1. 서 론

최근 자동차 산업은 놀라운 기술 발전을 이루어내고 있다. 이러한 발전으로 자동차의 안전성, 효율성, 그리고 운전자의 편의성이 획기적으로 향상되었다. 특히, 자율주행 자동차 기술이 이러한 변화의 중심에 있으며, 그중에서도 적응형 ACC (Adaptive Cruise Control) 기술은 현재 상용화된 자동차에 광범위하게 적용되고 있다. ACC는 전방 차량과의 거리 정보를 기반으로 ego 차량의 속도를 자동으로 조절하여, 차량 간의 간격을 일정하게 유지하는 기술을 의미한다. 이 기술은 운전자의 편의성을 크게 증대시키는 동시에, 교통 안전성의 향상에도 기여하고 있다^[1-3].

한편, 구동기와 같은 주요 구성 요소에서 발생할 수 있는 예기치 못한 결함은 ACC 시스템과 같이 사용자의 안전이 보장되어야 하는 제어 시스템에서 심각한 문제로 대두되고 있다. 이러한 결함은 구동기의 기계적 노후화, 계측기기의 측정 정밀도 저하, 그리고 연산 과정에서의 반올림 오류로 인해 제어기 이득 매개변수의 불확실성이 초래될 때 발생할 수 있다^[4]. 이러한 문제를 해결하기 위해, non-fragile control ^[5,6], $H_{\infty}$ control ^[7,8], sliding mode contorl, model reference adaptive control ^[9], self-tuning control 등의 제어 방법이 활발히 연구되고 있다. 특히 non-fragile control 기법은 제어 입력의 변동 범위에 대한 정보만을 바탕으로 시스템의 안정성을 보장하는 제어기를 설계하는 기법이며, 최근 선형 행렬 부등식 (Linear matrix inequality, LMI)을 기반으로 한 non-fragile control 기법^[10]을 통해 제어 입력의 변동에 대응하는 연구가 진행되고 있다^[11,12]. 또한, 시스템의 변동뿐만 아니라 외부 요인에 의한 외란에 강인한 제어 시스템 설계를 위해, 외란의 총 에너지 대비 시스템 출력의 피크치 비율을 제한하는 ETP (energy-to-peak) control 기법^[13,14]에 대한 연구도 활발히 진행되고 있다.

기존 ACC 관련 연구는 주로 PD (Portional-Derivative) 제어기와 같은 선형 제어 이론을 기반으로 진행되고 있으나^[15,16], PD 제어기는 정상 상태 오차를 완전히 제거할 수 없다는 단점을 지니고 있다. 이와 유사하게, 상태 피드백 제어기 또한 시스템의 정상 상태 응답 성능을 개선하는 데에는 한계가 있다. 따라서 제어기에 적분기를 추가하는 형태의 제어기 구조의 도입이 필수적이나, 이러한 제어기 구조는 LMI를 통한 설계가 어렵다는 한계를 지니므로, 이에 대한 새로운 접근 방식이 요구된다.

한편, 자동차와 같이 비선형 동역학 방정식으로 표현되는 시스템에 대해, 동역학 방정식을 IF-THEN 규칙에 따라 정의한 소속도 함수와 선형 부분 시스템의 집합으로 구성된 Takagi-Sugeno(T-S) 퍼지 모델 기반 제어가 연구되고 있다^[17,26]. 이 접근법은 기존의 선형 제어 기법을 활용하여 비선형 시스템의 제어기를 설계할 수 있는 장점을 제공하며, 특히 시스템의 복잡성을 줄이는 동시에, 비선형 특성을 효과적으로 반영하여, 실질적인 제어 성능을 높이는데 기여하고 있다.

앞선 분석에 착안하여, 본 논문에서는 차량 종방향 제어 시스템의 성능을 개선하기 위해, 상태 피드백 제어기에 임의의 보조 제어 입력을 추가한 상호 보완적 상태 피드백 제어기 구조를 제안하며, ETP 성능 ^[18]을 만족하는 LMI 기반의 제어기 설계 조건을 제안한다. 이를 위해 비선형 차량 종방향 시스템의 T-S 퍼지 모델을 유도하고, 제안된 방법이 ACC 시스템의 정상 상태 오차를 개선함을 시뮬레이션을 통해 검증한다. 본 논문의 주요 기여 사항은 다음과 같다.

