2.1 국내사례

국내에서는 전력수요 예측의 정확도를 높이기 위한 다양한 방법이 있다. 첫째, 하루 전 전력 사용량을 가우시안 프로세스에 기반 하여 예측한 사례이다⁽⁶⁾. 이는 데이터의 양과 질에 따라서 신뢰성이 크게 차이난다⁽⁷⁾. 정확한 예측을 위해서는 오차 데이터 분석을 통해 실제 오차가 가우시안 분포를 따르는지 확인을 하여 신뢰성 향상이 필요하다⁽⁸⁾. 둘째, 지역전력수요예측 알고리즘을 다중회귀분석법을 통해 개선한 사례이다.⁽⁹⁾ 하지만 선형회귀모형만을 이용하여 오차검증을 하기 때문에 비선형적인 특징을 잡아내지 못해서 오차가 크다는 한계가 있다. 오차를 줄이기 위해서는 교차 검증을 통해 수집한 데이터의 비선형적인 특징도 학습해야 한다. 셋째, 발전 시스템의 발전량을 수요 예측한 사례이다. 발전량 수요 예측에는 네 가지의 네트워크에 다른 시점의 과거 전력 사용량 데이터를 입력하여 최종 예측치를 얻는 방법⁽¹⁰⁾, 요일이나 휴일의 패턴을 고려한 방법⁽¹¹⁾, 기온 정보를 가지고 가중치를 두어 전력량을 예측하는 방법⁽¹²⁾ 등이 있다. 이러한 방법들은 예측의 정확도는 높지만 오차를 고려하지 않았다는 한계점이 있다.⁽¹³⁾

2.2 해외사례

해외에서는 전력수요 예측에 대한 대표적인 연구 방향으로 세 가지 확률 예측 방법이 있다. 첫째, 예측 지점에 대해 양자 회귀 평균화(Quantum regression averaging)를 수행하여 예측의 정확도를 높인다⁽¹⁴⁾. 이는 다수의 입력 시나리오를 제작한 뒤, 시나리오별로 점 단위 예측을 하고, 예측값을 모아서 확률 분포를 구하는 방법이다. 다수의 온도 시나리오를 생성하고, 시나리오별로 회귀 모델을 학습시켜 얻은 점 단위 예측값들을 경험 확률 밀도 함수로 제시하는 것이다⁽¹⁵⁾. 하지만 이 방법은 시나리오의 제작 시간과 계산 시간이 오래 걸리고 오차가 전파될 수 있다는 단점이 있다. ⁽¹⁶⁾에서는 10년간의 온도 및 전력수요 데이터의 일부만을 변형하여 시나리오로 삼아 전력수요의 확률분포를 예측했다. 이는 단순히 과거의 데이터의 일부만을 변형 사용하는 것에 불과하여 시나리오 사이의 독립성을 유지할 수 없다. 또한 예측된 데이터가 아닌 관측된 데이터를 이용하기 때문에 예측 결과의 신뢰성이 떨어진다.

둘째, 점 단위 예측을 통해 얻은 결과를 실측값과 비교해서 얻은 예측 오차로부터 오차 분포를 생성한 후 점 단위 예측값에 더하는 방법이 있다. 단기 전력수요를 측정할 때 시나리오를 바탕으로 확률적 예측을 수행하되 각 시나리오를 통해 얻은 예측 확률 분포표에 가우시안 함수를 이용해 다양한 오차 데이터를 샘플링해 정확도를 높이는 방법이 대표적이다⁽¹⁷⁾. 하지만 통계적 검증을 통해서 전력수요의 오차를 표현하는 적절한 확률 밀도 함수를 선정하는 절차가 반드시 필요하다.

셋째, 분위수 회귀분석을 통해 확률 분포를 직접 구하는 방법이다. 분위수 회귀분석을 활용한 비변수 확률 예측 방법을 연구한 ⁽¹⁸⁾에서는 중기 전력수요 예측 과정에 있어서 다수의 온도 시나리오를 예측 변수로 활용하고, 이를 다시 분위수 회귀분석으로 분포를 예측한 뒤 온도 시나리오별 예측 분포를 평균하여 확률적으로 전력수요를 예측한다. 하지만 분위수 예측 방법은 높은 연산 시간을 요구한다는 단점이 있다. 반면 라플라스 분포로 정형화하면 오차에 대한 별도의 계산 시간이 필요 없기 때문에 더욱 경제적이다. 뿐만 아니라 확정적인 확률분포를 평균과 분산만으로 표현이 가능해서 다음 단계에서 넘겨줄 정보 숫자가 적고, 다음 단계에서도 분석한 데이터의 활용이 용이하다. 따라서 분위수 회귀분석과 라플라스 분포를 비교, 분석하여 예측 정확도가 더 높은 방법을 택해야 한다.

