2.1 Geoid

지오이드는 바람과 조수와 같은 다른 영향이 없는 경우 중력 인력 및 지구의 자전을 포함하여 지구의 중력의 영향을 받는 해수면의 모양이다. 이 표면은 매우 좁은 가상의 운하와 같은 것을 통해 대륙으로 확장된다. 지오이드의 개념을 처음 기술한 Gauss에 따르면, 지오이드는 "지구의 수학적 도형"이며, 매끄럽지만 불규칙한 표면으로, 그 모양은 지구 내부와 표면의 고르지 않은 질량 분포로 인해 발생한다. 이는 광범위한 중력 측정과 계산을 통해서만 알 수 있다. 측지학 및 지구물리학의 역사에서 거의 200년 동안 중요한 개념이었음에도 불구하고 20세기 후반 위성 측지학의 발전 이후에야 고정밀도로 정의되었다.

지오이드 표면의 모든 점은 중력 위치 에너지와 원심 위치 에너지의 합인 동일한 지구 전위를 갖는다. 중력의 힘은 지오이드에 수직인 모든 곳에서 작용한다. 즉, 중력과 회전 가속만 작용하는 경우 연직선은 수직을 가리키고 해수면은 지오이드와 평행하다. 지오이드의 표면은 질량 초과를 의미하는 양의 중력 이상이 있는 경우 기준 타원체보다 높고, 질량부족을 뜻하는 음의 중력 이상이 있는 경우 기준 타원체보다 낮다. 지오이드 표면은 물리적 지구를 타원체로 수학적으로 이상적으로 표현한 기준 타원체와 달리 불규칙하지만 지구의 물리적 표면보다 상당히 완만하다. 물리적인 지구는 +8,848m(에베레스트 산)과 –10,984(마리아나 해구)의 편차를 갖지만 타원체에서 지오이드의 편차 범위는 +85m(아이슬란드)에서 -106m(인도 남부)로 총 200m 미만이다.

바다가 등압(일정한 밀도)이고 조수, 해류 또는 날씨의 방해를 받지 않는다면 그 표면은 지오이드와 비슷할 것이다. 지오이드와 평균 해수면 사이의 영구적인 편차를 해수면 지형이라고 하며 육상 대륙이 일련의 터널이나 운하에 의해 십자형으로 교차한다면, 그 운하의 수면도 지오이드와 거의 일치할 것이다.

실제로, 지오이드는 대륙 아래에서 물리적 의미를 갖지 않지만 측지학자들은 이 가상이지만 물리적으로 정의된 표면 위의 대륙 점의 높이를 수준측량을 통해 도출할 수 있다. 등전위 표면인 지오이드는 정의상 중력이 모든 곳에서 수직인 표면이다. 이것이 의미하는 바는 배로 여행할 때 지오이드의 기복을 알아차리지 못한다는 것이다. 로컬 수직선(연직선)은 항상 지오이드에 수직이고 로컬 지평선은 지오이드에 접하게 된다.

지구의 중력장은 균일하지 않다. 이상적인 지구는 일반적으로 편원 타원체를 사용하지만 지구가 구형이고 회전하지 않더라도 밀도가 행성 전체에 걸쳐 다르기 때문에 중력의 강도는 모든 곳에서 동일하지 않다. 이것은 마그마 분포, 지각, 산맥, 심해 해구, 빙하로 인한 지각 압축 등의 다양한 지질 조성의 밀도와 무게 때 문이다. 지구를 가정한 구체가 물로 덮여 있다면 물의 높이는 모든 곳에서 동일하지 않을 것이다. 대신 수위는 지구의 중심에서 해당 위치까지의 중력 강도의 적분에 따라 지구의 중심에 대해 더 높거나 낮을 수 있으며, 지오이드 레벨은 물의 위치와 일치한다.

