2. 다중 LKF에 기초한 안정성
기존의 한 개의 LKF를 이용하여 안정도 문제를 해결하는 것에서, Kim[14]에 의하여 시간지연을 이의 크기에 따라 같은 크기의 두 개의 영역으로 나누고, 각 영역에서 서로 다르지만 공통 영역에서는 같은 LKF를 이용하여 개선된
안정성 결과를 제시하였다.
먼저, 우리는 이를 일반화한 다중 LFK를 이용한 시스템의 안정성에 관한 결과를 제시한다. 이를 위하여 연속인 시간 지연을 N개의 영역으로 나누자.
여기서 0=γ0<γ1<⋯<γN=1이고, 다음을 만족한다.
다음으로는 공통인 영역에서는 같은 값을 갖는 각각 영역에서 LKF 후보 함수들을 정의하자.
다음의 보조정리 1은 (3)으로 나뉜 N 개의 영역에서 (5)의 성질을 갖는 LKF들을 갖는 경우 안정성이 보장되는 결과이다.
보조정리 1: 수식 (3)으로 정의된 각각의 집합 Ti에서 정의된 LKF 후보함수 vi(xt)가 다음을 만족하고
다음과 같이 v(xt)를 정의하면
v(xt)=vi(xt),mrmift∈Ti,i=1,2,⋯,N
이의 극한은 0이다, 즉 limt→∞v(xt)→0이다,
증명: 먼저 (i)에 의하여, vi(xt)는 t∈Ti에서 LFK 함수의 필요조건을 충족한다. 다음으로 시간지연이
연속이고, 수식 (6)의 시간지연 분할과 조건 (ii)에 의하여 v(xt)연속이다. 마지막으로 조건 (iii)에 의하여 v(xt)의 시간미분이 모든 시간
∀t≥0에 대하여 항상 음이다. 따라서 v(xt)는 양이면서 이의 시간이 항상 음이므로 limt→∞v(xt)→0이다, 이것으로 증명을 마친다.
다음의 보조정리 2는 잘 알려진 적분 부등식으로, 다음의 결과 유도에서 LM 형태의 결과를 얻는 데 핵심적으로 사용되는 보조정리이다.
보조정리 2[3][11]: 실수 a<, 함수 w∈boldRm, 양확정대칭행렬 0<R∈boldRm×m, 그리고 일반행렬 L1,L2∈boldRm×m에 대하여 다음의 부등식이 성립한다.
(i)−∫ba˙wT(s)R˙w(s)ds≤−1b−a{ϕT1Rϕ1+3ϕT2Rϕ2},
(ii)−∫ba˙wT(s)R˙w(s)ds≤ϕT1{2L1+(b−a)L1R−1LT1}ϕ1+ϕT2{2L2+13(b−a)L2R−1LT2}ϕ2,
여기서 ϕ1=w(b)−w(a),ϕ2=w(b)+w(a)−2b−a∫baw(s)ds이다.
Remark 1: 위의 보조정리 2에서, 부등식 (ii)는 참고문헌[11]에 있고, (i)은 (ii)에서 L1=−1b−aR,L2=−3b−aR로 하면 얻을 수 있는
결과이기도 하다. 또한 (i)은 처음 Wirtinger 기반 적분 부등식이라는 이름으로 참고문헌[3]에 제시되었다.
3. 주요 결과
보조정리 1의 안정성 조건 결과는 시간지연을 N개로 나눈 경우의 결과이지만, 복잡성을 피하고자 본 논문에서는 N=2인 경우에 한하여 LM 형태의
안정성 결과를 유도한다. 이를 위하여 먼저 변수 γ1∈(0,1)을 도입하여, 연속시간 지연을 두 개의 연속인 집합으로 분할하고,
각 영역 T1,T2에서 보조정리 1의 (i),(ii),(iii)을 모두 만족하는 다음의 두 함수 v1(xt),v2(xt)를 이용한다.
다음 정리 1은 본 논문의 주요 결과로써, (7)과 같이 시간지연 d(t)의 크기에 따라 분할된 두 영역 T1,T2에서 각각 정의된 (8)로 기술되는 두 개의 다중 LKF후보 함수를 이용한 안정성 결과이다.
정리 1: 양확정행렬 P∈R7n×7n, Q1,Q2,S1,S2,Z1,Z2,Z3,Z4, R1,R2∈R2n×2n, 일반행렬 Li∈R2n×2n,i∈[1,8], Ni∈R12n×n, i∈[1,4],
그리고 비선형 스칼라 변수 γ1∈(0,1)에 대하여 다음의 LMI를 만족하면
시간지연 (2)를 갖는 시간 지연 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 여기서
이고, 여기에 사용된 벡터들은 다음이다.
