기호의 약속

$C_{buy}^{t}$ : 시간구간 $t$에서의 구매전력 단가

$C_{sell}^{t}$ : 시간구간 $t$에서의 판매전력 단가

$I_{l}$ : 중단가능부하 $l$의 부하량

$M_{cap}^{t}$ : 시간구간 $t$에서의 수요관리부하 작업인력 한계

$m_{l}$ : 유동부하 $l$과 관련된 부하열 개수

$m_{LC}^{l}$ : 유동부하 $l$의 작업인원 수

$m_{LI}^{l}$ : 중단가능부하 $l$의 작업인원 수

$n_{T}$ : 시간구간의 개수

$n_{X}$ : 제어변수 x의 개수

$n_{Y}$ : 제어변수 y의 개수

$n_{Z}$ : 제어변수 z의 개수

$n_{LC}$ : 유동부하의 개수

$n_{LI}$ : 중단가능부하의 개수

$P_{b}^{max}$ : ESS의 전력변환장치(PCS) 한계

$P_{Lbuy}^{t}$ : 시간구간 $t$에서의 구매(판매)전력 한계

$P_{L"\cap "}^{t}$ : 시간구간 $t$에서의 부하전력 한계

$P_{LC}^{t}$ : 시간구간 $t$에서의 총 유동부하량

$P_{LF}^{t}$ : 시간구간 $t$에서의 총 고정부하량

$P_{LI}^{t}$ : 시간구간 $t$에서의 총 중단가능부하량

$P_{PV}^{t}$ : 시간구간 $t$에서의 태양광 발전량

$S_{l}^{i}$ : 유동부하 $l$의 $i$번째 부하열

$T_{l}$ : 중단가능부하 $l$의 필요 시간구간

$W_{b}^{begin}$: 첫 시간구간 시작시점의 ESS 잔량

$W_{b}^{end}$ : 마지막 시간구간 종료시점의 ESS 잔량

$W_{b}^{max}$ : ESS의 최대 저장에너지

$W_{b}^{min}$ : ESS의 최소 저장에너지

$x_{i}^{t}$ : 시간구간 $t$에서의 $x_{i}$관련 제어변수

$y_{l}^{i}$ : $S_{l}^{i}$와 관련된 제어변수

$z_{l}^{t}$ : 시간구간 $t$에서의 $I_{l}$ 관련 제어변수

$\eta_{i}$ : 인버터 변환효율

$\eta_{b}$ : ESS 저장효율

1. 서 론

전력의 수요관리는 비단 수용가의 전기요금을 절약할 수 있다는 것에 끝나지 않으며 전력계통을 구성하는 각종 설비의 증설 및 운용 등, 전력계통의 전반적인 부분에 영향을 미친다. 참고문헌 ⁽¹⁾에서는 산업용 부하의 수요관리가 유럽의 발전, 송전, 배전계통에 미치는 잠재적인 영향을 정량적으로 평가하였는데, 수요관리 부하의 비율이 전체 산업용 부하의 50%이고 신재생에너지 발전량이 전체의 60%라고 가정할 때 향후 12년 동안 발전 및 송전계통의 추가설치 및 운용비용이 6.3% 줄어들 것으로 예측하였다. 이러한 이유로 초기의 부하계획에 대한 연구가 주로 주거용 부하^(2-5), 또는 공조장치를 포함하는 수용가⁽⁶⁾를 대상으로 수행된 반면, 점차 산업용 부하로 확장되고 있다.

산업용 부하는 전력뿐 아니라 원자재, 중간자재, 그리고 가스와 같은 연료 등의 흐름을 고려하여야 하기 때문에 주거용 부하에 비하여 복잡한 문제이다⁽⁷⁾. 거기에 더하여 일련의 공정이나 설비의 사용에 있어서 일정한 순서가 지켜져야 하거나 동시에 이루어질 수 없는 작업 등이 복합적으로 존재하며 그 양상이 사업장마다 각기 다른 것이 일반적이다. 이러한 이유로 산업용 부하의 부하계획은 주거용이나 상업용보다 일반화하기가 복잡하다.

산업용 부하의 부하계획에 관한 기존 연구를 보면, 참고문헌 ^(7,8)에서는 산업용 부하의 부하계획을 위한 선형계획법 모형을 제시하였고 상태 작업망(state task network)을 이용하여 제품의 생산량과 중간산물까지 고려한 최적화 방법을 제안하였는데, 여기에서는 수요관리부하 전반을 구체적으로 구분하지 않고 특정 작업군에 대하여 적용하였다. 참고문헌 ⁽⁹⁾에서는 선형계획법을 이용한 작업 모형화의 일반론을 제시하였고, 참고문헌 ⁽¹⁰⁾에서는 유동부하 상호간의 순서관계와 자체적인 태양광(PV) 발전설비 및 전력저장장치(ESS)의 영향까지 고려하였는데 이 두 문헌에서는 수요관리 부하간의 관계를 심도있게 반영하지는 못하였다. 참고문헌 ⁽¹¹⁾과 ⁽¹²⁾에서는 수요관리부하에서 중단가능부하(interruptible load)를 별도의 부하로 분류하여 고려하였고, 특히 참고문헌 ⁽¹¹⁾에서는 산업부하를 대상으로 모형의 일반화를 시도하였으나 부하 상호간의 관계를 고려하지는 않았다.

