2.1 시간-주파수 영역 반사파 계측법

반사파 계측법이란 임피던스 불일치 지점에서 돌아오는 반사파를 측정하여 고장점을 탐지하는 기법이다. 시간-주파수 영역 반사파 계측법에서 사용하는 기준 신호는 가우시안 포락선 선형 첩 신호이며, 시간에 따라 주파수가 선형적으로 변화한다. 신호는 다음 식 (1)과 같다 ⁽⁸⁾.

($A=\dfrac{1}{2\tau_{0}^{2}}$, $B=\sqrt{(2\pi BW)^{2}2A-A^{2}}$, $w_{0}=2\pi f_{0}$ )

$\tau_{0}$는 시간 폭(Time Duration)의 영향을 받으며 신호 대 잡음비에 비례한다. $f_{0}$, $t_{0}$는 중심 주파수(Center Frequency), 중심 시간을 의미한다. BW는 주파수 대역폭(Bandwidth)를 의미하며, 신호의 분해능(Resolution)은 나이퀴스트 이론(Nyquist theorem)에 따라 주파수 대역폭에 비례하며 다음 식 (2)와 같다 ⁽⁹⁾.

가우시안 포락선 선형 첩 신호는 시간 폭과 주파수 대역폭이 동시에 증가할 수 없는 불확정성 원리를 고려하여 적절히 신호를 설계해야 하며 불확정성 원리 판별식은 다음과 같다 ⁽¹⁰⁾.

식 (2), (3)에 따라 기준 신호 설계 시 분해능과 불확정성의 원리를 동시에 고려하여 신호를 설계해야 한다. 설계된 신호는 다양한 주파수 성분으로 구성되고, 주파수에 따른 전파 속도가 차이가 있어 전파 거리가 멀어질수록 신호는 분산 및 왜곡된다. 따라서 전파 상수 및 거리에 따라 영향을 받는 신호 분석이 필요하다.

전파된 신호는 전파 매질의 전파 상수를 고려한 주파수 종속 필터 $G(z,\:w)= e^{-jk(w)z}$에 의해 신호가 왜곡되며, 이는 다음 식 (4)와 같다. 주파수 영역의 식 (4)를 푸리에 역변환하여 시간 영역에서 전파 거리 $z$ 만큼 전파된 신호를 확인할 수 있고 이는 다음 식 (5)와 같다 ⁽¹¹⁾.

전파 상수 $k$는 $\beta -j\alpha$로 구성되며 실수부 $\beta$는 위상 상수, 허수부 $\alpha$는 감쇠 상수이다. 신호가 좁은 주파수 대역을 갖는 협대역 신호(narrow band signal)일 때, $\omega_{0}$에 대해 테일러 급수로 이계도함수까지 확장하여 추정하면 다음 식 (6)과 같다 ⁽¹²⁾.

여기서 $\dot k_{0}=\dot\beta_{0}-j\dot\alpha_{0}$이며 $\dot\beta_{0}$은 전파 속도의 역수를 나타낸다. $k(\omega)$를 고계로 추정할수록 정밀한 표현이 가능하지만 본 논문에서는 감쇠 및 분산의 원인이 되는 이계도함수 $\ddot k_{0}=\ddot\beta_{0}-j\ddot\alpha_{0}$까지 나타냈다. 전파 상수를 이계도함수까지 고려하여 기준 신호를 나타내면 다음 식 (8)과 같다.

전파 상수의 이계도함수에 따라 신호의 시간에 따른 주파수 증분 $\dot\omega_{0}$는 다음 식 (9)와 같다.

전파 거리가 증가함에 따라 TD의 영향을 받는 $\tau_{0}$에도 변조가 적용되며, 이는 $\tau_{c hi rp}$으로 표현할 수 있다. $\tau_{ch i rp}^{2}$은 $\tau_{0}$와 주파수 증분 $\dot\omega_{0}$의 복소수 형태로 다음 식 (10)과 같다.

위 식에 따라 처핑이 적용된 전파 신호와 스펙트럼은 식은 다음과 같다.

신호의 분산을 고려할 경우 분산을 나타내는 이계 전파 상수 값을 고려한 그룹 시간 지연 식을 이용하여 그룹 속도를 구하며 다음 식 (13)과 같다.

