1. 서 론

최근 환경에 대한 우려가 커지면서 기존의 화석연료를 대체할 에너지원으로 풍력, 태양광과 같은 대용량 가변재생에너지원이 계통에서 차지하는 비율이 커지고 있다. 이러한 가변재생에너지원은 계통에서 분산전원으로 작용하며 계통에 다양한 영향을 준다. 본 논문에서는 이러한 분산전원의 고조파 해석에 대한 알고리즘을 제시한다.

계통에 가변재생에너지의 비율이 증가함에 따라 DC를 AC로 변환하는 인버터 혹은 컨버터와 같은 전력변환장치의 수가 늘어나고 있다. 이러한 전력변환장치는 가변재생에너지에서 발생하는 에너지를 수용가에서 사용할 수 있게 전압 혹은 전류의 파형을 변환시키는 중요한 기능을 하지만, 전압 및 전류의 파형에 변화를 일으키며 고조파를 발생시키는 단점이 있다. 이렇게 발생한 고조파는 케이블을 열화 시키거나 역률보상장치에 고장을 발생시키며 보호계전장치의 오작동을 불러일으킨다. 계통에서 고조파로 인한 영향은 ⁽¹⁾에서 자세하게 나와있다. 따라서 이를 방지하고 차단하기 위해서는 고조파에 대한 해석이 필수적이다.

고조파 해석에 관한 많은 연구가 이루어졌다. ⁽²⁾에서는 전력시스템의 고조파 전압, 전류를 측정하여 비선형 부하성분을 파악, 고조파 분석 및 모델링에 대한 유용성을 입증했다. ⁽³⁾에서는 분산형 전원의 상호작용을 바탕으로 고조파 모델에 관한 연구가 진행되었다. ⁽⁴⁾은 고조파 전압과 전류의 위상각의 차를 고려하여 유출입을 정의하고 고조파 발생을 확인했다. 이 밖에도 고조파를 제어하거나 저감에 대한 많은 연구가 진행되었다. 수용가의 고조파 전압 왜곡을 파악하기 위해 부하 모델의 파라미터 추정 방법을 제안하거나⁽⁵⁾ 고조파 해석을 위한 대규모 계통 모델링⁽⁶⁾ 등 다양한 분야에서 고조파 해석을 통해 계통의 신뢰도를 높이고자 하는 연구가 진행되었다. 이 밖에도 분산전원의 고조파 억제에 대한 연구가 ⁽⁷⁾에서 이루어졌고, 분산 네트워크에서의 전력전자 시스템의 고조파 분석이 ⁽⁸⁾에서 진행됐다. ⁽⁹⁾에서는 고조파가 발생하는 분산전원이 계통에 미치는 영향에 대한 연구가 이루어졌다. 그러나 이러한 연구들은 계통에서의 고조파 해석에 대한 직접적인 알고리즘을 제시하지 않았다. 본 논문에서는 고조파 해석에 대한 직접적인 알고리즘을 제시하며 고조파 발생원에서 발생하는 고조파 주입 전류를 계산하고, 임피던스 매트릭스를 생성해 각 모선의 고조파 전압을 계산한다.

계통에서의 고조파 해석 연구로는 ⁽¹⁰⁾, ⁽¹¹⁾과 ⁽¹²⁾가 있다. ⁽¹⁰⁾에서는 ybus를 통한 고조파를 포함한 조류해석을 제시했다. 여기서 사용되는 y-bus는 역행렬 연산을 포함하게 되므로 복잡한 계통은 해석하지 못한다. ⁽¹¹⁾는 backward-forward sweep방식을 활용하여 계통에서의 고조파를 해석한다. ⁽¹²⁾은 BIBC matrix를 통해 고조파를 해석한다. 이 연구들은 IEC, IEEE 국제기준 및 사용자 설정 기준을 동시에 활용하지 않았으며 복잡한 계통인 loop 시스템에서의 검증이 이루어지지 않았다. 본 연구에서는 이러한 부분들을 보완하여 사례연구에서는 각 국제기준에 따른 고조파 해석을 제시하며 복잡한 loop 시스템에서의 검증을 통해 연구를 발전시켰다.

