2. 쿼드로터의 제어 시스템 구성
본 논문에서는 T-S 퍼지 모델로 표현된 쿼드로터 시스템에 대한 상태 양자화를 고려한 강인 샘플치 퍼지 조정기 설계 문제를 다룬다.
2.1 시스템 모델
본 논문에서 다루는 T-S 퍼지 모델은 다음과 같다.
여기서 $A_{i}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$는 시스템 행렬이고, $B_{i}∊ℝ^{n_{x}\times n_{u}}$는 입력 행렬이며,
$x(t)∊ℝ^{n_{x}}$와 $u(t)∊ℝ^{n_{u}}$, $p(t)∊ℝ^{n_{p}}$는 각각 상태, 입력, 그리고 전제 벡터이다. 또한,
$r$은 퍼지 규칙 수이며, $i∊ I_{r}$에 대해 $w_{i}(p(t))∊ℝ_{[0,\: 1]}$는 소속도 함수로, 다음의 조건을 만족한다.
$\sum_{i=1}^{r}w_{i}(p(t))=1$.
본 논문에서는 (10)에서와 같이 전체 쿼드로터 동역학을 자세 각도와 고도에 대한 동역학 시스템으로 분할하여 T-S 퍼지 모델로 표현한다.
2.1.1 자세 시스템
자세 시스템은 쿼드로터의 자세 각도 변화를 표현하는 동역학 시스템으로 상태 변수를 다음과 같이 선택한다.
$x_{a}(t)=\begin{bmatrix}\phi(t)&\dot\phi(t)&\theta(t)&\dot\theta(t)&\psi(t)&\dot\psi(t)\end{bmatrix}^{T}$,
여기서 $\phi(t)$, $\theta(t)$, $\psi(t)$는 각각 롤 (roll), 피치 (pitch), 요 (yaw) 각도를 표현하며 단위는
[rad]이다.
이제 전제 벡터를 $p_{a}(t)=\begin{bmatrix}x_{a}^{2}(t)& x_{a}^{4}(t)\end{bmatrix}^{T}$로 정의하면
다음과 같은 식을 얻을 수 있다(10).
$\dot x_{a}(t)=\sum_{i=1}^{4}w_{a}^{i}(p_{a}(t))\left\{A_{a}^{i}x_{a}(t)+B_{a}^{i}u_{a}(t)\right\}$,
여기서
$A_{a}^{i}=\begin{bmatrix}0& 1& 0& 0& 0& 0\\0& 0& 0& 0& 0& a_{1}\Gamma_{4}^{i}\\0&
0& 0& 1& 0& 0\\0& 0& 0& 0& 0& a_{2}\Gamma_{2}^{i}\\0& 0& 0& 0& 0& 1\\0& 0& 0& a_{3}\Gamma_{2}^{i}&
0& 0\end{bmatrix}$, $B_{a}^{i}=\begin{bmatrix}0&0&0\\b_{1}&0&0\\0&0&0\\0&b_{2}&0\\0&0&0\\0&0&b_{3}\end{bmatrix}$,
$u_{a}(t)=\begin{bmatrix}u_{\phi}(t)\\u_{\theta}(t)\\u_{\psi}(t)\end{bmatrix}$,
$a_{1}=\dfrac{I_{y}-I_{z}}{I_{x}}$, $a_{2}=\dfrac{I_{z}-I_{x}}{I_{y}}$, $a_{3}=\dfrac{I_{x}-I_{y}}{I_{z}}$,
$b_{1}=\dfrac{L}{I_{x}}$, $b_{2}=\dfrac{L}{I_{y}}$, $b_{3}=\dfrac{1}{I_{z}}$이고, $I_{x}$,
$I_{y}$, $I_{z}$는 각 축의 관성 모멘트이며, $L$은 무게 중심에서 각 로터까지의 거리, $\Gamma_{2}^{i}$와 $\Gamma_{4}^{i}$는
각각 $\Gamma_{2}=\left\{M_{2},\: M_{2},\: -M_{2},\: -M_{2}\right\}$와 $\Gamma_{4}$$=\left\{M_{4},\:
-M_{4},\: M_{4},\: -M_{4}\right\}$의 $i$번째 요소이고, $M_{2}$와 $M_{4}$는 양의 스칼라로, 본 논문에서는
$2000\pi /180$로 설정하였다. 이때, 소속도 함수는 다음과 같다.
