1. 서 론

최근 자동차, 항공기, 로봇 등 다양한 작동 조건을 갖는 복잡한 시스템을 제어하기 위해 단일 제어기보다 여러 개의 개체들이 서로 협조하여 제어하는 다개체 시스템의 분산 제어에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다^[1]. 다개체 시스템의 특징은 전체 시스템에 대해 각각의 단일 개체에서는 제어 불가능하지만 모든 개체들의 협조를 통해 전체 시스템의 상태 제어가 가능하다는 것이다. 다개체 시스템의 분산 제어기 설계를 위해서 각 개체들은 로컬 제어기를 사용하여 제어 가능한 상태 변수를 안정화하고, 제어 불가능한 상태 변수에 대해서는 강한 연결(Strongly Connected)이 되어 있는 다른 개체들과의 일치 문제를 통해 해결한다. 이 과정에서 각 개체는 전체 시스템의 제어 가능한 부분과 불가능한 부분에 대한 다른 전략을 수행하기 위해 칼만 분해를 사용한다^[2]. 칼만 분해는 시스템의 가제어성 행렬(Controllability matrix)과 가관측성 행렬(Observability matrix)을 이용하여 시스템을 좌표 변환하는 행렬을 찾아 시스템을 제어 가능한 부분과 불가능한 부분 그리고 관측 가능한 부분과 불가능한 부분으로 나눌 수 있는 기법이다^[2]. 특히, 칼만 분해는 칼만 필터에서 사용되는 중요한 개념이며, 주로 칼만 필터의 업데이트 단계에서 사용되어 시스템의 상태 추정에 필요한 행렬 계산을 효율적으로 수행할 수 있게 한다.

다개체 시스템에서 칼만 분해를 이용한 칼만 필터 기법은 시스템의 분산 상태 추정^[3][4]과 분산 제어^[5][6] 분야에서 활발히 연구되고 있다. ^[3]은 센서 네트워크에서의 상태 추정 문제를 해결하기 위해 칼만 분해를 이용하며, 분산된 센서들 간의 통신 및 협력을 통해 상태 추정을 수행하는 분산 칼만 필터 알고리즘을 제안한다. ^[4]는 정상 상태 칼만 필터의 분산적인 방법을 제안하며 수학적 분석을 통해 제안된 필터의 안정성과 성능에 대한 이론적 근거를 제시하고 있다. ^[5]는 칼민-일치 필터에 대한 최적성, 안정성 및 성능에 대한 연구를 다루고 있다. 수학적 모델링을 통해 칼만-일치 필터를 적용한 시스템이 안정적으로 수렴함을 수학적인 증명을 통해 보장한다. ^[6]은 분산 시스템에서의 칼만 필터와 제어를 다룬다. 특히, 센서 네트워크에서 수집된 정보를 효과적으로 통합하는 평균 합의 기술을 사용하여 분산된 센서와 제어기 간의 효율적인 정보 통합에 중점을 둔다.

기존의 분산 칼만 필터 연구^[3-6]은 칼만 분해를 위해서 시스템 행렬을 필수적으로 알아야 한다. 다시 말해서, 수학적 모델 수립하는 과정인 시스템 식별^[7][8]이 필수적이다. 하지만 시스템 식별은 실제 시스템에 대한 정확한 값이 아닌 근사치이므로 모델 불확실성을 가질 수밖에 없다. 그리고 자동차, 항공기, 로봇 등 다양한 작동 조건을 갖는 복잡한 시스템일수록 모델 수립에 큰 자원이 소모될 뿐만 아니라 정확한 모델을 얻어내기에는 큰 한계가 있다^[9-11]. 그러나 최근 정보기술의 발전으로 대용량 데이터 관리 및 저장이 가능해지면서 저장된 정보로부터 필요한 정보를 얻어내고 이를 해석하기 위한 많은 노력이 이루어졌다. 딥러닝이나 강화학습과 같은 인공지능 분야에서의 데이터 기반 연구와 더불어 제어 분야에서도 실험 데이터를 사용한 제어 기법 개발에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다^[12-14]. 본 연구에서는 기존 모델 기반의 칼만 분해가 가지는 시스템의 정확한 모델 정보가 요구된다는 단점을 해결하기 위해 데이터를 이용해 제어 가능한 부분과 아닌 부분으로 나눌 수 있는 데이터 기반의 칼만 분해 기법을 제안한다. 특히 실험 데이터만을 사용하여 칼만 분해에 사용되는 제어 불가능한 부분 공간의 기저를 찾아 좌표 변환 행렬을 구성할 수 있는 방법을 제시한다. 따라서 기존의 모델 기반 칼만 분해가 가지는 모델 정보를 정확히 알아야 한다는 한계점을 극복하는 해결책이 될 수 있다.

