2. 다중 LKF에 기초한 안정성
기존의 한 개의 LKF를 이용하여 안정도 문제를 해결하는 것에서, Kim[14]에 의하여 시간지연을 이의 크기에 따라 같은 크기의 두 개의 영역으로 나누고, 각 영역에서 서로 다르지만 공통 영역에서는 같은 LKF를 이용하여 개선된
안정성 결과를 제시하였다.
먼저, 우리는 이를 일반화한 다중 LFK를 이용한 시스템의 안정성에 관한 결과를 제시한다. 이를 위하여 연속인 시간 지연을 $N$개의 영역으로 나누자.
여기서 $0 =\gamma_{0}<\gamma_{1}<\cdots <\gamma_{N}=1$이고, 다음을 만족한다.
다음으로는 공통인 영역에서는 같은 값을 갖는 각각 영역에서 LKF 후보 함수들을 정의하자.
다음의 보조정리 1은 (3)으로 나뉜 $N$ 개의 영역에서 (5)의 성질을 갖는 LKF들을 갖는 경우 안정성이 보장되는 결과이다.
보조정리 1: 수식 (3)으로 정의된 각각의 집합 $T_{i}$에서 정의된 LKF 후보함수 $v_{i}(x_{t})$가 다음을 만족하고
다음과 같이 $v(x_{t})$를 정의하면
$v(x_{t})= v_{i}(x_{t}),\: {mrm}{if}{t}\in{T}_{{i}},\: {i}=1,\: 2,\: \cdots ,\:{N}$
이의 극한은 0이다, 즉 $\lim_{t\to \infty}v(x_{t})\to 0$이다,
증명: 먼저 (i)에 의하여, $v_{i}(x_{t})$는 $t\in T_{i}$에서 LFK 함수의 필요조건을 충족한다. 다음으로 시간지연이
연속이고, 수식 (6)의 시간지연 분할과 조건 (ii)에 의하여 $v(x_{t})$연속이다. 마지막으로 조건 (iii)에 의하여 $v(x_{t})$의 시간미분이 모든 시간
$\forall t\ge 0$에 대하여 항상 음이다. 따라서 $v(x_{t})$는 양이면서 이의 시간이 항상 음이므로 $\lim_{t\to \infty}v(x_{t})\to
0$이다, 이것으로 증명을 마친다.
다음의 보조정리 2는 잘 알려진 적분 부등식으로, 다음의 결과 유도에서 LM 형태의 결과를 얻는 데 핵심적으로 사용되는 보조정리이다.
보조정리 2[3][11]: 실수 $a<$, 함수 $w\in{bold R}^{m}$, 양확정대칭행렬 0<$R\in{bold R}^{m\times m}$, 그리고 일반행렬 $L_{1},\:
L_{2}\in{bold R}^{m\times m}$에 대하여 다음의 부등식이 성립한다.
$(i)-\int_{a}^{b}\dot{w}^{T}(s)R\dot{w}(s)ds\le -\dfrac{1}{b-a}\left\{\phi_{1}^{T}R\phi_{1}+3\phi_{2}^{T}R\phi_{2}\right\},\:$
$
(ii)-\int_{a}^{b}\dot{w}^{T}(s)R\dot{w}(s)ds\le\phi_{1}^{T}\left\{2L_{1}+(b-a)L_{1}R^{-1}L_{1}^{T}\right\}\phi_{1}\\
+\phi_{2}^{T}\left\{2L_{2}+\dfrac{1}{3}(b-a)L_{2}R^{-1}L_{2}^{T}\right\}\phi_{2},\:
$
여기서 $\phi_{1}= w(b)- w(a),\: \phi_{2}= w(b)+w(a)-\dfrac{2}{b-a}\int_{a}^{b}w(s)ds$이다.
Remark 1: 위의 보조정리 2에서, 부등식 (ii)는 참고문헌[11]에 있고, (i)은 (ii)에서 $L_{1}= -\dfrac{1}{b-a}R,\:$$L_{2}= -\dfrac{3}{b-a}R$로 하면 얻을 수 있는
결과이기도 하다. 또한 (i)은 처음 Wirtinger 기반 적분 부등식이라는 이름으로 참고문헌[3]에 제시되었다.
