서 최대치로 나눈 확률값으로 나타내면 그 값을 확률적 함수라고 부른다.

그림 4는 전력계통에서 부하곡선에 대하여 전형적인 함수의 모습을 비교하기 위하여 보인 것이다. (편의상, 여기서는 최대치로 나눈 값으로 한 확률로 보인 것이다.)

그림 4 전력계통에서 확률부하의 역부하지속곡선($Φ(x)$), 누적분포함수($Φ^{*}(x)$) 및 확률밀도함수($\phi(x)$)

Fig. 4 Probabilistic ILDC, CDF and in the power system

3.2 우리나라의 2010년도 전력부하의 부하지속곡선, 역부하지속곡선, 누적분포함수, 및 확률밀도함수의 예시

COVID-19에 대한 주요국가의 복구력에 대하여 살펴보기에 앞서, 한 예로 우리나라의 2010년도 전력부하를 이용하여 누적분포함수의 확률밀도함수를 구하는 절차를 보이고자 한다. 따라서, 그림 5는 2010년도 우리나라의 1년간의 실제 시간 부하변동곡선을 보인 것이며, 그림 6은 최대부하에 대한 비율 값을 확률로 취한 확률 부하지속곡선을 보인 것이다.

그림 5 우리나라의 2010년도 시간 부하변동곡선

Fig. 5 LVC of Korea in 2010

그림 6 2010년도 우리나라의 확률부하지속곡선

Fig. 6 Probabilistic LDC of Korea in 2010

나아가 그림 7은 이를 이용하여 구한 누적분포함수를 함께 보인 것이며, 끝으로 그림 8은 3.1절에서 언급한 절차에 따라서 구한 우리나라의 2010년도 전력부하에 대한 누적분포함수의 확률밀도함수의 실제 모습을 보인 것이다. 여기서 누적분포함수의 확률밀도함수는 축에 대한 축 값의 변화이므로 이것은 일반적으로 시스템의 복구력을 의미한다. 이 개념을 응용하여 주요 국가를 대상으로 하여 COVID-19 확진자 누적분포함수의 확률밀도함수를 구함으로서 국가별 COVID-19 확진자 수의 복구력 함수를 구할 수 있다.

그림 7 우리나라의 2010년도 전력부하의 확률적 역부하지속곡선 및 누적분포함수의 비교

Fig. 7 Comparison of Probabilistic ILDC and CDF in Korea in 2010

그림 8 우리나라 2010년도 전력부하 누적함수의 확률밀도함수

Fig. 8 pdf of CDF, Korea in 2010

전력계통에서 중요시하는 것 중 하나가 정전시간이다. 그러나 본 연구에서는 이(정전시간)에 해당하는 COVID-19 감염시간 혹은 사망자 수의 복구력 보다는 시간대별 확진자 수의 복구력을 일단 파악함이 보다 근원적인 중요한 의미를 가진다고 상정하고 COVID-19 확진자 수 데이터를 이용하여 축을 시간 축으로 설정하고 축을 확진자 수에 따른 확률분포함수로 나타내어 확진자 수의 복구력을 분석하기로 한다. 이렇게 함으로써 얻어지는 시간에 따른 확진자 수의 복구력 특성을 통하여 그 나라의 방역체계를 분석할 수 있을 것이다. 차후에는 정전시간(공급지장)에 해당할 수 있는 감염시간이나 사망자수(생존의 손실)에 대한 연구도 이어져야 할 것으로 사료된다. 다행히 COVID-19에 대한 매일 매일의 확진자 수가 세계보건기구(World Health Organization: WHO)에 의하여 공식적으로 발표되므로 시간(일간)에 따른 확진자 수 데이터를 수집하고 이를 활용하여 누진확진자수분포함수를 얻을 수 있었다. 따라서 여기서는 이러한 개념을 바탕으로 COVID-19에 대한 시간(일간)별 확률밀도함수와 실제 확진자 수의 밀도함수를 구하고 이를 복구력 특성함수로 보고 각 나라별 복구력 특성을 살펴보았다. 전술한 바와 같이 차후에는 필요하다면 축을 확진자 수, 축을 시간 축으로 놓은 누적분포함수 및 확률밀도함수를 상정함으로써 또 다른 관점에서의 복구력의 특성을 파악할 수 있으리라 기대한다.

