1. 서 론

비선형 부하의 증가와 신재생에너지 확대 보급 및 다양한 전력변환장치들의 사용으로 인해 계통에서의 고조파 왜곡은 더욱 증가할 것으로 예상되고 있다. 전통적으로 고조파는 IEEE Std-519와 IEC 61000-3에서 제안하는 THD(total harmonic dis- tortion) 및 TDD(total demand distortion)와 같은 지수를 기반으로 평가하고 있다. 그러나 이러한 지수는 측정 지점에서의 총 고조파에 대한 왜곡 정도를 평가하는 수단일 뿐 개별 고조파원이 계통에 미치는 영향이나 파급정도를 나타내지는 못한다. 고조파 왜곡에 대해 각 고조파원의 기여 정도를 정량적으로 평가하고 파악할 수 있다면 효과적인 고조파 관리 및 대책 수립이 가능하다. 고조파 왜곡에 기여가 높은 수용가에 대해서는 별도의 저감장치를 우선 적용할 수 있고 패널티(penalty)를 부과할 수도 있다. 또한 고조파 왜곡 기여 정도에 따른 고조파 요금의 부과 등 다양한 관리 방안을 적용할 수도 있다. 배전계통에서의 고조파 왜곡 기여도 평가 기술은 PCC(point of common coupling)지점에서의 고조파 전압 왜곡에 대해 공급 계통과 PCC 이하 수용가들의 기여 정도를 정량적으로 추산하는 기술이다⁽¹⁾. PCC에서의 전압과 전류 측정으로부터 공급계통과 하위 수용가들의 고조파 등가 모델을 추정하여 중첩의 원리에 따라 전압 왜곡에 대한 기여도를 평가하게 된다. 이러한 기여도 평가에 있어 가장 중요한 부분은 측정 전압과 전류를 이용하여 고조파 등가 모델의 파라미터를 추정하는 것이다. 대표적인 방법으로 순환최소자승(RLS: recursive least square) 알고리즘을 이용한 파라미터 추정법이 몇몇 소개되어 있다⁽²⁾-⁽⁴⁾. 순환최소자승법은 알고리즘이 비교적 간단하고 수렴 특성이 우수하여 다양한 분야에서 활용되고 있다. 시스템 및 측정 데이터의 조건에 따라 추정 성능향상을 위해 다양한 응용 형태의 순환최소자승법이 개발되고 있다. 참고문헌 ⁽⁵⁾와 ⁽⁶⁾에서는 고조파 등가 파라미터 추정을 위한 고정 망각인자 (constant forgetting factor)를 포함하는 순환최소자승 알고리즘이 소개되었다. 망각인자를 통해 과거와 현재 측정 데이터의 반영 비중을 조절하여 추정 성능을 향상시켰다. 그러나 고정 망각인자 기반의 순환최소자승법은 공분산 행렬을 동일한 가중치의 망각인자로 계속 나누게 되어 추정이 불안정해지는 wind-up 문제가 발생할 수 있다. 이에 참고문헌⁽¹⁾에서는 가변 망각인자(variable forgetting factor)를 이용한 추정 방법이 제안되었고, 참고문헌⁽⁷⁾에서는 가변 망각인자와 함께 파라미터 변화 감지 기법을 이용하여 시변 파라미터 추정 성능을 크게 향상시킨 방법이 소개되었다. 그러나 이러한 파라미터 추정 기법들에 있어 측정 데이터에 이상점 (outlier)이 다수 포함되어 있을 경우 추정 성능이 현저히 떨어지는 근본적인 문제가 있다. 전력 계통에서 전압과 전류 등의 계측에 있어 다양한 원인에 의해 정상적이지 못한 데이터가 기록될 수 있으며 이러한 이상점이 포함된 데이터에 기반한 파라미터 추정 결과는 오차가 크게 나타날 수밖에 없다. 따라서 고조파 등가 파라미터 추정 성능 향상을 위해서는 PCC에서 측정된 원시 전압 및 전류 데이터에 대해 이상점 제거를 우선 수행해야 한다. 이에 본 논문에서는 이상점 제거를 위한 RANSAC (Random Sample Consensus) 알고리즘과 가변 망각인자 순환최소자승법에 기반한 고조파 등가 파라미터 추정 방법을 소개한다. 전자기 과도해석 모의를 통해 제안하는 방법의 이상점 제거 성능 및 이상점 유무에 따른 추정 결과를 비교 분석하였다.

