1. 서 론

실제 시스템에서 시간지연은 피할 수 없는 요소이고, 이의 존재는 시스템의 성능 저하뿐만 아니라 시스템의 안정성에도 큰 위협 요소로 작용하고 있다. 이러한 이유로 지난 수 세기 동안 많은 연구가 진행되었고 현재도 매우 활발히 연구되고 있다(books^[2][4], survey papers^[8][12]).

이를 효과적으로 다루기 위해 다음과 같이 시간영역에서 기술되는 시간 지연 시스템을 고려하자.

여기서 $x(t)\in{bold R}^{n}$은 상태, $A,\: A_{d}\in{bold R}^{n\times n}$은 시스템 행렬들, $\psi(\theta)$는 초기 상태, 그리고 시간지연 $d(t)$는 시간에 대해 연속이면서, 상수인 $h ,\: \mu_{1},\: \mu_{2}$에 대하여, 다음을 만족한다.

시간지연(2)를 갖는 시스템(1)의 안정성 문제를 다루기 위하여 현재까지도 흔하게 사용되는 방법이 LKF (Lyapunov Krasovskii functional) 방법이다. 이의 방법은 적당한 LKF 후보 함수를 정한 후, 이의 시간 미분이 음이 되게 하는 LMI(linear matrix inequality) 형태의 조건을 여러 부등식과 등식들을 이용하여 구하는 것이다^[1][2][4].

여기서 증강 변수를 포함하는 많은 형태의 LFK 후보 함수 형태가 제시되었고, 또한 Jensen 부등식을 포함한 많은 형태의 적분 부등식들이 제시되었다^[8][12].

최근의 모든 유용한 결과들은 모두 한 개의 LKF를 이용하는 것이었으나, 최근에 Kim^[14]에 의하여 시간지연 $d(t)$를 균일하게 두 개의 영역 $T_{1},\: T_{2}$로 나눈 후, 각각 분할된 영역에서 서로 다르지만, 두 집합의 공통부분에서는 같은 두 개의 LKF $v_{1}(x_{t}),\: t\in T_{1}$와 $v_{2}(x_{t}),\: t\in T_{2}$를 이용하여 개선된 안정성 조건을 제시하였다.

본 논문에서는 최근의 Kim^[14]의 결과를 $N$개의 분할된 영역에서 일반화된 안정성 조건을 제시한다. 그리고 이를 근거로 $N=2$인 경우에 시간지연시스템(1)의 안정성을 보장하는 LMI 조건을 제시한다. 특별히 가중 적분 항에 $\dot{x}(s)$ 이외에 추가로 $\ddot{x}(s)$도 포함하는 LKF가 이용되었다. 끝으로 아는 잘 알려진 수치 예제를 통하여 기존의 결과보다 개선된 결과임을 보인다.

2. 다중 LKF에 기초한 안정성

기존의 한 개의 LKF를 이용하여 안정도 문제를 해결하는 것에서, Kim^[14]에 의하여 시간지연을 이의 크기에 따라 같은 크기의 두 개의 영역으로 나누고, 각 영역에서 서로 다르지만 공통 영역에서는 같은 LKF를 이용하여 개선된 안정성 결과를 제시하였다.

먼저, 우리는 이를 일반화한 다중 LFK를 이용한 시스템의 안정성에 관한 결과를 제시한다. 이를 위하여 연속인 시간 지연을 $N$개의 영역으로 나누자.

여기서 $0 =\gamma_{0}<\gamma_{1}<\cdots <\gamma_{N}=1$이고, 다음을 만족한다.

다음으로는 공통인 영역에서는 같은 값을 갖는 각각 영역에서 LKF 후보 함수들을 정의하자.

다음의 보조정리 1은 (3)으로 나뉜 $N$ 개의 영역에서 (5)의 성질을 갖는 LKF들을 갖는 경우 안정성이 보장되는 결과이다.

