1. 서 론

양방향 전력변환기는 컨버터의 입력과 출력의 전력을 양방향성으로 공급 혹은 소비하는 특성을 가진 전력변환장치로써 현대 에너지 변환 시스템에서 중요한 역할을 하고 있다. 특히 전기차, 신재생에너지, 에너지저장장치(Energy storage system, ESS) 등의 응용 분야에서 양방향 전력제어 능력이 요구됨에 따라 다양한 연구가 수행되고 있다. 특히 양방향 전력변환기의 고전력밀도 설계 및 제어 알고리즘 구현은 전체 시스템의 안정성과 성능에 큰 영향을 미친다. 이에 따라 양방향 전력변환기를 통해 양방향 전력 흐름을 효율적으로 관리함으로써 에너지 자원의 활용도를 극대화하고, 지속 가능한 에너지 관리를 실현할 수 있다^[1-3].

양방향 전력변환기의 토폴로지는 양방향 Buck-boost 컨버터, CLLC(Capacitor–inductor–inductor–capacitor) 공진형 컨버터, Dual active bridge (DAB) 컨버터 등이 있다. 이 중 DAB 컨버터는 두 개의 하프 브릿지 회로와 고주파 변압기를 통해 전력 변환을 수행하며, 넓은 전압 범위에서 높은 효율을 가지는 장점을 지닌다. 특히 차세대 전력반도체 기술의 고도화에 따라 DAB 컨버터는 고속 스위칭을 통해 고전력밀도를 가지며 소형화를 통해 전기차 충전 시스템, 분산형 발전 시스템 등 배터리 기반 충방전 어플리케이션에서 널리 활용된다^[4-6].

DAB 컨버터의 구동 및 제어는 일반적으로 1차측과 2차측의 하프 브릿지 스위치들의 위상 차이를 조절하는 방식을 주로 활용하며, Single Phase Shift(SPS)^[7], Extended phase shift(EPS)^[8], Dual phase shift(DPS)^[9] 방식 등이 있다. SPS 방식은 1차측과 2차측 내의 각 레그의 위상차를 180도로 유지하며, 1차측과 2차측 사이의 위상차를 변경한다. EPS 방식은 SPS에서 1차측 내 레그의 위상차를 추가적으로 조절하며, DPS 방식은 1차측과 2차측 내의 각 레그의 위상차를 조절한다. 특히 SPS 방식은 기본적으로 두 개의 브리지 사이의 위상차만을 조절하여 전력을 제어하는 방식으로, 구현이 단순하고 제어 알고리즘의 복잡도가 낮은 장점을 지닌다. 또한 SPS 방식은 다른 방식에 비해 비교적 간단한 수학적 모델링이 가능하며, 이에 따라 제어 이득을 상대적으로 직관적으로 설계할 수 있다.

DAB 컨버터의 제어 이득을 설계하기 위해서는 전달함수가 수학적으로 유도되어야 하며 이를 위해 여러 방법이 제안되었다. H. Qin 등^[10]은 Generalized average modeling 방법을 활용하여 교류 성분인 변압기 전류를 상태변수로 설정하여 전달함수를 유도하는 방법을 제안한다. K. Kang 등^[11]은 Average-value modeling 방법을 활용하여 1차측 하프 브리지의 입력전류를 스위칭 반주기 동안 평균을 취하여 전달함수를 유도하는 방법을 제안한다. K.I.P. Veeramraju 등^[12]은 Extended generalized average modeling 기법을 활용하여 동적 모델링의 정확도를 향상하는 방법을 제안한다.

DAB 컨버터의 전달함수 모델링과 관련된 연구는 다수 존재하지만, DAB 컨버터 내의 파라미터들이 제어 이득 설계에 미치는 영향에 대한 연구는 상대적으로 부족하다. 특히 DAB 컨버터에서 전력 전달 특성은 파라미터에 매우 민감하며, 정격용량, 스위칭 주파수, 변압기 파라미터, 인덕턴스 및 부하 조건에 따라 제어기의 적절한 설계 방법에 대한 연구가 필요하다. 나아가 수학적으로 정의된 컨버터 전달함수의 주극점의 위치를 파라미터 기반의 수식으로 정의할 경우 제어 이득 설계방법을 일반화하여 적용할 수 있다.