논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서는 칼만 분해 및 데이터 기반 문제 해결을 위한 배경 지식에 대해 설명하고, 3장에서는 본 논문에서 제안하는 칼만 분해에 관한 내용을 다룬다. 4장은 제안하는 칼만 분해 알고리즘을 적용한 예제를 통해 그 성능을 검증한다.

Notation : $\sigma({A})$는 행렬 ${A}$의 고윳값들의 집합을 의미한다. ${A}^{\dagger}$는 행렬 ${A}$의 유사 역행렬(Pseudo Inverse Matrix)을 나타낸다.

2. 문제 설정

본 장에서는 제안하는 데이터 기반의 칼만 분해를 위한 배경 이론을 설명한다. 2.1절에서는 선형 시불변 시스템에 대한 모델 기반 칼만 분해를 설명한다. 2.2 장에서는 시스템의 가제어성을 체크할 수 있는 데이터 기반의 PBH 테스트에 대해 소개한다.

2.1 모델 기반 선형 시불변 시스템의 칼만 분해

칼만 분해^[2]는 시스템 모델 정보를 사용하여 시스템을 좌표 변환하여 상태 변수를 제어 가능한 부분과 불가능한 부분 그리고 관측 가능한 부분과 불가능한 부분으로 나눌 수 있다. 본 연구에서는 제어 가능한 부분과 불가능한 부분을 나누는 칼만 분해에 대해 소개한다.

그림 1. 모델 기반 칼만 분해 블록도

Fig. 1. Model-based kalman decomposition

다음의 선형 시불변 시스템을 고려하자.

(1)

$x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k}$

칼만 분해를 위해 시스템 (1)에 대한 가제어성 행렬 $P=\left[\begin{matrix}B& AB& A^{2}B&\cdots & A^{n-1}B\end{matrix}\right]$를 안다고 하자. 만약 시스템 (1)이 제어 불가능하다면, 행렬 $P$로부터 $n_{1}<n$개의 선형 독립인 열벡터 $p_{1},\: \cdots ,\: p_{n_{1}}$이 구할 수 있다. 앞에서 구한 $p_{1},\: \cdots ,\: p_{n_{1}}$ 벡터와 $p_{1},\: \cdots ,\: p_{n_{1}}$에 대해 선형 독립인 임의의 열벡터 $p_{n-n_{1}},\: \cdots ,\: p_{n}$을 이용하여 좌표 변환 행렬 $T^{-1}$를 만든다.

(2)

$T^{-1}=\left[\begin{matrix}p_{1}&\cdots &p_{n_{1}}&p_{n_{1+1}}&\cdots &p_{n}\end{matrix}\right]$

이 때, 선형 독립인 열벡터 $p_{1},\: \cdots ,\: p_{n_{1}}$은 제어 가능한 부분 공간을 나머지 열벡터 $p_{n-n_{1}},\: \cdots ,\: p_{n}$은 제어 불가능한 부분 공간을 의미한다. 좌표 변환 $z_{k}=T^{-1}x_{k}$을 통해 시스템의 상태 공간을 변환함으로써 시스템을 다음과 같이 제어 가능한 부분과 불가능한 부분으로 나눌 수 있다.

(3)

$\begin{align*} \left[\begin{aligned}z_{k+1}^{c}\\z_{k+1}^{uc}\end{aligned}\right]=\left[\begin{matrix}A_{c}&A_{12}\\0&A_{uc}\end{matrix}\right]\left[\begin{aligned}z_{k}^{c}\\z_{k}^{uc}\end{aligned}\right]+\left[\begin{aligned}B_{c}\\0\end{aligned}\right]u_{k} \end{align*}$

관측 가능한 부분 공간의 분리는 앞선 제어 가능한 부분 공간 분리 문제와 쌍대성을 가진다. 가관측성 행렬(Observability Matrix)의 선형 독립인 행벡터들을 사용하여 좌표 변환 행렬 $T$를 구성하면 시스템의 상태 공간을 관측 가능한 부분과 불가능한 부분으로 나눌 수 있다^[2].

