2.1.1 극당 상당 슬롯수 (q) 선정

분수슬롯의 집중권에서 사용할 수 있는 극 슬롯 조합은 다양하게 선택할 수 있다. 그러나 극당 상당 슬롯수에 따라 전동기의 특성이 매우 달라지기 때문에 이를 고려하여 극당 상당 슬롯수를 선정해야 한다. 일반적으로 극당 상당 슬롯수를 선택하는데 중요하게 고려하는 항목은 다음과 같이 요약해볼 수 있다 ^(3,5).

1. 권선계수는 쇄교 자속과 토크에 비례하므로 가능한 한 큰 권선계수를 가지는 극당 상당 슬롯수를 선택해야 한다.

2. 극수와 슬롯수의 최소공배수(The lowest common multiple, LCM)는 코깅 토크의 주파수와 비례하기 때문에 극수와 슬롯수의 최소공배수가 가능한 한 큰 값을 가지는 극당 상당 슬롯수를 선택해야 코깅 토크를 저감 시킬 수 있다.

3. 극수와 슬롯수의 최대공약수(The greatest common divisor, GCD)가 짝수이면서 가능한 한 큰 값을 가지도록 극당 상당 슬롯수를 선택해야 한다. 극수와 슬롯수의 최대공약수는 전동기의 대칭성을 나타내고, 짝수가 되면 전동기의 진동·소음의 원인이 되는 라디얼 포스가 대칭적으로 발생되는 것이기 때문에 진동·소음 측면에서 유리할 수 있다.

4. 마지막으로 이층권 전동기일 경우 단층권으로도 호환이 가능한 극당 상당 슬롯수로 선택하는 것이다. 이층권 대비 단층권이 제작하기에 용이하고, 동일한 극 슬롯 조합의 전동기에서 이층권보다 서브하모닉(subharmonic) 성분이 더 크기 때문에 약계자 구동 시 성능이 더 우수하다.

2.1.2 모듈러(modular) 전동기

분수슬롯 전동기에서 일반적으로 많이 사용되는 극 슬롯 조합은 극당 슬롯의 비율이 2:3인 구조이다. 분수슬롯의 2:3 비율의 전동기는 정수슬롯 전동기에서 일반적으로 사용하는 극당 슬롯 비율이 1:3 구조에 비해 출력밀도를 올릴 수 있고 앤드 코일이 짧다는 장점을 가진다. 그러나 2:3 비율의 전동기는 표 1과 표 2에서 확인 할 수 있듯이 권선 계수가 0.866으로 다소 낮은 편이다. 이로 인해 역기전력과 토크 성능 향상에 이점이 존재하지만, 코깅 토크 저감이 어렵다는 문제점이 있다.

분수슬롯의 2:3 비율의 전동기의 낮은 권선 계수로 인한 문제점을 해결하기 위한 한 가지 방법으로 모듈러 전동기를 이용할 수 있다. 모듈러 전동기란 극당 상당 슬롯수가 0.5 이하 0.25 이상의 값을 가지는 전동기를 말한다. 모듈러 전동기의 높은 권선 계수는 결국 극당 슬롯 비율이 작다는 것을 의미하므로 극수와 슬롯수의 최소공배수가 커지기 때문에 코깅 토크를 저감시킬 수 있다. 모듈러 전동기에 해당하는 극당 상당 슬롯수가 0.5 이하 0.25 이상의 값을 가지는 극 슬롯의 관계는 상당 슬롯수가 홀수 개일 경우에는 식(1), 짝수 개일 경우에는 식(2)와 같이 나타낼 수 있다 ⁽⁶⁾.

여기서 Q는 슬롯수, p는 극쌍수이다. 슬롯수 Q는 3으로 나누어 떨어져야 하며, 극당 상당 슬롯수가 0.25~0.5의 값을 가지면서 식(1), (2)을 만족하는 모듈러 전동기의 극 슬롯 조합을 표 3에 나타내었다.

