김규호
(Kyu-Ho Kim)
†iD
차준민
(Junmin Cha)
1iD
박제도
(Jae-Do Park)
2iD
-
(Dept. of Electrical Engineering, Daejin University, Korea.)
-
(Dept. of Electrical Engineering, University of Colorado Denver, USA.)
Copyright © The Korean Institute of Electrical Engineers(KIEE)
Key words
Renewable energy, economic dispatch (ED), consensus ADMM, multi-region.
1. Introduction
최근 전력계통은 전력손실을 줄이고, 대규모 발전기를 대신하면서 적절하게 배치 및 운영되는 경우 계통정전을 예방할 수 있는 재생에너지가 많이 설치되어
있다. 또한 서로 경제적인 이득을 위하여 서로 연계되어 운영하고 있으며, 기존 발전기와 재생에너지 자원은 전력수급제약조건을 만족하면서 최소발전비용을
결정한다(1-3). 그러나 전력시장의 확대는 지역 모델과 데이터가 상업기밀이 되어 지역간 데이터 교환이 어려워지고 있다. 모든 전력 시장 참가자는 각 계통 특성을
기밀로 유지하기를 원한다. 따라서 각 운영자는 제한된 정보로 기동정지계획, 경제급제전 등 하위 문제(sub-problem)를 해결해야 한다(4,5).
ADMM(Alternating Directional Method of Multipliers)은 경제급전(Economic Dispatch, ED) 또는
최적전력조류(Optimal Power Flow, OPF) 문제의 분산해를 얻기 위해 주로 적용되었다(5-11). OPF의 최적해를 구하기 위하여 어떤 형태의 중앙 협조도 필요하지 않는 완전히 분산된 알고리즘이 제안되었으며 지역 기반 최적화 절차로 정의된 ADMM을
기반으로 하였다. 분산 OPF를 수행하기 위하여 전체 전력계통은 여러 영역으로 분리하였고, 각 영역은 다른 영역의 최소한의 정보로 자체 ED 또는
OPF 문제의 해를 구한다. 특히, second-order conic programming (SOCP) relaxation을 이용하여 ED 및 OPF에
대해 컨센서스 ADMM 및 proximal ADMM을 적용하는 방법이 제안되었다(8,9). 또한, 컨센서스에 기반한 전력계통의 분산 ED 문제를 해석하는 방안이 제안되었다(10,11). 분산 ED의 특징은 풀이 과정에서 중앙 협조식과 분산 ED 시스템을 비교하여 분석하였다. ADMM 기반 분산 알고리즘은 일반적인 볼록 비용(convex
cost) 함수로 ED의 해를 구하는 방안이 제안되었다(12).
본 논문은 컨센서스 ADMM 알고리즘을 사용하여 재생에너지를 포함하는 계통에서 ED를 위한 방안을 제시하였다. 수렴 속도와 반복 횟수를 향상시키기
위해 각 지역의 최적 발전량은 반복마다 컨센서스 영역의 해와 평균을 사용하여 계산하였다. 그 결과 전체 시스템의 해는 컨센서스 영역의 해를 기반으로
더욱 효율적으로 얻을 수 있다. 제안된 방안은 3개의 계통이 연계된 15모선 계통에 적용하였으며 그 효율성을 입증하기 위해 Newton-Raphson(N-R)
방법과 비교하였다.
2. 문제의 정식화
2.1 목적함수
총 비용함수는 모든 계통에서 각 전력 공급원의 발전량에 대한 비용으로 구성되며 목적함수 $C_{T,\:\cos t}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다(3):
식(1)의 각 항에 대한 설명은 다음절에서 상세히 설명하였다.
2.1.1 화석연료 발전기
식(1)의 각 항에 대한 설명은 다음절에서 상세히 설명하였다.
여기서,
$C_{F}$ : 화석연료 발전비용의 함수[$/h],
$P_{F ,\: i}$ : 화석연료 발전기의 출력[MW],
$a_{i}$, $b_{i}$, $c_{i}$ : 화석연료 발전기의 계수,
$n F$ : 화석연료 발전기의 수.
