2.1 일반적인 등가회로 모델

등가 회로 모델은 일반적으로 배터리 성능을 예측하고 BMS (Battery Management System)에서 SOC를 추정하는 2가지 목적으로 사용된다. 그림 1은 배터리 셀의 일반적인 등가회로 모델이다. 배터리 셀 하나의 등가회로는 배터리팩의 성능 예측을 위한 모델링의 구성요소로 사용된다. 등가 회로 모델 구조는 전압 소스 $E_{m}$, 직렬저항 $R_{0}$, 자가 방전과 충전 손실인 $I_{p}$로 나타내며 직렬로 연결된 하나 이상의 병렬 RC 분기 회로로 구성된다. 리튬배터리는 방전효율이 높고 자가 방전률이 낮아 자가 방전과 충전손실은 고려하지 않고 모델링한다. 리튬배터리의 전기화학모델은 실제 실험데이터와 일치하도록 룩업테이블 (LUT:Look Up Table)을 이용하여 모델링한다⁽²⁾.

2.2 펄스 충방전 실험 데이터

각 파라미터 추출에 필요한 데이터를 획득하기 위하여 펄스 충방전 테스트를 진행한다. 30A의 전류를 1분간 방전하고 휴지시간 1시간을 갖는 Cycle을 반복하며 배터리의 전압을 측정한다.

그림 2는 펄스 방전 테스트의 전류 파형과 전압 변화를 그래프로 나타내었다. 배터리 방전 시 전압강하가 발생하고 전압강하의 정도를 측정한다. 방전 동작 이후 다시 전압이 안정화 되도록 긴 휴지시간을 유지하며 전압 변화를 측정한다. 측정된 테스트 결과는 각기 다른 SOC지점에서 배터리 셀의 성능을 추정할 수 있는 중요한 데이터로 활용된다.

그림 3은 펄스 방전 테스트의 한 펄스를 확대 한 것이다. 그래프는 $SOC_{a}$와 $SOC_{b}$의 $R_{0}$에 의한 전압 강하와 R-C 분기 회로의 과도상태를 보여준다. 배터리의 동작초기 전압 강하와 전압이 회복되는 정도에 따라 의 값이 결정되며 RC 분기 회로의 과도상태 정도에 따라 RC 분기 회로의 값을 추출한다.

2.3 파라미터 추출

표 1은 시뮬레이션이 반복됨에 따라 RC 분기 회로 1개와 3개일 경우 추출된 파라미터의 최적화 정도를 비교한 결과이다. 시뮬레이션 횟수가 증가하면서 최적화가 진행되며 수치가 낮을수록 최적화의 정확도가 높은 것을 의미한다. RC 분기 회로 수가 많아짐에 따라 최적화의 정확도가 향상된다.

룩업 테이블을 이용하여 완벽하게 파라미터 추출 결과를 얻으려면 배터리 셀이 동작하는 다양한 온도 조건과 전류 조건 데이터를 활용해야 한다⁽⁹⁾. RC 분기 회로가 너무 적거나 너무 많으면 최적화의 정확도가 낮아지는데 최적화의 정확도와 시뮬레이션 수행 시간을 고려하여 본 논문에서는 3개의 RC 분기 회로 기반으로 최적화를 수행하였다. 배터리 모델의 파라미터를 추출하기 위해서 20℃의 온도환경과 30A 방전 조건을 고정하고 3개의 RC 분기 회로에 대한 파라미터 추출을 수행하였다. 전류 펄스를 고려하여 SOC 62개 지점에 대한 룩업 테이블로 496개의 파라미터를 추출한다.

그림 4는 RC 분기 회로 1개와 3개일 경우의 측정데이터와 시뮬레이션 결과를 비교한 결과를 나타낸다. 1-RC 대비 3-RC의 시뮬레이터 결과가 더 높은 정확도를 보여준다.

내부저항 $R_{0}$는 순간적인 전압 변화를 나타내며 첫 번째 펄스 의 끝 지점에서 급격하게 상승하고 두 번째 펄스의 시작지점에서 급격하게 하강한다. 이후 다른 RC 분기 회로가 과도상태 구간에서 전압 변화가 안정됨을 보였다⁽²⁾.