4.1 COVID-19의 확진자 누적분포함수($Φ^{*}(t)$)

전술한 절차에서 전력부하 대신에 COVID-19 확진자 수 데이터를 넣어 최대값으로 나눈 확률적으로 본 COVID-19의 확진자 누적분포함수($Φ^{*}(t)$)를 보이면 그림 12와 같다.

그림 10 국가별 COVID-19 검사 수 누적곡선 그래프

Fig. 10 Tests processed Cumulative Curve graph of COVID-19 by county

그림 11 반로그도표로 본 국가별 COVID-19 검사 수 누적곡선 그래프

Fig. 11 Tests processed Cumulative Curve graph of COVID-19 by country in semi-logarithmic chart

그림 12 국가별 COVID-19 확진자 누적분포함수

Fig. 12 Country-specific COVID-19 Confirmer Cumulative Distribution Function graph

4.2 COVID-19의 확진자 확률밀도함수($\phi(t)$)

COVID-19의 확진자 누적분포함수를 미분하면 COVID-19의 확진자 확률밀도함수($f(t)$ or $\phi(t)$)는 식 (5)처럼 정식화 되며 이를 적분하면 식 (6)처럼 각 나라별로 모두 1.0이 된다.

식 (5)를 이용하여 계산한 COVID-19의 국가별 확진자에 대한 확률밀도함수를 그림으로 보이면 그림 13과 같다.

그림 13 국가별 COVID-19 확진자에 대한 확률밀도함수

Fig. 13 pdf for National COVID-19 Confirmer

4.3 COVID-19의 확률론적 복구력 함수

정상상태를 0으로 두었을 때, 확률론적 복구력 함수(Pro- babilistic Resiliency Function)를 아래 식 (7)과 같이 정의한다.

그림 14 국가별 COVID-19 확진자에 대한 확률론적 복구력 함수

Fig. 14 Probabilistic Resiliency Function for National COVID-19 Confirmer

또한 COVID-19의 국가별 확진자에 대한 확률론적 복구력 함수의 그래프를 보이면 그림 14와 같다. 여기서, 축의 마이너스 값은 확진자 측면에서의 확률을 의미한다. 그림 14를 살펴보면 그림 3의 전형적인 시스템 복구력 함수 모양과 같음을 확인할 수 있다.

4.4 COVID-19의 확진자 실제밀도함수

각 국가별 실제 확진자 수의 복구력을 비교하기 위해서 다음의 식 (8)을 이용한다. $f(t)$에 총 누적 확진자 수 $N_{T}$를 곱하여서 확진자의 실제밀도함수(Actual Density Function)를 구한다. 식 (8)을 이용하여 얻어진 각 나라별로 실제 확진자 수에 따른 복구력 곡선을 보이면 그림 15와 같다.

그림 15 COVID-19의 국가별 확진자 실제밀도함수

Fig. 15 Actual Density Function for National COVID-19 Confirmer

4.5 COVID-19의 확진자의 실제 복구력 함수

COVID-19의 확진자 확률밀도함수($f(t)$)를 하나의 복구력 함수로 나타낸 것처럼 실제 확진자 수의 복구력 함수(Actual Density Function)를 또 하나의 복구력 함수로 나타낼 수 있다. 이를 보이면 식 (9)와 같다.