이러한 기준들을 바탕으로 하여 그림 2와 같이 분수슬롯 집중권의 2:3비율을 가지는 8극 12슬롯 전동기와 극당 상당 슬롯수가 0.5이하인 10극 12슬롯의 모듈러 전동기, 마지막으로 정수슬롯 분포권의 1:3 비율을 가지는 8극 24슬롯 전동기로 총 3가지의 비교 모델을 선정하였다. 그림 3에는 각 비교 모델들의 권선 세팅을 나타내었으며, 8극 12슬롯과 10극 12슬롯 모델은 이층권의 집중권이며, 8극 24슬롯 모델은 단층권의 분포권인 것을 확인 할 수 있다.

2.3.1 Electromotive Force (EMF)

표 5에서 확인 할 수 있듯이 전동기의 권선계수는 각각 0.866, 0.966, 1의 값을 가진다. 이때 FEM으로 해석하여 얻은 전동기의 무부하시 역기전력 파형을 그림 4에 나타내었다.

그림 4에서 확인할 수 있듯이 분수슬롯 8극의 전동기보다 10극의 모듈러 전동기의 EMF의 크기가 더 크며, 좀 더 정현적인 파형을 가지는 것을 볼 수 있다. 3개의 전동기 중에서는 8극 24슬롯의 전동기가 제일 큰 EMF 값을 가지는 것으로 나오는데, 이는 각 전동기의 권선계수의 크기와 동일하게 나오는 것을 알 수 있다. 또한, 모듈러 전동기의 파형이 제일 정현적으로 나오고 있으므로, 모듈러 전동기의 토크 리플이 제일 낮을 것으로 판단 할 수 있다.

2.3.2 역기전력 고조파

역기전력의 고조파의 5,7주파수 성분은 토크 리플을 발생시키는 주요한 원인 중 하나이며 전동기의 진동 소음을 저감시키기 위해서는 고조파 성분을 저감시킴으로써 토크 리플을 줄이는 설계를 진행해야 한다. FFT(Fast Fourier Transform) 변환을 통해 3가지 전동기의 역기전력 고조파 성분 분석을 진행하여 그림 5에 나타내었다.

그림 5에서 확인할 수 있듯이 정수슬롯 대비 분수슬롯이 고조파 성분이 더 적은 것을 알 수 있고, 모듈러 전동기가 제일 고조파 성분이 작은 값들을 가지고 있다. 3파 고조파의 경우 3상이 합해지면서 상쇄되고, 토크 리플을 만들어 내는 5,7고조파 성분은 8극 24슬롯의 전동기에서 제일 크고, 8극 12슬롯, 10극 12슬롯 순으로 크기가 줄어드는 것을 볼 수 있다.

2.3.3 토크 리플 및 코깅 토크

토크 리플은 회전자와 고정자 슬롯 구조에 의해서 발생하는 코깅 토크나 역기전력의 고조파 성분, 자기 포화 현상, 인버터 한계로 인한 전류의 고조파 성분 등에 의해 발생한다. 토크는 3상 평형한 정현파 전류가 흐른다고 가정하고 누설 인덕턴스와 저항 성분을 무시하면 식(3)과 같이 표현 할 수 있다.

전동기에 포화 현상이 일어나지 않으며, 3상의 120도 위상차를 가지는 정현파의 전류가 흐르고 고조파 성분이 존재하는 역기전력이 발생한다면 출력 P는 식(4)와 같이 나타낼 수 있고, 토크 리플은 역기전력의 고조파 성분에 의해서 발생하는 성분으로 볼 수 있다.

$E_{m}$과 $I_{m}$는 각각 역기전력과 전류의 기본파의 피크치를 나타낸다. 출력 P에 대해서 푸리 전개를 이용하여 정리하면 식(5)와 같이 나오므로, 이때 토크는 식(6)과 같이 정리할 수 있다.

$P=\dfrac{3}{2}\left\{E_{m}I_{m}+\sum_{n=6k}\left(-E_{n-1}+E_{n+1}\right)I_{m}\cos n\omega t\right\}$

$T_{0}$는 평균 토크이고, $T_{6n}$은 고조파에 의한 토크 리플 성분을 나타낸다. 각 차수에 대해서 토크를 전개하면 식(7)과 같이 나타낼 수 있으며, 토크 리플은 6고조파의 배수 성분에 의해 발생되고 있다 ⁽⁸⁾.