본 논문에서는 임의의 산업용 수용가에서 이루어지는 개별 작업간의 상관관계를 미리 정의하면 이를 고려하여 선형계획법으로 최적의 부하계획을 수립할 수 있는 부하계획 모형을 제시하였다. 먼저 참고문헌 ⁽¹⁰⁾에 제안된 방법을 발전시켜 수요관리부하의 대상이 되는 유동부하(time shiftable load) 상호간의 관계를 순서관계 및 중복불가관계로 구분하여 반영하였다. 또한 중단가능부하를 고려하기 위한 모형을 새로이 도입하였고, 동시 작업인원 한계 등이 추가로 반영되었다. 그리고 PV발전 및 ESS의 영향과 관련된 부분은 참고문헌 ⁽¹⁰⁾의 방법을 적용하였다. 이상과 같이, 본 논문에서는 제안된 모델은 수요관리 부하 사이의 여러 조건에 대한 모형뿐만 아니라 자체 설비 및 작업 조건을 반영할 수 있는 모형을 포함함으로서, 다양한 부하 조건이 존재하는 임의의 수용가에서도 제안된 모형들의 취사선택을 통하여 최적의 부하계획을 수립할 수 있도록 하고자 하였다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. 2절에서는 본 논문에서 다루는 부하계획의 범위 및 관련된 개념을 정의하였고, 3절에서는 선형계획법으로 최적화하기에 적합한 제어변수, 목적함수, 등식 및 부등식 조건의 모형을 설명하였다. 4절에서는 8개의 유동부하와 2개의 중단가능부하로 구성된 모의 문제를 대상으로 6가지의 서로 다른 조건에 대하여 사례연구를 수행하여 결과를 비교하고 제시한 모형의 효용성을 확인하였다.

2. 문제의 정의

본 논문에서 제시하는 부하계획 모형의 목적은 계시별 요금제(time-of-use scheme)하에서 여러 제약조건을 만족하면서도 전기요금이 최소가 되도록 수요관리부하의 수행 계획을 세우는 것이다. 일반적으로 하나의 공장에는 전력을 소비하며 이루어지는 여러 종류의 작업이나 행위들이 있는데 이들을 부하라하고, 부하계획이란 이러한 작업이나 행위의 수행 시기를 결정하는 것을 의미한다. 부하계획에 있어서 미리 전제하여야 하거나 문제의 성격에 따라 반영하여야 하는 것들이 있는데 본 절에서는 이들에 대하여 약술한다.

부하는 시간에 따라 연속적으로 변하지만 부하를 시간의 함수로 모형화하는 것은 매우 복잡하고 어려운 문제이므로 일정 간격의 시구간에서는 모든 개별부하의 부하량은 상수로 가정하는 것이 일반적이다^(2-12). 이처럼 모든 개별부하의 부하량이 상수가 되는 시구간을 시간구간(time slot)이라 정의한다. 시간구간의 크기는 부하와 사업장의 특성에 따라 각기 다를 것이다. 이 크기를 정하는 문제는 본 논문의 주제와는 별개의 문제이므로, 본 논문에서는 모든 시간구간의 크기는 같으며 그 값은 주어졌다고 가정한다.

공장의 부하는 크게 고정부하(fixed load)와 수요관리부하로 구분할 수 있다. 전술한 바와 같이 수요관리부하는 수행 시간이 시간구간의 정수배이고, 시작 시간을 조정할 수 있는 유동부하이다. 수요관리부하는 그 속성에 따라 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다.

ⅰ) 타 부하와 무관하며 수행 중에 멈출 수 없는 단독부하.

ⅱ) 타 부하와 무관하되 수행 중에 멈추었다가 이어서 수행할 수 있는 단독부하.

ⅲ) 순서를 유지하며 연속적으로 수행해야 하는 일련의 부하

ⅳ) 순서를 유지하되 연속적이지 않고 일정한 시간 차이를 두고 수행해야 하는 일련의 부하

ⅴ) 순서를 유지하되 연속적이지 않고 신축성 있게 시간 차이를 두고 수행하여도 무방한 일련의 부하

ⅵ) 순서는 무관하지만 동시에 수행하는 것이 불가능한 둘 이상의 부하. 예를 들어, 동일한 작업자군이나 동일한 장비가 필요한 작업.

예를 들어 화학공장에서 한 공정 A의 산물이 다음 공정 B의 원료가 되는 경우, 공정 A와 B가 연속적으로 이루어져야 한다면 ⅲ)의 경우가 되고, 일정 기간의 숙성이 필요하다면 ⅳ), 또는 순서가 중요하지만 시차가 탄력적이라면 ⅴ)에 해당하는 경우가 된다. 이때, i)뿐 아니라 ⅲ)와 ⅳ)도 숙성 기간을 포함한 전체 공정을 하나의 유동부하로 모형화할 수 있다. 반면에 ⅴ)나 ⅵ)의 경우는 하나의 유동부하로 모형화하기에 부적절하므로 복수의 유동부하 간의 제약조건으로 모형화하였다. 그리고 ⅱ)는 중단가능부하로 정의하여 다른 부하와 별도로 구분하였다. ⅱ)의 대표적인 예로는 전기차 충전이 있으며 이처럼 중단가능부하를 도입함으로써 전체 전기요금을 더욱 낮출 수 있다.

