1. 서 론

레이더(Radar) 시스템은 전자파 신호를 공간으로 방사하고 대상 표적으로부터 반사되는 신호에 대한 수신 및 분석을 통해 표적 정보를 추출하는 센서이다. 레이더 시스템의 탐지 성능은 일반적으로 시스템 잡음을 고려한 수신 신호의 신호 대 잡음비(Signal-to-Noise Ratio ; SNR)에 의해 결정되는데, SNR 등을 고려하여 표적에 대한 레이더 시스템의 최대 탐지거리가 이론적으로 산출되고, 레이더 시스템은 예상되는 최대 탐지거리를 기준으로 표적 탐색을 수행한다. 그런데 클러터(clutter) 환경에서 레이더 시스템이 운용되는 경우에는 탐색 영역에서 표적 신호와 클러터 신호가 동시에 수신되므로, 표적 신호에 대한 탐지 성능은 SNR이 아닌 신호 대 클러터비(Signal-to- Clutter Ratio ; SCR)에 의존할 수 있으며, 신호 탐지 결과가 표적으로부터 기인(origination)된 것인지에 대한 불확실성(uncertainty)으로 인해 추가적인 확인(confirmation) 과정을 통해 표적 신호에 대한 신뢰성을 향상시킨 후, 표적 포착(lock-on) 및 추적 단계로 전환하는 개념으로 운용해야 한다. 또한 클러터 환경에서 표적에 대한 사전 정보의 높은 불확실성으로 인해 상대적으로 넓은 영역을 탐색해야 되는 경우에는 탐색 영역을 분할하고 분할된 영역에 대하여 순차적으로 표적 탐색을 수행해야 되는데, 레이더 시스템의 효율적인 자원 관리(resource management)를 위한 주요 설계 파라미터(parameter)는 분할된 탐색 영역에 대한 탐색 지속 시간이 되며, 이를 위해서는 클러터 환경에서의 표적 포착 시간에 대한 예측 기법이 필요하다.

표적 포착 시간은 수신 신호 탐지 결과를 기반으로 한 확인 기법에 의해 결정되는데, 일반적으로 표적 신호의 탐지 확률을 알고 있다는 전제 조건하에 시간에 따른 다수 탐지 결과를 이용하는 누적(cumulative) 탐지 확률 개념, 관심 영역에 대한 표적 존재 확률(Probability of Target Existence ; PTE) 개념 등을 이용하는 표적 확인 기법이 있다. 누적 탐지 확률 기반 표적 확인 기법인 $m-of-n$ 탐지 방법은 $n$ 번 스캔(scan)하여 $m$ 번 이상 신호가 탐지되는 경우에는 해당 신호를 표적 신호로 간주하여 포착하는 개념이고, 단일 스캔에 대한 표적 탐지 확률을 기준으로 다수 스캔에 대한 누적 탐지 확률은 이항 정리(binominal theorem)에 의해 이론적으로 계산된다⁽¹⁾­⁽³⁾. 그리고 PTE는 다수 측정치(measurement)가 획득될 수 있는 클러터 환경에서 현재까지 획득된 모든 측정 정보를 기반으로 관심 영역에서의 표적 존재 여부를 확률적으로 판단할 수 있는 지수(index)로서, 표적 신호의 위치 분포 특성은 클러터 등 표적이 아닌 물체에 의한 신호의 위치 분포 특성과는 다르다는 근본적인 차이점을 이용하는 개념이며, 일반적으로 추적 필터에 대한 트랙(track) 관리의 기준으로 이용되고 있다⁽⁴⁾­⁽⁶⁾. 또한 PTE 기반 표적 확인 기법은 특정 시점 기준으로 PTE가 원하는 임계값(threshold)에 도달할 때까지 걸리는 시간을 예측하고, 예측된 시점에서 산출되는 PTE를 이용하여 관심 영역에 대한 표적 존재 여부를 확인하며, 표적이 존재한다고 판단되는 경우에는 획득되는 측정치에 표적에 의한 측정치가 포함되어 있다고 간주하여 해당 트랙을 유지한다⁽⁷⁾­⁽⁸⁾. 그런데, 이러한 표적 확인 기법은 사전에 표적 신호의 탐지 확률을 알고 있어야 하는데, 클러터 환경에서는 클러터로부터 반사되는 신호의 전력이 시간과 공간에 따라 크게 변경될 수 있으므로⁽⁹⁾­⁽¹²⁾, SCR에 영향을 받는 표적 신호의 탐지 확률을 정확히 알 수 없는 현실적인 문제점이 있다. 그리고 표적 신호의 탐지 확률에 대한 근본적인 가정은 결과적으로 표적 포착 성능에 대한 예측 오차를 유발할 수 있다.