모델 기반의 칼만 분해에서는 시스템의 가제어성/가관측성 행렬들을 사용하므로 시스템 모델에 대한 정보가 필요하다. 따라서 시스템의 출력 데이터를 사용해서 시스템 모델을 알아내는 모델 식별 과정이 필요하다. 충분한 데이터를 사용하여 시스템 모델을 식별한 후, 최종적으로 모델 기반의 제어 기법에서 칼만 분해를 통해 얻을 수 있는 좌표 변환 행렬과 좌표 변환 후 얻은 시스템 모델을 통해 분산 시스템에 적용 가능한 고급 제어기를 설계할 수 있다. 그림 1은 모델 기반 칼만 분해의 블록도이다.

2.2 데이터 기반 PBH 테스트

제어 시스템의 가제어성(Controllability)은 시스템의 임의의 초기 상태를 정해진 시간 안에 목적 상태에 도달할 수 있는 입력이 존재하는지를 판별할 수 있는 기준이 된다. 이러한 선형 시스템의 가제어성을 확인하는 방법으로 가제어성 행렬 $P$의 역행렬의 존재성을 통해 확인하는 PBH(Popov-Belevitch-Hautus) 검사 방법이 잘 알려져 있다. 하지만 이 방법은 시스템 행렬 $A$, $B$가 필요하다, 이 절에서는 시스템(1)에 대한 사전 실험을 통해 얻은 데이터만을 사용한 데이터 기반의 PBH 테스트^[13]를 소개한다.

그림 2. 데이터 기반 칼만 분해 블록도

Fig. 2. Data-driven kalman decomposition

사전 실험을 통해 시뮬레이션 시간($T_{s}$)동안 시스템(1)에 대해 얻은 상태, 입력 데이터를 사용하여 다음을 정의한다.

(4)

$\begin{align*} X_{-} & :=\left[\begin{matrix}x_{0}&x_{1}&\cdots &x_{T_{s}-1}\end{matrix}\right]\\ X_{+}& :=\left[\begin{matrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{T_{s}}\end{matrix}\right]\\ X & :=\left[\begin{matrix}x_{0}&x_{1}&\cdots &x_{T_{s}}\end{matrix}\right]\\ U_{-}& :=\left[\begin{matrix}u_{0}&u_{1}&\cdots &u_{T_{s}-1}\end{matrix}\right] \end{align*}$

여기서 $X_{-}$, $U_{-}$는 0부터 $T_{s}-1$시간까지의 상태와 입력 데이터를 $X_{+}$은 1부터 $T_{s}$시간까지의 상태 데이터를 의미한다. 그리고 행렬 $X$는 시뮬레이션 시간 $T_{s}$동안의 모든 상태데이터를 의미한다. 정의한 데이터 행렬은 식 (1)로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(5)

$X_{+}=\left[\begin{matrix}A&B\end{matrix}\right]\left[\begin{aligned}X_{-}\\U_{-}\end{aligned}\right]$

데이터 기반의 문제 구조에서 데이터 행렬 $X_{+}$, $X_{-}$, $U_{-}$를 사용하여 표현 가능한 모든 시스템들의 집합을 다음과 같이 정의한다.

여기서 ∑는 시스템 모델들의 집합을 나타내며, $\Sigma_{i/s}$는 입력과 출력정보를 사용한 동역학 방정식을 만족하는 모든 시스템들의 집합을 의미한다. 제어 가능한 모든 시스템들의 집합을 다음과 같이 표기한다.

만약 $\Sigma_{i/s}\subset\Sigma_{cont}$을 만족한다면 데이터 ($X_{-}$, $U_{-}$)는 제어 가능성에 대해 정보를 제공한다고 정의한다^[13]. 즉, 모든 시스템 $(A,\: B)\in\Sigma_{i/s}$이 제어 가능한 경우 데이터 ($X_{-}$, $U_{-}$)는 제어 가능성에 대해 정보를 제공한다.

정리 1[13, Theorem 8]. 만일 데이터 $(X_{-},\: U_{-})$가 제어 가능성에 대해 정보를 제공한다면,

(6)

을 만족하고 그 역도 성립한다. 또한 식 (6)은 ${rank}(X_{+})=n$ 일 때, 0이 아닌 $\lambda$에 대해 $\lambda^{-1}\in\sigma({X}_{-}{X}_{+}^{\dagger})$이다.