그러나 이는 전파 거리가 충분히 증가할 경우 고주파 부분이 소멸되는 것을 고려하지 않았기 때문에 전파 신호의 분산을 보정하는 필터 설계 개발이 필요하다.

2.2 순시 주파수 추정 알고리즘

순시 주파수(Instantaneous Frequency, IF)란 주파수가 시간에 따라 변화할 때 특정 시간에서의 주파수로 정의되며 신호의 시간에 대한 변화 특성의 설명을 위해 많이 사용된다 ⁽¹³⁾. 순시 주파수는 힐버트 변환을 이용하여 신호의 실수부 $s(t)$와 허수부 $\hat s(t)$를 갖는 해석적 신호로 만든 뒤 IF를 다음 식 (15)로 표현할 수 있다.

전파된 신호는 위그너-빌 분포(Wigner-Ville Distribution)로 변환하여 시간-주파수 영역의 특징을 동시에 관찰할 수 있다. 위그너-빌 분포는 신호의 에너지 분포를 나타내며 다음 식 (16)과 같다 ⁽¹⁴⁾.

전파 신호에서 발생한 왜곡은 위그너-빌 분포에서 나타난 각 신호의 IF 추정을 통해 확인할 수 있지만, 장거리 전파된 신호는 감쇠가 심해 신호의 존재를 위그너-빌 분포에서 파악하기 어렵다 ⁽¹⁵⁾.

IF 추정은 어렵지만 TFCC를 통해 기준 신호와 유사한 전파 신호의 위치를 탐지할 수 있으며 기준 신호와 반사 신호의 크기로 나눠주기 때문에 신호의 크기에 상관없이 결과를 도출할 수 있다. 정규화된 기준 신호와 전파 신호의 TFCC는 식 (17)과 같다 ⁽¹⁶⁾.

여기서, $E_{s}(t)$, $E_{r}(t)$는 기준 신호와 반사 신호의 에너지를 나타내며, TFCC는 두 신호의 에너지를 나누어 정규화하기 때문에 반사 신호의 크기와 관계없이 0과 1 사이의 유사도를 갖게 된다.

협대역 신호에 가까울수록 힐버트 변환된 신호는 직교 신호에 가까워 신호의 위그너-빌 분포에서 가장 높은 에너지에서 IF를 효과적으로 추정할 수 있다. 또한 위그너-빌 분포의 피크 기반 IF 추정은 선형 FM 신호에 최적화된 방법이다 ⁽¹⁷⁾. 시간-주파수 영역 반사파 계측법에서는 시간에 따라 주파수가 선형적으로 증가하는 신호를 사용하므로 주파수 영역에서 IF는 전파 신호의 위그너-빌 분포에서 가장 높은 에너지를 갖는 점을 의미한다.

하지만 신호는 감쇠가 심해 위그너-빌 분포를 통한 IF 측정이 어려워 신호 복원 알고리즘이 필요하다. 이에 따라 min-max 정규화를 이용하여 전파 신호의 크기를 기준 신호와 동일하게 0과 1 사이 값으로 복원하였으며 다음 식 (20)와 같다.

복원된 위그너-빌 분포의 피크점을 통해 IF 추정 알고리즘을 구현하였다, IF를 1차 함수로 추정하고 선형 최소제곱법(Linear Least Squares Estimation, LLS)으로 표현하였으며 다음 식(21)과 같다.

여기서 Y는 순시 주파수를 1차 함수로 표현하기 위해 위그너-빌 분포의 제일 큰 값들을 남겨놓은 시간-주파수 평면의 주파수를 나타내며, X는 시간 축의 데이터의 입력 벡터와 값들과 크기가 n이고 모든 요소가 1인 열벡터를 나란히 놓은 것이다. $w$는 가중치 벡터를 의미하며 여기서 $w$는 순시 주파수의 1차 함수표현 $y=ax+b$의 기울기와 $y$절편을 나타낸다. J는 비용함수를 나타내며 J를 $w$에 대해 미분하여 가중치 $w$ 구할 수 있으며 다음 식 (24)와 같다.