1. 상호 보완적 제어기와 ETP 성능 지표를 도입하여 차량 종방향 제어 성능을 개선한다.

2. 비선형 차량 종방향 시스템을 T-S 퍼지 모델로 유도하여 기존 선형 제어 기법의 한계를 극복한다.

3. Morai 시뮬레이터를 활용하여 제안한 기법이 ACC 시스템의 정상 상태 오차 개선에 효과적임을 검증한다.

2. Preliminaries

본 논문에서 다루는 차량의 종방향 동역학은 다음과 같은 선형 미분방정식의 형태로 표현된다고 가정한다^[19].

여기서 $p_{i}(t)$, $v_{i}(t)$는 $i$번째 차량의 위치[$m$], 속도[$m/s$]이다. 본 논문에서 $i=0$은 선행 차량을 나타내고, $i=1$은 ego 차량을 의미한다. Ego 차량의 종방향 가속도[$m/s^{2}$]는 다음과 같은 비선형 미분방정식으로 결정된다 ($i=1$).

여기서 $u_{i}(t)$, $\tau_{i}$, $m_{i}$, $K_{d,\: i}$는 $i$번째 차량의 제어 입력[${m}/{s}^{2}$], 엔진 동역학 등으로 결정되는 시간 상수[${s}^{-1}$], 총 질량[${kg}$], 공기 저항 계수[${N s}^{2}/{m}^{2}$]를 의미한다.

한편, 제어기 설계를 용이하게 하기 위해, ego 차량과 달리 선행 차량의 가속도는 다음의 선형 동역학으로 표현한다.

선행 차량과 ego 차량 간 거리는 다음과 같이 나타낸다.

또한, ACC에서 선행 차량과 일정한 시간 간격을 유지하며 주행하는 CTH (Constant time headway) 방법에서 현재 차량과 선행 차량과의 목표 차간 거리는 다음과 같이 정의된다^[20].

여기서 $d_{s}$는 정지 상태에서의 간격인 standstill distance[${m}$]이고, $\lambda$는 선행 차량과의 headway time[${s}$]이다.

이제, 선행 차량과 ego 차량 간의 목표 거리 오차 및 속도 오차를 다음과 같이 정의한다.

(1-4)를 정리하여 ACC 시스템의 비선형 동역학 방정식을 다음의 T-S 퍼지 모델로 표현한다.

여기서 $x(t)\in\vec{R^{4\times 1}}$, $u_{1}(t)\in\vec{R^{1}}$, $w(t)\in\vec{R^{1}}$는 각각 상태, 제어 입력, 외란 입력이며 시스템 내의 행렬은 다음과 같다.

$x(t)=\left[\begin{matrix}\widetilde{d}(t)\\\widetilde{v}(t)\\a_{1}(t)\\a_{0}(t)\end{matrix}\right]$, $B =\left[\begin{matrix}0 \\0\\\dfrac{1}{\tau_{1}}\\ 0\end{matrix}\right]$, $B_{w}=\left[\begin{matrix}0\\0\\0\\\dfrac{1}{\tau_{0}}\end{matrix}\right]$, $C =\left[\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}\right]^{T}$,

$A_{i}=\left[\begin{matrix}0& -1&\lambda & 0\\0& 0& -1& 1\\0& 0& a_{33,\: i}& 0\\0& 0& 0& -\dfrac{1}{\tau_{0}}\end{matrix}\right]$, $a_{33,\: i}= -\left(\dfrac{1}{\tau_{1}}+\dfrac{2K_{d}}{m_{1}}v_{1i}\right)$,

$X(t)=\begin{bmatrix}0 &0& -\dfrac{K_{d,\: 1}}{\tau_{1}m_{1}}v_{1}^{2}(t)&0\end{bmatrix}^{T}$.

한편, $h_{i}(v_{1}(t))\in\vec{R_{[v_{11},\: v_{12}]}}$는 $i$번째 퍼지 규칙에 대한 소속도 함수로 다음과 같이 표현된다.

이때 $v_{11}$과 $v_{12}$는 각각 ego 차량의 최소 속도와 최대 속도를 의미하며, $\sum_{i=1}^{2}h_{i}(v_{1}(t))= 1$을 만족한다.