본 연구에서는 계통의 고조파를 기존에 ⁽¹³⁾에서 알려진 z-bus 생성 알고리즘을 통해 해석한다. 기존 y-bus⁽¹⁰⁾와 backward- forward sweep⁽¹¹⁾을 통한 고조파 해석이 아닌 임피던스 matrix인 z-bus를 활용하여 이를 해석한다. 기존의 방법은 계통이 복잡하거나 대규모 계통일 경우 계산되지 않거나 계산이 되더라도 시간이 오래 걸리는 단점이 있다. 본 논문에서 제시하는 알고리즘은 이러한 단점을 보완하여 역행렬을 수행하지 않는다. 그리고 본 논문에서는 z-bus를 설계하기 위한 4단계 과정을 본문에서 제시하며 계통의 탭 절환 변압기를 포함하는 계통에서도 고조파를 정확하게 계산할 수 있도록 했다. 이를 통해 IEC, IEEE국제기준을 활용한 고조파 해석방식, 사용자 설정에 따른 해석방식을 동시에 제시한다.

고조파를 해석하기 위한 임피던스 matrix인 z-bus 생성 알고리즘에 대한 내용이 2장에서 설명한다. 이를 활용하여 IEC, IEEE 국제 전압허용 기준과 사용자 설정을 활용한 고조파 해석이 그 다음으로 이어진다. 이후 사례연구에서는 IEEE 14, 30-bus test feeder를 통해 본 연구에서 제시하는 방법의 타당성을 검증한다. 검증은 기존 방식의 어드미턴스 matrix인 y-bus를 이용한 고조파 해석과 전압, 전류를 비교하여 진행한다. 사례연구의 결과를 바탕으로 본 연구에서 제시하고 있는 알고리즘의 유효성을 확인한다.

2. 고조파 해석 알고리즘

2.1 고조파 차수기반 배전망 시스템 임피던스 생성 알고리즘

고조파 해석을 위해 bus data와 line data로부터 임피던스 행렬 계산이 필요하다. 본 연구에서는 임피던스 행렬을 생성함에 있어 기존에 쉽게 생성할 수 있는 ybus가 아닌 생성과정이 다소 복잡한 zbus를 생성하여 고조파 전압을 계산한다.

zbus로 고조파 해석을 하게 되면 계산 과정에서 역행렬을 구하는 과정이 없어, 규모가 크고 복잡한 계통의 경우 계산 속도가 향상되며, 복잡한 행렬 축약기법이 필요하지 않기 때문에 프로그램의 구현 측면에서 상당한 장점을 가지고 있다. 또한, backward-forward sweep 반복계산법이 해석할 수 없는 복잡한 루프시스템에도 적용할 수 있기 때문에 본 연구에서 제시하는 직접계산법을 국내에 배전시스템에 적용한다면 빠르게 실시간으로 계산결과를 제공하고 고조파 계산의 신속성, 정확성 및 신뢰성 향상에 도움이 될 것이다. 우선 고조파 계산법에서 필요한 임피던스 행렬을 정의하면 다음과 같다.

2.1.1 임피던스 행렬(Zbus) 정의

그림 1에서처럼, n 개의 모선을 가진 전력시스템을 모선과 모선 사이의 임피던스 값으로 전력시스템 네트워크를 표현하고 이를 n × n 의 행렬로 나타낼 수 있으며 이를 임피던스 행렬(Zbus)로 정의한다. 즉, 식(1)과 같은 행렬로 표현된다.