2. 고조파 기여도 평가와 등가 파라미터 추정

2.2 고조파 등가 모델의 파라미터 추정

순환최소자승법은 최소자승법의 재귀 형태로 알고리즘이 비교적 간단하고 수렴특성이 우수하여 고조파 등가 파라미터 추정에 활용되고 있다. 시변 파라미터 추정에 있어 망각인자를 갖는 형태의 순환최소자승법이 일반적으로 성능이 우수하며 안정적이다^(8,9). 그림 1의 계통에 대한 고조파 등가 회로는 등가 임피던스와 전압원으로 그림 2와 같이 나타낼 수 있다.

그림 1 고조파 기여도 예

Fig. 1 Example of harmonic contribution assessment

그림 2 h차 고조파 회로의 등가 전압 모델

Fig. 2 Equivalent voltage model of hth harmonic circuit

등가 회로의 PCC 전압 $Y(t)$는 행렬의 형태로 식 (1)~(4)와 같이 나타낼 수 있다.

(1)

$Y(t)=A(t)\Theta$

(2)

$Y(t)=\left[V_{h,\:pcc,\:r}(t)V_{h,\:pcc,\:i}(t)\right]$

(3)

$A(t)=\left[I_{h,\:c,\:r}(t)I_{h,\:c,\:i}(t)1\right]$

(4)

$\Theta=\left[\begin{array}{cc}R_{h, c} & X_{h, c} \\ -X_{h, c} & R_{h, c} \\ V_{h, c, r} & V_{h, c, i}\end{array}\right]$

여기서, $R_{h,\:c}$와 $X_{h,\:c}$는 등가 임피던스이며, $V_{h,\:c,\:r}$과 $V_{h,\:c,\:i}$는 각각 고조파 등가 전압원의 실수와 허수부이다.

PCC에서 측정된 전압과 전류를 입력으로 순환최소자승법을 적용하여 등가 파라미터 행렬 를 추정하게 된다. 참고문헌 ⁽¹⁾에서는 식 (5) ~ (9)와 같은 가변 망각인자 기반의 순환최소자승법이 소개되었다. 가변 망각인자를 적용하여 정상상태에서의 공분산 행렬의 증가를 제한하여 시변 파라미터 추정 성능을 향상시켰다.

(5)

$\lambda_{n+1}=\lambda_{n}\alpha +(1-\alpha)$

(6)

$G_{n+1}= P_{n}A_{n+1}^{T}\left(I\lambda_{n+1}+ A_{n+1}P_{n}A_{n+1}^{T}\right)^{-1}$

(7)

$\Theta_{n+1}=\Theta_{n}+ G_{n+1}(Y_{n+1}-A_{n+1}\Theta_{n})$

(8)

$P_{n+1}=\left(I - G_{n+1}A_{n+1}\right)P_{n}/\lambda_{n+1}$

(9)

$\widehat{\Theta}_{n+1}=\Theta_{n+1}-\frac{P}{p_{11}+p_{22}}\left[\begin{array}{cc}\hat{\vartheta}_{11}-\hat{\vartheta}_{22} & \hat{\vartheta}_{12}+\hat{\vartheta}_{21} \\ \hat{\vartheta}_{12}+\hat{\vartheta}_{21} & \hat{\vartheta}_{22}-\hat{\vartheta}_{11} \\ 0 & 0\end{array}\right]$

여기서 $\lambda_{n}$와 $\alpha$는 각각 망각인자와 망각인자의 가중치이며, $\hat\vartheta_{ij}$는 $\Theta_{n+1}$의 행렬요소, $\hat\Theta_{n+1}$는 추정치, $G_{n+1}$는 이득 행렬이며, $P_{n+1}$은 공분산 행렬, $I$는 단위행렬, $p_{11}$과 $p_{22}$는 공분산 행렬 $P$의 요소이다.