$w_{a}^{i}(p_{a}(t))=\dfrac{x_{a}^{2}(t)+M_{2}}{2M_{2}}\times\dfrac{x_{a}^{4}(t)+M_{4}}{2M_{4}}$,
$w_{a}^{2}(p_{a}(t))=\dfrac{x_{a}^{2}(t)+M_{2}}{2M_{2}}\times\dfrac{M_{4}-x_{a}^{4}(t)}{2M_{4}}$,
$w_{a}^{3}(p_{a}(t))=\dfrac{M_{2}-x_{a}^{2}(t)}{2M_{2}}\times\dfrac{x_{a}^{4}(t)+M_{4}}{2M_{4}}$,
$w_{a}^{4}(p_{a}(t))=\dfrac{M_{2}-x_{a}^{2}(t)}{2M_{2}}\times\dfrac{M_{4}-x_{a}^{4}(t)}{2M_{4}}$.
2.1.2 고도 시스템
고도 시스템은 쿼드로터의 고도 변화를 표현하는 동역학 시스템으로 상태 벡터를 $x_{z}(t)=\begin{bmatrix}z(t)&\dot z(t)\end{bmatrix}^{T}$으로
선택했다. 여기서 $z(t)$는 쿼드로터의 관성 좌표계 상 수직축의 위치를 의미한다.
한편, 전제 변수를 $p_{z}(t)= c_{\phi}c_{\theta}/ m$로 정의하고, $u_{t}(t)=\dfrac{mg}{c_{\phi}c_{\theta}}+u_{z}(t)$로
치환하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다(10).
$\dot x_{z}(t)=\sum_{i=1}^{2}w_{z}^{i}(p_{z}(t))\left\{A_{z}^{i}x_{z}(t)+B_{z}^{i}u_{z}(t)\right\}$,
여기서 $A_{z}^{i}=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$, $B_{z}^{i}=\begin{bmatrix}0\\Z^{i}\end{bmatrix}$이고,
$Z^{i}$은 $Z=\left\{z_{M},\: z_{m}\right\}$의 $i$번째 요소이다. 또한, $z_{M}$과 $z_{m}$은 각각 $1/m$과
$0.25/m$이며, $m$과 $g$는 각각 쿼드로터의 질량과 중력 가속도를 나타낸다.
2.2 샘플치 퍼지 조정기
상태 양자화를 고려한 샘플치 퍼지 조정기는 다음과 같이 표현된다.
여기서 $t_{k}$는 $k$번째 샘플 시점이고, $e(t_{k})=x(t_{k})-r(t_{k})$이며 $r(t_{k})∊ℝ^{n_{x}}$는 참조
값이고, $K_{i}∊ℝ^{n_{u}\times n_{x}}$는 이득 행렬이다. 또한, 대수 양자화기는 다음과 같다.
$q(·)=\begin{bmatrix}q_{1}(·)&q_{2}(·)&\cdots &q_{n_{x}}(·)\end{bmatrix}^{T}$,
$m$번째 부분 양자화기 $q_{m}(·)$는 다음의 특징을 가지며,
$q_{m}(e(t_{k}))=-q_{m}(-e(t_{k}))$,
양자화된 레벨 집합은 다음과 같다.
$\left\{±\sigma_{m}^{q}vert\sigma_{m}^{q}=(\rho_{m})^{q}\sigma_{m}^{0},\: q=0,\: +-
1,\: +- 2,\:\ldots\right\}\bigcup\{0\}$,
$0\le\rho_{m}<1$, $\sigma_{m}^{0}>0$,
여기서 $\rho_{m}$과 $\sigma_{m}^{0}$는 각각 양자화 밀도와 초기 양자화를 나타낸다.
$q_{m}(·)$는 다음과 같은 양자화 규칙을 가진다.
$q_{m}(e_{m}(t_{k}))=$
$\begin{cases}
\sigma_{m}^{q},\:&{if}e_{m}(t_{k})>0{and}\dfrac{\sigma_{m}^{q}}{1+l_{m}}<e_{m}(t_{k})\le\dfrac{\sigma_{m}^{q}}{1-l_{m}},\:\\
0,\:&{if}e_{m}(t_{k})=0,\:\\
-q_{m}&(-e_{m}(t_{k})),\:{if}e_{m}(t_{k})<0,\:
\end{cases}$
여기서 $m ∊ I_{n_{x}}$에 대해 $l_{m}=(1-\rho_{m})/(1+\rho_{m})$는 양자화 파라미터이다. 위의 양자화기 규칙에서
다음의 식을 알 수 있다.
양자화기 $q(e(t_{k}))$를 미지의 함수 $f(e(t_{k})):=$ $col$ $\left\{f_{1}(e(t_{k})),\: f_{2}(e(t_{k})),\:\ldots
,\: f_{n}(e(t_{k}))\right\}$를 이용하여 다음과 같이 재구성하면
식 (3)과 (4)로부터 다음의 부등식이 만족한다는 것을 알 수 있다.