보조정리 1: 수식 (3)으로 정의된 각각의 집합 $T_{i}$에서 정의된 LKF 후보함수 $v_{i}(x_{t})$가 다음을 만족하고

다음과 같이 $v(x_{t})$를 정의하면

$v(x_{t})= v_{i}(x_{t}),\: {mrm}{if}{t}\in{T}_{{i}},\: {i}=1,\: 2,\: \cdots ,\:{N}$

이의 극한은 0이다, 즉 $\lim_{t\to \infty}v(x_{t})\to 0$이다,

증명: 먼저 (i)에 의하여, $v_{i}(x_{t})$는 $t\in T_{i}$에서 LFK 함수의 필요조건을 충족한다. 다음으로 시간지연이 연속이고, 수식 (6)의 시간지연 분할과 조건 (ii)에 의하여 $v(x_{t})$연속이다. 마지막으로 조건 (iii)에 의하여 $v(x_{t})$의 시간미분이 모든 시간 $\forall t\ge 0$에 대하여 항상 음이다. 따라서 $v(x_{t})$는 양이면서 이의 시간이 항상 음이므로 $\lim_{t\to \infty}v(x_{t})\to 0$이다, 이것으로 증명을 마친다.

다음의 보조정리 2는 잘 알려진 적분 부등식으로, 다음의 결과 유도에서 LM 형태의 결과를 얻는 데 핵심적으로 사용되는 보조정리이다.

보조정리 2^[3][11]: 실수 $a<$, 함수 $w\in{bold R}^{m}$, 양확정대칭행렬 0<$R\in{bold R}^{m\times m}$, 그리고 일반행렬 $L_{1},\: L_{2}\in{bold R}^{m\times m}$에 대하여 다음의 부등식이 성립한다.

$(i)-\int_{a}^{b}\dot{w}^{T}(s)R\dot{w}(s)ds\le -\dfrac{1}{b-a}\left\{\phi_{1}^{T}R\phi_{1}+3\phi_{2}^{T}R\phi_{2}\right\},\:$

$(ii)-\int_{a}^{b}\dot{w}^{T}(s)R\dot{w}(s)ds\le\phi_{1}^{T}\left\{2L_{1}+(b-a)L_{1}R^{-1}L_{1}^{T}\right\}\phi_{1}\\ +\phi_{2}^{T}\left\{2L_{2}+\dfrac{1}{3}(b-a)L_{2}R^{-1}L_{2}^{T}\right\}\phi_{2},\:$

여기서 $\phi_{1}= w(b)- w(a),\: \phi_{2}= w(b)+w(a)-\dfrac{2}{b-a}\int_{a}^{b}w(s)ds$이다.

Remark 1: 위의 보조정리 2에서, 부등식 (ii)는 참고문헌^[11]에 있고, (i)은 (ii)에서 $L_{1}= -\dfrac{1}{b-a}R,\:$$L_{2}= -\dfrac{3}{b-a}R$로 하면 얻을 수 있는 결과이기도 하다. 또한 (i)은 처음 Wirtinger 기반 적분 부등식이라는 이름으로 참고문헌^[3]에 제시되었다.

3. 주요 결과

보조정리 1의 안정성 조건 결과는 시간지연을 $N$개로 나눈 경우의 결과이지만, 복잡성을 피하고자 본 논문에서는 $N=2$인 경우에 한하여 LM 형태의 안정성 결과를 유도한다. 이를 위하여 먼저 변수 $\gamma_{1}\in(0,\: 1)$을 도입하여, 연속시간 지연을 두 개의 연속인 집합으로 분할하고,

각 영역 $T_{1},\: T_{2}$에서 보조정리 1의 (i),(ii),(iii)을 모두 만족하는 다음의 두 함수 $v_{1}(x_{t}),\: v_{2}(x_{t})$를 이용한다.

다음 정리 1은 본 논문의 주요 결과로써, (7)과 같이 시간지연 $d(t)$의 크기에 따라 분할된 두 영역 $T_{1},\: T_{2}$에서 각각 정의된 (8)로 기술되는 두 개의 다중 LKF후보 함수를 이용한 안정성 결과이다.

정리 1: 양확정행렬 $P\in{R}^{7n\times 7n},\:$ $Q_{1},\: Q_{2},\: S_{1},\: S_{2},\: Z_{1},\: Z_{2},\: Z_{3},\: Z_{4},\:$ $R_{1}$,$R_{2}\in{ R}^{2n\times 2n},\:$ 일반행렬 $L_{i}\in{ R}^{2n\times 2n},\: i\in[1,\: 8],\:$ $N_{i}\in$${ R}^{12n\times n}$, $i\in[1,\: 4]$, 그리고 비선형 스칼라 변수 $\gamma_{1}\in(0,\: 1)$에 대하여 다음의 LMI를 만족하면

시간지연 (2)를 갖는 시간 지연 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 여기서

이고, 여기에 사용된 벡터들은 다음이다.

