2.1 전방향 이동 로봇 플랫폼

전방향 이동로봇을 구현하는 다양한 방법이 제안되었으며^(13,14) 그 중 메카넘휠(Mecanum wheel)을 장착한 형태가 다수를 차지하고 있다. 메카넘휠은 그림 1의 (a)에 나타내어져 있는데 바퀴의 주위에 보조 바퀴들이 부착된 형태를 갖는다. 그림 1의 (b)는 개별적으로 구동되는 네 개의 메카넘휠을 장착한 이동 로봇을 나타내는데 네 바퀴의 회전 속도 및 회전 방향의 합에 의해 로봇 몸체의 이동 속도와 방향이 결정된다. 특히 로봇 몸체의 회전이 없이도 평면상의 모든 방향으로 이동이 가능한 전방향성을 갖는다.

그림 1 메카넘휠과 전방향 이동 로봇

Fig. 1 Mecanum wheel and Omni-directional Mobile robot

전방향 이동 로봇의 기구학 해석을 위해 그림 2와 같이 좌표계를 설정한다.

그림 2 전방향 이동 로봇 좌표계

Fig. 2 Coordinates system of the omni-directional mobile robot

그림 2 에서 $\Sigma_0$ 는 로봇의 회전 중심 좌표계, $\Sigma_{i \omega}(\mathrm{i}=1,2,3,4)$ 는 각 메카넘훨 중심의 좌표계를 나타낸다. 메카넘훨 각각의 선 속도 $V_{i W}$ 와 바닥에 닿는 서브롤러의 접선속도 $V_{i r}$ 를 정의하 면 각 바퀴의 속도 $V_{i X}$ 는 식 (1)과 같이 나타낼 수 있고, 이는 로봇 중심의 속도인 $v_x, v_y$ 와 로봇 중심의 각속도인 $w_z$ 그리 고 메카넘 휠과 차체 중심과의 거리 $l_a, l_b$ 를 이용하여 식 (2) 와 같이 나타낼 수도 있다^(15,16). 그림 2에서 네 개의 바퀴는 바닥면에 닿은 상태를 나타내며 보조바퀴들은 주바퀴 둘레에 그림의 빗금 부분에서와 같이 $45^{\circ}$ 각도로 배치되어 있다.

한편 메카넘휠의 선속도 $V_{i W}$ 와 메카넘휠의 각속도 $\omega_{i W}$ 는 $\omega_{i W}=V_{i W} / R_W$ 인 관계가 있으므로 식(1),(2)로부터 식 (3)과 같이 메카넘 휠의 각속도를 구할 수 있다. 식 (3)은 원하는 전 방향 이동로봇의 선속도와 각속도가 주어졌을 때 이를 구현할 수 있는 네 개의 메카넘훨의 각속도를 나타낸다. 식 (4)는 역 으로 각 메카넘훨의 각속도가 주어졌을 때 구현되는 전방향 이동로봇의 선속도와 각속도를 나타낸다.

2.2 전방향 모바일 매니퓰레이터 해석

본 논문에서 해석을 위해 사용할 전방향 모바일 매니퓰레이터는 2.1절의 이동로봇 플랫폼에 매니퓰레이터가 장착된 형태로 그림 3에 그 구조를 나타내었다. 장착된 매니퓰레이터는 임의의 형태를 가져도 관계없으나 해석의 편리함을 위해 평면형의 두 개의 회전 관절을 갖고 있는 것으로 가정한다.

그림 3 전방향 모바일 매니퓰레이터

Fig. 3 Omni-directional mobile manipulator

이동로봇에 장착된 매니퓰레이터는 두 개의 회전축이 모두 지면에 수직이므로 평면상에서 회전운동을 하는 2축 평면 매니퓰레이터로 해석할 수 있다. 또한 이동로봇은 전 방향으로 움직일 수 있으며 제자리 회전이 가능하므로 직동 관절 두 개와 회전 관절 한 개를 가진 매니퓰레이터로 해석할 수 있다. 따라서 전방향 모바일 매니퓰레이터를 그림 4에 나타낸 바와 같이 두 개의 직동 관절과 세 개의 회전 관절을 갖는 5 자유도 매니퓰레이터로 변환하여 해석할 수 있다.

