1. 서 론

그림 1은 2모선 단거리 송전선이다. 송전단 전압 , 수전단 전압 , 선로전류와 부하역률을 I 및 cosθ 라 한다.

그림. 1. 2모선 단거리 송전선

Fig. 1. Two-bus short-length transmission line

그림 2 는 그림 1의 vector diagram 이다.

그림. 2. Vector diagram

Fig. 2. Vector diagram

Vector diagram 으로부터 다음의 관계를 얻는다.

식(1)로 부터 다음과 같이 근사화 된 송-수전단 전압 관계식을 얻을 수 있다.

여기서

항을 ‘등가저항’ 이라 부른다.^(1~4)

등가저항법에 의한 전압계산 공식 (2)는

- 수식이 간단하고,

- 공학용 계산기로 쉽게 현장 계산이 가능한 점

등의 장점이 있어, 배전 실무현장에 널리 쓰이고 있다.

그러나 등가저항법은

- 근사식을 사용한다는 점과

- 항이 영의 값을 가지는 특수한 경우 solution을 신뢰할 수 없는 문제점이 있고,⁽⁵⁾

- 특히, 부하의 크기가 정전류 형태로 표현되므로, 부하가 kVA 형태로 주어질 경우 이를 정전류 형태로 환산하는 과정이 필요하고 수식이 복잡해지는 문제가 있다.

본 논문에서는 최근 발표된 2모선 시스템의 Voltage-Power Formula를 이용하여,⁽⁶⁾ P-Q 부하로 표시된 두 개의 부하점을 가지는 배전선로의 전압을 계산하는 예제를 도시하고 기존의 계산방법과 비교해 보고자 한다.

2. Voltage-Power Formula를 이용한 전압계산

그림 3은 P+jQ 부하를 가진 단거리 송전선이다.

그림. 3. P+jQ 부하를 가진 단거리 송전선

Fig. 3. Short-length transmission line with a load P+jQ

E 와 $θ_{E}$ 는 송전단 모선의 전압과 위상각의 크기, V 및 $θ_{V}$ 는 부하단 모선의 전압과 위상각의 크기, $\dot I_{12}$ 는 admittance $\dot Y =Y\angle\theta_{Y}=G-j B$ 를 흐르는 선로전류이다. ⁽⁶⁾

부하의 복소전력 S 는 다음과 같이 표현될 수 있다.

부하를 유효전력 P 와 무효전력 Q 는:

로 표시된다. 식(5), (6) 으로부터 ($\theta_{V}-\theta_{Y}-\theta_{E}$) 항이 소거된 아래 공식을 얻을 수 있다.⁽⁶⁾

식(7)을 지금부터 편이상 ‘V-P formula’ 라 부르기로 하자. 등가저항법 공식 (2) 에서는 부하가 전류값으로 주어진 반면, V-P formula (7) 에서는 부하가 유효 및 무효전력 P,Q 로 주어진 것에 유의하자.

3. P-Q 부하로 표시된 두 부하점의 전압계산

그림 4 와 같이 송전단 S 점에서 두 부하점 A, B에 전압 $V_{S}$=24 V 를 공급하는 배전선로를 가정하고 A, B 점의 전압 $V_{A}$ 및 $V_{B}$ 를 구해보자.

S-A 점 사이의 선로 impedance 를 $2+j2\sqrt{3}\Omega$, A-B 점 사이의 선로 impedance를 $1+j\sqrt{3}\Omega$ 라 하고, A 점과 B 점의 부하를 각각 $P_{A}+j Q_{A}=9+j3\sqrt{3}VA$ 및 $P_{B}+j Q_{B}=6+j2\sqrt{3}VA$ 라 가정한다.

A 및 B 점의 부하전류를 $I_{A}$ 및 $I_{B}$ 라 하고, S 점에서 A 점으로 흐르는 선로전류를 $I_{SA}$, A 점에서 B 점으로 흐르는 선로전류를 $I_{AB}$ 라 한다. 선로전류 $I_{SA}$ 의 역률을 $cosθ_{SA}$ , 선로전류 $I_{AB}$ 의 역률을 $cosθ_{AB}$ 라 한다.