여기서,

0 : 시스템의 정상상태

$f(t)$ : 확률밀도함수, 총 누적 확진자 수에 대한 일별 확진자의 비율(확률)

$0-f(t)$ : 확률론적 복구력 함수

$N_{T}$ : 총 누적 확진자 수

식 (9)를 이용하여 구한 COVID-19의 국가별 확진자 실제 복구력 함수를 보이면 그림 16과 같으며, 여기서 축의 마이너스 값은 양성인 확진자 수를 의미한다.

여기서는 (1) 확진자 수의 확률밀도함수를 복구력 특성함수로 본 모델과 (2) 실제 확진자 수를 복구력 함수로 본 모델 등 두 개를 모델을 제시하고 시도하여 보았다. 전자에서는 각 나라별 복구력 값(R)은 항상 총 확률값을 나타내므로 1.0이 될 것이다. 또한 후자인, 실제 확진자 수를 복구력 함수로 본 모델에서는 각 나라별 복구력 값(R)은 누적 확진자 수의 값이 된다. 물론 이 값은 작을수록 복구력이 좋은 시스템이다. 전자는 각 국가 개별 복구력 특성을 파악하기에 용이한 모델이며 후자는 상대적인 복구력을 비교하고 분석함에 유용할 것이다. 여기서 제시하는 두 모델은 사망자 수의 기대치나 감영시간의 기대치 등을 얻을 수는 없으므로 복구력의 특성을 종합적이고도 상세히 분석함에는 여전히 한계가 있을 수 있으나 시간에 따른 복구 패턴을 분석할 수 있으므로 복구시의 특성(나라별 방역 체제)등을 보다 정량적으로 자세히 알 수 있는 유익함을 제공하므로 중요하다고 판단된다.

그림 16 국가별 COVID-19 확진자 실제 복구력 함수

Fig. 16 Actual Resiliency Function for National COVID-19 Confirmer

5.1 한국의 COVID-19 확진자 수에 대한 복구력 특성 분석

그림 17은 대한민국의 확진자 수의 복구력 함수 특성을 보인 것이다. 2월 중순 사태가 발생하였으며 그 후 전형적인 복구력 특성을 보이고 있다. 1차 동요는 2월 중순부터 한 달간 나타났으며, 그 후 순조로운 복구를 보이면서 5월 초까지 상당한 회복력을 보이면서 8월초까지 미소하게 요동하지만 수렴하는 것처럼 나타났으나 8월 중순 이 후 2차 동요를 보이고 있음을 알 수 있다. 본 자료만으로는 2차 동요현상에서 벗어나 복구모드로 언제 진입할 것인지가 다소 요연하게 보인다.

5.2 중국의 COVID-19 확진자 수에 대한 복구력 특성 분석

그림 18은 중국의 확진자 수의 복구력 함수 특성을 보인 것이다. 1월 중순경에 본 사태발생이 시작하여 2월 중순경 확진자 최대치까지 도달한 후에 매우 이상적인 복구특성을 나타내고 있으나 복원 시에 다소 동요 현상을 갖는 전형적인 복구력 특성과는 다소 거리가 있다. 이는 확진자 발표 데이터의 신뢰도(신빙성)를 감소시키는 결과를 낳는다.

그림 17 한국 COVID-19 확진자에 대한 확률론적 복구력 함수

Fig. 17 Probabilistic Resiliency Function for Korea COVID-19 Confirmer

그림 18 중국 COVID-19 확진자에 대한 확률론적 복구력 함수

Fig. 18 Probabilistic Resiliency Function for China COVID-19 Confirmer

그림 19 일본 COVID-19 확진자에 대한 확률론적 복구력 함수

Fig. 19 Probabilistic Resiliency Function for Japan COVID-19 Confirmer

5.3 일본의 COVID-19 확진자 수에 대한 복구력 특성 분석

그림 19는 일본의 확진자 수의 복구력 함수 특성을 보인 것이다. 4월 중순 초에 확진자 최대치를 보인 후에 다소 전형적인 복구특성을 나타내면서 6월 말까지 복구하고 있었으나 7월에 들어와서 복원력이 매우 큰 폭으로 요동을 치고 있음을 알 수 있으며 복원 시에 너무나 큰 폭으로 요동을 치고 있으므로 본 나라는 복원력의 수렴에 대한 미래를 예측하기가 매우 어려운 실정이다.