그림 4 5 자유도 매니퓰레이터 모델

Fig. 4 5 DOF manipulator model

그림 5에 전방향 모바일 매니풀레이터의 기구학 해석을 위 한 좌표계 설정을 나타내었다. 그림에서 $d_1, d_2$ 는 첫 번째와 두 번째 직동관절이고 $\theta_3, \theta_4, \theta_5$ 는 이후의 회전관절들이다.

그림 5 전방향 모바일 매니퓰레이터 좌표계

Fig. 5 Coordinates of the omni-directional mobile manipulator

전방향 모바일 매니퓰레이터의 엔드 이펙터의 위치 $x, y$ 와 방향 $\alpha$ 를 나타내는 순기구학 식은 식 (5)와 같다. 여기에서 $c_i \equiv \cos \left(\theta_i\right)$, $s_i \equiv \sin \left(\theta_i\right), c_{i j} \equiv \cos \left(\theta_i+\theta_j\right), s_{i j} \equiv \sin \left(\theta_i+\theta_j\right)$ 등 이다.

식 (6)과 같이 변수들을 정의하면 전방향 모바일 매니퓰레이 터의 자코비안을 식(7),(8)과 같이 구할 수 있다.

여기에서 $J_{i j}$ 는 식 (8)과 같다.

식 (4)로 주어지는 전방향 이동 로봇의 속도와 식 (6)으로 표시된 평면 5 자유도 매니퓰레이터의 처음 세 개의 속도 성분 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

2.3 여유자유도 문제와 충돌 회피

2.2절에서와 같이 전방향 모바일 매니퓰레이터를 직동 관절 두 개와 회전 관절 세 개, 총 5 자유도를 갖는 평면 매니퓰레이터로 해석할 수 있다. 평면상에서의 작업에는 3 자유도가 필요하므로 제안된 로봇은 여유자유도가 2인 여유자유도 매니퓰레이터로 해석할 수 있다. 여유자유도 매니퓰레이터에서는 역기구학해가 무한개이므로 이 무수한 해 중에서 특정한 해를 결정하는 것이 중요한 문제가 된다. 또한 여유자유도 매니퓰레이터에서는 주 작업 외에 여유자유도를 사용하여 부가적인 부 작업을 수행하도록 할 수 있다.

본 논문에서는 전방향 모바일 매니퓰레이터를 하나의 여유자유도 매니퓰레이터 문제로 변환하여 매니퓰레이터의 엔드 이펙터가 주어진 궤적을 추종하도록 하는 주작업을 수행함과 동시에 부작업으로 매니퓰레이터와 주변 장애물과의 충돌을 회피하도록 하는 문제를 다룬다.

엔드 이펙터 궤적을 추종하는 주 작업에 대한 해를 구하기 위해서 속도 차원에서 의사역행렬을 구하는 방법을 사용한다. 또한 필요에 따라 특정 관절 변수의 움직임의 중요도를 다른 변수들과 달리 할 수 있도록 가중치를 주고 의사역행렬을 구하는 방법을 사용한다. 이는 식 (10)과 같은 최적해 문제를 푸는 것과 같고 이에 대한 해는 식 (11)과 같이 구할 수 있다. 이 해는 주어진 엔드 이펙터 속도 궤적 $\dot{X}(t)$ 을 만족하는 최 소 놈(norm) 해이다.

