2.2.1 도체 표면 임피던스 모델링

코아 표면 전류 및 sheath의 전류는 자장을 형성하게 되며, 코아 전류에 의해서 형성되는 전류는 그림 4에서의 반지름 방향으로 방사선과 같이 전파되게 된다.

그림 4 단상케이블의 전장 및 자장

Fig. 4 Electric and magnetic field in a single cable

자장의 전파는 코아에서 자장의 확산(diffusion) 현상과 동일하다. 자장에 대한 확산 식(Diffusion equation)의 특성 해는 Bessel equation이 된다. Maxwell 방정식을 원통좌표계$(r,\:\phi ,\: z)$로 변환시키고, 자장의 세기에 대한 식으로 나타내면 다음과 같은 식 (1)을 얻는다.

where $\nu^{2}= j\omega\sigma\mu$, $\Gamma^{2}=\omega^{2}\epsilon\mu$ $\sigma$, $\mu$, $\epsilon$, 및 $\omega$는 매질의 전도율(conductivity), 투자율(permeability), 유전율(permittivity) 및 각속도(angular speed)를 나타낸다. 식 (1)은 확산식 에서 유도된 식으로서 자장의 발산을 나타낸다. 식 (1)의 $\nu$, $\Gamma$ 및 $\gamma$의 관계는 다음과 같은 관계가 있다.

$\nu^{2}= j\omega\mu\sigma$, $\Gamma^{2}=\omega^{2}\epsilon\mu$

$\gamma^{2}=\nu^{2}-\Gamma^{2}= j\omega\mu\sigma -\omega^{2}\epsilon\mu$,

$\gamma$ : 전파상수(propagation constant)

$\gamma^{2}= j\omega\mu(\sigma +j\omega\epsilon)\simeq j\omega\mu\sigma\equiv\nu^{2}$, $\because\sigma\gg\epsilon$

$\nu =\sqrt{j\omega\mu\sigma}$

Bessel equation으로서 식 (1)의 2개 식은 동일한 식이며, $\Gamma^{2}$는 $\nu^{2}$에 비해서 상당히 작은 값($\Gamma\approx 0$)으로서 무시할 수 있다. 식 (1)의 아래 식을 전개하면 식 (2)와 같이 나타낼 수 있다 ^(11)(12)(13).

식 (2)의 관계는 자장의 세기는 전파상수(propagation constant)와 밀접한 관계가 있는 것으로 표시된다. Bessel equation은 원통좌표계 혹은 구좌표계에서 Laplace 및 Helmholtz equation의 별도의 해를 구할 때 사용되며, 식 (2)의 해는 modified Bessel function으로서, 2계(order 2)이며, 2개의 1차 독립적인 해를 갖게 된다. 2개의 독립적인 식은 $I_{m}(x)$와 $K_{m}(x)$으로 나타낼 수 있으며, 일반적인 식으로 식 (3)과 같이 나타낼 수 있다 ^{(11)(13)(14)(15)}.

식 (2)의 해는 식 (3)을 이용하여, 식 (4)와 같이 나타낼 수 있다.

함수 $I_{1}(u)$과 $K_{1}(u)$는 1종(first kind) 및 2종(second kind) 의 1계(first order)이다. Maxwell 방정식을 극좌표로 나타낸 $H_{\phi}$와 $E_{z}$의 관계는 식 (5)와 같다.

Bessel function의 미분규칙 식 (6)을 이용하면 $E_{z}$에 대한 식 (7)을 구할 수 있다.⁽⁹⁾

where $\eta =\dfrac{\nu}{\sigma}=\dfrac{j\omega\mu}{\nu}=\sqrt{\dfrac{j\omega\mu}{\sigma}}$. $\eta$는 intrinsic impedance이다.

2.2.2 코아 표면 및 sheath 표면 임피던스

이 모델의 코어와 sheath는 도체이며 중실축(solid cylinder)와 중공축(hollow cylinder) 형태이다. 인덕턴스는 내부와 외부 인덕터스로 나눌 수 있다. 외부 임피던스는 도체에 전류가 도통하면서 생성되는 자속에 의해서 생성되는 것으로, 모든 자속은 유전체 부분에 존재한다. 내부 인덕턴스는 도체 표면에 흐르는 전류에 의해서 생성되는 자속이며 내부에 존재한다.