식 (2)의 가속도 동역학에는 $v_{1}(t)a_{1}(t)$와 $v_{1}^{2}(t)$의 비선형항이 존재한다. 이들을 모두 전제 변수로 설정하면 퍼지 규칙의 수가 증가하여 제어기 설계 조건의 보수성이 커진다. 이를 방지하기 위해, 본 논문에서는 다음의 feedback linearization 방법을 적용하여 $v_{1}^{2}(t)$ 항을 제거한다.

식 (6)을 (5)에 대입하면, $v_{1}^{2}(t)$에 의한 비선형 항인 식 (5)의 $X(t)$항을 제거할 수 있다.

또한, $u_{{sf}}(t)= K_{i}x(t)$는 상태 피드백 제어기로 다음의 퍼지 제어기 구조를 가진다.

여기서 $K_{i}\in{R^{1\times 4}}$는 $i$번째 퍼지 규칙의 제어 이득 행렬이다.

한편, 식 (7)의 $u_{{aux}}(t)$는 norm의 상한값을 아는 보조 제어기로, 그림 1과 같은 상호 보완적 상태 피드백 제어기 구조를 구성하는 데 사용된다. 본 논문에서는 $u_{{aux}}(t)=S(t)x(t)$의 형태로 임의의 비선형 함수 $S(t)$에 상태 벡터가 비례하는 제어 규칙을 가진다고 가정한다. 특히 $S(t)$는 정확한 함수 구조는 모르지만 norm의 상한은 알고 있다고 가정하며, 이를 알고 있는 상수 행렬 $D\in{R^{1\times 4}}$, $E\in{R^{4\times 4}}$와 $F^{T}(t)F(t)\le I$를 만족하는 미지의 시변 행렬 $F(t)\in{R^{4\times 4}}$의 곱인 $S(t)=DF(t)E$의 형태로 표현된다고 가정한다^[21].

이제 식 (5)의 폐루프 시스템에 제안하는 제어기 식 (6)과 (7)을 대입하면 다음과 같은 폐루프 상태 방정식을 얻는다.

요약 1. 본 논문에서는 일반적인 상태 피드백 제어기의 형태 $u_{{sf}}(t)=\Sigma_{i=1}^{2}h_{i}(v_{1}(t))K_{i}x(t)$에 임의의 제어기가 추가된 식 (7)의 형태의 제어기를 제안한다. 시뮬레이션에서는 $S(t)x(t)$가 $x(t)$를 적분하는 것으로 모델링하여 시스템의 type을 증가시키고, 이를 통해 정상 상태 오차를 개선할 수 있음을 보인다.

마지막으로 제안하는 제어기 설계 조건을 유도하기 위해 필요한 보조 정리를 소개하며 본 장을 마무리한다.

보조 정리 1. ^[22] 적절한 차원의 실수 행렬 $X$, $Y$와 $F^{T}(t)F(t)\le I$를 만족하는 $F(t)$가 존재할 때, 임의의 상수 $\epsilon >0$에 대해 다음의 행렬 부등식은 항상 성립한다.

3. LMI 기반 제어기 설계

본 장에서는 다음의 문제를 해결하는 차량 종방향 제어 시스템의 이득 행렬 $K_{i}$를 설계하기 위한 조건을 제시한다.

문제 1. 보조 제어기가 포함된 식 (6)의 폐루프 시스템에 대해 아래의 가정을 만족하는 제어 이득 행렬 $K_{i}$를 찾아라.

1) 식 (5)의 폐루프 시스템은 모든 $t\ge 0$에서 $w(t)=0 $인 경우 점근 안정하다.

2) 제어 입력 $u(t)$는 임의의 양의 실수 $\mu$에 의해 제한된 상한값을 갖는다.

3) 식 (5)의 폐루프 시스템이 영의 초기 조건을 만족하는 경우에 아래의 부등식을 만족한다.

이때 $\gamma >0$는 주어진 상수로 ETP를 의미한다.

다음의 정리는 문제 1의 설계 조건을 만족하는 제어 이득 행렬 $K_{i}$를 구하기 위한 LMI 기반의 충분 조건을 제시한다.