기준 신호와 전파 신호의 위그너-빌 분포에 LLS을 통해 추정한 1차 함수의 기울기를 반영하였다. TFCC 기반의 신호 복원 알고리즘을 활용하여 신호를 복원하고 LLS를 통해 IF를 추정할 수 있는 알고리즘을 구현하였다.

3.1 시뮬레이터 개발

HVDC 시장 규모의 확대에 따라 장거리 송전의 필요성이 증가하고 있다. 하지만 HVDC 케이블 고장점 탐지는 전문가의 숙련도 및 경험에 의존되며, 정확한 진단이 불가능한 사례가 많다 ⁽¹⁾. 이에 따라 장거리 선로에 적용 가능한 반사파 계측법 시뮬레이터를 개발하였다. 장거리 선로의 경우 전파 거리가 증가할수록 신호의 감쇠와 분산이 심해져 고장점 탐지 성능 저하되며, IF 추정을 통한 주파수 성분의 감쇠 특성 기반 보정 필터 설계가 필요하다. 이를 위해서 IF 추정이 필요하지만, 장거리 전파 신호는 위그너-빌 분포에서 탐지가 어렵다. 신호의 존재 여부는 TFCC가 해결해줄 수 있지만, 신호 에너지 자체가 작아져 있는 상황에서 IF 추정은 불가능하다. 따라서 본 논문에서 전파 거리에 따른 왜곡을 반영한 전파 신호와 반사 신호를 분석 가능한 시뮬레이터를 개발하였고, 제안한 신호 복원 알고리즘을 통해 전파 신호를 기준 신호의 크기에 맞게 복원하고 IF 추정 알고리즘의 성능을 시뮬레이터를 통해 검증하였다.

시뮬레이터는 신호 인가부, 신호 계측부, 위그너-빌 분포화면 및 전파 상수 입력부, IF 계측부로 구성된다. 시뮬레이터의 메인 화면은 그림 1과 같다.

(1) 신호 인가부

➀ 영역 설정(Domain) : 계측법 선택영역으로 시간 영역, 주파수 영역, 시간-주파수 영역을 결정한다.

➁ 기본값(Default) : 임의로 설정한 신호 생성에 필요한 값을 불러온다. 실제 반사파 계측 시 사용되는 장비를 고려하여 설정하였다.

➂ 불확정성 원리 확인(Check) : 불확정성의 원리에 따라 시간 폭과 주파수 대역폭의 곱은 반드시 0.5이상의 값을 만족해야 한다. 이에 따라 중심 주파수를 기준으로 샘플링 레이트(Sampling Rate)가, 주파수 대역폭을 기준으로 시간 폭이 변경된다.

➃ 신호 생성(Signal Generation) : 설정된 TD, BW, CF 값을 반영하여 기준 신호를 생성한다.

(2) 신호 계측부

➄ 기본값(Default) : 전파 신호의 계측지점과 데이터 취득을 위한 설정값을 불러온다.

➅ 데이터 계측 및 취득(Data Acquisition) : 신호를 계측한 후 데이터를 취득하여 인가 신호 및 전파 신호를 나타내고, 이에 따른 위그너-빌 분포 값을 취득한다.

➆ 전파 상수 : 매질의 특성인 전파 상수를 입력할 수 있으며, 실수 부분과 허수 부분으로 나누어져 있다. 전파 속도는 $\dot\beta_{0}$의 역수로 표현한다.

➇ 위그너-빌 분포 : 인가 신호와 전파 신호의 위그너-빌 분포를 나타낸다.

➈ 순시 주파수 : 인가 신호와 전파 신호의 순시 주파수 기울기를 on/off로 표시할 수 있다. 신호가 전파 될수록 감쇠 및 분산을 겪어 위그너-빌 분포에서 IF 추정이 어려워 신호 복원 알고리즘을 통해 기준 신호와 같은 에너지 분포로 조정하고 순시 주파수를 표시하였다.