그림. 4. 배전선의 두 부하점 A, B

Fig. 4. Two load points A, B

3.1 등가저항법에 의한 두 부하점의 전압계산

‘등가저항법’ 공식 (2)를 이용하려면 P,Q 로 표시된 부하를 부하전류 $I_{A}$ 및 $I_{B}$ 로 바꾸어 주어야 한다. 부하점 A 및 B에서 주어지는 부하전류 $I_{A}$ 및 $I_{B}$ 는:

(8)

$\dot I_{A}=\dfrac{P_{A}+j Q_{A}}{V_{A}}=\dfrac{P_{A}}{V_{A}}+j\dfrac{Q_{A}}{V_{A}}$

(9)

$\dot I_{B}=\dfrac{P_{B}+j Q_{B}}{V_{B}}=\dfrac{P_{B}}{V_{B}}+j\dfrac{Q_{B}}{V_{B}}$

로 표시된다.

문헌 ⁽⁷⁾에 나타난 예제와 기존의 등가저항법 공식을 인용하여 그림 4의 두 부하점 A, B의 전압 $V_{A}$, $V_{B}$를 계산해 보자. 등가저항법 공식 (2)에 대입할 데이터를 Table 1에 정리하였다.

표 1. 등가저항법 공식 (2)에 인용되는 data

Table 1. Data to be substituted into Formula (2)

	$I_{A}$	$I_{B}$	$I_{SA}$	$I_{AB}$
$I_{IRe}$ (유효분)	$\dfrac{P_{A}}{V_{A}}$	$\dfrac{P_{B}}{V_{B}}$	$\dfrac{P_{A}}{V_{A}}+\dfrac{P_{B}}{V_{B}}$	$\dfrac{P_{B}}{V_{B}}$
$I_{im}$ (무효분)	$\dfrac{Q_{A}}{V_{A}}$	$\dfrac{Q_{B}}{V_{B}}$	$\dfrac{Q_{A}}{V_{A}}+\dfrac{Q_{B}}{V_{B}}$	$\dfrac{Q_{B}}{V_{B}}$
I (피상 전류)			$I_{SA}=\sqrt{\left(\dfrac{P_{A}}{V_{A}}+\dfrac{P_{B}}{V_{B}}\right)^{2}+\left(\dfrac{Q_{A}}{V_{A}}+\dfrac{Q_{B}}{V_{B}}\right)^{2}}$	$I_{AB}=\dfrac{\sqrt{P_{B}^{2}+Q_{B}^{2}}}{V_{B}}$
cosθ			$\cos\theta_{SA}=\dfrac{\dfrac{P_{A}}{V_{A}}+\dfrac{P_{B}}{V_{B}}}{\sqrt{(\dfrac{P_{A}}{V_{A}}+\dfrac{P_{B}}{V_{B}})^{2}+(\dfrac{Q_{A}}{V_{A}}+\dfrac{Q_{B}}{V_{B}})^{2}}}$	$\cos\theta_{AB}=\dfrac{P_{B}}{\sqrt{P_{B}^{2}+Q_{B}^{2}}}$
sinθ			$\sin\theta_{SA}=\dfrac{\dfrac{Q_{A}}{V_{A}}+\dfrac{Q_{B}}{V_{B}}}{\sqrt{(\dfrac{P_{A}}{V_{A}}+\dfrac{P_{B}}{V_{B}})^{2}+(\dfrac{Q_{A}}{V_{A}}+\dfrac{Q_{B}}{V_{B}})^{2}}}$	$\sin\theta_{AB}=\dfrac{Q_{B}}{\sqrt{P_{B}^{2}+Q_{B}^{2}}}$