3. 주요 결과
보조정리 1의 안정성 조건 결과는 시간지연을 $N$개로 나눈 경우의 결과이지만, 복잡성을 피하고자 본 논문에서는 $N=2$인 경우에 한하여 LM 형태의
안정성 결과를 유도한다. 이를 위하여 먼저 변수 $\gamma_{1}\in(0,\: 1)$을 도입하여, 연속시간 지연을 두 개의 연속인 집합으로 분할하고,
각 영역 $T_{1},\: T_{2}$에서 보조정리 1의 (i),(ii),(iii)을 모두 만족하는 다음의 두 함수 $v_{1}(x_{t}),\:
v_{2}(x_{t})$를 이용한다.
다음 정리 1은 본 논문의 주요 결과로써, (7)과 같이 시간지연 $d(t)$의 크기에 따라 분할된 두 영역 $T_{1},\: T_{2}$에서 각각 정의된 (8)로 기술되는 두 개의 다중 LKF후보 함수를 이용한 안정성 결과이다.
정리 1: 양확정행렬 $P\in{R}^{7n\times 7n},\:$ $Q_{1},\: Q_{2},\: S_{1},\: S_{2},\: Z_{1},\:
Z_{2},\: Z_{3},\: Z_{4},\:$ $R_{1}$,$R_{2}\in{ R}^{2n\times 2n},\:$ 일반행렬 $L_{i}\in{
R}^{2n\times 2n},\: i\in[1,\: 8],\:$ $N_{i}\in$${ R}^{12n\times n}$, $i\in[1,\: 4]$,
그리고 비선형 스칼라 변수 $\gamma_{1}\in(0,\: 1)$에 대하여 다음의 LMI를 만족하면
시간지연 (2)를 갖는 시간 지연 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 여기서
이고, 여기에 사용된 벡터들은 다음이다.
$e_{i}=[0_{n\times(i-1)n}I_{n\times n}0_{n\times(12-i)n}],\: i=1,\: 2,\: \cdots ,\:
12,$
$e_{0}=0· e_{1,\:}\widetilde{e_{2}}=(1-\dot{d})e_{2},\: \widetilde{e_{5}}=(1-\dot{d})e_{5,}$
$A_{c1}=Ae_{1}+A_{d}e_{2},\: A_{c2}= A· A_{c1}+ A_{d}\widetilde{e_{5,\: }}$
$A_{0}= co l\left\{A_{c1},\: A_{c2}\right\},\:$
$
E_{0}= co l\left\{e_{1},\: e_{2},\: e_{3},\: e_{4}\right\},\:
\widetilde{E_{0}}= co l\left\{A_{c1},\: \widetilde{e_{5}},\: e_{6},\: e_{7}\right\},\:
\\
E_{1}= co l\left\{E_{0},\: (h-h_{1})e_{8},\: (h_{1}-d)e_{9,\: }d· e_{10}\right\},\:
\\
E_{2}= co l\left\{\widetilde{E_{0}},\: e_{3}- e_{4},\: \widetilde{e_{2}}- e_{3},\:
e_{1}-\widetilde{e_{2}}\right\},\:
$
$
E_{3}= co l\left\{e_{3}. e_{6}\right\},\:
E_{4}= co l\left\{e_{4},\: e_{7}\right\},\:
E_{5}= co l\left\{e_{2},\: e_{5}\right\},\:
E_{6}= co l\left\{e_{3},\: e_{6}\right\},\: \\
E_{7}= co l\left\{e_{1},\: A_{c1}\right\},\:
E_{8}=c ol\left\{e_{8},\: \dfrac{1}{(h-h_{1})}(e_{3}-e_{4})\right\},\: \\
E_{9}=co l\left\{e_{3}-e_{4},\: e_{6}-e_{7}\right\},\:
$
$E_{10}=c ol\left\{e_{9},\: e_{12}\right\},\:
E_{11}=c ol\left\{\widetilde{e_{2}}-e_{3}+\dot{d}e_{9},\: \widetilde{e_{5}}-e_{6}+\dot{d}e_{12}\right\},\:$