이상을 정리하면, 샘플치 퍼지 조정기는 다음과 같이 재구성된다.
한편, 본 논문에서 샘플링이 주기적이지 않고, 연속적인 두 샘플링 시점 사이의 간격이 특정한 값 범위에 속한다고 가정한다. 즉, 다음이 성립한다고
가정한다.
$t_{k+1}-t_{k}=h_{k}∊\left[h_{1},\: h_{2}\right]$,
여기서 상수 $h_{1}$과 $h_{2}$는 $h_{2}\ge h_{1}>0$의 조건을 만족하며, 각각 샘플링 간격의 상한치와 하한치를 의미한다.
식 (6)을 (1)에 대입하면, 다음과 같은 쿼드로터의 폐루프 시스템을 얻을 수 있다.
마지막으로, 제안하는 방법을 유도하기 위해 사용되는 보조 정리를 소개하며 이 장을 마친다.
보조 정리1(19) : $\left | w_{i}-v_{j}\right |\le\mu_{i}$, $i∊ I_{r}$를 만족하는 양의 스칼라 $\mu_{i}$에 대해
다음의 LMI 조건을 만족하는 양의 한정 행렬 $Q_{ij}$와 $E_{ij}$가 존재하면, 임의의 대칭 행렬 $X_{ij}$에 대해 행렬 부등식
$\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{r}w_{i}v_{j}X_{ij}PREC 0$이 성립한다.
$M_{ii}>0$, $M_{ij}+M_{ji}>0$,
$X_{ij}+2M_{ij}+\sum_{p=1}^{r}\mu_{p}(N_{ip}+N_{pj})<0$,
여기서 $w_{i}$와 $v_{j}$는 각각 소속도 함수이고, $M_{ij}=$$Q_{ij}-E_{ij}$, $N_{ij}=Q_{ij}+E_{ij}$이다.
보조 정리2(20): $i∊ I_{r}$에 대해 임의의 행렬 $X_{ij}$, $Y_{ij}$와 양의 한정 행렬 $S$에 대해 다음의 부등식이 성립한다.
$2\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{r}\sum_{k=1}^{r}\sum_{l=1}^{r}h_{i}h_{j}h_{k}h_{l}X_{ij}^{T}SY_{k
l}\le\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{r}h_{i}h_{j}\left(X_{ij}^{T}SX_{ij}+Y_{ij}^{T}SY_{ij}\right)$,
여기서 $i∊ I_{r}$에 대해 $h_{i}$는 다음과 같은 조건을 만족하도록 정의된다.
$h_{i}(·)\ge 0$, $\sum_{i=1}^{r}h_{i}(·)=1$.
3. 샘플치 퍼지 조정기 설계
이 장에서는 상태 양자화를 가진 샘플치 퍼지 조정기를 이용한 쿼드로터의 조정기 설계 조건을 LKF를 기반으로 선형 행렬 부등식의 형태로 제안한다.
이때 제어기 입력에서 참조 값 $r(t_{k})=0$으로 가정한다.
정리 1 : 아래의 선형 행렬 부등식들을 만족하는 양의 한정 행렬 $\bar{P}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $\bar{U}∊ℝ^{n_{x}\times
n_{x}}$, $\bar{R}_{1}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $Q_{ij}^{1}∊ℝ^{5n_{x}\times 5n_{x}}$,
$E_{ij}^{1}∊ℝ^{5n_{x}\times 5n_{x}}$, $Q_{ij}^{2}∊ℝ^{6n_{x}\times 6n_{x}}$, $E_{ij}^{2}∊ℝ^{6n_{x}\times
6n_{x}}$, 대칭 행렬 $\bar{R}_{3}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $\bar{R}_{6}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$,
임의의 행렬 $\bar{K}_{j}∊ℝ^{n_{u}\times n_{x}}$, 그리고 전열 계수 행렬 $\bar{R}_{2}∊ℝ^{n_{x}\times
n_{x}}$, $\bar{R}_{4}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $\bar{R}_{5}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$,
$\bar{G}_{v}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $v∊ I_{5}$, $\bar{Y}_{lij}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$,
$l∊ I_{5}$가 존재하면 쿼드로터 폐루프 시스템 (7)은 지수적으로 안정하다.