$e_{i}=[0_{n\times(i-1)n}I_{n\times n}0_{n\times(12-i)n}],\: i=1,\: 2,\: \cdots ,\: 12,$

$e_{0}=0· e_{1,\:}\widetilde{e_{2}}=(1-\dot{d})e_{2},\: \widetilde{e_{5}}=(1-\dot{d})e_{5,}$

$A_{c1}=Ae_{1}+A_{d}e_{2},\: A_{c2}= A· A_{c1}+ A_{d}\widetilde{e_{5,\: }}$

$A_{0}= co l\left\{A_{c1},\: A_{c2}\right\},\:$

$E_{0}= co l\left\{e_{1},\: e_{2},\: e_{3},\: e_{4}\right\},\: \widetilde{E_{0}}= co l\left\{A_{c1},\: \widetilde{e_{5}},\: e_{6},\: e_{7}\right\},\: \\ E_{1}= co l\left\{E_{0},\: (h-h_{1})e_{8},\: (h_{1}-d)e_{9,\: }d· e_{10}\right\},\: \\ E_{2}= co l\left\{\widetilde{E_{0}},\: e_{3}- e_{4},\: \widetilde{e_{2}}- e_{3},\: e_{1}-\widetilde{e_{2}}\right\},\:$ $E_{3}= co l\left\{e_{3}. e_{6}\right\},\: E_{4}= co l\left\{e_{4},\: e_{7}\right\},\: E_{5}= co l\left\{e_{2},\: e_{5}\right\},\: E_{6}= co l\left\{e_{3},\: e_{6}\right\},\: \\ E_{7}= co l\left\{e_{1},\: A_{c1}\right\},\: E_{8}=c ol\left\{e_{8},\: \dfrac{1}{(h-h_{1})}(e_{3}-e_{4})\right\},\: \\ E_{9}=co l\left\{e_{3}-e_{4},\: e_{6}-e_{7}\right\},\:$ $E_{10}=c ol\left\{e_{9},\: e_{12}\right\},\: E_{11}=c ol\left\{\widetilde{e_{2}}-e_{3}+\dot{d}e_{9},\: \widetilde{e_{5}}-e_{6}+\dot{d}e_{12}\right\},\:$ $E_{12}=co l\left\{e_{10},\: e_{11}\right\},\: E_{13}=co l\left\{e_{1}-\widetilde{e_{2}}-\dot{d}e_{10},\: A_{c1}- e_{6}-\dot{d}e_{11}\right\},\:$ $\left. E_{14a}=c ol\left\{e_{3}- e_{4},\: e_{6}- e_{7}\right\},\: \\ E_{14b}=c ol\left\{e_{3}+ e_{4}-2 e_{8},\: e_{6}+ e_{7}-\dfrac{2}{h-h_{1}}(e_{3}- e_{4})\right.\right\},\:$ $E_{15a}=c ol\left\{e_{1}- e_{2},\: A_{c1}- e_{5}\right\},\: \\ E_{15b}=c ol\left\{e_{1}+ e_{2}-2 e_{10},\: A_{c1}+ e_{5}- 2 e_{12}\right\},\:$ $E_{16a}=c ol\left\{e_{2}- e_{3},\: e_{5}- e_{6}\right\},\: \\ E_{16b}=c ol\left\{e_{2}+ e_{3}-2 e_{9},\: e_{5}+ e_{6}- 2 e_{11}\right\},\:$ $F_{1}= co l\left\{E_{0},\: (h-d)e_{8},\: (d-h_{1})e_{9,\: }h_{1}· e_{10}\right\},\: \\ F_{2}= co l\left\{\widetilde{E_{0}},\: \widetilde{e_{2}}- e_{4},\: e_{3}-\widetilde{e_{2}},\: e_{1}- e_{3}\right\},\:$ $F_{3}= co l\left\{e_{2}. e_{5}\right\},\: F_{4}= co l\left\{e_{4},\: e_{7}\right\},\: F_{5}= co l\left\{e_{3},\: e_{6}\right\},\: F_{6}= co l\left\{e_{1},\: A_{c1}\right\},\:$ $F_{7}= co l\left\{e_{3},\: e_{6}\right\},\: F_{8}=c ol\left\{e_{8},\: e_{12}\right\},\:$ $F_{9}=co l\left\{\widetilde{e_{2}}- e_{4}+\dot{d}e_{8},\: \widetilde{e_{5}}- e_{7}+\dot{d}e_{12}\right\},\: \\ F_{10}=c ol\left\{e_{9},\: e_{11}\right\},\: F_{11}=c ol\left\{e_{3}-\widetilde{e_{2}}-\dot{d}e_{9},\: e_{6}-\widetilde{e_{5}}-\dot{d}e_{11}\right\},\:$ $F_{12}=co l\left\{e_{10},\: \dfrac{1}{h_{1}}(e_{1}- e_{3})\right\},\: F_{13}=co l\left\{e_{1}- e_{3},\: A_{c1}- e_{6}\right\},\:$ $F_{14a}= co l\left\{e_{1}- e_{3},\: A_{c1}- e_{6}\right\},\: \\F_{14b}= co l\left\{e_{1}+ e_{3}-2 e_{10},\: A_{c1}+ e_{6}-\dfrac{2}{h_{1}}(e_{1}- e_{3})\right\},\:$ $F_{15a}= co l\left\{e_{3}- e_{2},\: e_{6}- e_{5}\right\},\: \\ F_{15b}= co l\left\{e_{3}+ e_{2}- 2 e_{9},\: e_{6}+ e_{5}-2 e_{12}\right\},\:$ $E_{16a}=c ol\left\{e_{2}- e_{4},\: e_{5}- e_{7}\right\},\: \\ E_{16b}=c ol\left\{e_{2}+ e_{4}-2 e_{8},\: e_{5}+ e_{7}- 2 e_{11}\right\}.$