또한, 공장 내부에 별도의 전원이나 에너지 저장장치가(ESS)가 있는 경우, 전력 요금이 높을 때에는 잉여 전력을 판매하고 그 반대의 경우에는 전력을 충전함으로서 전력 사용의 경제성을 높이는데 도움을 줄 수 있다. 따라서 본 논문에서는 공장에서 자체적인 태양광발전(PV) 설비와 ESS를 보유하고 있는 경우를 함께 고려하였는데, 외부로부터 구매한 전력과 PV발전 전력은 부하에서 바로 사용하거나 ESS에 저장할 수 있고, ESS의 에너지와 PV발전 전력은 외부에 판매할 수 있는 것을 가정하였다. 그리고, 일간 PV 발전량과 고정부하량은 미리 알고 있다고 가정하였다. 그림 1은 이상의 개념을 도식적으로 보여준다. 한 공장에는 전력을 소비하는 행위들(부하)이 있고, 상황에 따라 소비, 또는 생산 및 공급하는 행위들(ESS 및 PV의 동작)이 있다. 이러한 모든 행위들을 다음 절에 설명되는 최적화 과정을 거쳐 시간대별 각 행위의 수행 시기 및 순서가 결정되며, 최적화의 목표는 전력 요금의 최소화이다.

전술한 유동부하 관련 조건 외에도 본 논문에서는 수요관리부하의 동시 작업인력 한계를 제약조건으로 고려하였다. 예를 들어 작업 A와 B에 각각 3명의 인력이 필요한데 동시 작업인력 한계가 5명이면 작업 A와 B를 같은 시간구간에 배치할 수 없다. 이는 앞서 설명한 동일한 작업군과 관련된 수요관리부하 분류 ⅵ)와는 구별되는 상황으로서 모든 수요관리부하마다 필요한 작업인력의 수와 동시작업 가능 최대인원을 기본데이터로 하여 최적화의 제약조건으로 부가하였다.

이상 설명한 내용을 포함하여 제안하는 모형에서 고려하는 모든 제약조건을 정리하면 다음과 같다.

- 유동부하간의 순서조건 (앞서의 분류 v))

- 유동부하간의 중복불가조건 (앞서의 분류 ⅵ))

그림. 1. 부하계획의 개념

Fig. 1. The concept of load scheduling

- 부하수급 조건 및 PV발전의 수급조건

- 매 시간구간마다 수요관리부하 작업 인력의 한계

- 매 시간구간마다 총 부하전력의 한계

- 매 시간구간마다 구매 및 판매전력의 한계

- 매 시간구간마다 ESS의 최대 및 최소 저장에너지 한계

- 매 시간구간마다 ESS 전력변환장치(PCS)의 한계

- 첫 시작구간 시작시점에 ESS에 저장된 전력량

- 마지막 시작구간 종료시점에 ESS에 저장된 전력량

3. 부하계획 모형

이제 2절에 정의된 문제를 정식화해 보자. 먼저 제어 변수와 목적함수를 정의하고, 필요한 제약조건을 제어변수를 이용하여 표현한다.

3.1 제어변수와 목적함수

제어변수는 세 종류로 구분하여 모형화하였다. 하나는 전력량, 또는 에너지를 나타내는 변수들로서 $x$로 정의하였다. 두 번째 부류는 유동부하의 수행 여부를 의미하는 변수로 $y$로 표시된다. 마지막 부류는 중단가능부하의 수행 여부를 나타내는 변수로서 $z$로 표현된다. 변수 $x$는 실수값을 가지며, $y$와 $z$는 ‘1’ 또는 ‘0’의 값을 갖는 정수 변수이다.

첫 번째 분류인 $x$에는 다음과 같이 8개 변수가 있다⁽¹⁰⁾.

$x_{1}^{t}$: ‘상용전원 → 부하’ 전력구매량

$x_{2}^{t}$: ‘상용전원 → 배터리’ 전력구매량

$x_{3}^{t}$: ‘태양광발전 → 부하’ 전력량

$x_{4}^{t}$: ‘태양광발전 → 상용전원’ 전력판매량

$x_{5}^{t}$: ‘태양광발전 → 배터리’ 전력량

$x_{6}^{t}$: ‘배터리 → 부하’ 전력량

$x_{7}^{t}$: ‘배터리 → 상용전원’ 전력판매량

$x_{8}^{t}$: 배터리 잔량 (시간대 시작시점의 에너지)

한편, 배터리의 최종 잔량을 주어진 값으로 맞춰야 하므로 이를 위하여 변수 $x_{8}^{n_{T}+1}$가 필요하여 $x$에 속하는 제어변수의 개수 $n_{X}$는 식(1)과 같다.

(1)

$n_{X}=n_{T}\times 8+1$

$x$ 변수들의 정의 및 흐름을 도식화하면 그림 2와 같다. 최적부하계획이란 결국 이 변수들의 값을 통하여 부하의 수행 시점 및 시간 간격을 정하는 문제이며 이 과정에서 필요한 제약조건을 정식화하기 위하여 변수 $y$와 $z$가 도입된다.