또한 가변 망각인자와 함께 파라미터 변화 감지 기법을 활용한 파라미터 추정 방법도 개발되었다⁽⁷⁾. 해당 방법에서는 PCC 전압 변화율에 따라 과거와 현재 데이터 반영 비율을 제어하여 파라미터 추정 성능을 향상시켰다. PCC 전압의 변화율을 식 (10)과 같이 산출하고 변화율이 설정한 임계값을 넘을 경우 현재의 데이터만으로 파라미터 추정을 새롭게 실시하여 과거 데이터 반영으로 인한 추정 성능 저하를 방지하게 된다.

(10)

$\triangle V_{pcc}=\left |\dfrac{V_{pcc}^{s tart}- V_{pcc}^{(N)}}{V_{pcc}^{s tart}}\right |\times 100(\%)$

$\triangle V_{pcc}$는 PCC 전압의 변화율, $V_{pcc}^{s tart}$는 각 구간에서 PCC 전압의 시작값으로 파라미터 변화 감지를 위한 기준값이다. 또한 $V_{pcc}^{(N)}$는 $V_{pcc}^{s tart}$이후 순차적인 전압값이다.

3. 데이터의 이상점과 유효점

순환최소자승 알고리즘을 적용함에 있어 측정 데이터에 이상점이 존재할 경우 전체적인 파라미터 추정 성능이 저하되게 된다. 따라서 안정적인 파라미터 추정을 위해서는 측정된 원시 전압, 전류에서 이상점 데이터를 찾아 제거해야 한다. 데이터의 이상점은 일반적으로 계측간 오류로 인해 기록되는 정상적이지 못한 데이터나 노이즈를 의미하며 이러한 데이터로 인해 수렴 속도가 저하되고 추정 오차가 커지게 된다. 따라서 제안하는 방법에서는 이러한 이상점의 감지 및 제거를 위해 RANSAC 알고리즘을 적용하였다. RANSAC은 측정 데이터 셋에서 이상점(outlier) 및 심한 노이즈를 제거하여 보다 신뢰도 높은 데이터 모델을 추출하는 알고리즘이다⁽¹⁰⁾-⁽¹²⁾. 측정 데이터 셋에서 무작위 추출을 통해 가장 신뢰도 높은 수학적 모델을 도출하고 해당 모델을 기준으로 임계 범위를 크게 벗어난 값을 이상점으로 정의하여 제거하며, 반대로 임계 범위 이내의 값을 유효점(inlier)으로 정의하여 신뢰할 수 있는 데이터 셋을 만들게 된다. 그림 3은 RANSAC 알고리즘을 이용하여 이상점과 유효점을 구분하는 예를 나타내며 그림 4는 알고리즘 순서도를 나타낸다. RANSAC 알고리즘 적용에 있어 먼저 $T$와 $N$값을 설정한다. 여기서 $T$는 데이터의 지지를 가장 많이 받는 선형 함수 모델에서 이상점을 결정하기 위한 임계 범위로, 이 임계범위를 벗어나는 데이터를 이상점으로 판단하여 제거하게 된다. 임계범위 $T$가 너무 클 경우에는 유효점 범위가 넓어져 이상점이 제대로 제거되지 않을 수 있고 $T$가 너무 작을 경우에는 이상점뿐 아니라 유효점도 제거될 수 있다. 따라서 $T$는 정상 상태에서의 계측 물리량의 평균적인 변화폭을 고려하여 적당한 값을 설정하게 된다. 또한, $N$은 RANSAC 알고리즘에 있어 최적 함수를 결정하기 위한 이론상의 최대 반복 횟수를 나타내며 식 (11)과 같이 계산된다⁽¹⁰⁾. 그러나 정확한 $N$을 계산하기 위한 파라미터 값을 실제 측정에서는 알기 어렵기 때문에 일반적으로 데이터 개수를 고려하여 충분히 큰 값으로 $N$을 결정하게 된다.

여기서 $m$은 샘플 수, $\gamma$와 $\alpha$는 각각 유효점의 비율과 유효점을 뽑지 못할 확률을 의미한다.