(1)

$$ Z_{b u s}=\left[\begin{array}{cccc} Z_{11} & Z_{12} & \ldots & Z_{1 n} \\ Z_{21} & Z_{22} & \ldots & Z_{2 n} \\ & & \vdots & \\ Z_{n 1} & Z_{n 2} & \ldots & Z_{n n} \end{array}\right] $$

그림. 1. n 개의 모선을 가진 축약된 전력시스템

Fig. 1. Summarized grid with n’th bus

옴의 법칙(Ohm’s law)에 기인하여 각 모선 전압은 임피던스 행렬과 각 모선에서 흐르는 전류의 곱으로 식(2)와 같이 표현가능하다.

(2)

$$ V=Z_{\text {bus }} I=\left[\begin{array}{c} V_{1} \\ V_{2} \\ \vdots \\ V_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} Z_{11} & Z_{12} & \ldots & Z_{1 n} \\ Z_{21} & Z_{22} & \ldots & Z_{2 n} \\ & \vdots & \\ Z_{n 1} & Z_{n 2} & \ldots & Z_{n n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} I_{1} \\ I_{2} \\ \vdots \\ I_{n} \end{array}\right] $$

여기서, 임피던스 행렬이란 모선대 모선의 관계를 임피던스의 값으로 표현하는 것이다. 예를 들어 대각성분 (diagonal term)은 개방회로 드라이빙 포인트 임피던스(open-circuit driving- point impedance)로 정의되고 비대각 성분은 (off-diagonal term) 개방회로 전달 임피던스 (open-circuit transfer impedance)로 정의된다.

2.1.2 직접 생성 알고리즘

본 논문에서 제시하는 직접 생성 알고리즘은 ⁽¹³⁾을 기반으로 설계 되었다. 전력시스템의 네트워크 형태는 주입되는 전류와 각각의 모선에서 인가된 전압으로 식(3) 같이 임피던스 행렬에 의해 표현된다.

(3)

$V=Z_{bus}I$

이러한 임피던스 행렬을 구하는 방법을 도식화하면 다음과 같다.

(1) 새로운 모선을 기준모선(reference)에 추가

새로운 모선은 식(4)와 같이 Zg1 의 임피던스를 가진 브랜치(혹은 가지)를 통해 기준 모선(예를 들어, 그라운드, 접지 혹은 대지)에 다음과 같이 연결되어 첫 번째 단계의 임피던스 행렬을 구할 수 있다.

(4)

$Z_{bus}^{(1)}=\left[Z_{g1}\right]$

(2) 새로운 모선을 존재하는 모선에 연결

새로운 모선은 기존에 존재하는 모선 i 에 Za 의 임피던스를 가진 브랜치를 통해 연결된다. 그러므로 두 번째 단계의 임피던스 행렬은 식(5)와 같다.

(5)

$$ Z_{\text {bus }}^{(2)}=\left[\begin{array}{cc} Z_{\text {bus }}^{(1)} & Z_{i}^{(1)} \\ Z_{i}^{(1) T} & Z_{i i}^{(1)}+Z_{a} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} Z_{g 1} & Z_{g 1} \\ Z_{g 1} & Z_{g 1}+Z_{a} \end{array}\right] $$

여기서, Z(1)i : 이전 단계에서의 i 번째 열행렬.

(3) 존재하는 모선을 기준 모선에 연결

크론 리덕션(Kron Reduction)으로 알려져 있는 것으로서, 존재하는 모선을 기준 모선에 연결한다. 이때, 다음의 규칙을 적용하여 식(6)과 같이 네 번째 단계의 임피던스 행렬을 구한다.

(6)

\begin{align*} Z_{bus}^{(4)}=Z_{kj}^{(3)}-\dfrac{Z_{kr}^{(3)}Z_{rj}^{(3)}}{Z_{ii}^{(3)}+Z_{g2}}\\ k=1,\:...,\:r\\ j=1,\:...,\:r \end{align*}

여기서, i 는 존재하는 모선의 번호를 의미하고 r 은 이전 결과의 임피던스 행렬의 행이나 열의 총수가 된다.