여기서 $\alpha$, $\epsilon_{1}$, $\epsilon_{2}$, $\rho$, $\left | w_{p}(p(t))-w_{p}(p(t_{k}))\right
|\le\mu_{p}$는 주어진 양의 스칼라이고, $M_{ij}^{l}=Q_{ij}^{l}-E_{ij}^{l}$, $N_{ij}^{l}=Q_{ij}^{l}+E_{ij}^{l}$,
$\bar{\Phi}_{ij}^{1}(\bar{h})=\bar{\Psi}_{ij}+\bar{\Lambda}^{1}(\bar{h})$, $\bar{\Phi}_{ij}^{2}(\bar{h})=\begin{bmatrix}\bar{\Psi}_{ij}+\bar{\Lambda}^{2}(\bar{h})&\ast
\\\sqrt{\bar{h}}\bar{Y}_{ij}&-e^{-2\alpha h_{2}}\bar{U}\end{bmatrix}$,
$\bar{\Psi}_{ij}=\begin{bmatrix}\bar{\Psi}_{ij}^{11}&\ast &\ast &\ast &\ast \\\bar{\Psi}_{ij}^{21}&\bar{\Psi}_{ij}^{22}&\ast
&\ast &\ast \\\bar{\Psi}_{ij}^{31}&\bar{\Psi}_{ij}^{32}&\bar{\Psi}^{33}&\ast &\ast
\\\bar{\Psi}_{ij}^{41}&\bar{\Psi}_{ij}^{42}& 0_{n_{x}\times n_{x}}&\bar{\Psi}^{44}&\ast
\\\bar{\Psi}_{ij}^{51}&\bar{\Psi}_{ij}^{52}&\bar{\Psi}_{ij}^{53}&\bar{\Psi}^{54}&\bar{\Psi}^{55}\end{bmatrix}$,
$\bar{\Lambda}^{1}(\bar{h})=\begin{bmatrix}\bar{\Lambda}^{11}(\bar{h})&\ast &\ast
&\ast &\ast \\\bar{\Lambda}^{21}(\bar{h})&\bar{\Lambda}^{22}(\bar{h})&\ast &\ast &\ast
\\\bar{\Lambda}^{31}(\bar{h})&\bar{\Lambda}^{32}(\bar{h})&\bar{h}\bar{U}&\ast &\ast
\\\bar{\Lambda}^{41}(\bar{h})& 2\alpha\bar{h}\bar{G}_{4}&\bar{h}\bar{G}_{3}&\bar{\Lambda}^{44}(\bar{h})&\ast
\\\bar{h}\bar{R}_{4}&\bar{h}\bar{R}_{5}&0_{n_{x}\times n_{x}}&0_{n_{x}\times n_{x}}&\bar{\Lambda}_{1}^{55}(\bar{h})\end{bmatrix}$,
$\bar{\Lambda}^{2}(\bar{h})=\begin{bmatrix}0_{n_{x}\times n_{x}}&\ast &\ast &\ast
\\0_{n_{x}\times n_{x}}&-\bar{h}e^{-2\alpha h_{2}}\bar{R}_{3}&\ast &\ast \\0_{2n_{x}\times
n_{x}}& 0_{2n_{x}\times n_{x}}& 0_{2n_{x}\times 2n_{x}}&\ast \\0_{n_{x}\times n_{x}}&\bar{h}e^{-2\alpha
h_{2}}\bar{R}_{5}& 0_{n_{x}\times 2n_{x}}&\bar{\Lambda}_{2}^{55}(\bar{h})\end{bmatrix}$,
$\bar{Y}_{ij}=\begin{bmatrix}\bar{Y}_{1ij}&\bar{Y}_{2ij}&\bar{Y}_{3ij}&\bar{Y}_{4ij}&\bar{Y}_{5ij}\end{bmatrix}$,
$\bar{\Psi}_{ij}^{11}=2\alpha\bar{P}-\dfrac{\bar{G}_{1}+\bar{G}_{1}^{T}}{2}+\bar{Y}_{1ij}^{T}+\bar{Y}_{1ij}+\epsilon_{1}A_{i}\bar{W}+\epsilon_{1}\bar{W}^{T}A_{i}^{T}$,