2.2 Geoid Undulation

지오이드의 기복은 기준 타원체에 대한 지오이드의 높이이다. 국가마다 다른 평균 해수면을 기준으로 사용하기 때문에 기복은 표준화되지 않았지만 가장 일반적으로 EGM08 지오이드를 나타낸다. 지도 및 일반적인 사용에서 평균 해수면 위의 높이(orthometric height; H)는 고도의 높이를 나타내는 데 사용되는 반면 타원체 높이는 GPS 시스템의 결과이다. 평균 해수면 고도 $H$는 타원체 높이 $h$ 사이의 편차 $N$(지오이드 기복)을 알면 다음과 같이 계산할 수 있다.

식 (1)에서 지오이드 기복 $N$을 계산할 수 있으면 평균 해수면 고도를 타원체 고도로 변환할 수 있다. 지오이드 기복은 아래와 같은 과정을 거쳐 계산할 수 있다⁽⁵⁾.

위 식이 의미하는 바는 다음과 같다. 지구 중력 전위($W$)와 기준 타원체 중력 전위($U$)의 차이를 교란 전위 $T$라 정의한다. 지구 원심 전위(centrifugal potential)와 타원체 원심 전위가 동일하기 때문에 교란 전위는 지구 만유인력 전위(gravitational potential, $V$)와 기준 타원체 만유인력 전위($\overline{V}$)의 차이로 정의할 수 있다. 여기서 $\phi ,\:\lambda$는 각각 지구 중심(구형) 위도와 경도이고, r은 구심반경을 의미한다. $\widetilde P_{nm}$은 degree가 n, order가 m인 완전히 정규화 된 르장드르 연관 다항식이다.

여기서 $\widetilde C_{n,\:m},\:\widetilde S_{n,\:m}$은 지구에서 정의된 완전 정규화 된 구형 고조파 함수의 계수이고, $\widetilde C_{n,\:m}^{E}$은 고체 회전 타원체 상에서 정의된 완전 정규화 된 타원체 전위의 구형 고조파 계수이다. 지오이드 기복 $N$은 Bruns formula를 이용하여 교란전위 $T$를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서, a는 타원체 장반경, b는 타원체 단반경, $\gamma_{a}$는 적도상의 중력 값, $\gamma_{b}$는 극지역의 중력 값을 각각 의미한다. 구면 조화 함수를 이용해 지오이드 기복을 계산하는 경우, 구면 조화 계수 세트가 필요하며, 본 논문에서는 2008년에 출시 된 EGM08을 사용하였다. EGM08은 2159차의 degree 및 order 완전한 구형 구조파 계수를 포함하며, degree 2190, order 2159 까지 확장되는 확장 계수를 포함한다.

3.1 Machine Learning

기계학습(Machine Learning)은 컴퓨터 과학 분야로 알고리즘을 이용해 데이터를 분석하고 예측하는 연습을 통해 컴퓨터가 학습하도록 한다. 즉, 예제 데이터 집합이나 경험을 사용하여 주어진 성능 기준을 최적화하는 것이다⁽⁶⁾. 기계학습의 과정은 데이터 입력, 추상화, 일반화의 세 단계로 나눌 수 있으며 학습 방법으로는 대표적으로 지도학습(Supervised Learning)과 비지도 학습(Unsupervised Learning)으로 나눌 수 있다. 데이터 입력 과정은 미리 관측하거나 저장된 데이터의 입력이고, 추상화 과정에서 데이터를 더 넓은 표현과 개념으로 변환하여 의미를 부여한다. 일반화 과정은 추상화된 데이터로부터 지식과 추론을 생성하여 새로운 상황에서 실행한다.

지도학습은 문제에 대한 정답이 주어진 학습 방법으로 입력 데이터와 그것에 대한 결과값(Label)이 한 쌍으로 이루어진 데이터를 학습시킨다. 지도학습의 종류에는 회귀분석(Regression)과 분류(Classification)가 있다. 회귀분석은 레이블 y가 실수인 경우를 말하며 어떤 데이터들의 특징을 기준으로 하여 연속된 값, 즉 그래프를 예측하는 문제로 어떤 패턴이나 트렌드를 예측할 때 사용한다. 분류는 레이블이 있는 학습 데이터를 학습한 후에 새로 입력된 데이터가 어떤 그룹에 속하는지 찾아내는 문제이다. 입력에 대응하는 출력을 분석하여 이산적인 값을 찾는 것이다.