임의의 동축 귀환로에 의해서 둘러싸인 중실축 ($r=r_{1}$) 내부 실린더 경우를 고려하여, 식 (7)에서 상수 $A$ 및 $B$를 구한다. $r = 0$일 때 $K$-function은 무한대가 되기 때문에 $B = 0$로서 한 전선 축을 따른 E.M.I는 정해진 값이다. 전선에서 흐르는 전류가 $I$이면, 자장의 세기는 $H_{\phi}=I/2\pi r_{1}$이다. 식 (7)에 의해서, 자장의 세기는 $A I_{1}(\nu r_{1})$이 된다. 여기서 $I_{i}()$ 및 $I_{i}$는 각각 modified Bessel function 및 전류를 나타낸다.

따라서

전선 내의 자장의 세기에 대한 최종 표현은 식 (9)과 같다.

중실축 전선에 대한 표면 임피던스는 식 (10) 과 같다.

그림 1의 sheath의 내경($r_{2}$) 및 외경($r_{3}$)에 전류가 각각 $I_{2}$ 및 $I_{3}$가 흐른다고 할 수 있다. 내경(inner)과 외경(outer)의 임피던스를 각각 $Z_{2i}$ 및 $Z_{2o}$이다. 두 임피던스에 사이의 상호임피던스를 $Z_{2m}$이다.

귀환 경로가 부분적으로 내경와 외경인 경우, 튜브형 도체에서 2개의 전류가 섞이는 것으로 인하여 상호 분포임피던스가 $Z_{2m}$인 2개의 전송경로를 갖게 된다. 실린더의 2개의 도체(내부 및 외부)에 공통으로 형성된 자장이 실린더의 2개의 도체에 의해서 형성된 것만이 아니라면 $Z_{2m}$는 두 도체 사이의 전체 상호 임피던스가 아니며, 따라서 $Z_{2m}$를 한쪽 표면에서 다른 쪽 표면까지의 전달 임피던스라 한다.

이 임피던스를 결정하기 위해서, 튜브 도체에 전류 $I_{2}+I_{3}$가 흐르면, $I_{2}$는 내경에, 다른 전류 $I_{3}$는 외경에 흐른다. 내경에 흐르는 전류는 $-I_{2}$이고, 외경에 흐르는 전류는 $I_{3}$이다. 각각 표면에서 자장의 세기는 $H_{\phi ,\:r2}= -\dfrac{I_{2}}{2\pi r_{2}}$ and $H_{\phi ,\:r3}=\dfrac{I_{3}}{2\pi r_{3}}$ 이다.

따라서

where $D = I_{1}(\nu r_{3})K_{1}(\nu r_{2})- I_{1}(\nu r_{2})K_{1}(\nu r_{3})$

식 (7)에 식 (12)를 대입을 하면 계산을 하면 실린더의 내면 임피던스($z$), 외면 임피던스($z$) 및 내면과 외면 사이의 임피던스($z$)에 대한 식 (13)을 얻는다.

임피던스는 반지름 $r_{i}$, intrinsic impedance $\eta_{i}$, 전파상수 $\nu$와 Bessel functions에 의해서 결정된다.

2.2.3 도체 간 임피던스 모델링

Cable의 절연층인 외부임피던스는 식 (14)와 같이 나타낼 수 있다.

2.2.4 대지귀환 임피던스 모델링

Carson은 자기임피던스 및 상호임피던스를 $Z_{ii}=Z_{ii}^{0}+Z_{ii}^{'}$와 $Z_{ij}=Z_{ij}^{0}+Z_{ij}^{'}$로 나타내었다. $Z_{ii}^{0}$와 $Z_{ij}^{0}$는 대지가 완벽한 도체라는 것을 고려하여 구한 임피던스이며, $Z_{ii}^{'}$와 $Z_{ij}^{'}$는 대지가 유한도체라는 것을 고려한 항목이다⁽¹⁶⁾. Carson의 식에서 $Z_{ii}$와 $Z_{ij}$는 식 (15)와 (16)과 같이 정의된다.

전선표면의 전계강도는 $z I$로 나타낼 수 있으며, $z$는 전선표면 임피던스 이다. Carson식의 대지귀환 값에 관련된 보정항을 나타낸 것으로 무한 적분항을 포함하고 있다 ^(16)(17). 그림 5와 같이 나타내면은 Carson의 식을 간단하게 할 수 있다.