$\bar{\Psi}_{ij}^{21}=\bar{G}_{1}-\bar{G}_{2}+\bar{Y}_{2ij}^{T}-\bar{Y}_{1ij}+\epsilon_{1}\bar{K}_{i}^{T}B_{i}^{T}$,
$\bar{\Psi}_{ij}^{22}=\bar{G}_{2}+\bar{G}_{2}^{T}-\dfrac{\bar{G}_{1}+\bar{G}_{1}^{T}}{2}-\bar{Y}_{2ij}^{T}-\bar{Y}_{2ij}+2L\bar{D}L$,
$\bar{\Psi}_{ij}^{31}=\bar{P}^{T}+\bar{Y}_{3ij}^{T}-\epsilon_{1}\bar{W}^{T}+\epsilon_{2}A_{i}\bar{W}$,
$\bar{\Psi}_{ij}^{32}=-\bar{Y}_{3ij}^{T}+\epsilon_{2}B_{i}\bar{K}_{j}$,
$\bar{\Psi}^{33}=-\epsilon_{2}\left(\bar{W}^{T}+\bar{W}\right)$, $\bar{\Psi}_{ij}^{41}=-\bar{G}_{3}+\bar{Y}_{4ij}^{T}$,
$\bar{\Psi}_{ij}^{42}=-e^{-2\alpha h_{2}}\bar{R}_{2}-\bar{G}_{4}-\bar{Y}_{4ij}^{T}$,
$\bar{\Psi}^{44}=-\dfrac{e^{-2\alpha h_{2}}}{h_{2}}\bar{R}_{1}-\dfrac{\bar{G}_{5}+\bar{G}_{5}^{T}}{2}$,
$\bar{\Psi}_{ij}^{51}=\epsilon_{1}\bar{K}_{j}^{T}B_{i}^{T}+\bar{Y}_{5ij}^{T}$, $\bar{\Psi}_{ij}^{52}=-\bar{Y}_{2ij}^{T}$,
$\bar{\Psi}_{ij}^{53}=\epsilon_{2}\bar{K}_{j}^{T}B_{i}^{T}$,
$\bar{\Psi}^{54}=-e^{-2\alpha h_{2}}\bar{R}_{4}$, $\bar{\Psi}^{55}=-2\bar{D}$,
$\bar{\Lambda}^{11}(\bar{h})=\bar{h}\bar{R}_{1}+\alpha\bar{h}\left(\bar{G}_{1}+\bar{G}_{1}^{T}\right)+\bar{h}\left(\bar{G}_{3}+\bar{G}_{3}^{T}\right)$,
$\bar{\Lambda}^{21}(\bar{h})=\bar{h}\bar{R}_{2}+2\alpha\bar{h}\left(-\bar{G}_{1}+\bar{G}_{2}\right)+\bar{h}\bar{G}_{4}^{T}$,
$\bar{\Lambda}^{22}(\bar{h})=\bar{h}\bar{R}_{3}+2\alpha\bar{h}\left(-\bar{G}_{2}-\bar{G}_{2}^{T}+\dfrac{\bar{G}_{1}+\bar{G}_{1}^{T}}{2}\right)$,
$\bar{\Lambda}^{31}(\bar{h})=\bar{h}\dfrac{\bar{G}_{1}+\bar{G}_{1}^{T}}{2}$, $\bar{\Lambda}^{32}(\bar{h})=\bar{h}\left(-\bar{G}_{1}^{T}+\bar{G}_{2}^{T}\right)$,
$\bar{\Lambda}^{41}(\bar{h})=2\alpha\bar{h}\bar{G}_{3}+\bar{h}\dfrac{\bar{G}_{5}+\bar{G}_{5}^{T}}{2}$,
$\bar{\Lambda}^{44}(\bar{h})=\alpha\bar{h}\left(\bar{G}_{5}+\bar{G}_{5}^{T}\right)$,
$\bar{\Lambda}_{1}^{55}(\bar{h})=\bar{h}\left(\bar{R}_{6}+\bar{R}_{6}^{T}\right)$,
$\bar{\Lambda}_{2}^{55}(\bar{h})=-\bar{h}e^{-2\alpha h_{2}}\left(\bar{R}_{6}+\bar{R}_{6}^{T}\right)$,
$\bar{h}∊\left\{h_{1},\: h_{2}\right\}$,
마지막으로 조정 이득 행렬은 다음의 식을 통해 얻을 수 있다.
$K_{j}=\bar{K}_{j}\bar{W}^{-1}$.
증명 : 다음의 LKF를 고려하자.