다음으로 설정한 데이터 셋에서 무작위로 ($t_{i,\: 1}$, $d_{i,\: 1}$), ($t_{i,\: 2}$, $d_{i,\: 2}$) 데이터를 선택하여 두 점을 지나는 선형 함수 $F_{i}(t)$을 구한다.

그림 3(a)와 같이 $N$개의 $F_{1}(t),\: F_{2}(t),\: ... ,\:F_{N}(t)$선형 함수를 도출하고 임계 범위 $T$이내의 유효점을 가장 많이 포함하는 선형 함수 $F_{k}(t)$를 최종 모델로 결정한다. 최종 함수 모델 $F_{k}(t)$을 이용하여 그림 3(b)와 같이 임계 범위를 벗어난 이상점 데이터는 제거하고 임계값 이내의 유효점만을 선택하여 새로운 데이터 셋을 만든다.

그림 4 RANSAC 알고리즘

Fig. 4 RANSAC algorithm

그림 5 RANSAC 알고리즘과 가변 망각인자의 순환최소자승법을 이용한 파리미터 추정 절차

Fig. 5 Procedure of parameter estimation using the RANSAC algorithm and variable forgetting factor RLS method

그림 5는 RANSAC 알고리즘을 포함하는 고조파 등가 파라미터 추정의 전체 절차를 나타낸다. 먼저 가변 망각인자 순환최소자승법 적용을 위한 설정값들을 초기화하고 데이터 구간(interval)을 설정한다. 설정 구간의 데이터에 대해 RANSAC을 이용하여 이상점을 제거하고 유효 데이터 셋을 만든다. 다음으로 PCC 전압의 변화율($\Delta V_{pcc}$)을 계산한 후 임계값($V_{threshold}$) 보다 작을 경우 순환최소자승 알고리즘을 적용하여 파라미터를 추정한다. 반면 전압 변화율이 임계값보다 클 경우 설정값을 다시 초기화하여 새로운 추정을 실시한다. 이러한 절차를 마지막 측정 데이터($t_{end}$)까지 적용한다.

그림 6 PSCAD/EMTDC 모의 계통

Fig. 6 PSCAD/EMTDC test system

4. 모의 계통 및 사례 연구

4.2 파라미터 추정 결과 및 분석

제안하는 방법과 method 1, 2를 이용한 수용가 A의 등가 파라미터 추정 결과는 그림 8과 같다. method 1에서의 고정 망각인자 값은 0.9933으로 가장 양호한 추정 결과가 나왔던 케이스이다. method 2의 경우 초기 망각인자 $\lambda_{0}$와 가중치 $\alpha$는 제안하는 방법과 동일한 값으로 모의하였다. 파라미터 변화를 고려하여 1.8초와 3.2초를 기준으로 S1, S2, S3의 세 구간으로 나누어 추정 결과를 분석하였다. method 1의 경우 이상점의 영향으로 파라미터 추정 성능이 전체적으로 불안정하게 나타났으며 특히 등가 리액턴스 및 전압의 허수부의 경우 수렴 특성이 매우 좋지 못했다. 반면 제안하는 방법의 경우 각 구간별 안정적인 추정 성능을 보여 주었다. 표 2는 S1, S2, S3의 각 구간별 수용가 A의 추정치 평균값을 정리한 것이다. method 1의 경우 실제값과 추정값과의 오차가 전반적으로 크며 특히 S2구간에서의 리액턴스값은 오차가 26%로 매우 크게 나타났다.