유동부하와 관련된 변수 $y$에 대해서는 참고문헌 ⁽⁹⁾의 방법을 적용하였다. 각 유동부하는 일반적으로 여러 시간구간에 걸쳐서 전력을 소비하므로 작업시간을 선택할 수 있는 경우의 수는 전체 시간구간의 수 $n_{T}$보다 작다. 예를 들어, 유동부하 작업에 $n$개의 시간구간이 필요하면 선택이 가능한 시간대는 $n_{T}-n+1$ 가지 경우이다. 이는 결국 각 유동부하의 수행 시작 시점에 대하여 $n_{T}-n+1$ 개의 후보군이 있음을 의미한다. 본 논문에서는 각 유동부하에 대하여 수행이 가능한 개별 후보를 부하열(load sequence)이라 정의하였으며, 최적화 문제는 하나의 유동부하에 대하여 상정할 수 있는 부하열들 중에서 최적의 하나를 선정하는 문제가 된다. 이제 각 부하열마다 수행 여부의 정보를 갖는 변수를 할당하자. 즉, 어떤 유동부하 $l$이 있고, 이 부하에 대한 부하열의 개수가 $m_{l}$개라면, $m_{l}$개의 각 부하열 $S_{l}^{i}$마다 변수 $y_{l}^{i}$가 정의된다. 변수 $y_{l}^{i}$는 값이 0 또는 1인 정수변수이며, 최적화 과정이 완료되면 각 유동부하마다 하나의 제어변수만이 1의 값을 갖는다. 따라서, 최적화 후에는 y에 속하는 $n_{Y}$개의 제어변수 중에서 유동부하의 개수인 $n_{LC}$개만 1이고 나머지는 0이 된다. 각 부하열은 크기가 $n_{T}\times 1$인 벡터이고 $y$에 속하는 제어변수의 개수 $n_{Y}$는 식(2)와 같다.

(2)

$n_{Y}=\sum_{l=1}^{n_{LC}}m_{l}$

그림 3은 3시간 연속 작업이 필수적인 유동부하의 부하열이

그림. 2. 전력과 에너지관련 변수

Fig. 2. Power and energy related variables

그림. 3. 부하열의 예 : 3시간 연속작업 부하의 경우

Fig. 3. Example of load sequences : 3-hr load case

다. 그림의 빗금 친 부분이 부하가 작동하는 시간으로 그 값으로 부하량이 할당되고 나머지는 0의 값을 갖는다. 최적화 주기를 하루로 정의하면 하루에 22개의 부하열이 존재하며 최적화 과정을 거쳐 이중 하나의 부하열이 선정된다.

세 번째 변수 $z$는 본 논문에서 새로이 도입하는 제어변수로 중단가능부하와 관련된다. 중단가능부하는 전력을 간헐적으로 공급하여도 전력을 공급한 시간구간의 개수만 맞으면 되는 부하이다. 따라서 최적화 과정에서는 각 중단가능부하마다 필요한 개수만큼의 최적 시간구간을 결정한다. 이를 구현하고자 본 논문에서는 각 중단가능부하마다 $n_{T}$개의 정수 최적화 변수를 지정하였고 최적화 후에는 전력을 공급하는 시간구간의 변수는 1이, 나머지 변수는 0이 되도록 하였다. z에 속하는 모든 제어변수의 개수 $n_{Z}$는 식(3)과 같다.

(3)

$n_{Z}=n_{LI}\times n_{T}$

그림 4는 2시간이 소요되며 1시간 단위로 나누어질 수 있는 중단가능부하의 예이다. 최적화 주기가 24시간이고 1시간 단위로 나누어질 수 있으므로 변수의 개수는 총 24개가 된다. 최적화를 통하여 이중에 두 개의 변수가 선택되며 이 변수에 해당하는 시간구간이 해당 부하가 수행되는 시간이다.

그림. 4. 중단가능 부하의 예 : 2시간 소요 부하

Fig. 4. Example of an interruptible load : 2-hr load case

다음은 목적 함수를 생각해 보자. 본 논문의 목표는 전기요금을 최소화하는 부하계획의 수립이므로, 목적함수를 식(4)와 같이, 부하에서 소비되는 전력에 대한 요금과 전기판매로 얻는 수익의 차이로 설정하였다. 식(4)에서 $\eta_{i}$와 $\eta_{b}$는 각각 인버터 변환효율과 ESS 저장효율이다.

(4)

$\sum_{t=1}^{n_{T}}\left\{C_{buy}^{t}(x_{1}^{t}+x_{2}^{t})-C_{sell}^{t}(\eta_{i}x_{4}^{t}+\eta_{i}\eta_{b}x_{7}^{t})\right\}$

여기서, 실제 전기요금에는 사용한 전력량뿐 아니라 설비용량에 따른 비용도 포함되지만, 후자는 부하계획의 유무와 관계없이 일정하므로 목적함수에서는 제외하였다.

3.2 등식 및 부등식 조건

부하계획에 필요한 등식, 부등식 조건과 제어변수의 범위를 다음과 같이 네 부분으로 구분하여 정리하였다.