3.1 변수 방법(Parametric Approach) 확률적 수요예측

변수 방법의 확률 예측에서는 전력수요 예측값의 확률 분포를 기존에 잘 알려진 확률 밀도 함수로 표현한다. 알려진 확률밀도함수는 변수를 이용해서 닫힘계(closed form)로 표현이 가능하기 때문에 변수 방법이라 부른다. 따라서 어떤 확률 밀도함수를 선택하느냐에 따라서 확률 예측의 정확도가 결정된다. 본 논문에서는 일반적으로 확률밀도함수로 가정되는 가우시안 분포 함수와 라플라스 분포 함수를 비교한다.

변수 방법 기반의 확률적 전력수요 예측 알고리즘은 다음과 같은 순서로 진행된다. 먼저 일반적으로 점 단위로 샘플링된 데이터를 가지고 수요를 예측한다. 이를 통해 먼저 1차적인 예측을 수행하고, 예측값과 실측값의 차이를 통해 개별 오차의 관측값을 수집하고, 교차 검증을 통해 오차 데이터를 누적한다. 이를 통해 얻은 오차 분포를 통해 가장 오차 분포를 적절히 표현할 수 있는 확률 밀도함수를 가져온다. 이때 확률 밀도함수의 평균이 시간대별 미래 전력수요 예측값이 되며, 확률 밀도함수의 확률 구간을 통해 실제 전력수요가 위치할 수 있는 확률 분포 또는 구간을 제시한다. 본 논문에서는 총 9개의 구간 즉 10%~20%, 20%~30%, ……, 80%~90%의 구간의 임계값들을 제시한다. 변수 방법 확률 수요예측의 전체적인 순서도는 아래의 그림 2과 같다. 교차 검증 방법은 KFold 방법을 10회 사용하였다. 이러한 예측값을 통해 실측값과의 차이를 비교하여 오차 데이터를 수집한다. 오차 데이터를 오차 분표표로 만들어서 가우시안, 라플라스, 분위수 회귀분석을 통해 예측값을 구한다. 이후 핀볼함수를 통해 어떤 모델의 예측 성능이 가장 좋은지 분석한다.

그림. 1. 변수 방법 확률 예측 흐름도

Fig. 1. Flow chart of parametric approach

3.1.1 Gradient Boosting Machine

점 단위 전력수요 예측은 GBM을 사용한다. GBM은 결정 트리방법의 머신러닝 기법중 하나로 m번째 회귀분석 함수인 $F_{m}(x)$를 업데이트 하는 알고리즘이다. 이는 Gradient Descent 방법을 활용하여 개별 결정 트리를 반복하여 형성하며 개별 결정 트리 모델의 오차를 반영한 새로운 모델을 형성하는 것을 반복하는 알고리즘이다. 각각의 결정 트리는 가중치가 존재하며, 이들을 가중 평균하여 단일 예측을 한다. 이때 $m$은 모델의 반복 강화 횟수이며, $i$는 관측값의 단위이다.

(1)

$L(y_{i},\:F_{m-1}(x_{i}))=\dfrac{(y_{i}- F_{m-1}(x_{i}))^{2}}{2}$

실측값과 예측값의 제곱 오차 형태인 식(1)은 GBM의 오차 함수로 활용하며, 오차함수를 미분해 얻어지는 기울기는 Gradient Descent 방법을 통해 새로운 모델을 결정하도록 활용한다. 이때 식(1)의 미분에 의해 단순히 m번째 단계의 예측값과 실측값 차이에 오차를 맞추도록 아래와 같이 모델 기울기를 결정하게 된다.

(2)

$r_{im}= -[\dfrac{\partial L(y_{i},\:F(x_{i}))}{\partial F(x_{i})}]_{F(x)= F_{m-1}(x)}$

식(2)에서 $r_{im}$은 $i$번째 관측값에 대한 $m$번째 모델 보강을 위한 기울기이며, 관측값 $x_{i}$와 $r_{im}$이 짝을 이루어 학습하여 결정 트리를 아래와 같이 형성한다.