표 1 모의 계통의 등가 전압 및 임피던스 (5고조파)

Table 1 Equivalent voltage and impedance in the test system (5th harmonic)

	시간 [sec]	전압 [kV]	임피던스[Ω]
전원 측	0~5	0.001+j0.001	1.00+j1.88
수용가 A	0~1.8	1.07+j0.59	2.00+j1.88
	1.8~5		6.00+j9.42
수용가 B	0~3.2	0.12+j0.06	4.00+j18.85
	3.2~5	1.33+j0.62

그림 7 이상점을 포함한 PCC 전압과 전류

Fig. 7 PCC voltage and current including outlier

그림 8 수용가 A의 파라미터 추정

Fig. 8 Parameter estimation for customer A

그림 9는 수용가 B에 대한 추정 결과를 나타낸다. method 2는 전체적으로 method 1보다는 안정적인 추정 성능을 보여 주었으나 이상점이 존재하는 부분에서 수렴하는데 상당한 과도 특성이 나타났다. 반면에 제안하는 방법의 경우 이상점 제거를 통해 전체 구간에서 매우 안정적인 추정 성능을 보여 주었다. 표 3은 세 구간별 수용가 B의 추정치 평균값을 정리한 것이다.

표 2 수용가 A의 파라미터 추정 결과

Table 2 Parameter estimation results of customer A

		Time section [sec]
Parameter	Method	S1	S2	S3
R	method 1	2.40	4.99	5.95
	method 2	1.98	5.54	5.99
	proposed	2.00	6.00	6.00
	actual	2.00	6.00	6.00
X	method 1	1.23	6.94	8.40
	method 2	1.80	7.80	9.02
	proposed	1.88	9.41	9.41
	actual	1.88	9.42	9.42
V (real)	method 1	1.10	0.88	1.03
	method 2	1.05	0.96	1.05
	proposed	1.07	1.07	1.07
	actual	1.07	1.07	1.07
V (imaginary)	method 1	0.40	0.44	0.52
	method 2	0.57	0.48	0.56
	proposed	0.59	0.59	0.59
	actual	0.59	0.59	0.59

표 3 수용가 B의 파라미터 추정 결과

Table 3 Parameter estimation results of customer B

		Time section [sec]
Parameter	method	S1	S2	S3
R	method 1	6.89	4.09	3.19
	method 2	3.97	4.15	3.94
	proposed	4.00	4.00	4.00
	actual	4.00	4.00	4.00
X	method 1	13.98	14.52	11.50
	method 2	16.53	15.88	17.50
	proposed	18.84	18.84	18.85
	actual	18.85	18.85	18.85
V (real)	method 1	0.13	0.13	0.95
	method 2	0.15	0.13	1.26
	proposed	0.12	0.12	1.33
	actual	0.12	0.12	1.33
V (imaginary)	method 1	0.17	0.07	0.39
	method 2	0.10	0.06	0.57
	proposed	0.06	0.06	0.62
	actual	0.06	0.06	0.62

그림 9 수용가 B의 파라미터 추정

Fig. 9 Parameter estimation for customer B

5. 결 론

본 논문에서는 RANSAC 알고리즘과 순환최소자승법을 이용한 고조파 등가 파라미터 추정 방법을 제안하였다. 고조파 왜곡 기여도 평가를 위해서는 PCC를 기준으로 전원계통 및 각 수용가들에 대한 고조파 등가 모델이 필요하다. 그러나 고조파 등가 모델의 파라미터들은 직접 측정이 어렵기 때문에 일반적으로 수치해석 방법을 사용하여 추정하게 된다. 순환최소자승 알고리즘에 기반한 몇몇 추정 방법들이 소개되었지만, 해당 방법들은 측정 데이터에 이상점이 존재할 경우 파라미터 추정 성능이 현저히 떨어지는 한계가 있었다. 이에 RANSAC 알고리즘을 이용한 효과적인 이상점 제거 방법을 제안하였다. 설정한 데이터 구간에서 임계범위를 벗어나는 이상점 데이터를 제거하여 유효점만으로 새로운 데이터 셋을 만든다. 이상점이 제거된 데이터 셋과 파라미터 변화 감지 기법을 함께 활용하여 순환최소자승법의 파라미터 추정 성능을 향상시켰다. 사례연구에서는 측정 데이터에 이상점이 존재하는 경우에 대해 기존의 파라미터 추정 방법과의 비교 분석을 실시하였으며 제안하는 방법의 우수한 추정 성능을 확인하였다. 등가 파라미터 추정 성능의 향상을 통해 보다 신뢰도 높은 고조파 왜곡 기여도 평가가 가능할 것으로 판단된다.