본 논문은 DAB 컨버터의 파라미터 기반의 전류 제어기의 이득 설계 방법을 제안한다. Generalized average modeling 기법을 활용하여 DAB 컨버터의 전달함수를 유도하며, 전달함수 다항식의 계수를 DAB 컨버터의 파라미터로 정의할 수 있도록 수식을 전개한다. 또한 전달함수의 근사화를 통해 수식을 간소화하며 이를 통해 전류 제어기 이득을 설계하는 방법을 제안한다. 제안하는 방법은 보드선도 해석을 통해 간소화된 전달함수와 설계한 제어 이득의 타당성을 확인한다. 또한 설계한 제어 이득을 PSIM 시뮬레이션에 적용하여 제어 동특성을 검증한다.

2. DAB 컨버터의 동작 원리

그림 1은 DAB 컨버터 회로도를 나타낸다. 여기서 v_i, v_o, v₁, v₂는 각각 입력전압, 출력전압, 변압기 1차측 및 2차측 전압이다. i_t는 변압기 1차측 전류이며, i_o은 출력전류이다. R_t와 L_t는 변압기 등가 권선저항 및 인덕턴스이며, C_o과 R은 출력 커패시터, 출력 등가저항이다. Q₁부터 Q₄는 1차측 스위치이며, Q₅부터 Q₈은 2차측 스위치이다. 본 논문에서는 모든 스위치의 듀티비를 0.5로 고정하고 1차측과 2차측 사이의 위상차이만 변경하는 SPS modulation 방법을 적용한다. 즉 각 레그의 스위치들은 상보동작하며, Q₁과 Q₄는 동시에 turn on/off 된다. 나머지 스위치들도 동일한 원리로 동작한다.

DAB 컨버터는 1차측과 2차측의 위상차($\phi$) 에 의해 전력이 전달되며, 전달되는 전력(P)의 수식은 아래와 같다^[13].

여기서 d는 phase shift ratio로 식 (2)와 같다. N은 변압기 권선비로 N₂/N₁이다. 1차측 및 2차측 스위칭 함수 s₁(t), s₂(t)를 식 (3), (4)와 같이 정의할 때, v₁ 및 v₂는 식 (5), (6)과 같이 나타낼 수 있다. 이때 T_s 는 스위칭 주기이며 스위칭 주파수 f_s 의 역수이다.

KVL(Kirchhoff's Voltage Law)과 KCL(Kirchhoff's Current Law)을 활용하여 변압기 1차측 전류와 출력 전압에 대한 미분방정식을 유도하면 아래와 같다.

3. DAB 컨버터의 소신호 모델링 ^[10]

DAB 컨버터의 소신호 모델링(Small-signal modeling)을 위해 우선 수식 (7), (8) 의 비선형 시변(Non-linear time variant) 수식을 선형 시불변(Linear time invariant, LTI)수식으로 변환한다. 다만 변압기 전류 성분은 교류 성분이기 때문에 퓨리에 급수(Fourier series)를 이용해 +1차 및 -1차 항을 활용한다^[10]. Generalized average modeling을 활용하여 0차 출력 전압(vo ₀ ), 1차 변압기 전류의 실수항(i_t1^R ) 및 허수항(i_t1^I )을 상태변수(State variable)로 정의할 경우, 상태공간 표현은 아래와 같다($\omega_{s}=2\pi f_{s}$).

유도한 상태공간 방정식에서 Large signal model과 Small signal model 을 위해 상태변수에 perturbation을 아래와 같이 적용한다. 여기서 대문자 변수는 Large signal variable이자 정상상태 값을 의미하며, ^로 표현한 변수는 small signal variable이다.

정상상태에서의 1차 변압기 전류의 실수(i_t1^R) 및 허수(i_t1^I) 값을 유도하기 위해 Large signal model을 정리하면 아래와 같다.

위 수식을 통해 i_t1^R 및 i_t1^I 를 유도하면 각각 식 (13)과 (14)와 같으며, 여기서 α_o 및 β_o 계수는 Phase shift ratio의 정상상태 값 혹은 Large signal value인 D를 반영한 상수값으로 식 (15)와 같다.

Small signal model의 수식 유도 시, 식 (10)의 α 및 β 내에 상태변수인 d 가 포함되어 있으며, 이를 고려하여 전체 수식을 전개해야 한다. 식 (11)의 perturbation을 이용하여 Small signal model 을 정리하면 아래와 같다.