5.4 미국의 COVID-19 확진자 수에 대한 복구력 특성 분석

그림 20은 미국의 확진자 수의 복구력 함수 특성을 보인 것이다. 4월 초순경에 확진자 최대치를 보인 후부터 복구 특성이 전혀 보이지 않고 있다. 오히려 일정한 동요의 폭(Magnitude)을 가지면서 지속적으로 확진자가 증가하는 추세를 보이고 있다.

그림 20 미국 COVID-19 확진자에 대한 확률론적 복구력 함수

Fig. 20 Probabilistic Resiliency Function for USA COVID-19 Confirmer

그림 21 이탈리아 COVID-19 확진자에 대한 확률론적 복구력 함수

Fig. 21 Probabilistic Resiliency Function for Italy COVID-19 Confirmer

그러나 7월 말경에 극단적인 최대치에 도달한 후부터는 서서히 전형적인 동요를 갖는 복원력 현상이 나타나고 있음을 보이고 있다. 본 표에서 미국은 이대로 방역이 잘 이루어진다면 3달 후에는 매우 긍정적인 회복 단계로 진입할 것으로 예측된다.

5.5 이탈리아의 COVID-19 확진자 수에 대한 복구력 특성 분석

그림 21은 이탈리아의 확진자 수의 복구력 함수 특성을 보인 것이다. 3월 말경에 확진자 최대치를 보인 후에 전형적인 복구특성을 나타내면서 복구하고 있다. 이는 전형적인 복구특성을 갖는 것으로 발표 데이터에 신뢰감을 준다고 볼 수 있다. 다만 8월 초순부터 매우 미약하지만 요동치고 있음을 엿볼 수 있다. 그러나 3월말에 발생한 1차 동요에서 극복한 회복력의 방역시스템을 잘 이용한다면 복구력은 성공한 경험이 중요하므로 8월 초부터 발생하고 있는 약간의 2차 동요현상도 극복하고 좋은 방향으로 복구할 수 있으리라 기대된다.

5.6 독일의 COVID-19 확진자 수에 대한 복구력 특성 분석

그림 22는 독일의 확진자 수의 복구력 함수 특성을 보인 것이다.

그림 22 독일 COVID-19 확진자에 대한 확률론적 복구력 함수

Fig. 22 Probabilistic Resiliency Function for Germany COVID-19 Confirmer

3월말부터 4월초에 확진자 최대치를 보인 후에 전형적인 복구특성을 나타내면서 잘 회복하고 있다. 이는 매우 전형적인 복구특성을 갖는 것으로 데이터에 신뢰도를 주고 있다. 다만 7월 중순부터 다소 미약하지만 요동치고 있음을 엿볼 수 있다.

5.7 러시아의 COVID-19 확진자 수에 대한 복구력 특성 분석

그림 23은 러시아의 확진자 수의 복구력 함수 특성을 보인 것이다. 5월 초순 및 중순경에 확진자 최대치를 보인 후에 복구특성을 나타내면서 회복하고 있으나 매우 드물게 확진자 수가 예상외의 극대 및 극소인 사례도 보이고 있는 경우 발생하고 있다. 그러나 그 평균은 전, 후와 유사한 값을 보이고 있다. 따라서 이는 확진자 수의 검사기간의 정의를 변동함으로써 발생한 것이라고 사료된다. 러시아도 현재의 회복력을 지니면서 방역한다면 3개월 후에는 좋은 복구 결과를 보일 것으로 예상된다.

그림 23 러시아 COVID-19 확진자에 대한 확률론적 복구력 함수

Fig. 23 Probabilistic Resiliency Function for Russia COVID-19 Confirmer