증명: 혼란이 생기지 않는 범위 내에서 편의상 $d(t)$는 $d$로, $\dot{d}(t)$는 $\dot{d}$로 나타내기로 하고, 먼저 여러 스칼라와 벡터들을 정의하자.

$h_{1}=\gamma_{1}h,\: \gamma_{1}\in(0,\: 1),\: t_{d}=t-d(t),\: t_{h}=t-h,\: t_{h1}=t-h_{1,\:}\\ p_{\alpha}^{\beta}(t)=\dfrac{1}{\beta -\alpha}(x(\beta)-x(\alpha)),\: \\ q_{\alpha}^{\beta}(t)=\dfrac{1}{\beta -\alpha}\int_{\alpha}^{\beta}x(s)ds,\: \hat{q}_{\alpha}^{\beta}=(\beta -\alpha)q_{\alpha}^{\beta},\:$ $n_{0}(t)= co l\left\{x(t),\: x(t_{d}),\: x(t_{h1}),\: x(t_{h})\right\},\: \\ n_{1}(t)= co l\left\{\dot{x}(t_{d}),\: \dot{x}(t_{h1}),\: \dot{x}(t_{h})\right\},\: \\ \xi_{t1}=co l\left\{n_{0}(t),\: n_{1}(t),\: q_{t_{h}}^{t_{h1}},\: q_{t_{h1}}^{t_{d}},\: q_{t_{d}}^{t},\: q_{t_{h}}^{t_{h1}},\: p_{t_{h1}}^{t_{d}},\: p_{t_{d}}^{t}\right\},\: \\ \xi_{t2}=co l\left\{n_{0}(t),\: n_{1}(t),\: q_{t_{h}}^{t_{d}},\: q_{t_{d}}^{t_{h1}},\: q_{t_{h1}}^{t},\: p_{t_{h}}^{t_{d}},\: p_{t_{d}}^{t_{h1}},\: p_{t_{h1}}^{t}\right\},\:$ $n_{2}(t)=co l\left\{n_{0}(t),\: \hat{q}_{t_{h}}^{t_{h1}},\: \hat{q}_{t_{h1}}^{t_{d}},\: \hat{q}_{t_{d}}^{t}\right\},\: \\ n_{3}(t)=co l\left\{n_{0}(t),\: \hat{q}_{t_{h}}^{t_{d}},\: \hat{q}_{t_{d}}^{t_{h1}},\: \hat{q}_{t_{h1}}^{t}\right\},\:$ $w(s)= co l\{x(s),\: \dot{x}(s)\}$ $y_{1}(t)= co l\left\{q_{t_{h}}^{t_{h1}},\: p_{t_{h}}^{t_{h1}}\right\},\: y_{2}(t)= co l\left\{q_{t_{h_{1}}}^{t_{d}},\: p_{t_{h1}}^{t_{d}}\right\},\: y_{3}(t)= co l\left\{q_{t_{d}}^{t},\: p_{t_{d}}^{t}\right\},\:$ $y_{4}(t)= co l\left\{q_{t_{h}}^{t_{d}},\: p_{t_{h}}^{t_{d}}\right\},\: y_{5}(t)= co l\left\{q_{t_{d}}^{t_{h_{1}}},\: p_{t_{d}}^{t_{h_{1}}}\right\},\: y_{6}(t)= co l\left\{q_{t_{h_{1}}}^{t},\: p_{t_{h_{1}}}^{t}\right\}.$