$E_{12}=co l\left\{e_{10},\: e_{11}\right\},\:
E_{13}=co l\left\{e_{1}-\widetilde{e_{2}}-\dot{d}e_{10},\: A_{c1}- e_{6}-\dot{d}e_{11}\right\},\:$
$
\left. E_{14a}=c ol\left\{e_{3}- e_{4},\: e_{6}- e_{7}\right\},\: \\
E_{14b}=c ol\left\{e_{3}+ e_{4}-2 e_{8},\: e_{6}+ e_{7}-\dfrac{2}{h-h_{1}}(e_{3}-
e_{4})\right.\right\},\:
$
$
E_{15a}=c ol\left\{e_{1}- e_{2},\: A_{c1}- e_{5}\right\},\: \\
E_{15b}=c ol\left\{e_{1}+ e_{2}-2 e_{10},\: A_{c1}+ e_{5}- 2 e_{12}\right\},\:
$
$
E_{16a}=c ol\left\{e_{2}- e_{3},\: e_{5}- e_{6}\right\},\: \\
E_{16b}=c ol\left\{e_{2}+ e_{3}-2 e_{9},\: e_{5}+ e_{6}- 2 e_{11}\right\},\:
$
$
F_{1}= co l\left\{E_{0},\: (h-d)e_{8},\: (d-h_{1})e_{9,\: }h_{1}· e_{10}\right\},\:
\\
F_{2}= co l\left\{\widetilde{E_{0}},\: \widetilde{e_{2}}- e_{4},\: e_{3}-\widetilde{e_{2}},\:
e_{1}- e_{3}\right\},\:
$
$F_{3}= co l\left\{e_{2}. e_{5}\right\},\:
F_{4}= co l\left\{e_{4},\: e_{7}\right\},\:
F_{5}= co l\left\{e_{3},\: e_{6}\right\},\:
F_{6}= co l\left\{e_{1},\: A_{c1}\right\},\:$
$
F_{7}= co l\left\{e_{3},\: e_{6}\right\},\:
F_{8}=c ol\left\{e_{8},\: e_{12}\right\},\:$
$
F_{9}=co l\left\{\widetilde{e_{2}}- e_{4}+\dot{d}e_{8},\: \widetilde{e_{5}}- e_{7}+\dot{d}e_{12}\right\},\:
\\
F_{10}=c ol\left\{e_{9},\: e_{11}\right\},\:
F_{11}=c ol\left\{e_{3}-\widetilde{e_{2}}-\dot{d}e_{9},\: e_{6}-\widetilde{e_{5}}-\dot{d}e_{11}\right\},\:
$
$F_{12}=co l\left\{e_{10},\: \dfrac{1}{h_{1}}(e_{1}- e_{3})\right\},\:
F_{13}=co l\left\{e_{1}- e_{3},\: A_{c1}- e_{6}\right\},\:$
$
F_{14a}= co l\left\{e_{1}- e_{3},\: A_{c1}- e_{6}\right\},\: \\F_{14b}= co l\left\{e_{1}+
e_{3}-2 e_{10},\: A_{c1}+ e_{6}-\dfrac{2}{h_{1}}(e_{1}- e_{3})\right\},\:
$
$
F_{15a}= co l\left\{e_{3}- e_{2},\: e_{6}- e_{5}\right\},\: \\ F_{15b}= co l\left\{e_{3}+
e_{2}- 2 e_{9},\: e_{6}+ e_{5}-2 e_{12}\right\},\:
$
$
E_{16a}=c ol\left\{e_{2}- e_{4},\: e_{5}- e_{7}\right\},\: \\
E_{16b}=c ol\left\{e_{2}+ e_{4}-2 e_{8},\: e_{5}+ e_{7}- 2 e_{11}\right\}.
$
증명: 혼란이 생기지 않는 범위 내에서 편의상 $d(t)$는 $d$로, $\dot{d}(t)$는 $\dot{d}$로 나타내기로 하고, 먼저 여러
스칼라와 벡터들을 정의하자.