본 논문에서는 클러터 환경에서 운용되는 레이더 시스템에 대하여 탐지 결과를 이용하여 추정하는 표적 SCR를 기반으로 PTE가 원하는 임계값에 도달하는 소요 시간을 예측하는 기법을 제안하고, 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 제안된 기법의 성능을 보여준다.

2. 기존의 PTE 기반 표적 포착 시간 예측 기법

일반적인 PTE는 관심 영역에 다수 측정치가 존재할 경우에 표적 신호 1개의 위치는 시스템 측정 잡음에 의한 가우시안(Gaussian) 분포 특성을 따르지만, 표적이 아닌 물체에 의한 신호의 위치는 균일(uniform) 분포 특성을 따른다고 가정한다. 그리고 획득된 모든 측정치가 표적 신호로부터 기인될 수 있다는 전제 조건하에 특정 측정치가 표적 신호에 해당하면 나머지 측정치는 표적이 아닌 물체에 의한 신호라는 모든 경우의 수를 고려하여 관심 영역에서의 표적 존재 여부를 확률적으로 판단한다⁽⁴⁾.

$k$ 시점의 사후(posterior) PTE는 베이즈 정리(Bayes’ theorem)에 의해 식 (1)과 같이 표현되고, $k$ 시점의 측정치 우도비(likelihood ratio)와 $k$ 시점의 사전(prior) PTE에 의해 결정되는 것을 알 수 있다.

여기서, $P(\chi_{k}| Z^{k})$는

$k$ 시점의 사후 PTE, $\chi_{k}$는 $k$ 시점에 표적이 존재하는 사건(event), $\overline{\chi}_{k}$는 $k$ 시점에 표적이 존재하지 않는 사건, $z_{k}$는 $k$ 시점에 획득된 측정치 집합, $m_{k}$는 $k$ 시점에 획득된 측정치 개수, $Z^{k}$는 $k$ 시점까지 획득된 모든 측정치 집합, $\Lambda_{k}$는 $k$ 시점의 측정치 우도비, $P(\chi_{k}| Z^{k-1})$는 $k$ 시점의 사전 PTE를 의미한다.

$k$ 시점의 측정비 우도비는 식 (2)와 같이 $k$ 시점에 획득된 측정치에 대하여 표적이 존재하지 않는 사건이 주어졌을 때의 우도 함숫값과 표적이 존재하는 사건이 주어졌을 때의 우도 함숫값의 비(ratio)로 표현되는데, PTE는 추적 필터의 측정치 예측 정보 기반으로 우도 함수를 사용하는 개념임을 알 수 있다.

여기서, $\chi_{k,\: i}$는 $k$ 시점의 측정치 집합에서 $i$-번째 측정치가 표적 신호인 사건, $\chi_{k,\: 0}$는 $k$ 시점의 모든 측정치가 표적이 아닌 물체에 의한 신호인 사건, $P_{D}$는 표적 신호의 탐지 확률, $P_{G}$는 표적 신호가 측정 게이트(gate) 영역에 존재할 확률, $\hat\lambda_{k}$는 $k$ 시점의 클러터 측정치 밀도 추정치, $z_{k,\: i}$는 $k$ 시점의 측정치 집합에서 $i$-번째 측정치, $\overline{z}_{k}$는 $k$ 시점의 측정치 예측 정보, $S_{k}$는 $k$ 시점의 측정치 공분산 정보, $N(\bullet)$는 가우시안 확률 밀도 함수를 의미한다.