다음으로 위에 정의된 스칼라, 벡터를 이용하여 여러 2차 함수, 2차 함수의 적분, 가중치를 갖는 2차 함수의 적분들을 다음과 같이 정의하자.

$v_{0}(x_{t})=(h-h_{1})\int_{t_{h1}}^{t}\dot{w^{T}}(s)R_{1}\dot{w}(s)ds$

$+\int_{t_{h}}^{t_{h1}}(h-t+s)\dot{w}^{T}(s)R_{1}\dot{w}(s)(s)$

$+\int_{t_{h1}}^{t}(h_{1}- t +s)\dot{w}^{T}(s)R_{2}w(s)ds ,\:$

$\begin{cases} v_{11}(x_{t})= n_{2}^{T}(t)P n_{2}(t),\: \\ v_{12}(x_{t})=\int_{t_{h}}^{t_{h1}}w^{T}(s)Q_{1}w(s)ds +\int_{t_{h1}}^{t_{d}}w^{T}(s)S_{1}w_{2}(s)ds \\ +\int_{t_{d}}^{t}w^{T}(s)Q_{2}w(s)ds ,\: \\ v_{13}(x_{t})=(h-h_{1})y_{1}^{T}(t)Z_{1}y_{1}(t)+(h_{1}- d)y_{2}^{T}(t)Z_{3}y_{2}(t)\\ +d· y_{3}^{T}(t)Z_{2}y_{3}(t),\:\end{cases}$

$\begin{cases} v_{21}(x_{t})= n_{3}^{T}(t)P n_{3}(t),\: \\ v_{22}(x_{t})=\int_{t_{h}}^{t_{d}}w^{T}(s)Q_{1}w(s)ds +\int_{t_{d}}^{t_{h1}}w^{T}(s)S_{2}w(s)ds\\ +\int_{t_{h1}}^{t}w^{T}(s)Q_{2}w(s)ds ,\: \\ v_{23}(x_{t})=(h-d)y_{4}^{T}(t)Z_{1}y_{4}(t)+(d-h_{1})y_{5}^{T}(t)Z_{4}y_{5}(t)\\ +h_{1}· y_{6}^{T}(t)Z_{2}y_{6}(t),\:\end{cases}$

다음은 이들을 이용하여 다음과 같이 영역 $T_{1},\: T_{2}$에서 LKF 후보함수 $v_{1}(x_{t})$와 $v_{2}(x_{t})$를 각각 정의하자.

그러면 다음이 성립한다.

$(a)v_{1}(x_{t})\ge\varepsilon_{1}|| x(t)||^{2},\: v_{2}(x_{t})\ge\varepsilon_{2}|| x(t)||^{2},\: \exists s\varepsilon_{1},\: \varepsilon_{2}>0,\: \\ (b)v_{11}(x_{t})= v_{21}(x_{t}),\: v_{12}(x_{t})= v_{22}(x_{t}),\: v_{13}(x_{t})= v_{23}(x_{t})\\ \Rightarrow v_{1}(x_{t})= v_{2}(x_{t}),\: \forall t\in T_{1}\cap T_{2,\: }$

따라서 $v_{1}(x_{t}),\: v_{2}(x_{t})$는 영역 $T_{1},\: T_{2}$에서 보조정리 1의 (i), (ii) 조건을 만족함을 알 수 있다. 따라서 안정성은 보조정리 1의 (iii) 조건만 만족하면 된다. 이를 보이기 위하여 case 1: $t\in T_{1}$인 경우와 cases 2: $t\in T_{2}$인 경우를 나누어 이를 보인다.