Table 1의 데이터를 ‘등가저항법’ 공식 (2)에 대입하여 부하점 S, A의 전압 $V_{S}$, $V_{A}$에 대한 식을 세우면:

(10)

$V_{S}=V_{A}+I_{SA}(R_{SA}\cos\theta_{SA}+X_{SA}\sin\theta_{SA})$ \begin{align*} =V_{A}+\sqrt{\left(\dfrac{P_{A}}{V_{A}}+\dfrac{P_{B}}{V_{B}}\right)^{2}+\left(\dfrac{Q_{A}}{V_{A}}+\dfrac{Q_{B}}{V_{B}}\right)^{2}}\bullet \\ \\ \left\{R_{SA}\dfrac{\dfrac{P_{A}}{V_{A}}+\dfrac{P_{B}}{V_{B}}}{\sqrt{\left(\dfrac{P_{A}}{V_{A}}+\dfrac{P_{B}}{V_{B}}\right)^{2}+\left(\dfrac{Q_{A}}{V_{A}}+\dfrac{Q_{B}}{V_{B}}\right)^{2}}}+X_{SA}\dfrac{\dfrac{Q_{A}}{V_{A}}+\dfrac{Q_{B}}{V_{B}}}{\sqrt{\left(\dfrac{P_{A}}{V_{A}}+\dfrac{P_{B}}{V_{B}}\right)^{2}+\left(\dfrac{Q_{A}}{V_{A}}+\dfrac{Q_{B}}{V_{B}}\right)^{2}}}\right\} \end{align*}

부하점 A, B의 전압 $V_{A}$, $V_{B}$ 에 대한 식을 세우면:

(11)

$V_{A}=V_{B}+I_{AB}(R_{AB}\cos\theta_{AB}+X_{AB}\sin\theta_{AB})$ $=V_{B}+\sqrt{\left(\dfrac{P_{B}}{V_{B}}\right)^{2}+\left(\dfrac{Q_{B}}{V_{B}}\right)^{2}}\bullet\left\{R_{AB}\dfrac{P_{B}}{\sqrt{P_{B}^{2}+Q_{B}^{2}}}+X_{AB}\dfrac{Q_{B}}{\sqrt{P_{B}^{2}+Q_{B}^{2}}}\right\}$

로 (10) 및 (11)의 두 식을 얻는다.

$V_{S}=24$, $R_{SA}=2,\: X_{SA}=2\sqrt{3}$, $R_{AB}=1,\: X_{AB}=\sqrt{3}$, $P_{A}+j Q_{A}= 9+j3\sqrt{3}$, $P_{B}+j Q_{B}=6+j2\sqrt{3}$ 의 값을 대입하고, (10) 및 (11) 식을 연립으로 풀면 $V_{A}$, $V_{B}$ 값을 얻을 수 있다.

계산 결과

(12)

$V_{A}=21.1167$ $V_{B}=20.5302$

의 해를 얻었다.

$V_{A}$, $V_{B}$ 값을 얻기 위해, 표 1 의 data 와 이를 인용하는 등가저항법 공식을 그림 5에 도시하였다.⁽⁷⁾

그림. 5. 등가저항법 공식 (2)의 data 인용

Fig. 5. Data substitution into Formula (2)

3.2 V-P Formula 를 이용한 두 부하점의 전압계산

그림 4에서 우선, 말단 B 부하점의 전압 $V_{B}$ 와 A 부하점의 전압 $V_{A}$ 사이에는 공식 (7)로부터 다음의 관계를 얻을 수 있다.

(13)

$(P_{B}+G_{AB}V_{B}^{2})^{2}+(Q_{B}+B_{AB}V_{B}^{2})^{2}=(V_{A}Y_{AB}V_{B})^{2}$

단, 여기서

(14)

$G_{AB}=\dfrac{R_{AB}}{R_{AB}+X_{AB}}$, $B_{AB}=-\dfrac{X_{AB}}{R_{AB}+X_{AB}}$, $Y_{AB}=\sqrt{G_{AB}^{2}+j Q_{AB}^{2}}$

이다.

