2.1 Modified Nodal Analysis

MNA법은 노드 해석법을 기반으로 하되 컴퓨터 알고리즘의 구현이 쉽도록 수정된 방법이다. 자속원, 기자력원, 퍼미언스를 가지는 자기등가회로에 MNA법을 적용하는 방법은 표 1과 같은데, 기존의 노드 해석법과 차이점은 4번 항목과 6번 항목으로 기자력원 처리에 대한 부분이 추가되어 알고리즘 구현이 매우 쉽게 된다.

그림 1은 그라운드와 분리된 기자력원 $F_{1}$, 자속원 $\phi_{m}$, 퍼미언스 $P_{1}$~$P_{6}$가 존재하는 간단한 자기 회로이다. 이는 추후 살펴볼 IPMSM의 자기 등가회로와 비슷한 구성을 가지는데, 여기서는 그림 1의 자기등가회로에 MNA법을 적용해 방정식을 도출하는 방법에 대해 알아보도록 하겠다.

그림에서와 같이 이미 노드에 넘버링을 하였고, 그 중 하나를 그라운드로 설정하였다. 또한 각 노드에서의 포텐셜은 노드 번호를 이용해 $v_{n}$과 같이 정의할 수 있고, 기자력 소스를 지나는 자속도 정의가 되었다. 이제 MNA의 5번째 스텝을 진행하면 된다. 각 노드에서 KCL을 적용하면,

여기서 n=1,2,...,6은 각 노드의 번호이다.

MNA의 6번째 스텝으로 각 기자력원과 노드 포텐셜 간의 관계식을 쓰면,

이상의 수식에서 미지수는 각 노드에서의 포텐셜과 기자력원을 지나는 자속으로 총 7개의 미지수가 존재하고, 방정식의 개수 또한 7개이므로 이를 연립하여 문제를 풀 수 있다. 식(1)~(7)을 행렬로 써 보면 다음과 같다.

식(8)에서 $ A$는 퍼미언스 행렬이며 $ x$는 포텐셜과 기자력원을 지나는 자속, $ b$는 자속원과 기자력을 포함한다.

2.2 Newton-Raphson 법의 적용

MNA법에 의해 도출된 방정식을 풀기 위해서 비선형을 고려해야 하는데 비선형 특징은 퍼미언스에 반영이 될 것이며 결국 행렬 A 가 비선형 특징을 갖게 된다. 통상 비선형 방정식은 반복법에 의해 그 해를 구하게 되는데 Newton-Raphson법이 주로 사용되고 있다. 식(8)에 Newton-Raphson법을 적용하면 다음과 같이 된다.

여기서 $ J$행렬은 $ f( x)$의 자코비안 $d f / d x$이며, 아래 첨자는 반복 회수이다. 자코비안을 구함에 있어 알고리즘의 구현을 쉽게 하기 위해서는 간결한 미분식이 도출되어야 하는데 퍼미언스를 그림 2와 같이 직육면체로 가정하면 결과식을 쉽게 도출할 수 있다.

예를 들어 1행 1열 원소는 $\partial f_{1}/\partial v_{1}$이므로 다음과 같이 구할 수 있다.

식(10)에 체인룰을 적용하면,

여기서 식(11)의 우변의 괄호안의 식은 그림 3에서 보인 것과 같이 상대 투자율로 다음과 같이 계산된다.

따라서 식(11)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 $\mu_{rd1}$은 그림 3에서 보인 것과 같이 상대 비투자율이다.

식(13)은 퍼미언스의 정의식과 매우 유사한데, 식에서 절대 투자율(apparent permeability) 대신 상대 투자율(relative permeability)을 사용했다는 것만 다르다. 나머지 자코비안의 원소들도 비슷하게 구해볼 수 있다. 자코비안이 미분 행렬임을 생각하면 계수 행렬 내의 퍼미언스 도출 시 미분 개념인 상대 투자율을 이용해 계산하면 자코비안이 된다는 점에서 의미를 갖는다. 즉 식(8)의 계수 행렬 $ A$과 식(9)의 자코비안 $ J$은 매우 유사함이 있다.

2.3 비선형 해석과 해의 수렴성

그림 4은 MNA법에 의해 도출된 비선형 방정식에 Newton-Raphson법을 적용하는 방법을 나타내고 있는데, 본 논문에서는 ⁽¹⁰⁾에서 노드 해석의 문제점으로 지적된 해의 진동 문제를 해결하기 위해 업데이트율 $\gamma$을 도입하였다. 즉, 새로운 $ x$값을 구할 때 $ x_{n+1}= x_{n}+\triangle x$처럼 구하지 않고 $ x_{n+1}= x_{n}+\gamma\triangle x$로 구하는 것이다. 이는 최적화 알고리즘 중 하나인 gradient descent method에서 사용하는 방법과 유사하다. 본 논문에서는 $\gamma =0.02$를 사용할 것이다.