Case 1: $t\in T_{1}\Leftrightarrow 0\le d(t)\le h_{1}$인 경우

이 경우에는 다음의 관계식을 고려하여

$\begin{cases} \int_{t_{h1}}^{t}x(s)ds =\left\{(h_{1}-d)e_{6}+ d e_{7}\right\}\xi_{t1},\: \\ e_{11}\xi_{t1}=\dfrac{1}{d}(e_{1}- e_{2})\xi_{t1},\: \\ e_{12}\xi_{t1}=\dfrac{1}{h_{1}- d}(e2- e_{3})\xi_{t1}\dfrac{,\: \\ d}{dt}\left\{\dfrac{f(t)}{a(t)}\right\}=\dfrac{1}{a(t)}\left\{\dot{f}(t)-\dot{a}(t)\dfrac{f(t)}{a(t)}\right\},\: \end{cases}$

LKF 후보함수 $v_{1}(x_{t})$의 시스템 (1)의 궤적에 따른 미분을 구하면 다음을 얻는다.

여기서 $J_{1}= -\int_{t_{h}}^{t_{h1}}\dot{w^{T}}(s)R_{1}\dot{w}(s)ds -\int_{t_{h}}^{t}\dot{w^{T}}(s)R_{2}\dot{w}(s)ds ds$ 이고, 이의 첫 번째와 두 번째 항에 보조정리 2의 (i)과 (ii)를 각각 적용하면 다음이 된다.

따라서 (15)와 (16)를 이용하면 다음을 얻는다.

$\dot{v_{1}}(x_{t})\le\xi_{t1}^{T}\left\{\Omega_{11}(d,\: \dot{d})+\Omega_{12}(d)\right\}\xi_{t1}$여기서 $\Omega_{11}(d,\: \dot{d)}$는 수식 (13)에 있고, $\Omega_{12}(d)$는 다음이다.

$\Omega_{12}(d)=$$d· E_{15a}^{T}L_{3}R_{2}^{-1}L_{3}^{T}E_{15a}$$+\dfrac{d}{3}· E_{15b}^{T}L_{4}R_{2}^{-1}L_{4}^{T}E_{15b}$

$+(h_{1}- d)· E_{16a}^{T}L_{1}R_{2}^{-1}L_{1}^{T}E_{16a}$$+\dfrac{1}{3}(h_{1}- d)· E_{16b}^{T}L_{2}R_{2}^{-1}L_{2}^{T}E_{16b}$

그리고 $\Omega_{11}(d,\: \dot{d})+\Omega_{12}(d)$는 $\dot{d}$와 $d$에 대하여 affine함수이다. 따라서 Schur complement^[1] 성질을 이용하면 다음이 된다.

$\Omega_{11}(d,\: \dot{d})+\Omega_{12}(d)< 0 ,\: \forall d\in[0,\: h],\: \forall\dot{d}\in[\mu_{1},\: \mu_{2}]$

$\Leftrightarrow\begin{cases} \left[\Omega_{11}(0,\: \dot{d})+\Omega_{12}(0)\right]_{\dot{d}=\mu_{1},\: \mu_{2}}<0 \Leftrightarrow(9)\\ \left[\Omega_{11}(h_{1},\: \dot{d})+\Omega_{12}(h_{1})\right]_{\dot{d}=\mu_{1},\: \mu_{2}}<0\Leftrightarrow(10).\end{cases}$

끝으로, 이를 종합하면 (9)과 (10) 만족하면 $\dot{v_{1}}(x_{t})<0,\:$$\forall\xi_{t}neq 0,\:$ 즉 $\forall t\in T_{1}$에 대하여 보조정리 1의 (iii) 번째 조건을 만족한다.