부하시의 토크 파형을 그림 6(a)에 나타내었으며 권선 계수가 제일 큰 8극 24슬롯 전동기의 평균 토크가 제일 크게 나오는 것을 확인할 수 있다. 또한, 모듈러 전동기의 토크 리플이 제일 작게 나오는데, 그림 5에서 분석한 역기전력 성분에서 모듈러 전동기의 5, 7고조파 성분이 다른 전동기 보다 매우 작게 나오는 것과 동일한 경향을 가지고 있다.

토크 리플의 원인 중 또 다른 하나인 코깅 토크는 역기전력과 전류가 아닌 극수와 슬롯수의 최소공배수에 반비례하는 크기를 가진다. 3개 전동기의 극수와 슬롯수의 최소공배수는 각각 24, 60, 24가 되며, 그림 6(b)에서 확인 할 수 있듯이 모듈러 전동기의 코깅 토크가 제일 작게 나타나며, 8극 12슬롯 전동기에 비해 코깅 토크의 peak-to-peak가 약 14% 정도 감소하여 나타났다.

8극 12슬롯과 8극 24슬롯 모델은 전기각 360도에 대하여 코깅토크가 6주기로 나와야 하지만, 그림 6(b)를 보면 8극 12슬롯의 코깅토크 파형이 2주기로 나타나고 있다. 이는 코깅토크 성분인 6고조파 보다 작은 차수의 저조파가 8극 12슬롯에서 크게 존재하기 때문에 코깅 토크 파형에 영향을 미치므로 이상적인 6주기로 나타나지 않는 것으로 볼 수 있다.

표 6에는 극 슬롯 조합에 따른 토크 특성을 나타내었다. 8극 12슬롯과 8극 24슬롯의 경우 높은 peak-to-peak를 보정하기 위해 스큐를 적용한 경우의 토크 분석을 진행하였다. 그림 5에 나와 있듯이 가장 큰 고조파 성분인 5고조파를 줄이기 위한 3단 스큐를 적용한 설계를 진행하였다. 그 결과 두 전동기 모두 스큐를 적용하지 않았을 때 보다 토크 리플 성분은 줄어들었지만, 여전히 모듈러 전동기의 리플 성분이 제일 작게 나오는 것을 알 수 있다.

2.3.4 공극자속밀도

토크를 만들어내는 기본파 차수보다 작은 차수로 존재하는 고조파를 서브하모닉 성분이라 하며, d축 인덕턴스는 식(8)과 같이 나타낼 수 있고, 이때 기자력 F은 식(9)와 같이 푸리에 전개를 이용하면 서브하모닉 성분을 표현할 수 있다 ^(9,10). 이러한 수식 과정을 통해 서브하모닉 성분이 존재하게 되면 인덕턴스 성분이 커지게 된다는 것을 알 수 있으며, 인덕턴스가 커지면 전동기 약자속 제어시 특성 전류 저감이 가능해지는 이점이 있다.

자속밀도는 기자력과 비퍼미언스의 곱으로 나타나기 때문에 서브하모닉 성분이 존재할 경우 그에 따른 영향을 확인할 수 있으며, 그림 7에 각 전동기의 공극자속밀도 파형을 나타내었다. 서브하모닉 성분이 존재하는 10극 12슬롯 전동기의 경우 공극자속밀도의 불규칙적인 파형으로 나타나는 반면, 8극 12슬롯과 8극 24슬롯 전동기는 서브하모닉 성분이 없기 때문에 공극자속밀도가 균일한 파형으로 나타나고 있다.

서브하모닉 성분을 확인하기 위해 공극자속밀도에 대한 FFT 분석을 진행하여 그림 8에 나타내었다. 8극 12슬롯의 경우 기본파 보다 작은 차수의 고조파 성분이 존재하지 않지만, 10극 12슬롯의 경우 기본파 보다 작은 차수의 고조파 성분이 존재하고 있다. 서브하모닉 크기에 따라 표 5에서 확인할 수 있듯이 인덕턴스 크기는 8극 12슬롯의 전동기의 122.77mH 보다 모듈러 전동기가 162.55mH로 더 큰 값을 가진다.