3.2.1 부하 수급조건과 PV발전량 조건

모든 시간구간에서 총부하량과 총 공급전력량이 같아야 하며 이를 식(5)의 등식조건으로 반영하였다. 식(5)에서, 고정부하량 $P_{LF}^{t}$는 상수이고 유동부하량 $P_{LC}^{t}$와 중단가능부하량 $P_{LI}^{t}$는 각각 식(6), (7)의 선형식으로 구할 수 있다.

(5)

$P_{LF}^{t}+P_{LC}^{t}+P_{LI}^{t}=x_{1}^{t}+\eta_{i}x_{3}^{t}+\eta_{i}\eta_{b}x_{6}^{t}$

(6)

$P_{LC}^{t}=\sum_{l=1}^{n_{LC}}\sum_{i=1}^{m_{l}}\left\{y_{l}^{i}\times S_{l}^{i}\right\}$의 $t$번째 원소

(7)

$P_{LI}^{t}=\sum_{l=1}^{n_{LI}}\left\{z_{l}^{t}\times I_{l}\right\}$

또한, 모든 시간구간마다 PV발전에서 발생한 전력량은 “직접 소비된 전력, ESS에 저장된 전력, 그리고 망으로 판매된 전력”의 합과 같아야 하며 이를 식으로 표현하면 식(8)의 등식조건이 된다.

(8)

$P_{PV}^{t}=x_{3}^{t}+x_{4}^{t}+x_{5}^{t}$

3.2.2 ESS관련 조건

ESS에 저장된 에너지는 이어지는 두 시간구간의 접점에서 그 양이 같아야 한다. 식(9)는 이러한 연속성 조건이다. 또한 식(10), (11)과 같이 첫 시간구간 시작 시점에 ESS에 저장된 에너지량과 마지막 시간구간 종료 시점에서의 에너지량이 지정한 값과 같다는 조건이 필요하다. 식(11)이 없으면 $x_{8}^{n_{T}+1}$은 가능한 최소값이 되어 그다음의 부하계획에 영향을 미치게 된다.

(9)

$x_{8}^{t+1}=x_{8}^{t}+\left\{(\eta_{i}x_{2}^{t}+x_{5}^{t})-(x_{6}^{t}+x_{7}^{t})\right\}$

(10)

$x_{8}^{1}=W_{b}^{begin}$

(11)

$x_{8}^{n_{T}+1}=W_{b}^{end}$

또한, ESS의 전력변환장치 용량에도 한계가 있으므로 매 시간구간의 충방전 전력량에 식(12)와 (13)의 부등식 조건이 필요하다.

(12)

$x_{6}^{t}+x_{7}^{t}\le P_{b}^{max}$

(13)

$x_{2}^{t}+x_{5}^{t}\le P_{b}^{max}$

3.2.3 수요관리부하 관련 조건

유동부하에 대한 부하계획의 기본은 각 유동부하마다 여러 후보 부하열 중에서 최적의 부하열을 하나 정하는 것이며 이는 식(14)의 등식조건으로 구현할 수 있다. 식에서 첨자 $l$은 유동부하의 번호이다.

(14)

$\sum_{i=1}^{m_{l}}y_{l}^{i}=1$

다음으로는 유동부하간에 선/후 관계가 있는 경우를 살펴보자. 만일 유동부하 b는 유동부하 a가 끝나고 ($t_{\min}$, $t_{\max}$) 내에 작업이 시작되어야 한다는 선후관계 조건이 있다고 가정하자. 최적화 과정이 완료된 후에 유동부하 b에 대한 어떤 부하열 $y_{b}^{i}$가 1의 값을 갖게 되었다면 이는 이 부하열이 수행되기 전에 종료되는 유동부하 a의 부하열 중에 하나가 1의 값을 갖게 되었음을 의미한다. 이는 식(15)의 부등식 조건으로 구현될 수 있다. 이 식에 의하면 유동부하 b의 $i$번째 부하열이 1의 값을 갖기 위해서는 유동부하 a의 $k_{1}$번째부터 $k_{2}$번째의 부하열 중에서 하나라도 1이 있어야 한다. 거기에 더하여 유동부하 a의 $k_{1}$번째와 $k_{2}$번째의 부하열 종료시간이 유동부하 b의 $i$번째 부하열 시작시간과 각각 $t_{\max}$, $t_{\min}$만큼 차이가 나야 한다. 따라서 이러한 $k_{1}$과 $k_{2}$가 존재하지 않는 $y_{b}^{i}$는 0으로 고정하고 b의 나머지 부하열에 대하여 최적화를 수행한다.

(15)

$y_{b}^{i}\le\sum_{j=k_{1}}^{k_{2}}y_{a}^{j}$, $i=1,\:...,\: m_{b}$

유동부하 a와 b의 작업시간이 겹치지 않아야 한다는 중복불가 조건이 있다면 식(16)의 부등식 조건을 만족해야 한다. 즉, 유동부하 a의 처음부터 $k_{1}$개의 부하열 또는 $k_{2}$번째에서 마지막 부하열 중에서 하나라도 1이 있어야 유동부하 b의 $i$번째 부하열이 1이 될 가능성이 생긴다. 이때, 유동부하 a와 b가 겹치지 않도록 $k_{1}$과 $k_{2}$를 잘 선택해야 하는데 적절한 $k_{1}$과 $k_{2}$를 둘 다 선택할 수 없으면 $y_{b}^{i}$는 0으로 고정된다.