여기서
$V_{1}(t)=x^{T}(t)P x(t),\:$
$V_{2}(t)=\left(t_{k+1}-t\right)\int_{t_{k}}^{t}e^{2\alpha(s-t)}\begin{bmatrix}x(s)\\x(t_{k})\\f(x(t_{k}))\end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix}R_{1}&\ast
&\ast \\R_{2}&R_{3}&\ast \\R_{4}&R_{5}&R_{6}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x(s)\\x(t_{k})\\f(x(t_{k}))\end{bmatrix}ds$,
$V_{3}(t)=\left(t_{k+1}-t\right)\begin{bmatrix}x(t)\\x(t_{k})\\\int_{t_{k}}^{t}x(s)ds\end{bmatrix}^{T}G\begin{bmatrix}x(t)\\x(t_{k})\\\int_{t_{k}}^{t}x(s)ds\end{bmatrix}$,
$V_{4}(t)=\left(t_{k+1}-t\right)\int_{t_{k}}^{t}e^{2\alpha(s-t)}\dot x^{T}(s)U\dot
x(s)ds$,
$G=\begin{bmatrix}\dfrac{G_{1}+G_{1}^{T}}{2}&\ast &\ast \\-G_{1}+G_{2}& -G_{2}-G_{2}^{T}+\dfrac{G_{1}+G_{1}^{T}}{2}&\ast
\\G_{3}& G_{4}&\dfrac{G_{5}+G_{5}^{T}}{2}\end{bmatrix}$,
지수적 안정성을 고려한 $V(t)$를 시간에 대해 미분하여 다음과 같은 식을 유도한다.
여기서 $\alpha >0$은 임의의 주어진 스칼라이다.
이제,
식 (14) 우변의 첫째 항에 Jensen 부등식
(21)을 적용하면, 다음을 얻을 수 있다.
한편, $V_{3}(t)$를 미분하면 다음을 얻는다.
다음으로 $V_{4}(t)$의 미분은 다음과 같다.
이제 다음의 널 항 (null term)을 고려하자. 앞으로는 식의 간결한 표현을 위해 $w_{i}(p(t))$와 $w_{j}(p(t_{k}))$를
각각 $\bar{w}_{i}$와 $\hat w_{j}$로 표기한다.
여기서 $\xi^{T}(t)=\begin{bmatrix}x^{T}(t)& x^{T}(t_{k})&\dot x^{T}(t)&\int_{t_{k}}^{t}x^{T}(s)ds
&f^{T}\left(x(t_{k})\right)\end{bmatrix}$, $Y_{ij}=\begin{bmatrix}Y_{1ij}& Y_{2ij}&
Y_{3ij}& Y_{4ij}& Y_{5ij}\end{bmatrix}$이다.
또한, 다음의 잘 알려진 부등식을 고려하자.
$X^{T}Y+Y^{T}X\le\sigma X^{T}X+\sigma^{-1}Y^{T}Y$,
여기서 $X$, $Y$는 임의의 행렬이고 $\sigma$는 양의 스칼라이다. 식 (18) 우변의 둘째 항은 위의 부등식과 보조 정리 2, Jensen 부등식을 이용하여 다음과 같이 정리할 수 있다.
식 (19)을 (18)에 적용하여 다음을 얻을 수 있다.
또한, 식 (17)에 (20)를 적용하여 다음의 부등식을 얻을 수 있다.
한편, 적절한 차원을 가지는 임의의 행렬 $W_{1}$과 $W_{2}$에 대해 다음의 널 항이 성립한다.
마지막으로, 식 (5)로부터 임의의 대각 행렬 $D>0$에 대한 다음의 식을 얻을 수 있다.
여기서 $L=diag\left\{l_{1},\: l_{2},\:\ldots ,\:l_{n_{x}}\right\}$이다.
따라서 이상의 내용을 정리하면, 식 (13)-(23)을 통해 다음이 성립함을 알 수 있다.
이에 더해, 식 (24) 우변 첫째 항에 $diag\left\{\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T}\right\}$와
$diag\{\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W}\}$으로 congruence transformation을
적용하고, 샘플링의 상·하한치의 convex sum으로 정리하면 다음을 얻는다.
또한, 식 (24) 우변 둘째 항에 $diag\left\{\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T}\right
.$$\left. ,\:\bar{W}^{T}\right\}$와 $diag\{\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W}\}$으로
congruence transformation와 Schur complement를 적용하고, convex sum으로 정리하면 다음과 같다.