재귀적인(recursive) 형태의 PTE로 표현하기 위해서는 $k$ 시점의 사전 PTE를 위한 예측 모델이 필요한데, 일반적으로 $k$ 시점의 표적 존재 사건은 $k-1$ 시점의 표적 존재 사건에만 영향을 받는다는 전제 조건하에 식 (3)과 같이 마코프 체인(Markov chain)-1 확률 천이 행렬로 표현된다.

여기서, $\pi_{ij}$는 $k-1$ 시점의 $j$-번째 사건이 주어졌을 때 $k$ 시점의 $i$-번째 사건이 발생할 조건부 확률을 의미한다.

그런데, 확률 천이 행렬의 원소는 표적에 의해 해당 사건이 유지되는 평균 시간 등을 고려하여 상수(constant)로 설정하는데, 일반적으로 확률 천이 행렬은 항등(identity) 행렬로 근사화(approximation) 할 수 있으므로, 식 (1)의 사후 PTE는 식 (4)와 같이 표현될 수 있다⁽⁷⁾­⁽⁸⁾.

그러면, $k$ 시점을 기준으로 $k+n$ 시점의 사후 PTE는 식 (5)와 같이 표현된다.

$k$ 시점을 기준으로 사후 PTE가 원하는 임계값에 도달하기까지 소요되는 시간에 대한 기댓값($n_{k}^{c}$)은 $k+1$ 시점에서 $k+n$ 시점까지의 측정치 우도비가 동일하다는 전제 조건하에 식 (6)과 같이 유도된다⁽⁷⁾­⁽⁸⁾.

여기서, $E\{\bullet\}$는 기대(expectation) 함수, $\ln\{\bullet\}$는 자연 로그(natural logarithm) 함수, $T_{C}$는 표적 포착을 선언하기 위한 PTE의 임계값을 의미한다.

식 (6)에 의해 계산되는 소요 시간에 대한 기댓값은 관심 영역에 표적이 존재하고 표적 측정치가 지속적으로 획득된다는 전제 조건하에 표적을 포착하기까지 소요되는 시간을 의미하므로, 레이더 시스템은 탐색 단계에서 특정 영역에 대한 탐색 지속 시간을 해당 기댓값을 기준으로 설계하면 된다.

3. 제안하는 PTE 기반 표적 포착 시간 예측 기법

클러터 환경에서 이동형 플랫폼(platform)에 탑재되어 있는 레이더 시스템이 대상 표적에 대하여 예상되는 최대 탐지거리부터 탐색을 수행하는 경우에는 실제 탐지 성능이 클러터 반사계수 특성 등에 따라 변경될 수 있는 SCR에 의존하게 되므로, 표적 신호의 탐지 확률을 정확히 알 수 없는 제한점이 있다. 그런데 레이더 시스템의 초기 탐색 단계에서는 그림 1에서 보는 바와 같이 실제 탐지 확률($P_{D,\:P}$)이 원하는 탐지 확률($P_{D,\:D}$)만큼 충족되지 않을 수 있으나, 운용 시간이 지남에 따라 표적과의 상대 거리가 줄어들면서 SCR과 실제 탐지 확률이 동시에 증가하게 되어 결국에는 원하는 탐지 확률에 도달하게 될 것이다. 따라서 이러한 표적 조우 환경에서 탐색 영역에 표적은 존재하지만 운용 시간에 따라 SCR이 변경되는 조건을 고려한 PTE 기반 표적 포착 시간 예측 기법을 제안한다.

일반적으로 클러터 환경에서 표적 신호의 탐지 확률이 너무 낮으면 PTE 성능이 보장되지 않을 수 있으므로⁽⁶⁾, 그림 1에서 보는 바와 같이 레이더 시스템의 탐색 영역에 표적이 존재하는데 $P_{D,\:P}$가 $P_{D,\:D}$보다 작으면 가정한 탐지 확률($P_{D,\:A}$)이 0인 표적 측정치가 관찰되지 않는 사건($\chi^{n}$)으로 간주하고, $P_{D,\:P}$가 $P_{D,\:D}$보다 크면 $P_{D,\:A}$가 $P_{D,\:D}$와 동일하면서 표적 측정치가 관찰되는 사건($\chi^{v}$)으로 가정할 수 있다. 따라서 초기 탐색 단계에서는 클러터 환경에 따라 이러한 모든 사건이 발생 가능하므로, 기존 기법과는 달리 PTE 예측 모델을 마코프 체인-2 확률 천이 행렬로 정의하여야 한다. 마코프 체인-2 모델은 식 (7)과 같이 표적이 존재하면서 표적 측정치가 관찰되지 않는 사건과 표적 측정치가 관찰되는 사건을 동시에 고려한다⁽¹³⁾­⁽¹⁵⁾.