$
h_{1}=\gamma_{1}h,\: \gamma_{1}\in(0,\: 1),\:
t_{d}=t-d(t),\: t_{h}=t-h,\: t_{h1}=t-h_{1,\:}\\
p_{\alpha}^{\beta}(t)=\dfrac{1}{\beta -\alpha}(x(\beta)-x(\alpha)),\: \\
q_{\alpha}^{\beta}(t)=\dfrac{1}{\beta -\alpha}\int_{\alpha}^{\beta}x(s)ds,\:
\hat{q}_{\alpha}^{\beta}=(\beta -\alpha)q_{\alpha}^{\beta},\:
$
$
n_{0}(t)= co l\left\{x(t),\: x(t_{d}),\: x(t_{h1}),\: x(t_{h})\right\},\: \\
n_{1}(t)= co l\left\{\dot{x}(t_{d}),\: \dot{x}(t_{h1}),\: \dot{x}(t_{h})\right\},\:
\\
\xi_{t1}=co l\left\{n_{0}(t),\: n_{1}(t),\: q_{t_{h}}^{t_{h1}},\: q_{t_{h1}}^{t_{d}},\:
q_{t_{d}}^{t},\: q_{t_{h}}^{t_{h1}},\: p_{t_{h1}}^{t_{d}},\: p_{t_{d}}^{t}\right\},\:
\\
\xi_{t2}=co l\left\{n_{0}(t),\: n_{1}(t),\: q_{t_{h}}^{t_{d}},\: q_{t_{d}}^{t_{h1}},\:
q_{t_{h1}}^{t},\: p_{t_{h}}^{t_{d}},\: p_{t_{d}}^{t_{h1}},\: p_{t_{h1}}^{t}\right\},\:
$
$
n_{2}(t)=co l\left\{n_{0}(t),\: \hat{q}_{t_{h}}^{t_{h1}},\: \hat{q}_{t_{h1}}^{t_{d}},\:
\hat{q}_{t_{d}}^{t}\right\},\: \\
n_{3}(t)=co l\left\{n_{0}(t),\: \hat{q}_{t_{h}}^{t_{d}},\: \hat{q}_{t_{d}}^{t_{h1}},\:
\hat{q}_{t_{h1}}^{t}\right\},\:
$
$w(s)= co l\{x(s),\: \dot{x}(s)\}$
$y_{1}(t)= co l\left\{q_{t_{h}}^{t_{h1}},\: p_{t_{h}}^{t_{h1}}\right\},\:
y_{2}(t)= co l\left\{q_{t_{h_{1}}}^{t_{d}},\: p_{t_{h1}}^{t_{d}}\right\},\:
y_{3}(t)= co l\left\{q_{t_{d}}^{t},\: p_{t_{d}}^{t}\right\},\:$
$y_{4}(t)= co l\left\{q_{t_{h}}^{t_{d}},\: p_{t_{h}}^{t_{d}}\right\},\:
y_{5}(t)= co l\left\{q_{t_{d}}^{t_{h_{1}}},\: p_{t_{d}}^{t_{h_{1}}}\right\},\:
y_{6}(t)= co l\left\{q_{t_{h_{1}}}^{t},\: p_{t_{h_{1}}}^{t}\right\}.$
다음으로 위에 정의된 스칼라, 벡터를 이용하여 여러 2차 함수, 2차 함수의 적분, 가중치를 갖는 2차 함수의 적분들을 다음과 같이 정의하자.
$v_{0}(x_{t})=(h-h_{1})\int_{t_{h1}}^{t}\dot{w^{T}}(s)R_{1}\dot{w}(s)ds$
$+\int_{t_{h}}^{t_{h1}}(h-t+s)\dot{w}^{T}(s)R_{1}\dot{w}(s)(s)$
$+\int_{t_{h1}}^{t}(h_{1}- t +s)\dot{w}^{T}(s)R_{2}w(s)ds ,\:$
$\begin{cases}
v_{11}(x_{t})= n_{2}^{T}(t)P n_{2}(t),\: \\
v_{12}(x_{t})=\int_{t_{h}}^{t_{h1}}w^{T}(s)Q_{1}w(s)ds
+\int_{t_{h1}}^{t_{d}}w^{T}(s)S_{1}w_{2}(s)ds \\
+\int_{t_{d}}^{t}w^{T}(s)Q_{2}w(s)ds ,\: \\
v_{13}(x_{t})=(h-h_{1})y_{1}^{T}(t)Z_{1}y_{1}(t)+(h_{1}- d)y_{2}^{T}(t)Z_{3}y_{2}(t)\\
+d· y_{3}^{T}(t)Z_{2}y_{3}(t),\:\end{cases}$
$\begin{cases}
v_{21}(x_{t})= n_{3}^{T}(t)P n_{3}(t),\: \\
v_{22}(x_{t})=\int_{t_{h}}^{t_{d}}w^{T}(s)Q_{1}w(s)ds +\int_{t_{d}}^{t_{h1}}w^{T}(s)S_{2}w(s)ds\\
+\int_{t_{h1}}^{t}w^{T}(s)Q_{2}w(s)ds ,\: \\
v_{23}(x_{t})=(h-d)y_{4}^{T}(t)Z_{1}y_{4}(t)+(d-h_{1})y_{5}^{T}(t)Z_{4}y_{5}(t)\\
+h_{1}· y_{6}^{T}(t)Z_{2}y_{6}(t),\:\end{cases}$
다음은 이들을 이용하여 다음과 같이 영역 $T_{1},\: T_{2}$에서 LKF 후보함수 $v_{1}(x_{t})$와 $v_{2}(x_{t})$를
각각 정의하자.