(4) 하나의 브랜치를 두 개의 존재하는 모선에 연결

Zc 의 임피던스를 가진 새로운 브랜치가 두 개의 존재하는 모선 i 와 j 에 연결될 때 식(7)과 같은 규칙을 적용한다.

(7)

\begin{align*} b=Z_{i}-Z_{j}\\ \gamma =(Z_{c}-Z_{ii}^{(4)}+Z_{jj}^{(4)}-2Z_{ij}^{(4)})^{-1}\\ Z_{bus}^{(5)}=Z_{bus}^{(4)}-\gamma bb^{T} \end{align*}

2.1.3 고조파 해석을 위한 z-bus 생성

고조파 계산을 하기 위해서는 해석하고자 하는 고조파 차수별로 다르게 계산해야 한다. 식(8)을 통해 고조파 계산을 위한 z-bus를 생성할 수 있다,

(8)

\begin{align*} Z=R+j X\\ \\ Z_{h}=R+j X\times h(h=5,\: 7,\: 11,\:\cdots) \end{align*}

여기서, h는 해석하고자 하는 고조파의 차수를 의미한다.

Z는 선로 임피던스를 의미한다.

고조파 해석을 위한 Zbus를 생성하려면 line data의 리액턴스에 해당하는 X에 해석하고자 하는 고조파 차수를 곱해 Zbus생성 식에 대입하면 된다. 그리고 Shunt 어드미턴스에도 똑같이 식(9)와 같이 적용한다.

(9)

\begin{align*} Y=G+j B\\ \\ Y_{h}=G+j B\times h(h=5,\: 7,\: 11,\:\cdots) \end{align*}

여기서, Y는 선로 어드미턴스를 뜻한다.

z-bus를 생성하면서 Y 대신 Y$_{h}$, Z 대신 Z$_{h}$를 사용하면 고조파 차수가 반영된 z-bus를 생성할 수 있다.

2.1.4 Tap-changing transformer model

본 논문에서 제시하는 z-bus building 알고리즘은 Tap-changing transformer을 포함한다. 계통에서 Tap-changing transformer는 2차측 전압을 변경하기 위한 tap이 포함되므로 별도의 모델링이 필요하다. Tap-changing transformer는 ⁽¹⁴⁾에서 제시한 방법과 동일한 방법으로 모델링한다. 그림 2는 Tap-changing transformer의 등가회로를 나타낸다. 이를 포함하는 임피던스 matrix는 전체 계통을 나타내게 된다.

그림. 2. Tap-changing transformer 등가회로

Fig. 2. Equivalent circuit of Tap-changing transformer

(10)

\begin{align*} Y_{i'}=Y_{i0}+(1-a)Y_{eq}\\ Y_{j'}=(a^{2}-a)Y_{eq}+a^{2}Y_{ex}+Y_{j0} \end{align*}

여기서, Y$_{i0}$와 Y$_{j0}$는 각각 변압기 양단의 캐패시턴스를 뜻한다. a는 변압기의 탭을 나타내는 값이다.

3. 사례연구

본 연구에서는 2가지 테스트 계통을 통해 알고리즘을 검증한다. 첫 번째는 IEEE 14-bus test feeder 다. 이 계통에는 10MVA의 분산전원을 설치하여 주입되는 고조파 전류를 각 방법론에 따라, 각 기준에 따라 계산하여 분석한다. 계통에 가장 영향이 큰 5고조파를 기준으로 하여 비교분석한다.

두 번째 테스트 계통은 IEEE 30-bus test feeder이다. 이 계통에는 50MVA에 해당하는 분산전원을 설치한다. 첫 번째 테스트 계통과 마찬가지로 고조파 주입전류에 의한 5고조파 전압을 비교한다.

user define에서는 고조파 주입전류에 대한 값 사용자가 원하는 값으로 설정할 수 있다. 본 연구에서는 이 값을 5.05%로 통일하여 계산한다. 그리고 본 연구에서 제시하는 알고리즘은 2고조파에서 49고조파까지 다양하지만 사례연구에서는 5고조파를 특정하여 각 방법론의 결과 값들을 분석한다.