식(7)은 2모선에 대한 공식이므로, 공급점 S 의 전압 $V_{S}$ 와 A점 전압 $V_{A}$ 사이의 관계식을 얻으려면 부하점 A와 말단 부하점 B사이의 모든 소비전력을 A점에 집약시켜야 한다.

A점에 집약된 등가 유효전력 부하 및 등가 무효전력 부하를 $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$ 라 하자.

그런데, $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$에는 A점의 부하 $P_{A}+j Q_{A}= 9+j3\sqrt{3}$ 과 B점의 부하 $P_{B}+j Q_{B}=6+j2\sqrt{3}$ 이 포함되지만, 또한 전류 $I_{AB}$ 에 의한 선로의 유무효 전력손실도 포함되어야 한다.

A점과 B점 사이의 선로 유효전력 손실을 $P_{Loss}$, 무효전력 손실을 $Q_{Loss}$ 라 하면, $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$ 는 아래 수식으로 표현될 수 있다.

(15)

$P^{\Sigma}=P_{A}+P_{B}+P_{Loss}$

(16)

$Q^{\Sigma}=Q_{A}+Q_{B}+Q_{Loss}$

식(15), (16) 을 감안한 S-A 점 사이의 2모선 개념도를 그리면 그림 6과 같다.

그림. 6. A 부하점에 집약된 소비전력 $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$

Fig. 6. Load $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$ aggregated at load point A

$P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$ 를 공식 (7)에 대입하면:

(17)

$(P^{\Sigma}+G_{SA}V_{A}^{2})^{2}+(Q^{\Sigma}+B_{SA}V_{A}^{2})^{2}=(V_{S}Y_{SA}V_{A})^{2}$ ⇒ \begin{align*} \left[(P_{A}+P_{B}+P_{Loss})+G_{SA}V_{A}^{2}\right]^{2}+\\ \\ \left[(Q_{A}+Q_{B}+Q_{Loss})+B_{SA}V_{A}^{2}\right]^{2}=(V_{S}Y_{SA}V_{A})^{2} \end{align*}

와 같은 $V_{S}$ 와 $V_{A}$ 의 관계식을 얻는다. 단, 여기서

(18)

$G_{SA}=\dfrac{R_{SA}}{R_{SA}+X_{SA}}$, $B_{SA}=-\dfrac{X_{SA}}{R_{SA}+X_{SA}}$, $Y_{SA}=\sqrt{G_{SA}^{2}+j Q_{SA}^{2}}$

이다.

A점과 B점 사이의 선로 유효전력손실 $P_{Loss}$ 및 유효전력손실 $Q_{Loss}$ 는 아래의 수식으로부터 구할 수 있다.

(19)

$P_{Loss}=I_{AB}^{2}\bullet R_{AB}=\dfrac{P_{B}^{2}+Q_{B}^{2}}{V_{B}^{2}}\bullet R_{AB}$

(20)

$Q_{Loss}=I_{AB}^{2}\bullet X_{AB}=\dfrac{P_{B}^{2}+Q_{B}^{2}}{V_{B}^{2}}\bullet X_{AB}$

(19)~(20)의 관계를 (17)에 대입하면 아래의 수식을 얻을 수 있다.

(21)

\begin{align*} \left[(P_{A}+P_{B}+\dfrac{P_{B}^{2}+Q_{B}^{2}}{V_{B}^{2}}\bullet R_{AB})+G_{SA}V_{A}^{2}\right]^{2}\\ +\left[(Q_{A}+Q_{B}+\dfrac{P_{B}^{2}+Q_{B}^{2}}{V_{B}^{2}}\bullet X_{AB}+B_{SA}V_{A}^{2}\right]^{2}=(V_{S}Y_{SA}V_{A})^{2} \end{align*}

$V_{S}=24$, $R_{SA}=2,\: X_{SA}=2\sqrt{3}$, $R_{AB}=1,\: X_{AB}=\sqrt{3}$, $P_{A}+j Q_{A}= 9+j3\sqrt{3}$, $P_{B}+j Q_{B}=6+j2\sqrt{3}$ 의 값을 대입하고, (13) 및 (21) 식을 연립으로 풀면 $V_{A}$, $V_{B}$ 값을 얻을 수 있다.