3.2 Deep Neural Network(DNN)

심층신경망(DNN)은 입력층(input layer)과 출력층(output layer) 사이에 여러 개의 은닉층(hidden layer)들로 이뤄진 인공신경망(Artificial Neural Network, ANN)이다. 심층 신경망은 복잡한 비선형 관계들을 모델링 할 수 있다. 예를 들어, 물체 식별 모델을 위한 심층 신경망 구조에서는 각 물체가 영상의 기본적 요소들의 계층적 구성으로 표현될 수 있다. 이때, 추가 계층들은 점진적으로 모여진 하위 계층들의 특징들을 규합시킬 수 있다. 심층 신경망의 이러한 특징은, 비슷하게 수행된 인공신경망에 비해 더 적은 수의 node들 만으로도 복잡한 데이터를 모델링할 수 있게 해준다. 심층 신경망은 표준 오차역전파 알고리즘으로 학습될 수 있다. 이때, 가중치들은 아래의 등식을 이용한 경사 하강법을 통하여 갱신될 수 있다⁽⁷⁾.

여기서, $\eta$는 학습률을 의미하며, $C$는 비용함수를 의미한다. 비용함수의 선택은 학습의 형태와 활성화함수 같은 요인들에 의해서 결정된다. 예를 들면, 다종 분류 문제에 지도 학습을 수행할 경우에는, 일반적으로 활성화함수와 비용함수는 각각 softmax 함수와 교차 엔트로피 함수를 사용할 수 있다. 기존의 인공신경망과 같이, 심층 신경망 또한 나이브한 방식으로 학습될 경우 많은 문제들이 발생할 수 있다. 그 중에선 과적합과 높은 시간복잡도가 가장 흔히 발생하는 문제들이다. 과적합을 극복하기 위해서 weight decay ($l_{2}$-regularization) 또는 sparsity($l_{1}$-regularization)와 같은 정칙화 방법들이 사용될 수 있다. 그리고 최근에 들어서는 심층 신경망에 적용되고 있는 정칙화 방법 중 하나로 dropout 정칙화가 등장했다. dropout 정칙화에서는 학습 도중 은닉 계층들의 몇몇 유닛들이 임의로 생략된다. 오차역전파법과 경사 하강법은 구현의 용이함과 국지적 최적화에 잘 도달한다는 특성으로 인해 다른 방법들에 비해 선호되어온 방법들이다. 그러나 이 방법들은 심층 신경망을 학습 시킬 때 시간 복잡도가 매우 높다. 심층 신경망을 학습시킬 때에는 크기, 학습률, 초기 가중치 등 많은 매개변수들이 고려되어야 한다. 하지만 최적의 매개변수들을 찾기 위해서 매개변수 공간 전부를 확인하는 것은 계산에 필요한 시간과 자원의 제약으로 인해 불가능하다. 시간 복잡도 및 과적합 문제를 해결하기 위해 mini-batch, dropout과 같은 다양한 기법들을 등장하였으며, 이를 통해 관련문제들을 일정부분 해결할 수 있다. 또한, 행렬 및 벡터 계산에 특화된 GPU는 많은 처리량을 바탕으로 두드러지는 학습 속도 향상을 보여주었다.

본 연구에서는 2개 이상의 완전 연결 계층으로 구성된 은닉층을 사용하는 심층신경망을 구성할 것이다. 은닉층의 개수를 달리 하면서 은닉층 개수에 따른 예측오차를 계산하여 정확도를 분석한다.