3.1 IEEE 14-bus test feeder

그림 2는 10MVA의 용량의 분산전원이 설치된 IEEE 14-bus test feeder를 나타낸다. 이 계통에는 3개의 변압기와 탭 변환 기능을 포함한다. 본 논문에서 제시하는 알고리즘은 이러한 변압기의 탭 변압 기능을 포함해서 계통을 해석한다. 분산전원이 설치되면서 발생하는 고조파 주입전류는 표 3과 같다. y-bus와 z-bus를 구분하여 나타내며 각 방법론에 따라 주입되는 5고조파 전류의 크기를 나타낸다.

그림. 3. IEEE 14-bus test feeder

Fig. 3. IEEE 14-bus test feeder

표 3. 각 규정의 고조파 주입전류(IEEE 14-bus test feeder)

Table 3. Injection harmonic current in IEEE 14-bus test feeder

	user define	IEEE 519-1	IEEE 519-2	IEC
y-bus	8.46 A	6.70 A	3.35 A	102.56 A
z-bus	8.46 A	6.70 A	3.35 A	107.07 A

그림. 3. 각 규정의 고조파 전압 (IEEE 14-bus test feeder), y-bus와 z-bus를 통한 결과 비교

Fig. 3. Harmonic voltage (IEEE 14-bus test feeder), using y-bus and z-bus

그림 3은 주입전류로 인한 각 버스의 5고조파 전압을 그래프로 나타냈다. y-bus와 z-bus를 이용해 계산하여 각 bus 마다의 5고조파 전압을 나타낸 그래프이다.

본 연구에서 제시한 z-bus를 이용한 고조파 해석이 y-bus를 이용한 고조파 해석과 거의 일치함을 알 수 있다. 표[]은 y-bus를 통한 고조파 전압을 기준값으로 설정하고, 각 방법론의 고조파 전압의 오차를 MAE(Mean Absolute Error)로 나타냈다. 이 표에서 IEEE 519-2 규정에서 가장 큰 오차가 발생하지만 이는 기준값 평균의 3.25%에 해당하는 값으로 매우 작은 값이다. 따라서 그림 3에 나타낸 그래프를 통해 고조파 전압, 전류를 해석함에 있어 y-bus를 z-bus로 대체할 수 있음을 알 수 있다.

표 4. 각 규정의 고조파 전압 오차(IEEE 14-bus test feeder, MAE)

Table 4. Error of harmonic voltage in IEEE 14-bus test feeder, MAE

	user define	IEEE 519-1	IEEE 519-2	IEC
기준값 평균	0.0028	0.0022	0.0011	0.0336
MAE	7.85×10-5	6.43×10-5	3.57×10-5	7.57×10-4
오차율 (%)	2.81	2.92	3.25	2.25

3.2 IEEE 30-bus test feeder

그림. 4. IEEE 30-bus test feeder

Fig. 4. IEEE 30-bus test feeder

그림 4는 IEEE 30-bus test feeder에 50MVA용량의 분산전원이 설치되어 있는 계통도를 나타낸다. 이 계통에서도 3개의 변압기와 탭 변환 기능을 포함한다. 50MVA의 용량의 분산전원이 설치되면서 발생하는 고조파 주입전류는 표 5와 같다. 이전 검증방법과 동일하게 y-bus와 z-bus를 구분하여 나타내며 각 방법론에 따라 주입되는 5고조파 전류의 크기를 나타낸다.