이 수식을 식 (17)과 같이 일반적인 상태공간 표현으로 나타낼 경우, 각 행렬은 식 (18)부터 식 (21)과 같이 나타낼 수 있다.

식 (17)을 라플라스 변환을 활용하여 Control-to-output voltage 전달함수(Gvd)를 표현하면 아래의 식과 같다. 선형화 과정을 거쳤기 때문에 Gvd를 표현하는 과정에서 입력전압의 변동($\hat{v_{i}}$)은 0으로 놓았다.

Gvd 를 앞서 유도한 Large signal value를 적용하여 표현할 경우 식 (23)과 같이 2개의 영점과 3개의 극점으로 표현되며, 분모 및 분자의 계수는 각각 (24)와 (25)와 같다.

본 논문에서 제안하고자 하는 DAB의 전류제어기의 설계를 위해서는 Control-to-output current 전달함수(Gid)를 나타내야 하며, 모델링 과정에서 부하를 단일 저항 부하로 표현함에 따라 아래와 같이 간단히 표현할 수 있다.

4. 제안하는 DAB 컨버터의 전류 제어기 설계 방법

앞서 유도한 전달함수의 극점의 위치를 나타내는 특성방정식(Characteristic equation)은 DAB 파라미터로 식 (23)과 (26)에 의해 연산이 가능하며, 3차 다항식임에 따라 한 개의 실근과 두 개의 복소근을 가짐을 예상할 수 있다. 하지만 9개 이상의 DAB 파라미터로 구성된 3차 다항식의 인수분해(Factorization)를 바로 수행할 수 없다. 그러므로 실제 DAB의 파라미터를 수식에 대입하고, 적용 결과를 토대로 근사화 과정을 통해 전달함수를 간소화하는 방법을 제안한다. 본 논문에서 사용하는 DAB 파라미터는 표 1과 같다.

먼저 G_vd의 특성방정식을 인수분해된 다항식으로 표현하면 아래와 같다. 여기서 k₁부터 k₄는 다항식의 계수이다.

이 다항식은 식 (23)에 표현한 전달함수의 특성방정식과 동일해야 하기 때문에 각 계수는 아래와 같은 관계를 가진다.

컨버터 동특성 및 제어 응답성을 설계하기 위해서는 전달함수의 주극점(Dominant pole)의 위치를 파악하는 과정이 필요하다. 즉 식 (28)에서 k₁의 값을 찾는 것이 중요하다. 식 (28)의 계수 관계에서 k₁의 다항식을 유도하기 위해서 계수들의 수치적 관계를 우선 파악한다. 먼저 A₃의 값은 L_t의 제곱으로 계산함에 따라 다른 계수보다 상당히 작은 값을 가짐을 알 수 있다. 즉 A₃와 k₂를 0으로 근사화할 수 있다. 다음으로 나머지 세 개의 수식을 연립하여 k₁에 대한 방정식을 유도하게 되면 다음과 같다.

또한 근의 공식을 적용하여 k₁을 유도한다. 여기서 k₁의 값은 주극점의 위치와 같기 때문에 상대적으로 복소수 평면의 원점과 가까워야 한다. 이에 따라 k₁의 값을 식 (30)와 같이 유도할 수 있다.

다음으로 G_vd의 극점과 영점을 간소화한다. 주극점을 제외한 극점과 영점은 복소수 평면의 원점과 매우 먼곳에 위치함에 따라 G_vd를 아래와 같이 간소화된 전달함수(G_vd^s)로 표현한다.

이어서 간소화된 Control-to-output current 전달함수(G_id^s)는 아래와 같다.

간소화된 전달함수의 유효성을 검증하기 위해 식 (26)와 식 (32)의 보드선도를 비교하며, 이는 그림 3과 같다. 붉은색 실선은 G_id 이며, 파란색 점선은 G_id^s 를 나타낸다. 높은 주파수 대역의 경우 간소화 과정에서 생략된 극점과 영점으로 인해 크기와 위상의 차이를 보이지만, 낮은 주파수 대역의 경우 동일한 크기와 위상을 가짐을 확인할 수 있다. 또한 전류 제어기의 설계는 일반적으로 스위칭 주파수의 0.1배 이하의 대역으로 설계함에 따라 낮은 주파수 대역의 전달함수 특성이 중요하며, 낮은 주파수에서의 크기와 위상이 동일한 점을 이용하여 전류제어 이득을 설계할 수 있다.