전방향 모바일 매니퓰레이터에게 주어지는 부 작업으로는 충돌회피를 고려한다. 충돌회피 작업은 충돌을 피하기 위한 목적함수를 도입하고 이 목적함수를 최적화하는 해를 식 (12)와 같이 구한다. 충돌 회피를 구현하는 식 (12)는 모델링된 여유자유도 매니퓰레이터의 셀프모션(Self motion) 항이 포함되어있다. 즉, 충돌회피를 위해서 최적화해야 할 목적함수와 임의의 상수 로 이루어진 항이 영공간 투영(Null space projection) 연산자에 곱해진 형태이다. 영공간 투영 연산자는 여유자유도 매니퓰레이터가 추종해야할 궤적을 나타내는 $\dot{X}(t)$ 에는 영 향을 주지 않으면서 관절 속도 $\dot{\Theta}(t)$ 에는 변화를 주어 충돌을 피할 수 있는 해를 구할 수 있게 한다.

전방향 모바일 매니퓰레이터의 일반적인 동작은 작업 대상물 근처로 이동하여 매니퓰레이터를 사용하여 특정한 작업을 수행하는 것이다. 따라서 작업 중 이동로봇에 장착된 매니퓰레이터와 장애물과의 충돌 회피를 고려하여 목적함수를 선정한다. 그림 6에 충돌회피를 위한 목적함수 P를 구하기 위한 변수와 좌표계를 나타내었다.

그림 6 전방향 모바일 매니퓰레이터와 장애물

Fig. 6 Omni-directional mobile manipulator and an obstacle

그림 6에 나타낸 바와 같이 목적함수 $P$ 는 매니퓰레이터의 4 번 링크와 장애물과의 거리를 나타내는 함수로 정의한다. 4번 링크를 이루는 점 $\left(x_3, y_3\right)$ 과 점 $\left(x_4, y_4\right)$ 은 순 기구학을 통해 식 (13)과 같이 구할 수 있다. 이 두 점을 이용하여 4번 링크를 평면상의 직선의 방정식으로 표현하면 식 (14)와 같이 나타낼 수 있다. 장애물의 중심점이 점 $(a, b)$ 에 위치해 있고, 안전거 리를 포함하여 이 장애물과의 충돌이 발생하지 않는 영역을 반지름이 $r$ 인 원의 외부로 가정하면 이 장애물은 식 (15)와 같이 표현할 수 있다. 이 때, 4 번 링크와 장애물과의 거리는 식 (16)과 같이 표시될 수 있으며 이 식은 장애물 회피를 위해 최대화를 해야 할 목적함수가 된다.

3.1 시뮬레이션 방법

시뮬레이션에서는 2.3절에서와 같이 가중치를 준 의사역행렬을 사용하여 해를 구하고 식 (16)과 같이 주어지는 목적함수 P의 적용 여부에 따른 전방향 모바일 매니퓰레이터의 궤적을 비교한다. 파라미터를 변경하며 두 가지 시뮬레이션을 수행하였고 사용된 파라미터는 표 1에 상술하였다. 전방향 모바일 매니퓰레이터의 궤적은 Matlab을 통해 계산하였고, Simulink를 사용하여 시각화하였다.

시뮬레이션의 엔드 이펙터 궤적 계획은 관절 공간에서 구한다. 궤적은 일반적인 3차 다항식 형태로 설정하였다. 한편 제안한 방법에서는 관절 속도 공간에서 전방향 모바일 매니퓰레이터의 해를 구하므로 이를 기반으로 관절 위치인 ()를 구해야 하는데 이는 식 (17)과 같은 일반적인 룽게-쿠타 방법(Runge-Kutta Method)을 사용하여 구하였다.

Matlab의 연산 흐름은 그림 7과 같다. 초기 파라미터를 바 탕으로 의사역행렬 $J_W^{+}$와 목적함수 $P$ 로부터 $\dot{\Theta}(t)$ 을 구한 뒤, 룽게-쿠타 방법을 통해 $\Theta(t)$ 를 도출하게 된다. $\Theta(t)$ 의 $t$ 간격 은 10ms 로 $t_f$ 인 3s까지 300 번 반복을 통하여 전체 궤적을 구하였다.