3.1 q=1 구조의 IPMSM 자기등가회로

전동기의 권선에서 발생된 자속과 회전자를 연결하기 위해서는 고정자의 치를 고려하는 것이 매우 편리하다. 고정자 권선에 의한 기자력을 고정자 치에 기자력원으로 분산시키면 되기 때문이다. 따라서 치가 많으면 많을 수록 더 정교한 자기등가회로를 꾸밀 수 있게 된다. 하지만 너무 많은 치를 고려하기 위해서는 자기회로가 복잡해지므로 적당한 선에서 치의 개수를 정해야 하는데, 전기적인 관점에서는 자극당 몇 개의 치를 고려할 것인가로 정하면 좋다. 여기서는 극당 상당 슬롯수, q가 1인 구조의 전동기를 대상으로 자기등가회로를 도출해 보도록 한다.

그림 5(a)는 선형 IPMSM 모델에서 주요 소스와 퍼미언스를 함께 표시한 것이며 (b)는 (a)에서 보인 자기등가회로를 각 요소의 이름과 함께 더욱 자세히 보인 것이다. 영구자석 하나를 두개의 자속원으로 모델링하였는데, 이는 인접 극과의 자속 흐름을 표현하기 적합하기 때문이며 동시에 고정자 치와도 연결하기 위함이다. q=1 구조에서 한 극당 치의 개수는 3개인데 이중 1개는 q축 자로 상에 정확히 두고 나머지 2개를 d축 자로 상에 두면 영구자석에서 발생된 자속이 이 2개의 치를 통해 흐른다고 가정할 수 있게 된다. $b_{1}$~$b_{4}$를 통해 흐르는 자속은 대칭성에 의해 $a_{1}$~$a_{4}$로 들어갈 것이며 이는 수치 해석에서 주기 경계 조건에 해당한다.

그림 5(b)에서는 (a)에서는 표시되지 않았던 슬롯 누설 성분을 고려하기 위해 기자력 성분을 두개로 나누고 슬롯 누설 퍼미언스를 추가하였다. 기자력 소스를 구분하기 위해 $F_{xy}$형태로 표현했으며 첨자 $x$는 치 기자력의 세그먼트 개수로 1과 2를 가질 수 있으며 $y$는 치의 개수인 1~6사이 값을 가진다. 이때 $F_{1n}+F_{2n}=F_{n}\because 1\le n\le 6$이다.

3.2 해석모델

표 2과 그림 6는 본 논문에서 사용한 모델에 대한 정보이다. 그림에서와 같이 권선은 -q축에 정렬된 상태이며 이때의 회전자 위치를 0degE로 설정하였다. 또한 코어 재질은 35PN210을 적용하였다.

그림 5(b)의 퍼미언스들은 다음과 같이 계산하였다.

여기서 $P_{sy}$는 고정자 백요크의 퍼미언스, $P_{t}$는 치의 퍼미언스, $P_{sl}$은 슬롯 누설 퍼미언스, $P_{g}$는 공극퍼미언스, $P_{br}$은 회전자 브릿지 퍼미언스, $P_{pp}$는 회전자 폴피스 퍼미언스, $P_{web}$는 회전자 웹 퍼미언스, $P_{m}$은 회전자 영구자석 퍼미언스, $P_{ry}$는 회전자 백요크 퍼미언스로 그림 6의 형상치수를 이용해 구해지며 $N_{pole s}$는 극수, $N_{slots}$는 슬롯수이다.

식(17)의 $P_{g}$계산에 있어 공극 단면의 너비를 $W_{t}$로 설정한 것이 특이 사항이며 식(19)의 $P_{pp}$계산에 사용된 $W_{pp}$를 산정하는 방법은 조금 더 자세히 연구되어야 할 수도 있다. 또한 동일한 자기회로를 이용해 회전자 위치별 쇄교자속을 구할 수 있게 하기 위해 무빙 권선법을 적용하였으며, 이로부터 각 치의 기자력은 다음과 같이 계산하였다.

여기서 n 은 1≤n≤6 의 정수이며, $sgn(\bullet)$은 괄호 안 수식의 부호를 나타낸다. step 는 그림 5의 회로를 그대로 사용하면서 회전자 위치를 고려할 수 있는 상태를 나타내는 것으로 0에서 시작하여 $\pi /3$간격으로 총 6가지 상태를 가질 수 있다. step이 0이면 회전자 위치 0degE이며 1이면 반시계 방향 60degE 회전한 위치로 이해할 수 있다. 또한 $I_{m}$은 전류의 크기이고 $K_{c}$는 카터 계수로 슬롯에 의한 기자력 손실분을 보상하기 위해 도입되었으며 다음과 같이 계산하였다.

또한 코일당 턴수인 $N_{c}$는 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 $N_{ph}$는 상수이며, 본 논문에서는 3상을 가정하였다.