여기서, $\chi_{k}^{v}$는 $k$ 시점에 표적이 존재하면서 표적 측정치가 관찰되는 사건, $\chi_{k}^{n}$는 $k$ 시점에 표적이 존재하지만 표적 측정치가 관찰되지 않는 사건을 의미한다.

마코프 체인-2 모델 기반 사후 PTE는 식 (8)과 같이 식 (2)와 동일한 측정치 우도비를 이용하는 확률과 식 (2)에서 $P_{D}=0$인 측정치 우도비를 이용하는 확률의 합으로 표현된다.

식 (4)와 동일하게 마코프 체인-2 확률 천이 행렬을 항등 행렬로 근사화하면, PTE 기반 추적 필터의 초기화 시점을 기준으로 $k$ 시점의 사후 PTE는 식 (9)와 같이 표현된다⁽⁷⁾­⁽⁸⁾.

$k$ 시점의 마코프 체인-2 모델 기반 사후 PTE가 원하는 임계값($T_{C}$)과 일치하였을 때, 식 (9)는 식 (10)과 같이 표현되고, $k$ 시점까지의 측정치 우도비 곱은 상수로 근사화될 수 있다.

그런데, 각 시점의 측정치 우도비는 운용 환경에 따라 식 (11)과 같이 탐색 영역에 표적이 존재하지만 표적 측정치가 관찰되지 않는 사건이 주어졌을 때의 측정치 우도비에 대한 기댓값, 표적이 존재하고 표적 측정치가 관찰되는 상황에서 표적 신호가 탐지되지 않는 사건이 주어졌을 때의 측정치 우도비에 대한 기댓값, 또는 표적이 존재하고 표적 측정치가 관찰되는 상황에서 표적 신호가 탐지되는 사건이 주어졌을 때의 측정치 우도비에 대한 기댓값 중 하나의 값으로 표현될 수 있다.

여기서, $\chi_{i,\:0}^{v}$는 $i$ 시점에 표적이 존재하지만 모든 측정치가 표적이 아닌 물체에 의한 사건, $\overline{\chi}_{i,\:0}^{v}$는 $i$ 시점에 표적이 존재하면서 표적에 의한 측정치가 존재하는 사건을 의미한다.

따라서, $k$ 시점까지의 측정치 우도비 곱은 식 (11)의 3가지 사건에 대한 측정치 우도비의 기댓값으로 대표하여 식 (12)와 같이 표현될 수 있다.

식 (12)의 측정치 우도비를 자연 로그 스케일로 변환한 후, 기댓값으로 표현하면 식 (13)과 같다.

$k$ 시점과 $n$ 시점의 기댓값은 식 (12)에서 정의하고 있는 각 사건의 시간 구간에 대한 관계에 의하여 식 (14)와 같이 표현될 수 있다.

그리고, $ELL$ 시점에 대한 기댓값은 표적이 존재하면서 표적 측정치가 관찰되는 사건이 총 $s$ 번 중 $ELL$ 번 발생되는 이항 정리를 이용하여 식 (15)와 같이 표현될 수 있다.

최종적으로 사후 PTE가 원하는 임계값에 도달하는 $k$ 시점에 대한 기댓값은 식 (14)와 식 (15)를 이용하여 식 (16)과 같이 표현되고, 이는 표적 포착 시간의 예측값에 해당된다.

식 (16)에서 자연 로그 스케일의 측정치 우도비는 시뮬레이션에 의한 방법 또는 이론적인 해석 방법을 이용하여 산출할 수 있다⁽⁸⁾.