Case 2: $t\in T_{2}\Leftrightarrow h_{1}\le d(t)\le h$인 경우

이 경우도 다음의 관계식을 이용하여

$\begin{cases} \int_{t_{h}}^{t_{h1}}x(s)ds=\left\{(h -d)e_{5}+(d -h_{1})e_{6}\right\}\xi_{t2},\: \\ e_{11}\xi_{t2}=\dfrac{1}{d-h_{1}}(e_{3}- e_{2})\xi_{t2},\: \\ e_{12}\xi_{t2}=\dfrac{1}{h - d}(e_{3}- e_{4})\xi_{t2}\dfrac{,\: \\ d}{dt}\left\{\dfrac{f(t)}{a(t)}\right\}=\dfrac{1}{a(t)}\left\{\dot{f}(t)-\dot{a}(t)\dfrac{f(t)}{a(t)}\right\},\:\end{cases}$

LKF 후보함수 $v_{2}(x_{t})$의 시스템(1)의 궤적에 따른 미분을 구하면 다음을 얻는다.

여기서 $J_{1}= -\int_{t_{h}}^{t_{h1}}\dot{w^{T}}(s)R_{1}\dot{w}(s)ds -\int_{t_{h}}^{t}\dot{w^{T}}(s)R_{2}\dot{w}(s)ds$ 이고, 이의 첫 번째와 두 번째 항에 보조정리 2의 (ii)와 (i)를 각각 적용하면 다음이 된다.

따라서 (17)과 (18)를 이용하면 다음을 얻는다.

$\dot{v_{2}}(x_{t})\le\xi_{t2}^{T}\left\{\Omega_{21}(d,\: \dot{d})+\Omega_{22}(d)\right\}\xi_{t2},\:$

여기서 $\Omega_{21}(d,\: \dot{d)}$는 수식 (13)에 있고, $\Omega_{22}(d)$는 다음이다.

$\Omega_{22}(d)=(d-h_{1})· F_{15a}^{T}L_{7}R_{1}^{-1}L_{7}^{T}F_{15a} +\dfrac{1}{3}(d-h_{1})· F_{15b}^{T}L_{8}R_{1}^{-1}L_{8}^{T}F_{15b}$

$+(h - d)· F_{16a}^{T}L_{5}R_{1}^{-1}L_{5}^{T}F_{16a}$$+\dfrac{1}{3}(h - d)· F_{16b}^{T}L_{6}R_{1}^{-1}L_{6}^{T})F_{16b}.$

그리고, $\Omega_{21}(d,\: \dot{d})+\Omega_{22}(d)$는 $\dot{d}$와 $d$에 대하여 affine 함수 이다. 따라서 Schur complement 성질을 이용하면 다음이 된다.

$\Omega_{21}(d,\: \dot{d})+\Omega_{22}(d)< 0 ,\: \forall d\in[h_{1},\: h],\: \forall\dot{d}\in[\mu_{1},\: \mu_{2}]$

$\Leftrightarrow\begin{cases} \left[\Omega_{21}(h_{1,\: }\dot{d})+\Omega_{22}(h_{1})\right]_{\dot{d}=\mu_{1},\: \mu_{2}}<0 \Leftrightarrow(11)\\ \left[\Omega_{21}(h,\: \dot{d})+\Omega_{22}(h)\right]_{\dot{d}=\mu_{1},\: \mu_{2}}<0\Leftrightarrow(12).\end{cases}$

끝으로, 이를 종합하면 (11)과(12)를 만족하면 $\dot{v_{2}}(x_{t})<0,\: \forall\xi_{t}neq 0,\:$ 즉 $\forall t\in T_{2}$에 대하여 보조정리 1의 (iii) 번째 조건을 만족한다.

마지막으로 위의 모든 사실을 정리하면, (9)-(12)를 만족하면 보조정리 1를 모두 만족하므로, 보조정리 1에 의하여 시간지연 (2)를 갖는 시간 지연 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 이것으로 증명을 마친다.

4. 수치 예제

다음은 기존의 대표적인 예제 두 개를 통하여, 제시된 결과의 유용성을 보인다.

예제 1. 다음으로 기술되는 시간지연 (2)를 갖는 시간지연 선형 시스템을 고려하자.