그림 7 시뮬레이션 블록도

Fig. 7 Block diagram for the simulation

Matlab에서 계산된 궤적은 Simulink에서 시각화하였다. Simulink에서의 연산 과정은 그림 8에 블록도로 나타내었다. 즉, ${\Theta}(t)$ 블록에서 계산된 궤적을 입력받고 Obstacle 블록에서 초기 위치를 받아들인다. Robot Body 블록에서는 입력 값을 바탕으로 $t=$ 0~3초 사이의 로봇의 자세와 궤적을 시각화한다.

3.2 시뮬레이션 결과

첫 번째 시뮬레이션은 그림 9에 나타낸 바와 같이 매니퓰레이터의 바깥쪽에 장애물이 있는 경우이다. 전방향 모바일 매니퓰레이터의 초기 위치에서 보았을 때 장애물은 우측 하단에 위치하고 있다. 시뮬레이션에서 사용한 파라미터들은 표 1에 나타낸 바와 같다. 주 작업은 그림에서 직선 화살표로 표시된 바와 같이 좌측 상단에서 우측 하단으로 이동하는 직선 궤적을 추종하는 것이다. 그림 9의 왼쪽 그림은 부작업인 충돌 회피를 고려하지 않고 주 작업만을 고려하여 식 (11)에 의해 해를 구한 경우이다. 이 경우에는 4번 링크가 장애물과 충돌하는 것을 확인할 수 있다. 그림 9의 오른쪽 그림은 장애물과의 충돌을 피하기 위하여 목적함수 P를 적용한 경우로서 식 (12)에 의해 해를 구한다. 그림에서와 같이 주작업인 엔드 이펙터의 직선 궤적을 추종하면서 이동로봇 몸체 전체를 기동하면서 부작업인 장애물과의 충돌도 피하는 것을 확인할 수 있다.

그림 10은 각 관절 변수의 값들의 변화를 그래프로 표시한 것이다. 목적함수 P를 적용하지 않은 경우 식 (11)에 의해 구한 해는 최소 놈 해이므로 관절 변수의 값들의 변화가 매우 적은 것을 확인할 수 있다. 충돌 회피를 하는 목적함수 P를 적용했을 때는 전방향 모바일 매니퓰레이터가 장애물 회피 기동을 하면서 관절 변수들의 값의 변화가 커지는 것을 확인할 수 있다.

두 번째 시뮬레이션은 그림 11에 나타낸 바와 같이 전방향 모바일 매니퓰레이터의 초기 위치에서 보았을 때 장애물이 로봇의 좌측 상단에 위치하고 있는 경우이다. 주 작업은 그림에서 직선 화살표로 표시된 바와 같이 우측 하단에서 좌측 상단으로 이동하는 직선 궤적을 추종하는 것이다. 그림 11의 왼쪽 그림은 부작업인 충돌 회피를 고려하지 않은 경우로서 매니퓰레이터의 4번 링크가 장애물과 충돌하는 것을 확인할 수 있다. 그림 11의 오른쪽 그림은 장애물과의 충돌을 피하기 위하여 목적함수 P를 적용한 경우로서 엔드 이펙터가 주어진 궤적을 충실히 추종하면서 매니퓰레이터의 4번 링크가 장애물과의 충돌도 피하는 것을 확인할 수 있다. 그림 12는 각 관절 변수의 값들의 변화를 그래프로 표시한 것으로 충돌 회피를 위한 목적함수 P를 적용했을 때 전방향 모바일 매니퓰레이터가 이동로봇 플랫폼과 매니퓰레이터 모두를 크게 움직이면서 관절변수들의 값이 크게 변화하는 것을 볼 수 있다.

그림 9 시뮬레이션 1 에서의 전방향 모바일 매니퓰레이터의 궤적

Fig. 9 Trajectory of the omni-directional mobile manipulator in simulation 1

그림 10 시뮬레이션 1 에서의 관절 변수들의 값

Fig. 10 Joint values for the simulation 1

그림 11 시뮬레이션 2 에서의 전방향 모바일 매니퓰레이터의 궤적

Fig. 11 Trajectory of the omni-directional mobile manipulator in simulation 2

그림 12 시뮬레이션 2 에서의 관절 변수들의 값

Fig. 12 Joint values for the simulation 2