3. 주요 결과

데이터 기반 칼만 분해는 모델 기반의 칼만 분해와 다르게 시스템 모델을 모르는 상황으로 좌표 변환된 시스템 모델에 대한 정보는 얻을 수 없지만, 좌표 변환 행렬과 그 변환된 좌표계에서의 데이터 행렬을 얻을 수 있다. 그림 2는 데이터 기반 칼만 분해의 블록도이다.

칼만 분해를 위한 좌표 변환 행렬 $T$는 제어 가능한 열 공간의 기저와 그것들과 선형독립인 제어 불가능한 부분 공간의 기저로 구성한다. 제어 불가능한 열 공간을 생성(Span)하는 모든 기저를 찾기 위해서는 시스템 행렬 $A$의 일반 좌 고유벡터들 중 입력에 의해 영향을 받지 않는 일반 좌 고유벡터들을 찾아야 한다. 이러한 일반 좌 고유벡터는 다음 식을 만족하는 행렬의 좌 영공간(Left Nullspace)의 기저 벡터를 통해 찾을 수 있다^[2].

(7)

본 논문에서는 시스템 모델을 모르는 상황에서 실험 데이터를 사용하여 제어 불가능한 부분 공간의 기저를 구하고 이것들과 선형독립인 기저들을 찾아내 좌표 변환 행렬을 구성하는 방법을 제안한다. 데이터 기반으로 시스템의 제어 불가능한 부분공간의 기저(제어 불가능한 좌 고유벡터)를 구하기 위해 다음을 가정한다.

가정 1. 주어진 시스템에서 얻은 실험 데이터 행렬은 최대 행 계수(Full row rank)를 가진다.

(8)

가정 2. 주어진 시스템에서 얻은 실험 데이터 행렬은 최대 행 계수를 가진다.

(9)

가정 1과 가정 2는 충분히 많은 다양한 입력을 시스템에 가해 얻는다면 항상 만족할 수 있음이 알려져 있다^[15].

정리 1을 통해 제어 불가능한 시스템은 식 (6)을 만족하지 않는 $\lambda^{-1}$을 $\sigma({X}_{-}{X}_{+}^{\dagger})$에서 찾을 수 있다. 그리고 식 (6)이 최대 행 계수 조건을 만족하지 않기 때문에 0이 아닌 $\lambda$에 대한 아래 식을 만족하는 ${z}$를 찾을 수 있다.

(10)

식 (10)은 가정 1에 의해 식 (7)과 같음을 알 수 있다. 즉, 제어 불가능한 시스템에서 식 (10)을 통해 얻은 ${z}^{{T}}$는 시스템 (1)의 제어 불가능한 상태 변수에 해당하는 고윳값들의 좌 고유벡터라고 할 수 있다. 이 때, 가정 2에 의해 식 (10)을 만족하는 ${z}^{{T}}$는 다음과 같은 식을 만족한다.

(11)

식 (7)을 만족하는 0이 아닌 시스템 행렬 A의 제어 불가능한 모든 좌 고유벡터는 식 (11)을 만족한다. 따라서 $A$의 제어 불가능한 모든 고유값은 행렬 $X_{-}X_{+}^{\dagger}$에서 찾을 수 있고, 고윳값에 해당하는 A의 좌 고유벡터는 ${z}^{{T}}$이다.

다음으로 앞에서 구한 좌 고유벡터에 대한 일반 좌 고유벡터를 구한다. 행렬 $X_{-}X_{+}^{\dagger}$에서 찾은 시스템 (1)의 제어 불가능한 상태 변수 $r$개의 서로 다른 고유값을 $\lambda_{uc}(1),\: \ldots ,\: \lambda_{uc}(r)$ 그리고 $i$번째 고유값 $\lambda_{uc}(i)$에 해당되는 좌 고유벡터를 $z_{uc1}^{T}(i)$이라고 하자. 제어 불가능한 상태 변수의 고유값과 좌 고유벡터 쌍 $[\lambda_{uc}(i)$,$z_{uc1}^{T}(i)]$은 가정 1과 아래 수식으로부터 알 수 있다.

(12)

그리고 만약 $i$번째 고유값 $\lambda_{uc}(i)$이 $j$개만큼 중복되었다면 $\lambda_{uc}(i)$에 해당하는 일반 좌 고유벡터 쌍은 정리 2를 통해 구할 수 있다.

정리 2. 만약 0이 아닌 $z_{uc1}^{T}(i),\: z_{uc2}^{T}(i),\: \cdots ,\: z_{ucj}^{T}(i)$가 식 (13)을 만족한다고 하자.