그러면 다음이 성립한다.
$
(a)v_{1}(x_{t})\ge\varepsilon_{1}|| x(t)||^{2},\: v_{2}(x_{t})\ge\varepsilon_{2}||
x(t)||^{2},\: \exists s\varepsilon_{1},\: \varepsilon_{2}>0,\: \\
(b)v_{11}(x_{t})= v_{21}(x_{t}),\:
v_{12}(x_{t})= v_{22}(x_{t}),\:
v_{13}(x_{t})= v_{23}(x_{t})\\
\Rightarrow v_{1}(x_{t})= v_{2}(x_{t}),\: \forall t\in T_{1}\cap T_{2,\: }
$
따라서 $v_{1}(x_{t}),\: v_{2}(x_{t})$는 영역 $T_{1},\: T_{2}$에서 보조정리 1의 (i), (ii) 조건을
만족함을 알 수 있다. 따라서 안정성은 보조정리 1의 (iii) 조건만 만족하면 된다. 이를 보이기 위하여 case 1: $t\in T_{1}$인
경우와 cases 2: $t\in T_{2}$인 경우를 나누어 이를 보인다.
Case 1: $t\in T_{1}\Leftrightarrow 0\le d(t)\le h_{1}$인 경우
이 경우에는 다음의 관계식을 고려하여
$\begin{cases}
\int_{t_{h1}}^{t}x(s)ds =\left\{(h_{1}-d)e_{6}+ d e_{7}\right\}\xi_{t1},\: \\
e_{11}\xi_{t1}=\dfrac{1}{d}(e_{1}- e_{2})\xi_{t1},\: \\
e_{12}\xi_{t1}=\dfrac{1}{h_{1}- d}(e2- e_{3})\xi_{t1}\dfrac{,\: \\
d}{dt}\left\{\dfrac{f(t)}{a(t)}\right\}=\dfrac{1}{a(t)}\left\{\dot{f}(t)-\dot{a}(t)\dfrac{f(t)}{a(t)}\right\},\:
\end{cases}$
LKF 후보함수 $v_{1}(x_{t})$의 시스템 (1)의 궤적에 따른 미분을 구하면 다음을 얻는다.
여기서 $J_{1}= -\int_{t_{h}}^{t_{h1}}\dot{w^{T}}(s)R_{1}\dot{w}(s)ds -\int_{t_{h}}^{t}\dot{w^{T}}(s)R_{2}\dot{w}(s)ds
ds$ 이고, 이의 첫 번째와 두 번째 항에 보조정리 2의 (i)과 (ii)를 각각 적용하면 다음이 된다.
따라서 (15)와 (16)를 이용하면 다음을 얻는다.
$\dot{v_{1}}(x_{t})\le\xi_{t1}^{T}\left\{\Omega_{11}(d,\: \dot{d})+\Omega_{12}(d)\right\}\xi_{t1}$여기서
$\Omega_{11}(d,\: \dot{d)}$는 수식 (13)에 있고, $\Omega_{12}(d)$는 다음이다.
$\Omega_{12}(d)=$$d· E_{15a}^{T}L_{3}R_{2}^{-1}L_{3}^{T}E_{15a}$$+\dfrac{d}{3}· E_{15b}^{T}L_{4}R_{2}^{-1}L_{4}^{T}E_{15b}$
$+(h_{1}- d)· E_{16a}^{T}L_{1}R_{2}^{-1}L_{1}^{T}E_{16a}$$+\dfrac{1}{3}(h_{1}- d)·
E_{16b}^{T}L_{2}R_{2}^{-1}L_{2}^{T}E_{16b}$
그리고 $\Omega_{11}(d,\: \dot{d})+\Omega_{12}(d)$는 $\dot{d}$와 $d$에 대하여 affine함수이다. 따라서
Schur complement[1] 성질을 이용하면 다음이 된다.
$\Omega_{11}(d,\: \dot{d})+\Omega_{12}(d)< 0 ,\: \forall d\in[0,\: h],\: \forall\dot{d}\in[\mu_{1},\:
\mu_{2}]$
$\Leftrightarrow\begin{cases}
\left[\Omega_{11}(0,\: \dot{d})+\Omega_{12}(0)\right]_{\dot{d}=\mu_{1},\: \mu_{2}}<0
\Leftrightarrow(9)\\
\left[\Omega_{11}(h_{1},\: \dot{d})+\Omega_{12}(h_{1})\right]_{\dot{d}=\mu_{1},\:
\mu_{2}}<0\Leftrightarrow(10).\end{cases}$
끝으로, 이를 종합하면 (9)과 (10) 만족하면 $\dot{v_{1}}(x_{t})<0,\: $$\forall\xi_{t}neq 0,\: $ 즉 $\forall t\in T_{1}$에
대하여 보조정리 1의 (iii) 번째 조건을 만족한다.