ei=[0n×(i−1)nIn×n0n×(12−i)n],i=1,2,⋯,12,
e0=0·e1,~e2=(1−˙d)e2,~e5=(1−˙d)e5,
Ac1=Ae1+Ade2,Ac2=A·Ac1+Ad~e5,
A0=col{Ac1,Ac2},
E0=col{e1,e2,e3,e4},~E0=col{Ac1,~e5,e6,e7},E1=col{E0,(h−h1)e8,(h1−d)e9,d·e10},E2=col{~E0,e3−e4,~e2−e3,e1−~e2},
E3=col{e3.e6},E4=col{e4,e7},E5=col{e2,e5},E6=col{e3,e6},E7=col{e1,Ac1},E8=col{e8,1(h−h1)(e3−e4)},E9=col{e3−e4,e6−e7},
E10=col{e9,e12},E11=col{~e2−e3+˙de9,~e5−e6+˙de12},
E12=col{e10,e11},E13=col{e1−~e2−˙de10,Ac1−e6−˙de11},
E14a=col{e3−e4,e6−e7},E14b=col{e3+e4−2e8,e6+e7−2h−h1(e3−e4)},
E15a=col{e1−e2,Ac1−e5},E15b=col{e1+e2−2e10,Ac1+e5−2e12},
E16a=col{e2−e3,e5−e6},E16b=col{e2+e3−2e9,e5+e6−2e11},
F1=col{E0,(h−d)e8,(d−h1)e9,h1·e10},F2=col{~E0,~e2−e4,e3−~e2,e1−e3},
F3=col{e2.e5},F4=col{e4,e7},F5=col{e3,e6},F6=col{e1,Ac1},
F7=col{e3,e6},F8=col{e8,e12},
F9=col{~e2−e4+˙de8,~e5−e7+˙de12},F10=col{e9,e11},F11=col{e3−~e2−˙de9,e6−~e5−˙de11},
F12=col{e10,1h1(e1−e3)},F13=col{e1−e3,Ac1−e6},
F14a=col{e1−e3,Ac1−e6},F14b=col{e1+e3−2e10,Ac1+e6−2h1(e1−e3)},
F15a=col{e3−e2,e6−e5},F15b=col{e3+e2−2e9,e6+e5−2e12},
E16a=col{e2−e4,e5−e7},E16b=col{e2+e4−2e8,e5+e7−2e11}.
증명: 혼란이 생기지 않는 범위 내에서 편의상 d(t)는 d로, ˙d(t)는 ˙d로 나타내기로 하고, 먼저 여러
스칼라와 벡터들을 정의하자.
h1=γ1h,γ1∈(0,1),td=t−d(t),th=t−h,th1=t−h1,pβα(t)=1β−α(x(β)−x(α)),qβα(t)=1β−α∫βαx(s)ds,ˆqβα=(β−α)qβα,
n0(t)=col{x(t),x(td),x(th1),x(th)},n1(t)=col{˙x(td),˙x(th1),˙x(th)},ξt1=col{n0(t),n1(t),qth1th,qtdth1,qttd,qth1th,ptdth1,pttd},ξt2=col{n0(t),n1(t),qtdth,qth1td,qtth1,ptdth,pth1td,ptth1},
n2(t)=col{n0(t),ˆqth1th,ˆqtdth1,ˆqttd},n3(t)=col{n0(t),ˆqtdth,ˆqth1td,ˆqtth1},
w(s)=col{x(s),˙x(s)}
y1(t)=col{qth1th,pth1th},y2(t)=col{qtdth1,ptdth1},y3(t)=col{qttd,pttd},
y4(t)=col{qtdth,ptdth},y5(t)=col{qth1td,pth1td},y6(t)=col{qtth1,ptth1}.
다음으로 위에 정의된 스칼라, 벡터를 이용하여 여러 2차 함수, 2차 함수의 적분, 가중치를 갖는 2차 함수의 적분들을 다음과 같이 정의하자.
v0(xt)=(h−h1)∫tth1˙wT(s)R1˙w(s)ds
+∫th1th(h−t+s)˙wT(s)R1˙w(s)(s)
+∫tth1(h1−t+s)˙wT(s)R2w(s)ds,
{v11(xt)=nT2(t)Pn2(t),v12(xt)=∫th1thwT(s)Q1w(s)ds+∫tdth1wT(s)S1w2(s)ds+∫ttdwT(s)Q2w(s)ds,v13(xt)=(h−h1)yT1(t)Z1y1(t)+(h1−d)yT2(t)Z3y2(t)+d·yT3(t)Z2y3(t),
{v21(xt)=nT3(t)Pn3(t),v22(xt)=∫tdthwT(s)Q1w(s)ds+∫th1tdwT(s)S2w(s)ds+∫tth1wT(s)Q2w(s)ds,v23(xt)=(h−d)yT4(t)Z1y4(t)+(d−h1)yT5(t)Z4y5(t)+h1·yT6(t)Z2y6(t),
다음은 이들을 이용하여 다음과 같이 영역 T1,T2에서 LKF 후보함수 v1(xt)와 v2(xt)를
각각 정의하자.
그러면 다음이 성립한다.