2.1.2 풍력발전기
풍력발전기는 풍속에 의해 발전량이 결정되기 때문에 가변출력 특성을 모델로 한다.
여기서,
$P_{W,\:i}=\left\{\begin{aligned}0 v\le v_{ci}\\a_{i} v_{ci}\le v\le v_{co}\\0 v_{co}\le
v\end{aligned}\right .$
$C_{W}$ : 풍력발전비용의 함수[$/h],
$P_{W,\:i}$ : 풍력발전기 출력[MW],
$C_{W(O/M)}$ : 유지 및 운영 비용[$/MWh],
$v,\:v_{ci},\: v_{co}$ : 바람, 컷인, 컷아웃 속도[m/sec],
$n W$ : 풍력발전기의 수.
2.1.3 에너지 저장 장치
에너지 저장 장치(Battery Energy Storage System, BESS)가 합리적인 방전 기능으로 작동한다고 가정하면 배터리 운영 비용은
다음과 같이 나타낼 수 있다:
여기서,
$C_{B}$ : BESS 발전비용의 합[$/h],
$P_{B,\:i}$ : BESS 출력[MW],
$η_{p}$ : 전기요금 계수,
$η_{c}$ : 배터리 비용 계수,
$η_{loss}$ : 손실 비용 계수,
$n B$ : BESS의 수.
2.1.4 태양광 발전시스템
태양광 발전시스템(Photovoltaic Generation System, PV)은 태양과 모듈의 방향에 따라 그리고 모듈의 온도 및 기타 조건에
의한 것이다. 이러한 조건들을 고려하여 태양광발전 모듈에 대한 비용함수의 정식화는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서,
$C_{PV}$ : PV 발전비용의 함수[$/h],
$P_{PV,\:i}$ : PV의 출력MW],
$P_{std}$ : 기준상태에서 모듈의 최대출력[MW],
$G_{eg}$ : 일사량 $\left[W/m^{2}]\right .$,
$G_{std}$ : 기준1000 $\left[W/m^{2}]\right .$에서 일사량,
$k$ : 전력의 온도계수,
$T_{c}$ : 셀의 온도,
$T_{r}$ : 기준 온도,
$C_{PV(O/M)_{i}}$ : 운전 및 유지보수 비용[$/MW],
$n P$ : 태양광 발전시스템의 수.
2.2 제약조건
2.2.1 전력수급 방정식
전력수급 방정식은 계통 부하 $P_{load}$, 전력 손실 $P_{loss}$, 화석연료 발전기 출력 $P_{F}$, 풍력발전기 출력 $P_{W}$,
에너지 저장 장치 출력 $P_{B}$와 태양광 발전 시스템 출력 $P_{PV}$로 구성된다.
2.2.2 전력공급원의 출력
$P_{G,\:i}$는 각 모선 $i$에 연결된 전력공급원인 화석연료 발전기, 풍력발전기, 에너지 저장 장치 및 태양광 발전 시스템의 출력과 상하한
값이다.
2.3 컨센서스 지역을 포함한 정식화
2.3.1 목적함수
여기서, $P_{GA,\:i}$는 각 지역에서 모선 $i$의 발전 출력이다.
2.3.2 등식 제약조건
여기서, $P_{load,\:A}$와 $P_{loss,\:A}$는 각 지역의 부하와 전력손실이다.
2.3.3 부등식 제약조건
여기서, $P_{GA,\:i}$는 각 지역에서 모선 $i$의 발전 출력이고, $\min$과 $\max$는 발전 출력의 상하한 값이다.
본 절에서 정식화한 각 지역의 목적함수와 제약조건은 각 지역과 연계된 지역에서 컨센서스 지역의 발전기를 중복해서 포함하고 있다. 따라서 컨센서스 지역의
발전기는 각 지역에 중복되어 최적화에 사용되고 있으므로, 먼저 각 지역의 최적해를 각각 구하고 중복이 되는 컨센서스 지역의 발전기는 평균값으로 수렴되게
최적화한다. 그러면 각 지역의 정보는 컨센서스 지역의 정보만 공유함으로써 각 지역 사업자의 프라이버시를 보장할 수 있다.