파라미터 추출을 위한 시뮬레이션에는 노이즈가 없는 데이터가 필요하지만 실험데이터에는 상당한 노이즈가 있기 때문에 노이즈를 제거하기 위하여 이동 평균 필터를 적용하여 데이터를 정리하였다.

2.4 잔존수명이 다른 배터리의 파라미터 추출

그림 5는 SOH(State of Health)가 서로 다른 배터리의 파라미터를 추출한 결과이다. 파라미터를 추출에 활용하기 위한 실험데이터는 배터리 셀의 충방전 실험을 100회부터 600회까지 진행하고 매 100회 마다 측정하여 수집하였다. 충방전 횟수가 600회 까지 진행하였을 경우 초기 대비 배터리 용량은 약 8%감소 하였다.

일반적으로 배터리의 수명은 배터리 열화에 의한 내부저항의 증가와 용량 감소의 현상을 보이며 줄어든다. 그러나 시뮬레이션 결과 그림 5의 $R_{0}$ 그래프는 충방전 횟수가 증가함에 저항값이 증가하지 않음을 보여준다. 실험에 이용한 배터리의 특성은 충방전 횟수가 증가할수록 배터리의 용량은 줄어들지만 내부 저항을 나타내는 $R_{0}$값은 증가하지 않는다.

3.1 SOC 추정

배터리의 안정적인 사용을 위해서는 SOC에 대한 정확한 정보가 필요하다. SOC는 설계 용량에 대한 현재의 잔존 용량을 백분율로 표현하며, 전류 적산 방식의 SOC 추정 방법이 널리 사용되고 있다. 전류 적산 방식은 배터리에 흐르는 충방전 전류의 측정값을 시간에 대해 주기적으로 적산하여 배터리의 남아 있는 용량을 측정하는 방식이다. 하지만 이러한 방식은 전류 센서의 측정 오차로 인해 시간이 지남에 따라 점차적 으로 정확도가 낮아지는 단점이 있다. 전류 적산 방식의 문제점을 해결하기 위한 종래기술로 특허문헌 1(한국 등록특허공보 제 10-1651829호)이 개시된바 있다. 특허문헌 1은 OCV-SOC의 커브를 이용하여 SOC를 추정하는 기술을 제공한다. 그림 6은 LFP와 NMC 배터리의 OCV-SOC 상관곡선이다. LFP 배터리의 경우 충전 말기와 방전 말기를 제외한 SOC 구간에서 OCV의 변화가 거의 없다. 따라서 OCV-SOC의 커브를 이용한 SOC 추정 방법은 리튬인산철 배터리에는 부적합한 추정 방식이다.

3.2 SOC 추정

칼만 필터는 잡음이 포함되어있는 측정치를 바탕으로 선형 역학계의 상태를 추정하는 재귀 필터이다. 이전 시간에 추정한 값을 토대로 현재의 값을 추정한다. 각 추정은 두 단계로 이루어진다. 첫 단계는 예측 단계로 이전 시간에 추정된 상태에 대해, 그 상태에서 사용자 입력을 가했을 때 예상되는 측정값을 계산한다. 그 다음 보정 단계는 예측된 측정값과 실제 측정값을 토대로 현재 상태를 추정한다.