3.3 Data 생성

DNN의 학습 및 정확도 평가를 위해서는 위도 및 경도 좌표점에 대응하는 지오이드 기복에 대한 데이터베이스가 필요하다. 원하는 지점의 지오이드 기복을 계산하기 위해서는 정밀한 지오이드 모델이 필요하며, 높은 차수의 다항식을 실시간으로 계산해야하기 때문에 많은 시간을 필요로 한다. 국내에서는 2018년 한반도 지역의 육상과 해상을 아우르는 KNGeoid18 모델이 국토지리정보원 주관으로 개발되었다. 한반도 주변의 지오이드 기복을 KNGeoid18을 이용해서 계산한 결과를 그림 2에서 확인할 수 있으며, 한반도 지역의 지오이드 기복은 약 17m~30m 정도임을 확인할 수 있다. 지구전역을 대상으로 하는 지오이드 모델 중 가장 대표적인 것은 미국의 국가지리정보국에서 개발한 EGM08이다. 통합기준점 1,182점의 EGM08모델을 사용해 계산한 지오이드 기복과 GPS/Leveling 지오이드고와의 차이가 RMSE 0.216m로 EGM08의 정확도는 KNGeoid와 유사하다고 알려져 있다⁽⁸⁾. 또한 지역 모델은 해당 지역을 벗어나는 경우 사용이 불가능하기 때문에 본 논문에서는 EGM08 지오이드 모델을 이용하여 위도 33°~39° 및 경도 124~132° 사이의 지역에 대해서 0.001° 간격으로 지오이드를 생성하였다. 이렇게 생성한 48,006,000 개의 격자점의 위치인 (위도, 경도) 쌍이 입력 데이터로 제공되고, 해당 지점의 지오이드 기복이 결과 값으로 이루어진 데이터를 학습에 이용하였다.

4.1 심층신경망 모델 시간 복잡도

본 논문의 목적은 주어진 위/경도에서 지오이드 기복을 예측하는 것이다. 따라서 신경망 모델의 입력은 (위도,경도)의 2차원 데이터이고, 출력은 지오이드 기복이므로 1차원이다. 입력과 출력 데이터의 크기는 주어진 문제에 따라 쉽게 결정할 수 있지만, 은닉층의 크기는 신경망 모델이 실행되는 환경에 따라 달라진다. 시뮬레이션에 사용된 임베디드 컴퓨터 보드의 사양은 표 1과 같고, 그림 3은 본 연구에 사용된 실제 임베디드 컴퓨터 보드의 사진이다.

임베디드 시스템은 주기적으로 실행되는 실시간 task가 존재하기 때문에 지오이드 기복 예측 모델에 많은 시간을 할애할 수 없다. 또한, VxWorks 6.8기반으로 200Hz 주기로 메인 task를 계산하도록 설계되어 있기 때문에 지오이드 기복 예측 모델은 최대 1ms 이내로 모든 연산을 끝내야 한다. 실행시간을 예측하기 위해서 DNN 예측모델에서의 계산 복잡도를 구하였다.

각 계층의 입력 차원이 N, 출력 차원이 M일 때 계산 복잡도 $T_{c}$는 식 (7)과 같다.

각 은닉층 당 노드의 개수 및 은닉층의 개수가 정해지면 전체 연산량을 계산할 수 있으며 시뮬레이션에서는 DNN 예측 정확도를 평가하기 위해 은닉층의 개수에 따라 4가지 case를 가정하였고, 각 case별 은닉층 개수 및 $T_{c}$는 표 2에 정리하였다. 이에 따른 임베디드 보드에서 측정한 실시간 계산 시간은 그림 4와 같다. $T_{c}$ 2650개당 대략 200us의 계산 시간이 소요됨을 확인할 수 있다.

4.2 심층신경망 모델 학습 및 정확도 평가

지오이드 기복을 예측하기 위한 신경망을 구성하기 위하여 3.3에서 생성한 지오이드 기복 데이터를 사용하였다. 입력 변수인 위도와 경도는 그 크기와 값의 범위가 서로 달라서 min-max 정규화를 사용하였다. Min-max 정규화는 식 (9)와 같다.