3. ADMM 알고리즘
3.1 일반적인 ADMM
ADMM(Alternating Directional Method of Multipliers)은 목적함수와 제약 조건이 있는 문제의 해를 구하는 알고리즘이다(6).
여기서, $x ∈ R_{n}$, $z ∈ R_{m}$ $B ∈ R_{p×n}$, $D ∈ R_{p×m}$와 $c ∈ R_{p}$이다. 목적함수 $f$와
$g$는 볼록함수이다. Augmented 라그랑주 함수는 다음과 같이 정의된다.
ADMM은 다음과 같이 반복한다.
여기서, $ρ >0$이다. 알고리즘은 dual ascent 방법이며, 식(13)은 $x$의 최소화 단계, 식(14)는 $z$의 최소화 단계, 식(15)는 dual 변수의 업데이트로 구성된다. 승수의 방법과 마찬가지로, dual 변수의 업데이트는 Augmented 라그랑주 파라미터 $\rho$와 동일한
스텝 사이즈를 사용한다.
식(12)에서 잔차를 $r=Bx+Dz-c$로 정의하여 두 번째 및 세 번째 항을 다음과 같이 변환할 수 있다.
여기서, $u=(1/\rho)y$는 scaled dual 변수이다. scaled dual 변수를 사용하여 ADMM은 다음과 같이 표현할 수 있다.
마지막으로, ADMM 반복은 다음과 같이 수렴된다.
여기서, $\rho^{*}$는 목적함수의 최적값이며 $u^{*}$는 최적 듀얼 변수이다.
3.2 컨센서스 ADMM
컨센서스 ADMM은 ADMM의 특별한 형태이고 다음과 같이 나타낼 수 있다(6,9).
여기서, $x_{A}$는 지역 $A$의 변수를 의미한다. 모든 지역 변수가 수렴 시 전역 변수와 같아야 하므로 전역적 알고리즘이라 한다. Augmented
라그랑주 함수는 식(21)에 대하여 다음과 같이 유도할 수 있다(6):
결국, 글로벌 변수 $z$는 다음과 같이 해를 구할 수 있다.
본 논문에서 ED문제의 해를 구하기 위하여 컨센서스 ADMM을 사용하였다. 각 지역은 주어진 전역적 변수 $z^{k}$에 대하여 목적함수와 제약조건
만이 필요하다(6,9).
3.3 컨센서스 ADMM 실행
ADMM을 식(11)의 예와 같이 확장하려면 이 문제의 Augmented 라그랑주를 다음과 같이 변환해야 한다(9).
등식 및 부등식 제약 조건은 식(9)와 (10)을 사용한다. disciplined convex programs(DCPs)을 구성하고 해를 구하기 위한 모델링인 CVX(Convex)는 각 영역의
ED 문제의 해를 구하는데 사용된다. ED 문제의 해를 구하기 위한 컨센서스 ADMM 알고리즘은 다음과 같다(13).
그림. 1. 15 모선 계통의 단선도
Fig. 1. One-line diagram of a 15-bus system.
4. 사례연구
그림 1과 같이 3개의 계통을 연계한 15모선 계통에서 ED 문제에 대해 제안한 컨센서스 ADMM 방법을 적용하였다. Area 1에는 모선 11, 12,
13, 14 및 15가 포함된다. Area 2에는 모선 21, 22, 23, 24 및 25가 포함된다. Area 3에는 모선 31, 32, 33,
34 및 35가 포함된다. 컨센서스 Area에는 모선 12,15, 22, 23, 24, 25, 32 및 35가 포함된다. 모선에는 자체 부하가 있고,
9개의 발전기는 각각 Area 1의 모선 11, 12 및 13, Area 2의 Area 2, 21, 22 및 23의 Area 3에 연결되어 있다.