그림 5는 대지를 공기 중에 해당하는 조건으로 변환하면은 그 조건에 해당하는 $p$에서 상응한 도체가 있는 것으로 나타낼 수 있다.

윗 식은 대지귀환 전류를 귀선 도체가 공기 중에 있는 것으로 모델링을 하여 구한 식이다. 따라서 대지 깊이 $p$를 구하는 것이 중요한 문제 중 하나이다.

그림 5 등가 대지귀환 깊이 ($D_{e}$)

Fig. 5 Equivalent Earth Return Depth ($D_{e}$)

$h_{i}$는 도체와 대지 간의 높이로서 그림 5와 같이 conductors와 ground 간의 간격이다. 대지 깊이 $p$는 식 (20)과 같이 주어진다.

식 (19)의 Modified Carson 식은 식 (21)과 같다.

$GMR_{ri}$는 도체의 GMR이며, $R_{i}$ 및 $R_{0}$은 도체 및 대지 저항을 나타낸다. 대지 귀환의 등가 대지 깊이($D_{e}$)는 그림 5와 같이 나타낼 수 있으며, $D_{e}$는 식 (22)와 같다 ⁽¹⁷⁾.

where $\rho$ : earth resistivity, $f$ : frequency

대지 비저항($\rho$ :resistivity)의 값이 없으면 $\rho = 100\Omega m$로 한다 ⁽¹⁸⁾. 대지의 $p$는 Table 1과 같다.

대지 귀환로의 GMR은 그에 해당하는 지상도체의 GMR과 동일하다. 모든 대지귀환 도체의 깊이($D_{d}$)는 모두 동일하게 간주한다. 대지저항($r_{0}$)는 식 (23)과 같이 정의되며, 동일하다고 간주된다.

2.2.5 케이블 부분별 임피던스

케이블에 존재하는 임피던스를 식 (24)에 나타내었다⁽⁹⁾.

식 (24)식의 $Z_{11}$, $Z_{2i}$, $Z_{2o}$ 및 $Z_{2m}$을 간략화 하면 식 (25)와 같이 된다 ⁽⁹⁾.

where $u= t\sqrt{2\omega\mu\sigma},\: t:thickness$

Bessel식을 근사화 해서 구한 cable의 임피던스 $Z_{2i}$와 $Z_{2o}$의 저항성분

$\begin{aligned} & r_{2 i}=\frac{1}{2 r_1} \sqrt{\frac{\mu f}{\pi \sigma}}+\frac{1}{4 \pi \sigma r_1^2} \\ & r_{20}=\frac{1}{2 r_3} \sqrt{\frac{\mu_2 f}{\pi \sigma_2}} \frac{\sinh u+\sin u}{\cosh u-\cos u}+\frac{r_3+3 r_2}{164 \pi \sigma r_2 r_1^2}\end{aligned}$

의 2번째 항목은 곡면에 대한 보정 값이며, 도체가 평면이면 없어진다.

3.3.1 3상 파워케이블 특성

그림 11 3상 케이블의 임피던스 모델링

Fig. 11 Impedance Modeling of Three Phase Cable

2개 이상의 파워케이블이 평행으로 설치된 경우에는 상호 coupling을 고려해야 한다. 파워케이블은 그림 10과 같이 3상으로 구성되어 있으며, 파워케이블의 임피던스와 어드미턴스 전기적 모델링은 그림 11과 같이 나타낼 수 있다.

3.3.2 3상 power cable 전기적 모델

상 전류의 불평형이 발생하면 중성선과 대지를 통하여 불평형 전류가 흐른다. 2.2.5에서 대지로 전류가 흐르는 경우를 상정하여 식 (21)과 식 (35)이 도출되었다. 그림 11로부터 식 (34) 및 식 (35)를 이용하여 식 (39)가 도출된다.

식 (39)는 식 (40)과 같이 나타낼 수 있으며, 식 (41), Eq(42) 및 식 (43)로 나타내어 구할 수 있다.

식 (41)은 Ground 저항을 나타낸다.

식 (42)은 식 (37)에 의해서 구할 수 있다.

식 (43)는 식 (24)에 의해서 구할 수 있다.

3상 cable 임피던스는 각각의 식으로 분리해서 계산을 하고, 다시 합하여 얻을 수 있다.