일반적으로 클러터 환경에서의 레이더 시스템은 기하학적인 조건에 따라 펄스 제한적(pulse-limited) 환경과 빔 제한적(beam-limited) 환경으로 구분된다. 그리고 SCR은 표적 RCS(Radar Cross Section)와 클러터 RCS의 비(ratio)로 표현되고, 클러터 RCS는 클러터 반사계수와 레이더 시스템이 수신 신호를 처리하는 클러터 단면적에 의해 결정된다. 클러터 단면적은 펄스 제한적 환경에서는 상대 거리에 비례하고 빔 제한적 환경에서는 상대 거리의 제곱에 비례하므로, 레이더 시스템의 SCR은 식 (17)과 같이 표현된다⁽²⁾­⁽³⁾.

여기서, $RCS_{t}$는 표적 RCS, $\sigma_{c}$는 클러터 반사계수, $A_{c}$는 클러터 단면적, $R_{r}$은 상대 거리를 의미한다.

그리고, 클러터 환경에서 레이더 시스템에는 표적 신호와 클러터 신호가 혼재되어 수신된다. 표적 신호 전력과 클러터 신호 전력을 구분하여 측정하기 어려우므로, SCR은 일반적으로 정확히 알 수 없다. 그런데 레이더 시스템에서 오경보(false alarm) 확률을 관리하기 위하여 기본적으로 사용하는 CFAR(Constant False Alarm Rate) 탐지 기법은 배경 신호의 확률 밀도 함수에 대한 통계적인 분석 결과를 기반으로 탐지 임계값을 설정한다⁽¹⁾­⁽³⁾. 따라서 추적 필터에 의해 추정된 표적 셀(cell)에 대한 탐지 결과를 이용하면 식 (18)과 같이 SCR를 추정할 수 있다.

여기서, $P_{p}$는 표적 셀의 신호 전력, $Th_{CFAR}$는 표적 셀에 대한 CFAR 탐지 임계값, $\alpha_{CFAR}$는 CFAR 탐지 임계값을 위한 상수를 의미한다.

레이더 시스템과 표적간의 상대 거리는 시간이 지남에 따라 상대 속도에 의하여 줄어든다는 전제 조건하에, 초기 탐색 단계에서 식 (18)에 의한 SCR 추정값이 SCR 예상값보다 작다면 $P_{D,\:P}$가 $P_{D,\:D}$보다 작다고 판단할 수 있다. 그리고 탐색 시간이 지남에 따라 SCR이 증가하게 되면 $P_{D,\:P}$가 $P_{D,\:D}$와 같아지게 될 것이므로 SCR 추정값과 SCR 예상값의 차이에 해당하는 상대 거리 차이는 식 (17)에 의해 산출될 수 있다. 따라서 표적이 존재하지만 표적 측정치가 관찰되지 않는 구간을 결정하는 $m$ 시점에 대한 기댓값은 식 (19)와 같이 표현될 수 있다.

여기서, $\triangle R_{r}$는 SCR 차이에 의해 산출되는 상대 거리 차이, $V_{c}$는 레이더 시스템과 표적간의 상대 속력, $\triangle t$는 레이더 시스템의 신호 처리 주기를 의미한다.

그런데, 초기 탐색 단계에서 SCR이 매우 낮아 표적 신호가 탐지되지 않는 경우에는 추적 필터가 정상적인 초기화 과정을 수행하지 못하여 표적 셀을 추정할 수 없을 것이다. 이러한 상황에서는 SCR이 증가되도록 해당 영역에 대한 탐색을 지속하거나 해당 영역에 표적이 존재하지 않는다고 간주하여 다른 영역을 탐색하는 운용 개념을 시스템 설계에 반영하면 된다.