발전기의 종류, 연료계수, 상하한 값은 표 1에 나타내었다. 시뮬레이션은 MATLAB R2020a(14)를 이용하여 수행하였다. 컨센서스 ADMM의 수렴 성능을 테스트하기 위해 중앙 협조식 N-R 방법과 비교하였다(15).
• Case 1: PV, 풍력, BESS와 같은 재생에너지를 고려하고 컨센서스 ADMM을 이용하여 연료비 최소화.
• Case 2: PV, 풍력, BESS 등 재생에너지를 고려하고 중앙 협조식 N-R 방법으로 연료비 최소화.
그림. 2. Case1에 대한 Consensus ADMM($ρ =5$).
Fig. 2. Consensus ADMM in Case 1 ($ρ =5$).
표 2는 일일 부하 패턴에서 첨두부하일 때의 결과를 나타낸 것이며, 재생에너지는 전력 손실을 줄이고 대규모 발전기를 대체할 수 있음을 알 수 있다. 또한
Case 1과 Case 2를 비교했을 때, 중앙 협조식 N-R 방법의 출력이 컨센서스 ADMM의 출력보다 우수하다. 그러나 중앙 협조식 N-R 방법에는
단점은 각 영역의 전력 출력과 업데이트된 값을 수집 및 전송하는 중앙 운영자가 필요하다. 따라서 각 시스템 사업자의 프라이버시는 보호될 수 없다.
그림 2는 첨두부하에서 컨센서스 ADMM을 이용한 수렴과정을 보여준다. 그림으로부터 컨센서스 영역(Consensus Area)의 발전 출력, 즉 Area
1의 발전 출력 $PG_{12}A1$과 Area 2의 발전 출력 $PG_{12}A2$가 컨센서스 ADMM을 통해 동일함을 알 수 있다. 마찬가지로
컨센서스 영역, $\left(PG_{22}A1\right.$과 $\left. PG_{22}A2\right)$, $\left(PG_{23}A2\right.$와
$\left. PG_{23}A3\right)$ 및 $\left(PG_{32}A2\right.$와 $\left. PG_{32}A3\right)$의 발전
출력도 컨센서스 ADMM을 통해 동일하다. 그림 3은 중앙 협조식 N-R방법을 이용한 수렴과정을 나타내었다. 결과로부터 제안한 컨센서스 ADMM은 지역 정보만을 활용하고 각 시스템 사업자의 프라이버시를
보장한다는 점에서 중앙 협조식 N-R 방법보다 우수하다.
그림. 3. Case 2에 대한 중앙 협조식 N-R 방법의 발전 출력과 비용
Fig. 3. Power generation and cost of centralized N-R method in Case 2
표 1. 발전기의 종류, 연료계수 계수 및 상하한 값
Table 1. Types, fuel coefficients, capacities of generators
|
Bus
|
Gen. Type
|
$a_{i}$
|
$b_{i}$
|
$c_{i}$
|
Pmin [MW]
|
Pmax [MW]
|
|
11
|
Fossil
|
200
|
7.0
|
0.008
|
10
|
85
|
|
12
|
Fossil
|
180
|
6.3
|
0.009
|
10
|
80
|
|
13
|
PV
|
0.0
|
2.4
|
0.0
|
0
|
70
|
|
21
|
Fossil
|
200
|
7.0
|
0.008
|
10
|
85
|
|
22
|
Fossil
|
170
|
6.3
|
0.009
|
10
|
80
|
|
23
|
BESS
|
0.0058
|
0.07
|
0.3
|
-30
|
30
|
|
31
|
Fossil
|
200
|
7.0
|
0.008
|
10
|
100
|
|
32
|
Wind
|
0.0
|
8.4
|
0.0
|
0
|
130
|
|
33
|
Fossil
|
140
|
6.8
|
0.007
|
10
|
100
|
표 2. 컨센서스 ADMM과 N-R 방법의 비교
Table 2. The comparison of consensus ADMM and N-R method
|
Area
|
No. of Gen.