(13)

이 때, 제어 불가능한 고유값과 좌 고유벡터 쌍 $[\lambda_{uc}(i)$,$z_{uc1}^{T}(i),\: z_{uc2}^{T}(i),\: \cdots ,\: z_{ucj}^{T}(i)]$은 시스템(1)의 제어 불가능한 고유값과 일반 좌 고유벡터와 같다.

증명. 식 (13)을 만족하는 $z_{uck}^{T}(i)$에 대해 식 (5)를 이용하면 다음 식을 얻을 수 있다.

(14)

가정 1에 의해 식 (14)는 다음과 같이 표현할 수 있다.

(15)

식 (15)의 첫 번째 식으로부터 $z_{uck}^{T}(i)$는 시스템 행렬 A의 와 연결된 일반 좌 고유벡터임을 알 수 있고, 두 번째 식으로부터 $z_{uck}^{T}(i)$는 A의 제어 불가능한 일반 좌 고유벡터임을 알 수 있다. 이것으로 증명을 마친다.

정리 2를 통해 $z_{uck}^{T}(i)$는 행렬 $\left(\left(I-\lambda_{uc}(i)X_{-}X_{+}^{\dagger}\right)^{T}\right)^{k}$의 영 공간(Nullspace)이 있다는 것을 알 수 있다. 이에 대한 자세한 증명은 ^[16]을 참고한다. 다시 말해서, $i$번째 제어 불가능한 고유값 $\lambda_{uc}(i)$에 해당하는 $j$번째 일반 좌 고유벡터를 찾아낼 수 있다. 1에서부터 1씩 증가하는 변수 $k$를 이용하여 $\left(\left(I-\lambda_{uc}(i)X_{-}X_{+}^{\dagger}\right)^{T}\right)^{k}$의 영 공간($z_{uck}^{T}(i)$)이 0 벡터가 되는 $k$를 찾는다. 그림 3에 작성된 Algorithm 1을 통해 고유값 $\lambda_{uc}(i)$에 해당하는 $j$개의 중복된 일반 좌 고유벡터를 모두 구할 수 있다.

그림 3. 데이터 기반 일반 좌 고유벡터를 구하는 알고리듬

Fig. 3. Data-driven left generalized eigenvector

최종적으로 데이터 기반 칼만 분해를 위해 좌표 변환 행렬 $T^{-1}$은 다음과 같이 구성한다. $T^{-1}$의 제어 불가능한 부분공간을 생성하는 기저는 앞에서 구한 제어 불가능한 일반 좌 고유벡터들로 구성한다. 그리고 제어 불가능한 일반 좌 고유벡터에 선형 독립인 벡터들을 이용하여 $T^{-1}$를 구성한다.

4. 적용 예제

앞선 3장에서는 데이터 기반의 일반 좌 고유벡터를 구하는 알고리즘을 통해 칼만 분해를 위한 좌표 변환 행렬을 구성하는 과정을 제안하였다. 이 장에서는 예제를 통해 기존의 모델 기반의 칼만 분해 기법과 제안하는 알고리즘을 통한 칼만 분해 기법을 진행하여 검증한다. 5.1절은 두 알고리즘을 적용할 예제에 대해 설명한다. 5.2절에서는 모델 기반의 칼만 분해 기법으로 선형 시스템을 분해하는 과정을 보인다. 5.3절에서는 5.2절에서 사용한 동일한 예제에 대해 데이터 기반의 칼만 분해 기법을 적용하고 그 결과를 모델 기반의 칼만 분해 기법과 비교한다.

4.1 환경 구성

두 예제를 적용할 시스템의 다음과 같은 시스템 행렬 $A$, $B$를 생각한다.

(16)

여기에서 행렬 $V$, $W$는 역행렬 관계를 가지는 임의의 행렬을 선정하여 진행하였다. 이 때 시스템 행렬 $A$, $B$에 대한 가제어성 행렬 $P$는 다음과 같다.

행렬 $P$의 랭크는 3이므로 시스템은 제어 불가능한 부분 공간의 크기가 2차원인 제어 불가능한 시스템이다. 제어 불가능한 상태 변수에 해당하는 고유값은 0.7로 중복된 2개의 제어 불가능한 고유값을 가지는 예제에 대해 모델 기반의 칼만 분해와 데이터 기반의 칼만 분해를 진행하였다.