칼만 필터는 기본적으로 모델의 선형성을 가지고 계산한다. 하지만 실제적으로 비선형 구조를 가지고 있는 값들은 칼만 필터를 수정해 비선형에도 사용 할 수 있도록 한 필터가 사용된다. 배터리 전압을 이용하여 SOC를 추정함에 있어 가장 대표적인 비선형 시스템 관측 모델인 확장 칼만 필터(Extended Kalman Filter, EKF)가 사용된다. SOC와 전류와의 관계는 선형성을 보이지만 SOC와 전압 관계는 비선형성인 모습을 나타낸다. 하지만 확장 칼만 필터의 경우 매순간 편미분을 통하여 선형근사를 해야되는 단점이 있다. 이러한 문제를 해결하기 위하여 본 논문에서는 무향 칼만 필터(Unscented Kalman Filter, UKF)를 이용하여 SOC를 추정 한다. 무향 칼만 필터는 확장 칼만 필터와는 다르게 선형화를 통한 근사화가 아닌 샘플링을 통한 근사화 전략이 사용된다. 모델을 수식이 아닌 시스템의 대표하는 몇 개의 데이터를 사용하여 상태변수와 오차공분산의 예측값을 계산한다. 배터리 전압과 SOC와 같이 비선형성이 큰 시스템의 상태를 추정하기에 알맞은 필터이다. 비선형 시스템의 모델은 다음과 같다.

무향 변환(Unscented Transform, UT)은 무향 칼만 필터의 핵심 요소 중 하나로 사용되며, 시스템의 상태 공간을 더 적은 수의 점들로 근사하는 방법이다. 먼저 시스템의 상태 공간을 평균과 공분산으로 나타내는 가우시안 분포를 생성하고 이 분포에서 시그마 포인트를 추출한다.

그림 7은 무향 칼만 필터가 비선형 함수 출력의 가우시안 분포를 추정하는 방법을 보여준다. 왼쪽의 타원은 입력의 가우시안 분포를 의미하며, 타원 안에 있는 포인트들은 무향 변환에 의해 선택된 시그마 포인트들이다. 이 포인트들을 비선형 함수의 입력으로 사용하여 출력을 계산한다. 비선형 함수이므로 점들의 원래 형태가 깨지고 새로운 형태의 포인트들이 분포한 것을 알 수 있다.

무향 변환은 새롭게 분포된 포인트들의 평균값과 공분산 값을 계산함으로써 새로운 가우시안 분포를 생성한다. 추출된 시그마 포인트는 비선형 함수를 통과하며 그 결과를 통해 비선형 함수의 평균과 공분산을 추정한다. 각 시그마 포인트를 계산하는 수식은 다음 식(2)와 같다.

$X^{(i)}$는 시그마 포인트 중 $i$번째를 나타내며 $u$상태 변수의 평균값 벡터이고 $\sum$는 상태 변수의 공분산 행렬이다. $n$은 상태 변수의 차원이며 $\lambda$는 하이퍼 파라미터로서 시그마 포인트 생성 시 평균값과 공분산에 대한 가중치를 조절하는 역할을 한다.

그림 8은 확장 칼만 필터와 무향 칼만 필터의 결과를 나타낸다. 왼쪽은 비선형 함수에 의한 실제 분포의 변화를 보여준다. 가운데는 확장 칼만 필터를 통한 변환을 보여주고, 오른쪽은 무향 변환을 통한 가우시안 추정을 보여준다. 상황에 따라 무향 변환이 확장 칼만 필터보다 실제 평균값에 가까운 가우시안 분포를 추정할 수 있음을 알 수 있다.

그림 9는 Matlab의 Simulink를 사용하여 SOC를 추정하는 모델 토폴로지를 구성하였다. 무향 칼만 필터는 이산시간 필터이므로 상태 방정식을 오일러 이산화를 사용하여 적용하였다. 샘플링 시간을 $T_{S}$라고 할 경우, 비선형 시스템 $\dot x = f(x,\:u)$은 아래 식(3)과 같이 이산화 될 수 있다.

이산화 된 상태 천이 방정식은 그림 10과 같이 Simulink 함수로 구현하였다. 함수 입력갑 x는 상태 벡터이고 함수 출력값 xNext는 이산화된 상태 천이 방적식을 사용하여 계산된 다음 단계의 상태 벡터이다.

그림 11은 칼만필터를 이용하여 SOC를 추정한 시뮬레이션 결과이다. SOC 추정의 성능을 확인하기 위해 초기에 SOC값에 10% 오차를 주고 진행하였다. 시뮬레이션이 진행됨에 따라 초기의 오차가 점차 줄어들면서 실제 SOC와 유사하게 추정됨을 볼 수 있다.