(3)

$h_{m}(x)=\sum_{j = 1}^{J_{m}}b_{jm}I(x\in R_{jm})$

식(3)에서 $h_{m}$은 $m$번째 결정 트리이며, $j$는 $m$번째 결정 트리 잎의 개수이다. $R_{jm}$은 관측 값들의 구역을 나눈 것이며, $I$는 손실함수이고, 각 구역에 속한 관측값 $x$에 대한 결과값은 구역의 평균으로 한다. 최종 예측 모델은 아래와 같다.

(4)

$\gamma_{jm}=\arg\min_{\gamma}\sum_{x_{i}\in R_{jm}}L(y_{i},\:F_{m-1}(x)+\gamma h_{m}(x_{i}))$

(5)

$F_{m}(x)= F_{m-1}(x)+\sum_{j=1}^{J}\gamma_{jm}I(x\in R_{jm})$

식(4)에서 $m$번째 결정 트리의 $j$번째 트리의 잎마다 가중치 $\gamma_{jm}$ 을 결정하고 매 반복마다 전체 회귀 함수 $F_{m}$을 식(5)와 같이 개정한다. GBM 알고리즘의 전체 구조를 그림 3에 나타내었다.

그림. 2. Gradient Boosting Machine

Fig. 2. Gradient Boosting Machine

3.1.3 확률밀도함수 선정

우리는 수요의 오차를 가장 잘 표현해줄 수 있는 라플라스 분포를 제시한다. 먼저 관측값들의 분포 경향을 판단할 수 있는 첨도(Kurtosis)를 계산한다. 첨도 계산식은 식(6)에 나와 있다.

(6)

$K =\dfrac{1}{n}\sum_{i =1}^{n}(\dfrac{X_{i}-\overline{X}}{s})^{4}$

$K$는 첨도, $N$은 오차 관측 값들의 개수, $X_{i}$는 관측값,$\overline{X}$는 관측값의 평균, $s$는 관측값의 표준편차를 의미한다. 첨도는 관측값들의 분포가 평균에 밀집해 있는 정도에 대한 정량적 값을 제시해주며, 이 값이 3이상이면 정규 분포에 비해 뾰족한 분포를 의미한다. 앞서 얻어낸 전체 오차 데이터들의 첨도는 6.04로 이 기준에서 많이 벗어난다. 그림 4을 통해 확인할 수 있듯 평균 주변의 밀도가 높다. 따라서 오차 분포를 적절히 나타내는 확률 밀도함수를 설정할 때에는 평균에서의 확률밀도가 충분히 높은 것이어야 한다.

그림. 3. 오차 분포

Fig. 3. Error Distribution

본 논문에서는 첨도가 높은 관측값을 활용할 수 있는 라플라스 분포를 선정한다. 대표적인 확률밀도 함수인 가우시안 분포도 비교한다. 가우시안 분포와 라플라스 분포의 확률밀도함수는 각각 식(7)과 식(8)과 같다. 표 1의 오차 데이터의 평균과 표준편차를 활용하여 오차 데이터의 각각 구간에 해당하는 수학적 형태를 결정한다. 여기서 $\mu$는 평균, $\sigma^{2}$은 분산, $b$는 스케일 매개변수이다.

(7)

$f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt[2]{2\pi}}e^{(-\dfrac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})}$

(8)

$f(x;\mu ,\:\sigma^{2})=\dfrac{1}{2b}e^{(-\dfrac{| x-\mu |}{\sigma^{2}})}$

3.2 비변수 방법 (Non-parametic Approach) 확률 수요예측

비변수 방법의 확률 전력수요 예측은 변수 방법과는 달리 특정한 확률밀도함수의 분포를 따른다고 가정하지 않는다. 비변수 방법의 확률 예측에는 경험 분포 함수(Empirical Distribution Function)를 활용하는 방법과 분위수 회귀분석(Quantile Regression)을 활용하는 방법이 대표적이다. 본 논문에서는 앞서 설명한 GBM을 바탕으로 한 GBM 분위수 회귀분석을 바탕으로 전력수요를 확률적으로 예측한다.

4.1 핀볼함수

핀볼 손실 함수는 손실값에 가중치를 두어 예측값의 정확도를 추론하는 함수이다. 이 함수는 식(13)으로 표현한다. 이때 a는 표본 분위를, $q_{a}$는 분위별 예측을 의미한다.