여기서 $W_{1}=\epsilon_{1}W$, $W_{2}=\epsilon_{2}W$, $\bar{W}=W^{-1}$, $\bar{K}_{j}=K_{j}\bar{W}$,
$\bar{P}=\bar{W}^{T}P\bar{W}$, $\bar{U}=\bar{W}^{T}U\bar{W}$, $\bar{D}=\bar{W}^{T}D\bar{W}$,
$\bar{R}_{1}=\bar{W}^{T}R_{1}\bar{W}$, $\bar{R}_{2}=\bar{W}^{T}R_{2}\bar{W}$, $\bar{R}_{3}=$$\bar{W}^{T}R_{3}\bar{W}$,
$\bar{R}_{4}=\bar{W}^{T}R_{4}\bar{W}$, $\bar{R}_{5}=\bar{W}^{T}R_{5}\bar{W}$, $\bar{R}_{6}=\bar{W}^{T}R_{6}\bar{W}$,
$\bar{G}_{1}=$$\bar{W}^{T}G_{1}\bar{W}$, $\bar{G}_{2}=\bar{W}^{T}G_{2}\bar{W}$, $\bar{G}_{3}=\bar{W}^{T}G_{3}\bar{W}$,
$\bar{G}_{4}=\bar{W}^{T}G_{4}\bar{W}$, $\bar{G}_{5}=$$\bar{W}^{T}G_{5}\bar{W}$, $\bar{Y}_{1ij}=\bar{W}^{T}Y_{1ij}\bar{W}$,
$\bar{Y}_{2ij}=\bar{W}^{T}Y_{2ij}\bar{W}$, $\bar{Y}_{3ij}=\bar{W}^{T}Y_{3ij}\bar{W}$,
$\bar{Y}_{4ij}=\bar{W}^{T}Y_{4ij}\bar{W}$, $\bar{Y}_{5ij}=\bar{W}^{T}Y_{5ij}\bar{W}$.
식 (24)-(26)과 보조 정리 1을 통해 선형 행렬 부등식 (8)-(11)이 성립하면, 다음의 부등식이 만족한다는 것을 알 수 있다.
$\dot V(t)+2\alpha V(t)\le 0$, $t∊[t_{k},\: t_{k+1})$.
$t∊[t_{k},\: t_{k+1})$에 대해 위의 부등식을 적분하면 다음을 얻을 수 있다.
식 (12)의 $V(t)$와 식 (27)을 기반으로 하여, 다음을 얻을 수 있다.
따라서, $r(t_{k})=0$ 일 때 다음의 부등식으로 샘플치 퍼지 조정기 기반의 쿼드로터 폐루프 시스템 (7)의 평형점이 지수적으로 점근 안정하다는
것을 알 수 있다.
$\|x(t)\| \leq \sqrt{\frac{V(0)}{\lambda_{\min }(P)}} e^{-\alpha t} .$
이것으로 증명을 마무리한다. ■
참고 1 : 본 논문에서 제안한 기법의 주요한 기여 사항은 다음과 같다.
1) 새로운 LKF 함수를 사용하여 쿼드로터 자세와 고도 시스템의 양자화를 고려한 샘플치 퍼지 조정기 설계 기법을 제안했다.
2) 양자화 때문에 발생하는 불확실성이 있는 환경에서 쿼드로터 시스템이 참조값을 잘 추종하기 위해 강인 제어 기법을 사용했으며, 양자화를 통해 전체
제어 시스템의 네트워크 부하를 줄일 수 있다.
3) 샘플링 간격의 상한과 하한치를 모두 고려하여 유연한 샘플링 조건을 통해 조정기 구현 시 하드웨어의 성능 요구도를 저감하였다.
4. 시뮬레이션 예제
이 장에서는 본 논문에서 제안하는 상태 양자화가 고려된 샘플치 퍼지 조정기의 타당성을 검증한다. 시뮬레이션에서 사용된 쿼드로터의 파라미터는 $\left(m,\:
g,\: L,\: I_{x},\: I_{y},\: I_{z}\right)=(0.6,\: 9.81,\:$$0.175,\:$$\left. 2.32\times
10^{-2},\: 2.32\times 10^{-2},\: 4.00\times 10^{-2}\right)$이다. 위치 시스템 제어 입력은 다음과 같다.
$u_{p}(t)=\begin{bmatrix}u_{x}(t)\\u_{y}(t)\end{bmatrix}$,
여기서 $u_{x}(t)$와 $u_{y}(t)$는 적절히 설계된 제어 입력 값이고, 자세 시스템의 $\phi(t)$와 $\theta(t)$의 참조
값은 다음의 변환 식을 통해 얻을 수 있다.
$\phi_{r}(t)=\sin^{-1}\left(s_{\psi}u_{x}(t)-c_{\psi}u_{y}(t)\right)$,
$\theta_{r}(t)=\sin^{-1}\left(\dfrac{c_{\psi}u_{x}(t)+s_{\psi}u_{y}(t)}{\cos\left(r_{\phi}(t)\right)}\right)$,
시뮬레이션에서 사용된 값들은 $\alpha_{a}=10$, $\alpha_{z}=2$, $\epsilon_{1}=1$, $\epsilon_{2}=0.01$,
$\rho_{a}=\rho_{z}=0.5$, $\mu_{a}=1$, $\mu_{z}=0.5$, $h_{1}=0.001$, $h_{2}=0.002$이고,
초기 조건은 $x_{a}(0)=\begin{bmatrix}0& 0& 0& 0& 0& 0\end{bmatrix}^{T}$, $x_{z}(0)=\begin{bmatrix}0&
0\end{bmatrix}^{T}$, $x_{p}(0)=\begin{bmatrix}0& 0& 0& 0\end{bmatrix}^{T}$이고, 자세와
고도를 위한 조정기의 참조 값은 다음과 같이 설정했다. 이때 $h_{1}$과 $h_{2}$는 쿼드로터 하드웨어 성능을 고려하여 정해진 값이다.