계산 결과

(22)

$V_{A}=21.0495$ $V_{B}=20.4603$

의 해를 얻었다.

$V_{A}$, $V_{B}$ 값을 얻기 위하여 가공된 데이터와 이를 인용하는 V-P formula (13), (21)을 그림 7에 도시하였다.

그림. 7. 공식 (7)의 data 인용

Fig. 7. Data substitution into Formula (7)

V-P formula 와 등가저항법의 비교

그림 4와 같이 배전선의 두 부하점 A, B에 P.Q 부하가 주어지고 V-P formula 와 등가저항법을 이용하여 전압 $V_{A}$, $V_{B}$ 를 구하고자 할 때, 두 방법을 비교하면:

가. V-P formula 는 주어진 P,Q 부하 데이타를 공식 (7)에 그냥 삽입하면 되는 반면, 등가저항법은 P,Q 부하를 전류부하로 변환하는 과정이 필요하다.

나. V-P formula 는 선로의 유효전력손실 및 무효전력손실을 부하전력에 합산하는 과정만 추가로 필요하나,[그림 7, (13), (21)] 등가저항법은 선로피상전류, cosθ, sinθ 등, 공식에 대입되기 위해 가공되는 데이타가 많고, 수식이 복잡해진다.[그림 5,(10),(11)]

다. V-P formula 의 계산결과는 정확하나 등가저항법의 해는 근사해이다.

4. 결 론

본 논문에서는 2모선 시스템의 Voltage-Power Formula (=V-P formula)를 이용하여 P-Q 부하로 표시된 두 개의 부하점을 가지는 배전선로의 전압을 계산하는 예제를 도시하고 기존의 방법과 비교하였다.

기존의 ‘등가저항법’에 의한 전압계산에 비해, 본 논문에 의한 방법은 다음과 같은 장점을 가지고 있다.

- V-P formula 의 계산결과는 정확한 반면, 등가저항법의 계산결과는 근사해이다.

- V-P formula 는 주어진 P,Q 부하 데이타를 수정없이 공식에 그대로 대입하여 해를 얻을 수 있는 반면, 기존의 ‘등가저항법’은 선로전류의 크기, cos 값(실수부) 및 sin 값(허수부) 등 부하점 전압을 얻기 위한 사전 계산작업이 추가로 필요하다.

- V-P formula 는 선로의 유효전력손실 및 무효전력손실 데이타만 추가로 필요한 반면, 등가저항법은 선로피상전류, cosθ, sinθ 등 공식에 대입되기 위해 가공되는 데이타가 많고 수식이 복잡해진다.

또한, V-P formula 는 간단한 두 개의 수식만으로 조류계산 결과와 동일한 정확한 계산결과를 도출하였다.

V-P formula 를 이용하는 방법은 조류계산과 같은 정확한 해를 얻을 수 있고, 중부하 상태에서도 해를 100% 신뢰할 수 있다.

본 논문에서 제시된 알고리즘은 두 개 이상의 부하점을 가지는 선로의 전압 계산에 확장 응용될 수 있으며, 배전선로 뿐 아니라 송전선로를 포함한 모든 전선로에 적용이 가능할 것으로 기대된다.

그러나, 두 개의 부하점을 가지는 경우, 복잡한 형태를 가지는 식(21)이 추가되어, 식(13), (21)의 연립방정식을 푸는 과정이 기존의 조류계산에 비해 연산의 난이도상 실익을 기대하기 어렵다. 이 문제를 개선하기 위한 후속연구가 필요할 것으로 사료된다.