(16)

$y_{b}^{i}\le\sum_{j=1}^{k_{1}}y_{a}^{j}+\sum_{j=k_{2}}^{m_{a}}y_{a}^{j}$, $i=1,\:...,\: m_{b}$

한편, 중단가능부하는 전력을 공급받은 시간구간의 개수가 정해진 값과 같아야 하는데 이를 식(17)로써 구현할 수 있다. 식(17)은 유동부하 $l$에 대한 등식조건인데 관련된 $n_{T}$개의 제어변수 중에서 $T_{l}$개는 1을 나머지는 0을 가지게 된다.

(17)

$\sum_{t=1}^{n_{T}}z_{l}^{t}=T_{l}$

3.2.4 그 외의 조건과 제어변수의 범위

모든 시간구간에서 전력구매량, 전력판매량, 총부하량은 각각 주어진 최대값을 넘지 않도록 하기 위해서는 부등식조건 (18), (19), (20)이 필요하다. 식(20)의 $P_{LC}^{t}$와 $P_{LI}^{t}$는 식(6), (7)에서 정의한 바와 같다.

(18)

$x_{1}^{i}+x_{2}^{i}\le P_{buy}^{max}$

(19)

$\eta_{i}x_{4}^{i}+\eta_{i}\eta_{b}x_{7}^{i}\le P_{sell}^{max}$

(20)

$P_{LF}^{t}+P_{LC}^{t}+P_{LI}^{t}\le P_{cap}^{t}$

다음으로, 수요관리부하의 작업을 수행하는데 필요한 작업인력이 가용인력보다 많으면 안되므로 각 시간구간마다 식(21)의 등식조건이 필요하다. 식(21)에서 유동부하에 필요한 인력 $M_{LC}^{t}$와 중단가능부하에 필요한 인력 $M_{LI}^{t}$는 각각 식(22), (23)과 같으며 식(22)의 logical()은 인자가 0이면 0을 아니면 1을 반환하는 함수이다.

(21)

$M_{LC}^{t}+M_{LI}^{t}\le M_{cap}^{t}$

(22)

$M_{LC}^{t}=\sum_{l=1}^{n_{LC}}\sum_{i=1}^{m_{l}}\log {ical}\left(y_{l}^{i}\times S_{l}^{i}\right)\times m_{LC}^{l}$ 의 $t$번째 원소

(23)

$M_{LI}^{t}=\sum_{l=1}^{n_{LI}}\left\{z_{l}^{t}\times m_{LI}^{l}\right\}$

이상과 같이 모든 등식 및 부등식 조건들을 선형계획법에 적용할 수 있도록 제어변수들의 선형식으로 표현하였는데 이해를 돕기 위하여 이를 그림 5와 그림 6에 정리하여 행렬로 표현하였다.

끝으로, 각 제어변수가 가질 수 있는 수의 범위를 지정해야 하는데, 정수 제어변수 $y$와 $z$는 0 또는 1을 가져야 하므로 그 상한과 하한은 식(24)와 같고, 실수 제어변수 $x$의 허용범위는 식(25), (26)과 같다.

(24)

$0\le y_{l}^{i},\: z_{l}^{t}\le 1$

(25)

$0\le x_{1}^{t},\: x_{2}^{t},\: x_{3}^{t},\: x_{4}^{t},\: x_{5}^{t},\: x_{6}^{t},\: x_{7}^{t}$

(26)

$W_{b}^{min}\le x_{8}^{i}\le W_{b}^{max}$

이처럼 목적함수와 제약조건을 정식화하면 제어변수의 선형결합의 형태로 표현되며 또한 제어변수는 실수값을 갖는 변수와 정수 변수들이 혼재되어 있다. 따라서 본 논문에서는 최적화 방법으로 전역 최적해를 보장하고 제약조건을 만족하는 해를 쉽게 구할 수 있는 혼합정수선형계획법을 사용하였다.

그림. 5. 모든 등식조건

Fig. 5. All equality constraints

그림. 6. 모든 부등식조건

Fig. 6. All inequality constraints

4. 사례연구

앞서 설명한 부하계획 모형을 모의 문제에 적용하여 모형의 완전성과 효용성을 검증하였다. 컴퓨터 프로그램은 매트랩으로 구현하였으며 혼합정수계획법을 이용한 최적화는 매트랩 함수 intlinprog()를 이용하였다.

4.2 사례연구 결과 및 분석

본 사례연구는 표 4에 수록한 여섯 경우로 구분하여 수행하였는데, 뒤로 갈수록 제약조건이 추가되거나 강화되도록 구성하였다. 간단히 살펴보면, 경우 1~경우 3은 유동부하만을 대상으로 하였으며 경우 4~경우 6은 추가로 중단가능부하를 고려하였는데, 비교를 위해서 경우 4-1은 중단가능부하를 일반 유동부하로 취급하고 부하계획을 수행하였다. 경우 2는 부하순서조건을 고려하였고 경우 3은 중복불가조건을 추가하였으며 경우 5와 경우 6은 추가로 동시작업인원의 한계를 부가하였다.