전류제어기(C_i)와 G_id^s 전달함수를 포함한 제어 블록다이어그램은 그림 4와 같다. G_id^s 를 1차 전달함수로 간소화함에 따라 C_i를 비래-적분(proportional integrator, PI) 제어기로 설계할 경우 Pole-zero cancellation을 활용해 Loop gain을 단순한 적분기 형태로 나타낼 수 있다. C_i의 전달함수와 Pole-zero cancellation을 위한 수식 관계는 아래와 같다. 여기서 k_p와 k_i는 각각 적분 이득과 비례 이득이다.

그림 4의 제어 블록도의 Loop gain을 L이라고 할 때, pole-zero cancellation에 의해 다음과 같이 정리된다.

Reference-to-output 전달함수인 Closed-loop 전달함수는 L을 이용해 표현할 경우 아래와 같다.

여기서 ω_c 는 차단 각주파수이며, 앞서 표현한 수식관계에 의해 유도할 경우 아래와 같이 표현할 수 있다. 여기서 f_c는 차단주파수이다.

즉 제안하는 방법에 의해 최종 산출된 k_p와 k_i는를 정리하면 아래와 같다.

5. 설계 및 검증 결과

제안한 방법을 적용하여 DAB 컨버터의 전류제어기를 설계하며, 타당성을 PSIM 시뮬레이션을 통해 검증한다. DAB 컨버터의 파라미터는 표 1에 나타낸 값을 사용하며, Closed-loop 전달함수의 f_c 는 250Hz 및 500Hz로 선정한다. 각 상황에 대한 제어 이득 설계 결과를 표 2에 나타내며, 해당 이득을 적용하였을 때 Closed-loop 전달함수를 보드선도로 나타내면 그림 5와 같다. 붉은색 실선은 G_id 를 적용했을 때의 결과이고, 파란색 점선은 G_id^s 를 적용했을 때의 보드선도이다. 그림 3과 마찬가지로 낮은 주파수 대역에서는 동일한 크기와 위상 특성을 가짐을 확인할 수 있다. 또한 설정한 f_c 에 따라 적절한 차단주파수 특성을 가짐을 확인할 수 있다.

시뮬레이션 검증 결과는 그림 6과 같다. 초록색 파형은 출력전류를 나타내며, 붉은색 파형은 출력전류 지령을 나타낸다. 전류지령을 20A에서 15A로 급변하였을 때의 상황을 적용하여 동특성을 검증한다. f_c 를 250Hz로 설정한 경우 지령급변에 따른 수렴시간(Setting time, t_ss)이 약 1.4ms 이며, f_c 를 500Hz로 설정한 경우 t_ss 는 0.84ms 소요됨을 확인할 수 있다. 이를 통해 설정한 차단주파수가 커질 경우 동특성이 비례하여 빨라짐을 확인할 수 있다. 또한 전류지령이 변하기 전후로 큰 오차 없이 전류제어가 됨을 시뮬레이션을 통해 확인할 수 있다.

6. 결 론

본 논문에서는 DAB 컨버터의 파라미터 기반 전류 제어기 이득 설계 방법을 제안하였다. SPS 방식으로 동작하는 DAB의 전달함수 모델링을 위해 Generalized average modeling 기법을 활용하며, 전달함수의 극점과 영점을 표현하는 s-domain 다항식을 DAB 컨버터의 파라미터로 유도하였다. 유도한 수식에서 주극점의 위치를 파악하기 위해 다항식 계수의 근사화를 통해 수식을 간소화하였다. 이를 통해 간소화된 전달함수를 유도하며, 해당 전달함수를 기반으로 전류제어기 이득을 설계하는 방법을 제안했다. 보드선도 해석을 통해 간소화된 전달함수와 설계한 제어이득의 타당성을 검증하였다. 또한 설계한 제어이득을 시뮬레이션에 적용하여 설정한 대역폭에 비례하여 제어동특성을 가짐을 검증하였다. 제안하는 방법은 DAB 컨버터의 파라미터와 전류제어기 대역폭을 결정함에 따라 적절한 전류제어 이득을 산출할 수 있으며, 이에 따라 제어이득을 설계하는데 필요한 복잡한 절차가 간소화될 것을 기대한다.