3.2 실험 구성 및 결과

본 논문에서 제안한 알고리즘의 성능을 검증하기 위해 반사파 계측법 시스템 설계를 고려하여 시뮬레이터를 개발하였고 반사파 계측법 시스템 구성도는 그림 2와 같다. 신호는 비접촉식 커플러를 통해 인가하고 계측하며, 동일 위치에서 신호 인가 및 취득을 가정하여 개발하였다. 신호발생기에서 생성된 기준 신호는 T-커넥터를 통해 디지털 오실로스코프에 취득되고 신호처리 시스템에 전송된다. 다른 채널을 통해 설계된 기준 신호는 케이블에 인가되고 임피던스 불일치 지점에서 발생한 신호는 반사되어 돌아온다. 본 논문에서는 전파에 대한 신호 감쇠 및 분산을 분석하기 위해서 시뮬레이터를 개발하였고, 시뮬레이션은 전파 신호 측정과 반사 신호 측정 두 상황으로 신호 분석이 가능하다. 반사 신호 측정 시 일정 지점에 로드 임피던스를 무한대로 입력하여 종단을 모의할 수 있다.

취득한 기준 신호와 반사 신호의 TFCC를 통해 임피던스 불일치 지점을 확인할 수 있고 위그너-빌 분포를 통해 시간-주파수 영역에서 순시 주파수를 추정할 수 있다. 기준 신호의 TD는 150 $ns$, BW는 40 MHz, CF는 20 MHz로 설정하였고, 중심 시간을 500 $ns$로 설정하여 실험을 진행하였다. 로드 임피던스에 따른 IF 측정 시 설계되는 기준 신호는 모두 동일하다. 설계한 시간 영역에서 기준 신호와 위그너-빌 분포는 그림 3과 같다.

전파 상수는 선로 정수의 영향을 받기 때문에 케이블 종단의 로드 임피던스에 따라 전파 상수가 달라진다. 케이블의 열화정도 및 고장점의 유무 등 선로 정수에 영향을 주는 다양한 요인에 따라 전파 상수는 변화한다. 본 실험에서는 로드 임피던스가 개방 상태일 때 시뮬레이션을 진행하였다. 전파 상수 파라미터는 표 1과 같다 ⁽¹⁸⁾. 인가 신호에 대한 전파 신호는 150 m, 300 m, 450 m, 600 m 간격으로 취득했다.

인가 신호의 전파에 따른 시간 영역에서의 변화는 그림 4와 같으며 시간 영역에서 전파 거리가 증가함에 따라 신호의 감쇠가 커져 신호의 피크 값이 감소하는 것을 확인할 수 있다.

신호가 매우 작아져 파형으로는 분산을 확인할 수 없어 전파 상수를 이계도함수까지 고려한 주파수 종속 필터 $G(z,\:w)= e^{-jk(w)z}$와 표 1을 사용하여 결과를 나타냈다. 전파 거리에 따른 주파수 분산을 확인하기 위해 고속 푸리에 변환을 진행하여 기준 신호를 주파수 영역에서 확인하였고 결과는 그림 5와 같다. 그림 5는 전파 거리가 증가할수록 고주파 성분이 저주파 성분보다 감소가 심하고 이로 인해 중심 주파수가 변화를 확인할 수 있다. 이로 인해 거리가 전파되는 동안에 전파 속도의 변화를 유추할 수 있다.

로드 임피던스가 개방된 상태일 때 전파된 신호의 위그너-빌 분포는 그림 6과 같다. 그림 6에서 장거리로 전파될수록 감쇠를 겪어 150 m 지점 이후로는 위그너-빌 분포를 통해 순시 주파수를 추정할 수 없다. 이에 따라 본 논문에서 제시한 신호 복원 알고리즘을 적용하여 위그너-빌 분포의 크기를 인가 신호와 동일하게 조정한 후 IF를 추정하였다. IF 추정 알고리즘이 적용된 전파 신호의 위그너-빌 분포는 그림 7과 같다.

위그너-빌 분포에 따라 인가 신호가 장거리로 전파될수록 저주파 부분보다 고주파 부분에서 분산이 크게 일어남을 확인할 수 있다.

로드 임피던스가 개방된 상태에서 전파 거리가 증가할수록 순시 주파수의 기울기가 감소하게 되는데 이는 전파 상수에 따라 신호가 전파될수록 고주파의 분산이 심해 저주파보다 도착 시간이 늦어져 기울기가 감소하게 된다. 로드 임피던스가 개방 상태일 때 순시 주파수의 기울기는 표 2과 같다.