고조파 전류를 통해 y-bus와 z-bus를 통한 고조파 전압을 계산하여 그림 5에서 그래프로 나타냈다. 그리고 표 5에서는 고조파 주입전류를 각 방법론 별로 나타냈다. 이전 검증 방식과 마찬가지로 표 6에서 y-bus와 z-bus를 통해 계산한 고조파 전압의 오차를 MAE로 나타냈다. y-bus를 통한 고조파 전압의 결과값을 기준값으로 설정한다. 이 표를 확인하면 오차는 기준값의 평균에 비해 5%이내로 거의 동일한 값을 나타내고 있다. 이를 통해 z-bus를 이용한 고조파 해석이 y-bus를 이용한 고조파 해석과 동일한 결과를 나타냄을 알 수 있다.

표 5. 각 규정의 고조파 주입전류(IEEE 30-bus test feeder)

Table 5. Injection harmonic current(IEEE 30-bus test feeder)

	user define	IEEE 519-1	IEEE 519-2	IEC
y-bus	40.65 A	32.2 A	16.1 A	49.99 A
z-bus	40.65 A	32.2 A	16.1 A	48.35 A

그림. 5. 각 규정의 고조파 전압 (IEEE 30-bus test feeder)

Fig. 5. Harmonic voltage (IEEE 30-bus test feeder), using y-bus and z-bus

두 test계통을 통해 z-bus가 y-bus를 이용한 결과와 동일한 고조파 해석 결과를 나타냈다. 임피던스 생성알고리즘을 통한 고조파 해석을 검증하기 위해 변압기의 탭 기능을 포함하는 복잡한 계통을 사례연구에서 테스트 계통으로 선정했다. 각각의 테스트 계통을 임피던스 matrix 생성 알고리즘을 통해 해석했으며 MAE를 통해 오차를 비교하여 고조파 해석을 위한 각 규정에 대한 검증을 마쳤다.

표 6. 각 규정의 고조파 전압 오차(IEEE 30-bus test feeder, MAE)

Table 6. Error of harmonic voltage in IEEE 30-bus test feeder, MAE

	user define	IEEE 519-1	IEEE 519-2	IEC
기준값 평균	0.0129	0.0102	0.0051	0.0158
MAE	5.20×10-4	4.13×10-4	2.07×10-4	4.13×10-4
오차율 (%)	2.81	2.92	3.25	2.25

4. Conclusion

본 연구는 기존에 고조파 해석에서 z-bus로 해석하는 새로운 방식의 알고리즘을 제안했다. 이를 이용하여 IEC, IEEE 국제기준의 고조파 해석과 사용자가 설정한 고조파 해석을 동시에 이루어 냈다. IEEE 14, 30-bus test feeder를 통해 검증하여 이전 방식인 y-bus를 이용한 방법과 결과가 거의 동일한 값을 나타내 향후 이를 대체할 수 있을 것이라 판단한다.

기존의 방식인 역함수를 이용하는 y-bus를 이용한 고조파 해석의 경우 계통이 복잡해 질수록 계산속도가 느려지며 특이행렬에 의해 오류를 발생시키는 단점이 있다. 본 연구에서 제안하는 z-bus를 이용한 고조파 해석은 이러한 단점을 보완했다. 그리고 변압기의 탭 변환 기능을 포함시켜 탭이 변경되었을 때에도 이를 반영하여 해석할 수 있도록 했다. 이를 통해 생성된 임피던스 matrix인 z-bus는 역행렬을 이용하지 않기 때문에 특이행렬에 의한 오류를 발생시키지 않는다. 따라서 기존의 y-bus와 동일한 결과를 나타내면서 복잡한 계통에서도 사용이 가능하다. 그리고 IEC와 IEEE 국제기준의 고조파 전압, 전류를 계산하는 과정이 다른 것을 고려하여 알고리즘을 제시하였고, 사용자가 고조파 주입전류를 지정하여 고조파 전압을 해석하는 과정을 알고리즘에 포함시켜 범용성을 넓혔다.

아직 3상 불평형 시스템에서의 검증이 이루어지지 않았으며 향후 이를 보완할 연구가 필요하다.