여기서, $x_{s}$는 크기가 조정된 데이터, $x$는 조정할 데이터, $x_{\min}$은 데이터 세트의 가장 작은 값, $x_{\max}$는 데이터 세트의 가장 큰 값이다.

학습은 MATLAB R2021a 버전에서 수행되었으며, 각각의 case별 심층신경망 모델의 네트워크 크기는 표 2와 같고 학습을 위한 조건은 표 3과 같다. 매트랩 함수 사용시 사용가능한 최적화 함수는 ‘sgdm’, ‘rmsprop’, ‘adam’이 있으며 본 논문에서는 회귀분석에 사용가능한 ‘adam’을 사용하였다. 학습률은 고정값이 아니라 초기 학습률을 ‘0.1’로 설정하고 매 5번째 epoch마다 0.4배씩 감소하도록 설정하였다. 위와같이 학습률을 동적으로 설정할 경우 초기에 학습초기에 검증오차의 편차가 커지는 단점이 있지만 학습 속도가 향상되는 장점이 있으며, epoch이 증가할수록 학습률이 감소하기 때문에 검증오차의 편차 또한 점차 줄어들게 된다.

학습결과를 평가하기 위해서 평균제곱오차(Mean Squared Error)로 손실을 계산하고, 예측 성능에 대한 오차를 검증하기 위하여 평균제곱근오차(Root Mean Squared Error)를 사용하였다.

여기서, $n$은 검증 데이터의 개수, $\hat y_{i}$와 $y_{i}$는 각각 i번째 지오이드의 추정값과 실제값을 의미한다.

심층신경망 학습시에는 오버피팅을 방지하고 가중치 초깃값 의존성을 완화하기 위해 완전연결계층과 활성화 함수 사이에 배치정규화 계층을 배치하였다. 각각의 case에 대해서 epoch를 100으로 설정하여 총 72000회의 반복 학습을 수행하였으며, case4에 대한 결과를 그림 5에 도시하였다. 학습된 신경망을 이용하여 500만개의 랜덤 위치에서 지오이드 기복을 예측한 결과와 참값을 비교하였다. 그림 5를 통해 학습된 신경망의 예측치와 참값의 차이가 눈으로는 확인하기 힘들 만큼 매우 작은 것을 알 수 있다. 신경망을 통해 계산된 지오이드 기복의 정확도를 평가하위 위해서 500만개의 시험 데이터에 대한 오차 분석을 수행하였으며, 그 결과는 그림 6~7 및 표 4를 통해 확인할 수 있다. 회귀 신경망 학습에서 성능지표로 사용하는 RMSE를 통해 예측 정확도를 비교하면 은닉신경망 개수가 늘어날수록 오차가 줄어드는 것을 확인할 수 있다. 최대, 최소 및 평균 오차는 4가지 case가 유사한 결과를 보여준다.

2개의 은닉층을 사용한 case1의 경우 실행시간은 0.4ms가 소요되고, RMSE는 0.09m임에 반해서 5개의 은닉층을 사용하는 case4는 실행시간이 1ms이고 RMSE는 대략 0.04m임을 표 4를 통해 확인할 수 있다. 은닉층이 1개 추가될 때마다 실행시간은 0.2ms씩 선형적으로 증가하지만, RMSE오차는 0.1m씩 감소하는 경향을 보이는데, 한정된 자원인 실행시간 증가폭에 비해 RMSE오차 감소폭이 크지 않음을 알 수 있다. RMSE 및 MSE외에도 각각의 case에 대한 오차의 최소, 최대 및 평균을 계산하였으며 그 결과는 표 4를 통해 확인할 수 있다.

표 4에서 검증 데이터에 대한 예측오차의 평균값은 모든 case에서 0.01m 이하의 크기를 가지며 이를 통해 예측오차가 편향되지 않고 고르게 분포되어 있음을 알 수 있다. 예측오차의 최소값과 최대값을 통해서 참값에 비해 작게 예측된 오차가 최대 0.6m를 초과하지 않고, 참값에 비해 크게 예측된 오차는 최대 0.4m를 넘지 않음을 알 수 있다.