4.2 데이터 기반의 칼만 분해

데이터 기반의 문제 프레임워크를 먼저 설명한다. 시뮬레이션 시간 $T_{s}$를 10스탭 동안의 입력 $u_{k}=\cos\left(\dfrac{1}{10}k\right)+1$을 인가하여 측정한 상태 데이터와 입력 데이터를 얻어 사전 데이터 행렬 $X_{+}$, $X_{-}$, $U_{-}$를 구성한다.

데이터 행렬 $X_{+}$, $X_{-}$를 사용하여 제안한 Algorithm 1을 통해 다음과 같은 $s$, $L$, $z$를 구할 수 있다.

행렬 $z$의 원소들을 사용하여 행렬 $z_{uc}^{T}$을 구성하고 $z_{uc}^{T}$와 선형 독립인 s개의 행벡터들 임의로 구성하여 다음과 같은 좌표 변환 행렬 $T^{-1}$을 구성한다.

이 때, 구성한 좌표 변환 행렬 $T^{-1}$을 사용하여 기존의 데이터 행렬 $X_{+}$, $X_{-}$에서 좌표 변환된 데이터 행렬 $T^{-1}X_{+}$, $T^{-1}X_{-}$를 얻어낼 수 있다. 좌표 변환된 행렬이 만족하는 시스템 행렬은 다음과 같다.

(17)

이 때, 데이터 기반의 칼만 분해된 시스템은 제어 불가능한 부분 공간의 기저를 생성하는 방식으로 인해 제어 불가능한 고유값이 좌표 변환된 시스템 행렬에 드러나게 된다. 그러나 모델 기반의 칼만 분해된 시스템은 제어 불가능한 부분 공간에 대한 기저 벡터를 선정할 때 단순히 제어 가능한 부분 공간을 생성하는 기저들과 선형 독립인 임의의 벡터를 선정하므로 제어 불가능한 고유값이 시스템 행렬에 드러나지 않는다.

4.3 실제 시스템과 데이터 기반 시스템의 시간 응답 비교

본 절 에서는 데이터 기반 칼만 분해로 구한 시스템이 제어기 설계에 효율적으로 활용될 수 있는지 확인하기 위해 실제 시스템(16)과 데이터 기반 시스템(17)의 시간응답을 비교한다. 그림 4 (상)은 크기가 10인 주파수가 상수 입력에 대한 시간 응답 그래프이며, 그림 4 (하)는 진폭이 10이고 주기가 1초인 사인 입력에 대한 시간 응답 그래프이다. 두 그래프 모두 실제 시스템과 데이터 기반 시스템의 시간 응답이 일치하므로 데이터 기반 칼만 분해로 구한 시스템은 제어기 설계에 효율적으로 이용할 수 있다.

그림 4. 실제 시스템과 데이터 기반 시스템의 시간응답 그래프: 상수 입력(상) 사인입력(하)

Fig. 4. Time response of real system and data-driven system: Constant input(Top), Sine input(Bottom)

5. 결 론

본 논문에서는 시스템 모델에 대한 정보 없이 칼만 분해를 할 수 있는 데이터 기반의 선형 시스템 칼만 분해 알고리즘을 제안하였다. 다른 연구에서 진행되었던 데이터 기반의 PBH 테스트를 만족하지 않는 제어 불가능한 시스템에 대해 시스템에서 얻은 실험 데이터 행렬들을 사용하여 시스템의 제어 불가능한 고유값의 일반 좌 고유벡터들을 얻을 수 있었다. 제안하는 알고리즘을 통해 얻은 일반 좌 고유벡터들로 칼만 분해를 위한 좌표 변환 행렬을 구성하였고, 선형 시스템의 칼만 분해를 유도할 수 있음을 보였다. 중복된 제어 불가능한 고유값을 가지는 예제를 통하여 모델 기반의 칼만 분해와 제안한 알고리즘을 사용한 좌표 변환 행렬을 구해 비교해보는 것으로 검증하였다.

제안한 알고리즘을 통해 데이터 기반의 문제 구조에서 실험 데이터 행렬을 사용하여 좌표 변환 행렬과 좌표 변환된 데이터 행렬을 얻을 수 있다. 특히 분산 시스템에 대한 제어기나 관측기를 설계하는 경우, 데이터 기반의 칼만 분해를 가능하게 하는 좌표 변환 행렬을 구성하여 제어기를 설계하는데 도움이 될 것이다.