(a)v1(xt)≥ε1||x(t)||2,v2(xt)≥ε2||x(t)||2,∃sε1,ε2>0,(b)v11(xt)=v21(xt),v12(xt)=v22(xt),v13(xt)=v23(xt)⇒v1(xt)=v2(xt),∀t∈T1∩T2,
따라서 v1(xt),v2(xt)는 영역 T1,T2에서 보조정리 1의 (i), (ii) 조건을
만족함을 알 수 있다. 따라서 안정성은 보조정리 1의 (iii) 조건만 만족하면 된다. 이를 보이기 위하여 case 1: t∈T1인
경우와 cases 2: t∈T2인 경우를 나누어 이를 보인다.
Case 1: t∈T1⇔0≤d(t)≤h1인 경우
이 경우에는 다음의 관계식을 고려하여
{∫tth1x(s)ds={(h1−d)e6+de7}ξt1,e11ξt1=1d(e1−e2)ξt1,e12ξt1=1h1−d(e2−e3)ξt1,ddt{f(t)a(t)}=1a(t){˙f(t)−˙a(t)f(t)a(t)},
LKF 후보함수 v1(xt)의 시스템 (1)의 궤적에 따른 미분을 구하면 다음을 얻는다.
여기서 J1=−∫th1th˙wT(s)R1˙w(s)ds−∫tth˙wT(s)R2˙w(s)dsds 이고, 이의 첫 번째와 두 번째 항에 보조정리 2의 (i)과 (ii)를 각각 적용하면 다음이 된다.
따라서 (15)와 (16)를 이용하면 다음을 얻는다.
˙v1(xt)≤ξTt1{Ω11(d,˙d)+Ω12(d)}ξt1여기서
Ω11(d,˙d)는 수식 (13)에 있고, Ω12(d)는 다음이다.
Ω12(d)=d·ET15aL3R−12LT3E15a+d3·ET15bL4R−12LT4E15b
+(h1−d)·ET16aL1R−12LT1E16a+13(h1−d)·ET16bL2R−12LT2E16b
그리고 Ω11(d,˙d)+Ω12(d)는 ˙d와 d에 대하여 affine함수이다. 따라서
Schur complement[1] 성질을 이용하면 다음이 된다.
Ω11(d,˙d)+Ω12(d)<0,∀d∈[0,h],∀˙d∈[μ1,μ2]
⇔{[Ω11(0,˙d)+Ω12(0)]˙d=μ1,μ2<0⇔(9)[Ω11(h1,˙d)+Ω12(h1)]˙d=μ1,μ2<0⇔(10).
끝으로, 이를 종합하면 (9)과 (10) 만족하면 ˙v1(xt)<0,∀ξtneq0, 즉 ∀t∈T1에
대하여 보조정리 1의 (iii) 번째 조건을 만족한다.
Case 2: t∈T2⇔h1≤d(t)≤h인 경우
이 경우도 다음의 관계식을 이용하여
{∫th1thx(s)ds={(h−d)e5+(d−h1)e6}ξt2,e11ξt2=1d−h1(e3−e2)ξt2,e12ξt2=1h−d(e3−e4)ξt2,ddt{f(t)a(t)}=1a(t){˙f(t)−˙a(t)f(t)a(t)},
LKF 후보함수 v2(xt)의 시스템(1)의 궤적에 따른 미분을 구하면 다음을 얻는다.
여기서 J1=−∫th1th˙wT(s)R1˙w(s)ds−∫tth˙wT(s)R2˙w(s)ds
이고, 이의 첫 번째와 두 번째 항에 보조정리 2의 (ii)와 (i)를 각각 적용하면 다음이 된다.
따라서 (17)과 (18)를 이용하면 다음을 얻는다.
˙v2(xt)≤ξTt2{Ω21(d,˙d)+Ω22(d)}ξt2,
여기서 Ω21(d,˙d)는 수식 (13)에 있고, Ω22(d)는 다음이다.
Ω22(d)=(d−h1)·FT15aL7R−11LT7F15a+13(d−h1)·FT15bL8R−11LT8F15b
+(h−d)·FT16aL5R−11LT5F16a+13(h−d)·FT16bL6R−11LT6)F16b.
그리고, Ω21(d,˙d)+Ω22(d)는 ˙d와 d에 대하여 affine 함수 이다.
따라서 Schur complement 성질을 이용하면 다음이 된다.
Ω21(d,˙d)+Ω22(d)<0,∀d∈[h1,h],∀˙d∈[μ1,μ2]
⇔{[Ω21(h1,˙d)+Ω22(h1)]˙d=μ1,μ2<0⇔(11)[Ω21(h,˙d)+Ω22(h)]˙d=μ1,μ2<0⇔(12).
끝으로, 이를 종합하면 (11)과(12)를 만족하면 ˙v2(xt)<0,∀ξtneq0, 즉 ∀t∈T2에 대하여
보조정리 1의 (iii) 번째 조건을 만족한다.
마지막으로 위의 모든 사실을 정리하면, (9)-(12)를 만족하면 보조정리 1를 모두 만족하므로, 보조정리 1에 의하여 시간지연 (2)를 갖는 시간 지연 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 이것으로 증명을 마친다.