4. 시뮬레이션 및 결과분석

본 장에서는 이동형 플랫폼에 탑재된 레이더 시스템이 지상 클러터 환경의 단일 표적을 탐색하는 운용 조건에서 표적 포착 시간을 예측하는 기법에 대한 시뮬레이션 결과를 보여준다. 클러터 신호의 개수는 클러터 측정치 밀도(Clutter Measurement Density ; CMD) 기준 포아송(Poisson) 분포에 의해 시간에 따라 변경되고, 클러터 신호의 위치는 탐색 영역에서 균일 분포에 의해 랜덤(random)하게 생성되는 환경에 대하여, 레이더 시스템은 기본적으로 지정된 탐색 영역에서 표적 탐색을 시작한다. 클러터 환경에서 강인한 표적 탐지 성능을 보장해 줄 수 있는 OS(Order Statistics) CFAR 탐지 기법을 적용하여 수신 신호를 탐지한다. 그리고 획득되는 다수 측정치에 대하여 PTE 기반 추적 필터인 IPDA(Integrated Probabilistic Data Association) 필터를 이용하여 표적의 위치를 추적하면서 PTE를 갱신한다. 시뮬레이션을 위한 공통적인 설계 변수는 표 1과 같고, 각 시뮬레이션 조건에 대한 통계적인 분석을 위해 100회씩 몬테카를로(Monte-Carlo) 시뮬레이션을 수행하였다.

그림 2는 표적 신호에 대한 클러터 신호의 영향에 따른 PTE 성능 비교 결과를 보여준다. 표적이 존재하는 영역의 CMD가 낮은 경우에는 클러터 신호 성분이 표적 신호가 존재하는 셀에 영향을 주지 않아 PTE가 원하는 임계값($T_{C}$)에 도달하는 표적 포착 시간이 식 (6)에 의해 산출되는 예측값(0.2초)을 만족하지만, CMD가 높은 경우에는 클러터 신호 성분이 표적 신호가 존재하는 셀에 직접적 또는 간접적으로 영향을 주게 되어 실제 SCR이 낮아지게 되며, 이에 따라 PTE에 의한 표적 포착 시간이 식 (6)에 의한 예측값보다 많이 소요되는 것(약 1.5초)을 볼 수 있다.

그림 3은 다양한 클러터 환경에서 제안하는 표적 포착 시간 예측 기법의 성능을 보여준다. 이동형 플랫폼에 탑재된 레이더 시스템의 표적 포착 시간을 예측하기 위하여 레이더 시스템이 탐색 영역의 중심 거리인 5 km를 기준으로 빔 제한적 운용 조건에서 500 m/s 상대 속도로 표적과의 상대 거리가 줄어든다고 가정하였고, 이에 따라 SCR은 1초마다 1 dB씩 증가된다고 근사화하였다. 표 2와 같이 클러터 영향이 없는 이상적인 조건인 CMD = 2e-5에서 추정한 표적 SCR를 기준으로 다양한 CMD 조건에서 식 (18)에 의해 추정한 표적 SCR과의 차이($\triangle SCR$)를 산출하고, 식 (17)에 의해 $\triangle SCR$이 상쇄되기 위한 상대 거리 차이($\triangle R_{r}$)를 계산하며, 이를 기준으로 식 (16)에 의한 표적 포착 시간을 예측하였다. CMD가 높아질수록 상대 거리 차이가 커지게 되어 표적 포착 시간이 상대적으로 길어지는 특성을 확인할 수 있는데, 이는 CMD가 높아질수록 표적 신호에 대한 클러터 신호 성분의 영향이 커지게 되어 결과적으로 SCR이 낮아졌고, 이에 따라 SCR이 증가하는 시간이 길어진 것으로 분석할 수 있다. 그리고 표 2와 같이 다양한 CMD에 대하여 시뮬레이션에 의한 표적 포착 시간이 이론적으로 예측한 포착 시간과 거의 유사함을 확인할 수 있다.

5. 결 론

클러터 환경에서 운용하는 레이더 시스템의 성능은 기본적으로 클러터에 영향을 받게 되고, 효율적인 표적 탐색을 수행하기 위해서는 표적 포착 시간에 대한 예측 기법이 필요하다. 기존의 표적 포착 시간 예측 기법은 표적 신호의 탐지 확률을 사전에 알고 있어야 되는데, 클러터 특성은 시간과 공간에 따라 크게 변경될 수 있기에 탐지 확률을 정확히 알 수 없는 한계가 있다. 본 논문에서는 클러터 환경에서 획득되는 탐지 결과를 이용한 표적 SCR 추정 방법과 마코프 체인-2 모델을 이용한 PTE 방법을 기반으로 표적 포착 시간을 예측하는 기법을 제안하고, 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 클러터 환경에서 운용되는 레이더 시스템에 대한 제안 기법의 적용 가능성을 확인하였다.