사례연구를 수행한 여섯 사례의 결과를 비교하여 표 5에 수록하였다. 경우 4-2~경우 6은 중단가능부하를 2개 추가하였기에 경우 3 보다 변수개수는 48개 (24시간×2), 등식개수는 2개 늘어났다. 부등식은 부하순서조건을 추가한 경우 2와 중복불가조건을 추가한 경우 3에서 개수가 늘어났다. 뒤로 갈수록 제약이 강해지므로 전기요금이 증가했으며 경우 4부터는 중단가능부하가 추가되어 증가폭이 컸다. 한편, 경우 4-1은 중단가능부하를 포함하면서도 이를 유동부하로 취급하였으므로 연속된 시간구간으로 부하계획이 되어서 전기요금이 가장 비싼 결과를 얻었다. 계산시간은 최적화 함수 intlinprog() 만의 실행시간으로 경우 1을 제외하고는 거의 비슷하였다. 제약조건이 가장 약한 경우 1의 실행시간이 상대적으로 큰 것으로 볼 때, 변수나 식의 개수보다는 문제의 특성이 더 큰 영향을 준다고 생각된다. 그림 7~그림 9는 각각 경우 4-2~경우 5의 수요관리부하 작업에 필요한 작업자 수의 변화인데, 전기요금의 차이가 그리 크지 않음에도 주어진 인력제한 조건을 충실히 만족하고 있음을 확인할 수 있다.

표 1. 수요관리부하

Table 1. Demand response load

부하	작업시간	부하량[㎾]	필요인력[명]
부하1	3	4 7 5	3
부하2	5	4 3 2 3 4	2
부하3	3	1 2 3	2
부하4	2	3 5	4
부하5	3	2 2 5	2
부하6	4	6 1 6 1	2
부하7	2	2 3	3
부하8	5	3 1 0 4 2	2
부하9	4	2 (중단가능)	3
부하10	3	4 (중단가능)	3

표 2. 각종 제한량

Table 2. Limit values

항목	값
최대 부하 한계	12[㎾]
최대 구매 한계	10[㎾]
ESS의 PCS 용량	5[㎾]
ESS 저장 최대값	30[kwh]
ESS 저장 최소값	3[kwh]
ESS의 최초/최종 저장량	10[kwh]

표 3. 시간구간별 고정데이터

Table 3. Fixed data for each time slot

시간구간	고정부하	PV발전	구매단가	판매단가
0~1	2	0	95	0
1~2	2	0	95	0
2~3	2	0	95	0
3~4	2	0	95	0
4~5	2	0	95	0
5~6	2	0	100	0
6~7	2	0	110	0
7~8	3	1	130	100
8~9	4	2	140	100
9~10	5	3	150	100
10~11	5	4	200	150
11~12	5	4	250	150
12~13	5	4	300	250
13~14	4	5	300	250
14~15	5	5	300	250
15~16	5	5	250	150
16~17	5	4	150	100
17~18	5	3	145	100
18~19	4	1	140	100
19~20	4	0	130	100
20~21	4	0	130	0
21~22	3	0	120	0
22~23	2	0	100	0
23~24	2	0	100	0

표 4. 사례의 구분

Table 4. Classification of the cases

구분	제약조건
경우 1	유동부하 8개만 고려(부하 1~부하 8)
경우 2	경우 1 + 아래의 부하순서조건 3개 추가 * 부하 3은 부하 1 종료 후 최대 4시간내 시작 * 부하 4는 부하 2 종료 후 최소 1시간후 시작 * 부하 7은 부하 5 종료 후 1시간~2시간에 시작
경우 3	경우 2 + 아래의 중복불가조건 2개 추가 * 부하 1과 부하 2는 동시 작업 불가 * 부하 6과 부하 8은 동시 작업 불가
경우 4	경우 3 + 중단가능부하 2개(부하 9,10) 추가 * 경우 4-1: 부하 9,10을 일반 유동부하 취급 * 경우 4-2: 부하 9,10을 중단가능부하 취급
경우 5	경우 4-2 + 동시 작업인원제한 8명
경우 6	경우 4-2 + 동시 작업인원제한 7명

표 5. 각 경우의 최적화 결과 비교

Table 5. Comparison of optimization results of each case

구분	변수 개수	등식 개수	부등식 개수	계산 시간(초)	전기 요금
경우1	302	82	144	0.09	14,469
경우2	302	82	188	0.03	16,137
경우3	302	82	215	0.03	16,886
경우4-1	329	84	215	0.03	19,869
경우4-2	350	84	215	0.03	19,119
경우5	350	84	215	0.04	19,285
경우6	350	84	215	0.05	19,420

그림. 7. 인력 분포 (경우 4-2)

Fig. 7. Worker distribution (case 4-2)

그림. 8. 인력 분포 (경우 5)

Fig. 8. Worker distribution (case 5)

그림. 9. 인력 분포 (경우 6)

Fig. 9. Worker distribution (case 6)