Case 2: $t\in T_{2}\Leftrightarrow h_{1}\le d(t)\le h$인 경우
이 경우도 다음의 관계식을 이용하여
$\begin{cases}
\int_{t_{h}}^{t_{h1}}x(s)ds=\left\{(h -d)e_{5}+(d -h_{1})e_{6}\right\}\xi_{t2},\:
\\
e_{11}\xi_{t2}=\dfrac{1}{d-h_{1}}(e_{3}- e_{2})\xi_{t2},\: \\
e_{12}\xi_{t2}=\dfrac{1}{h - d}(e_{3}- e_{4})\xi_{t2}\dfrac{,\: \\
d}{dt}\left\{\dfrac{f(t)}{a(t)}\right\}=\dfrac{1}{a(t)}\left\{\dot{f}(t)-\dot{a}(t)\dfrac{f(t)}{a(t)}\right\},\:\end{cases}$
LKF 후보함수 $v_{2}(x_{t})$의 시스템(1)의 궤적에 따른 미분을 구하면 다음을 얻는다.
여기서 $J_{1}= -\int_{t_{h}}^{t_{h1}}\dot{w^{T}}(s)R_{1}\dot{w}(s)ds -\int_{t_{h}}^{t}\dot{w^{T}}(s)R_{2}\dot{w}(s)ds$
이고, 이의 첫 번째와 두 번째 항에 보조정리 2의 (ii)와 (i)를 각각 적용하면 다음이 된다.
따라서 (17)과 (18)를 이용하면 다음을 얻는다.
$\dot{v_{2}}(x_{t})\le\xi_{t2}^{T}\left\{\Omega_{21}(d,\: \dot{d})+\Omega_{22}(d)\right\}\xi_{t2},\:$
여기서 $\Omega_{21}(d,\: \dot{d)}$는 수식 (13)에 있고, $\Omega_{22}(d)$는 다음이다.
$\Omega_{22}(d)=(d-h_{1})· F_{15a}^{T}L_{7}R_{1}^{-1}L_{7}^{T}F_{15a}
+\dfrac{1}{3}(d-h_{1})· F_{15b}^{T}L_{8}R_{1}^{-1}L_{8}^{T}F_{15b}$
$+(h - d)· F_{16a}^{T}L_{5}R_{1}^{-1}L_{5}^{T}F_{16a}$$+\dfrac{1}{3}(h - d)· F_{16b}^{T}L_{6}R_{1}^{-1}L_{6}^{T})F_{16b}.$
그리고, $\Omega_{21}(d,\: \dot{d})+\Omega_{22}(d)$는 $\dot{d}$와 $d$에 대하여 affine 함수 이다.
따라서 Schur complement 성질을 이용하면 다음이 된다.
$\Omega_{21}(d,\: \dot{d})+\Omega_{22}(d)< 0 ,\: \forall d\in[h_{1},\: h],\: \forall\dot{d}\in[\mu_{1},\:
\mu_{2}]$
$\Leftrightarrow\begin{cases}
\left[\Omega_{21}(h_{1,\: }\dot{d})+\Omega_{22}(h_{1})\right]_{\dot{d}=\mu_{1},\:
\mu_{2}}<0 \Leftrightarrow(11)\\
\left[\Omega_{21}(h,\: \dot{d})+\Omega_{22}(h)\right]_{\dot{d}=\mu_{1},\: \mu_{2}}<0\Leftrightarrow(12).\end{cases}$
끝으로, 이를 종합하면 (11)과(12)를 만족하면 $\dot{v_{2}}(x_{t})<0,\: \forall\xi_{t}neq 0,\: $ 즉 $\forall t\in T_{2}$에 대하여
보조정리 1의 (iii) 번째 조건을 만족한다.
마지막으로 위의 모든 사실을 정리하면, (9)-(12)를 만족하면 보조정리 1를 모두 만족하므로, 보조정리 1에 의하여 시간지연 (2)를 갖는 시간 지연 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 이것으로 증명을 마친다.