$\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}-2&&0\\0&&-0.9\end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}-1&&0\\-1&&-1\end{bmatrix}x(t-d(t)).$

이 시스템의 경우, 시간 지연이 시불변일 때(즉, $\dot{d}(t)= 0$, $\forall t$) 해석적으로 구하여진 안정성이 보장되는 최대 시간 지연은 $h^{analytical}=6.1725$이다^[2]. 기존의 결과와의 비교를 위하여, 정리1의 결과를 이용하여 얻어진 안정성이 보장되는 시간지연의 MAUB(Maximum allowable upper bound)를 여러 경우의 시간지연 미분의 범위에 따라 정리한 것이 다음 표 1이다. 정리 1에서서 $\gamma_{1}$은 비선형 변수이기에 이 값의 크기에 따라 MAUB가 다르게 되는데 표 1에서는 두 가지 경우, 즉 $\gamma_{1}= 0.95$과 $\gamma_{1}= 0.99$, 에 한하여 제시되었고, 여러 가지 $\gamma_{1}$에 따른 결과는 그림 1에 있다. 그리고 표 1의 NOVD는 각각의 경우에 LMI에 포함된 개수이고, 일반적으로 이 값이 크면 시뮬레이션 시간이 길어지는 것이 일반적이다.

또한, 참고문헌^[13]의 결과는 시간 지연의 미분 $(\dot{d}(t))$를 두 영역으로 나눈 후, 이의 영역에 따라 부등식에 사용된 결정변수를 달리한 경우로 이의 경우는 표 1에서 보듯이 MAUB는 좋아지나, NOVD는 매우 증가함을 알 수 있다.

예제 2. 다음으로 기술되는 시간 지연 (2)를 갖는 시간지연 선형 시스템을 고려하자.

$\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}0&&1\\-1&&-2\end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}0&&0\\-1&&1\end{bmatrix}x(t-d(t)).$

이 경우는 시간 지연이 시불변일 때 해석적으로 구하여진 안정성이 보장되는 최대 시간 지연은 $h^{analytical}=\infty$이다^[2]. 위의 예제 1과 같이 여러 가지 경우의 $\mu_{2}= -\mu_{1}$에 대하여 기존의 안정성 결과와 본 논문의 MAUB 결과를 비교하기 위해 정리된 것이 다음 표 2이다. 표 2에서 사용된 변수는 $\gamma_{1}= 0.95$이다.

위의 표 1과 표 2에서 보여 준 바와 같이 새로이 제시된 정리1의 결과에 따른 시간 지연 시스템 안정성을 보장하는 시간지연의 MAUB에 대한 개선이 있음을 알 수 있다.

끝으로, 위의 표 1에서 볼 수 있듯이, 최대 허용 시간 지연은 $\gamma_{1}$에 따라 이의 크기가 다르다. 이를 보여 주는 것이 다음 그림 1이다. 그림 1은 예제 1에서 $\mu_{2}= -\mu_{1}= 0.1$ 경우, $\gamma_{1}$의 변화에 따른 최대 허용 시간 지연의 변화를 보여 준다. 이는 주어진 $\mu_{2}$에서 최선의 $\gamma_{1}$은 모두 다름을 의미한다.

5. 결 론

기존의 시간 지연 시스템의 안정성에 많이 사용된 LKF 방식은, 시간 지연의 크기에 무관한 하나의 LKF를 선정하여 이의 시간 미분이 음이 되게 하는 조건을 LMI 형태로 제시하는 것이다. 이를 극복한 것이 Kim^[14]이 제시한 시간 지연 크기에 따른 두 개의 LKF를 사용한 방법이다. 본 논문은 이를 개선한 것으로 시간 지연에 따른 영역을 하나의 변수 $\gamma_{1}\in(0,\: 1)$을 도입하여 분할하고, LKF의 형태를 나뉜 구간에 따라 다르게 선정하였다. 그리고 나뉜 구간에 서로 다른 증강 변수를 포함한 함수 (즉, $\xi_{t1}$과 $\xi_{t2}$)사용하여 LKF의 시간 미분이 음이 되게 하는 조건을 LMI로 표시하였다. 끝으로 새로이 제시된 결과는 두 개의 잘 알려진 예제를 통하여 이의 우수함을 보였다.