그림 10~그림 16은 각 경우의 부하별 배정시간과 부하량을 보여주는데, 색이 진할수록 많은 전력을 소비함을 의미한다. 그림 10으로부터 경우 1에서는 모든 작업이 전기요금이 저렴한 이른 시간이나 늦은 시간에 배치되었다. 그림 11에서는 부하 3은 부하 1 종료 직후에, 부하 4는 부하 2 종료 3시간 후에, 부하 7은 부하 5 종료 1시간 후에 작업을 시작하여 경우 2의 부하순서조건을 만족하고 있고, 그림 12~그림 16에서도 이를 확인할 수 있다. 한편, 그림 11에서는 부하 6과 부하 8의 작업시간이 겹치는데 그림 12~그림 16에서는 경우 3의 중복불가조건을 반영하여 부하 1과 부하 2, 또 부하 6과 부하 8은 서로 겹치지 않도록 조정되었다. 그림 13~그림 16에는 중단가능부하인 부하 9와 부하 10이 추가되었는데, 그림 13에서는 이를 일반 유동부하처럼 취급하여서 작업시간이 연속적으로 배치된 반면에 그림 14~그림 16에서는 작업을 중간에 중단하도록 각 부하의 작업시간이 분산배치되었고 전체 작업시간은 각각 4시간, 3시간으로 주어진 조건을 만족한다.

그림. 10. 부하별 배정시간 (경우 1)

Fig. 10. Assigned time for each load (case 1)

그림. 11. 부하별 배정시간 (경우 2)

Fig. 11. Assigned time for each load (case 2)

그림. 12. 부하별 배정시간 (경우 3)

Fig. 12. Assigned time for each load (case 3)

그림. 13. 부하별 배정시간(경우 4-1)

Fig. 13. Assigned time for each load (case 4-1)

그림. 14. 부하별 배정시간 (경우 4-2)

Fig. 14. Assigned time for each load (case 4-2)

그림. 15. 부하별 배정시간 (경우 5)

Fig. 15. Assigned time for each load (case 5)

그림. 16. 부하별 배정시간 (경우 6)

Fig. 16. Assigned time for each load (case 6)

그림 17~그림 21은 가장 제약이 많은 경우 6의 부하계획 결과로 시간에 따른 여러 물리량의 일간 변화 그래프이다. 그림 17과 그림 18은 총 부하 그래프로서, 그림 17은 부하의 특성별로, 그림 18은 부하분담 전원별로 구별하여 나타내었다. 그림 19로부터 전기요금이 비싼 시간구간에서는 전력의 구매를 줄이고 PV발전이나 ESS의 에너지를 부하에 공급하게 됨을 알 수 있다. 그리고 그림 20에서는 요금이 저렴한 시간대에 전력을 추가로 구매해서 ESS의 충전에 사용하게 됨을 확인할 수

그림. 17. 일간부하 (경우 6)

Fig. 17. Daily load (case 6)

그림. 18. 에너지원별 부하분담 (경우 6)

Fig. 18. Load sharing of the sources (case 6)

그림. 19. 구매전력의 쓰임 구분 (경우 6)

Fig. 19. Use of the purchasing energy (case 6)

그림. 20. ESS 저장량 및 충전량 (경우 6)

Fig. 20. Storing/discharge energy of ESS (case 6)

그림. 21. PV발전 전력의 쓰임 구분 (경우 6)

Fig. 21. Use of the PV generating energy (case 6)

있고, ESS 전력변환장치의 한계(5㎾)로 여러 시간구간에 나누어 충전하도록 계획되어 있다. 또한 이 그림에서 ESS의 최대 및 최소 저장에너지 한계, PCS의 한계와 첫 시간구간 및 최종 시간구간에서 ESS 저장량 조건을 충실히 반영하였음을 확인할 수 있다. 끝으로, 그림 21에서는 PV발전으로 얻은 에너지를 주로 부하에서 바로 소비하고 일부는 ESS에 저장하거나 판매하도록 계획되어 있음을 알 수 있다.

5. 결론 및 향후 과제

본 논문에서는 계시별 요금제하에서 공장에서의 부하계획을 위한 혼합정수선형계획법 모형을 제시하였다. 제시한 모형은 ESS와 PV발전을 포함하고 있으며 수요관리 부하를 유동부하와 중단가능부하로 구별하였고 유동부하에 대해서는 각 부하간의 선후관계조건이나 중복금지조건을 부여할 수 있도록 하였다. 기존의 유동부하 모델에 더하여 중단가능부하의 처리와 중복 금지조건을 포함하는 모델을 제안하였고, 이와 아울러 작업인원의 제한조건을 추가함으로써 보다 현실적인 부하계획을 수행할 수 있도록 하였다.

제시한 모형을 10개의 수요관리 부하로 구성된 모의 문제에 적용하고 결과를 분석하여 제약조건을 모두 만족함을 확인함으로써 모형의 완전성을 확인할 수 있었고, 제약조건을 바꾸어 가면서 사례연구를 수행하고 결과를 비교함으로써 그 효용성도 확인할 수 있었다.

본 연구에서는 실제 공장의 부하를 직접 반영하지는 못하였고 다만, 개연성 있는 부하들에 대하여 특성 및 제약 조건의 수리적 모델을 제시하였다. 실제 문제에 적용하고자 한다면 제시된 모형들 중, 해당 공장에 필요한 모형과 제약조건을 취사선택하여 적용할 수 있을 것이다. 그리고 이 과정에서 실제 부하에 대한 구체적인 모형 수립은, 모형의 일반화와 아울러 앞으로 연구가 더 진행되어야 할 문제로 사료된다.