|
Case 1
|
Case 2
|
|
Generation [MW]
|
Cost [$/h]
|
Generation [MW]
|
Cost [$/h]
|
|
1
|
11
|
83.34
|
838.97
|
85.00
|
852.80
|
|
13
|
0.883
|
2.12
|
0.883
|
2.12
|
|
Sum of Area 1
|
84.23
|
841.09
|
85.88
|
856.70
|
|
2
|
21
|
61.87
|
663.73
|
85.00
|
852.80
|
|
Sum of Area 2
|
61.87
|
663.73
|
85.00
|
852.80
|
|
3
|
31
|
118.28
|
1139.88
|
64.48
|
684.62
|
|
33
|
5.66
|
47.58
|
5.66
|
47.58
|
|
Sum of Area 3
|
123.94
|
1187.45
|
70.14
|
732.19
|
|
Consensus
|
12
|
79.85
|
740.42
|
80.00
|
741.60
|
|
22
|
79.85
|
730.44
|
80.00
|
731.60
|
|
23
|
11.71
|
41.97
|
14.38
|
63.01
|
|
32
|
143.19
|
1266.62
|
103.88
|
931.60
|
|
Sum of Consensus Area
|
314.60
|
2779.48
|
278.26
|
2467.81
|
|
Total
|
584.64
|
5471.75
|
519.29
|
4907.74
|
5. 결 론
본 논문은 컨센서스 ADMM 알고리즘을 기반으로 재생에너지가 있는 연계계통에 대한 경제급전 (Economic Dispatch, ED) 방안을 제시하였다.
전력계통을 재생에너지와 연계하면 발전기의 연료비를 절감하고 대규모 발전기를 대신할 수 있다. 출력의 관점에서 볼 때 중앙 협조식 N-R 방법은 컨센서스
ADMM보다 우수하지만, 발전기 출력을 수집하고 전송하는 센터 운영자가 필요하다. 따라서 이러한 중앙 협조식 방법으로는 각 시스템 사업자의 개인정보를
보호할 수 없다. 따라서 제안된 컨센서스 ADMM은 지역 정보를 활용하고 각 시스템 사업자의 프라이버시를 보장할 수 있으므로 중앙 협조식 N-R 방법보다
우수함을 알 수 있다.
Acknowledgements
본 연구는 2019년도 한경대학교 연구년 경비의 지원에 의한 것임.
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저자소개
Kyu-Ho Kim received the B.S., M.S. and Ph.D. degrees from Hanyang University, South
Korea, in 1988, 1990 and 1996, respectively.
He is a Professor in the Department of Electrical Engineering at Hankyong National
University, South Korea.
He was a Visiting Scholar at Baylor University for 2011.9-2012.8 and University of
Colorado Denver for 2020.2-2021.1.
His research interests include power system control and operation, optimal power
flow and the development of control techniques for wind power plants.
Junmin Cha was born in Inchon, Korea in 1964.
He obtained B.Sc., M.Sc. and Ph.D. degrees from Korea University in 1989, 1991 and
1996 respectively.
His research interest includes Fuzzy Applications, Probabilistic Production Cost
Simulation, Reliability Evaluation, Outage Cost Assessment of Power Systems and Operation
and Planning of Deregulated Power Market.
Since 1996, he has been a faculty of Daejin University, where now as a Professor.
Jae-Do Park received his Ph.D. degree from the Pennsylvania State University, University
Park, in 2007.
Dr. Park is currently a Professor of Electrical Engineering at the University of
Colorado Denver.
His research interests are in the energy system applications such as renewable energy
sources, energy harvesting, energy storage, and DC microgrids.
His research has been sponsored by NSF, ONR, and DARPA, including an NSF CAREER award
in 2016.
Prior to his arrival at the University of Colorado Denver, Dr. Park worked for Pentadyne
Power Corporation in California as the Manager of Software and Controls, where he
took charge of control algorithm design and software development for the high-speed
flywheel energy storage system.