본 절에서는 P90 (Probability90), P10 (Probability10)을 사용해 가우시안 분포, 라플라스 분포, 분위수 회귀분석을 통해 예측한 값과 비교한다. P90은 발생 빈도수 90%, P10은 발생 빈도수 10%를 의미한다. 따라서 예측값이 핀볼 손실 함수 사이에 있을 때 예측 정확도가 높다. 예측 정확도는 RMSE 비교 대신 핀볼 함수를 이용하여 비교하였다.

4.2 예측 결과

아래 그림 5, 그림 6, 그림 7에서는 P10, P90 그래프로 예측 범위를 나타낸다. P10은 그래프상 위측 검은선, P90은 그래프상 아래측 검은선, 예측값은 붉은 점선으로 표기하였다. 점선은 각 함수별 예측값을 나타내며, P10과 P90 그래프 사이에 있을수록 정확도가 높다.

그래프 내에서 P10과 P90 사이에 예측값이 있을수록 예측의 정확도가 높다. 먼저 가우시안 분포를 이용해서 전력수요를 예측한다.

그림. 4. 가우시안 분포 전력수요 예측

Fig. 4. Gaussian Distribution Load Forecast

가우시안 분포는 확률 예측의 확률구간의 폭이 좁아 적절한 확률 예측을 수행했을 때 정확도는 높지만, 다수의 구간에서 예측값이 실측값을 벗어나고 있다. 핀볼 함수값은 23.33이 나왔다. 이는 세 가지 예측 모델 중 성능이 제일 낮다.

그림. 5. 라플라스 분포 전력수요 예측

Fig. 5. Laplace Distribution Load Forecast

라플라스 분포가 가장 높은 성능의 예측값을 구할 수 있다. 그래프를 보면 P10, P90, 점선이 대부분의 구간에서 일치하는 것을 확인할 수 있다. 핀볼 함수값은 21.25가 나왔다. 이는 세 가지 예측 모델 중 가장 성능이 좋다는 것을 의미한다.

그림. 6. 분위수 회귀분석 전력수요 예측

Fig. 6. Quantile Regression Load Forecast

분위수 회귀분석 방법의 전력수요 예측값 그래프 개형은 P10에서 P90 사이에 있지만 예측 범위가 넓어 결과의 정확도가 떨어진다. 핀볼 함수값은 22.35가 나왔다. 세 가지 모델 중 중간 정도의 성능이다.

위의 세 가지 확률 전력수요 예측 그래프를 보면 확률 예측의 예측 구간 내에 실제 수요가 포함되고 있음을 알 수 있다. 이에 따라 예측값이 실측값과 크게 차이나는 부분이 있다. 이를 핀볼 함수를 이용하여 분석한다.

모델별 성능비교를 정량적인 방법으로 평가하기 위해 핀볼함수를 토대로 가우시안 분포 기반 변수 방법, 라플라스 분포 기반 변수 방법, GBM 활용 분위수 회귀분석 기반 비변수 방법, 이렇게 세 가지의 성능을 비교한다. 결과는 표 3와 같이 가우시안 분포 기반 변수법일 때 23.33, 라플라스 분포 기반 변수법일 때 21.25, GBM 활용 분위수 회귀분석 기반 비변수법일 때 22.35가 나와, 라플라스 분포 기반 변수법이 가장 성능이 높은 것을 알 수 있다.

4.3 확률적 전력수요 예측값 비교

라플라스 분포를 활용한 확률적 예측의 결과가 가장 정확하다. 그림 5는 10%와 90%의 분위수로 제시한 확률구간으로 제시한 확률적 예측 결과이다. 대부분의 시간대에서 비변수 방법을 통한 확률구간 내에 실제 수요가 포함되고 있음을 확인할 수 있다. 반면 변수 방법의 확률구간의 폭이 좁아 적절한 확률 예측을 수행했을 때 그 정확도는 높지만, 많은 구간에서 실제 수요가 벗어나고 있음을 그림 5, 그림 6, 그림 7을 통해 확인할 수 있다.

라플라스 분포 방법이 가우시안 분포 방법보다 높은 성능을 보이는데 이를 통해 오차 분포의 데이터를 가공하여 사 용하는 변수 방법이 오차 분포를 잘 표현하는 확률 모델에 의존한다는 사실을 확인할 수 있다. 표 2의 핀볼함수값 비교를 통해 알 수 있듯, 정확한 전력수요 예측을 위해 본 논문에서 제안하는 방법인 라플라스 분포 기반 변수 방법을 통한 전력수요 예측이 확률적으로 가장 전력수요 예측 성능이 높다.