$r_{a}(t)=\begin{bmatrix}\phi_{r}(t)& 0&\theta_{r}(t)& 0& 0& 0\end{bmatrix}^{T}$,
$0\le t<20$,
$r_{z}(t)=1$, $0\le t<20$.
그림. 1. 쿼드로터의 자세와 고도 시스템의 상태 응답
Fig. 1. The state response of the quadrotor attitude and altitude system
그림. 2. $e_{\phi}(t)$와 $q(e_{\phi}(t))$의 상태 응답
Fig. 2. The state response of $e_{\phi}(t)$ and $q(e_{\phi}(t))$.
한편 자세 시스템의 참조 값을 결정하기 위해 내부적으로 위치 추종 값을 다음과 같이 설정했다.
$r_{p}(t)=\begin{cases}
(r_{x},\:r_{y})=(1,\:0)& 0\le t<5\\
(r_{x},\:r_{y})=(1,\:1)& 5\le t<10\\
(r_{x},\:r_{y})=(0,\:1)& 10\le t<15\\
(r_{x},\:r_{y})=(0,\:0)& 15\le t<20
\end{cases}$
정리 1을 통해 자세 시스템과 고도 시스템을 위한 조정기의 이득 행렬들을 MATLAB을 통해 결정했고, 결과는 다음과 같다.
$K_{a1}=\begin{bmatrix}-70.15& -4.35& 0.03& 0.00& 0.39& 0.05\\ 0.03& 0.00& -70.15&
-4.35& -0.39& -0.05\\ -0.00& -0.00& 0.00& 0.00& -53.91& -2.65\end{bmatrix}$,
$K_{a2}=\begin{bmatrix}-70.15& -4.35& -0.03& -0.00& -0.39& -0.05\\ -0.03& -0.00& -70.15&
-4.35& -0.39& -0.05\\ 0.00& 0.00& 0.00& 0.00& -53.91& -2.65\end{bmatrix}$,
$K_{a3}=\begin{bmatrix}-70.15& -4.35& -0.03& -0.00& 0.39& 0.05\\ -0.03& -0.00& -70.15&
-4.35& 0.39& 0.05\\ -0.00& -0.00& -0.00& -0.00& -53.91& -2.65\end{bmatrix}$,
$K_{a4}=\begin{bmatrix}-70.15& -4.35& 0.03& 0.00& -0.39& -0.05\\ 0.03& 0.00& -70.15&
-4.35& 0.39& 0.05\\ 0.00& 0.00& -0.00& -0.00& -53.91& -2.65\end{bmatrix}$,
$K_{z1}=\begin{bmatrix}-40.14&-15.16\end{bmatrix}$, $K_{z2}=\begin{bmatrix}-40.98&-15.46\end{bmatrix}$.
그림. 3. 쿼드로터의 위치 궤적(실선)과 위치 참조값(일점 쇄선)
Fig. 3. The trajectory of the position of the quadrotor(solid) and its reference (dash-dotted)
그림 1에서 $\phi(t)$, $\theta(t)$, $\psi(t)$, $z(t)$는 쿼드로터 자세와 고도 시스템의 상태 변수이고, $\phi_{r}(t)$,
$\theta_{r}(t)$, $\psi_{r}(t)$, $z_{r}(t)$는 참조 값이다. 그림 1을 통해 쿼드로터 자세 및 고도 시스템의 상태 변수가 추종 값에 수렴하는 것을 알 수 있다. 또한, 그림 2에서 $e_{\phi}(t)$와 $q(e_{\phi}(t))$의 시간 응답을 나타냈다. 그림 2를 통해 양자화의 결과로 제어기에 되먹임되는 값이 실제 값과 차이가 큼을 알 수 있고, 이러한 상황에서도 제안하는 방법을 통해 강인하게 제어가 됨을
알 수 있다. 일점 쇄선은 참조 값을 나타낸다. 마지막으로, 그림 3을 통해 제안하는 방법으로 쿼드로터 시스템이 참조 값을 잘 추종하는 것을 볼 수 있다.