정리 1. 주어진 양의 스칼라 $\gamma $, $\mu$와 $\epsilon$에 대해 다음의 LMI를 만족하는 양정의 행렬 $P\in{R^{4\times 4}}$와 임의의 행렬 $\overline{K_{i}}\in{R^{1\times 4}}$, $i\in\{1,\: 2\}$가 존재하면, 폐루프 시스템 (5)은 문제 1의 설계 목표를 만족한다. 이때, 제어 이득 행렬은 $K_{i}=\overline{K_{i}}P^{-1}$으로 구할 수 있다.

여기서 ${\Omega} =A_{i}P+PA_{i}^{T}+B\overline{K_{i}}+\overline{K_{i}}^{T}B^{T}+\epsilon BDD^{T}B^{T}$이다.

증명: 먼저, 식 (8)의 $\overline{A_{i}}$는 아래와 같다.

한편 다음의 부등식이 성립한다고 가정하자.

식 (14)의 첫 번째 부등식에 Schur complement를 적용하면 다음을 얻는다.

위 식 (15)에 diag{$P^{-1},\: I$}로 congruence transformation을 적용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

식 (16)의 좌변을 $\Lambda$라 하고 $\eta(t)={col}$$\{x(t),\: w(t)\}$로 congruence transformation을 적용하면 다음이 성립한다.

이제 식 (17)을 전개하면 다음의 부등식을 얻는다.

또한, 식 (8)로부터 (18)은 아래와 같다.

이는 Lie 미분법^[23]에 의해 아래의 식과 동일하다.

만약 Lyapunov candidate를 다음과 같이 설정한다면,

식 (20)으로부터 $w(t)=0$인 경우 식 (14)의 첫 번째 부등식이 만족하면 문제 1의 조건 1이 만족함을 알 수 있다.

또한, $x(0)=w(0)=0$이라 하고 식 (20)을 $0\le t\le t_{f}$ 구간에서 적분하면 아래와 같은 부등식을 얻는다.

한편, $l_{2}$ norm 정의^[24]로부터 아래의 부등식은 자명하다.

따라서 (21)와 (22)로부터 아래가 성립함을 알 수 있다.

이제 식 (23)에 Schur complement를 적용하면 다음을 얻는다.

위 식 (24)에 diag\{$I,\: C^{T}$\}으로 congruence transformation을 적용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

식 (25)에 Schur complement를 다시 적용하면 아래와 같다.

양변에 $｜｜ w(t)｜｜_{l2}^{2}\ge 0$을 곱하고, 식 (14)의 두 번째 부등식을 이용하면 다음을 얻는다.

따라서 식 (14)의 두 번째 부등식이 성립하면 아래가 성립한다는 것을 알 수 있고,

이로부터 (9-10)의 LMI가 만족되면 문제 1의 조건 3을 보장함을 증명한다.

한편, 식 (14)의 첫 번째 부등식은 시변 변수를 포함하는 $DF(t)E$ 항을 포함하고 있으므로 적절한 변환과 치환을 통해 LMI 형태로 유도해야 한다.

식 (14)의 첫 번째 부등식을 전개하여 나타내면 아래와 같다.

식 (27)에 $\overline{K_{i}}= K_{i}P$로 치환하여 정리하면 다음을 얻는다.

여기에 보조 정리 1을 적용하면 아래가 성립한다.

위의 관계식을 식 (28)에 적용하면 아래와 같다.

여기에 Schur complement를 두 번 적용하여 식 (9)를 얻을 수 있다. 따라서 식 (9), (10)의 부등식이 성립하면 폐루프 제어 시스템 (5)이 ETP $\gamma$를 만족한다.

한편, 식 (11)-(12)은 문제 1의 조건 2를 보장하는 조건으로 ^[25]에서 증명되어 있으므로 증명을 생략한다. ■

요약 2. 제안하는 조건을 통해 설계된 $u_{{sf}}(t)$의 상태 피드백 제어기는 문제 1의 조건을 만족하나, 정상 상태 오차 등의 성능 목표를 만족하기 어렵다. 그러나 본 논문에서는 제안하는 설계 방식은 norm의 상한이 제한된 임의의 $u_{{aux}}(t)$을 제어 시스템에 추가하여도 문제 1의 조건을 만족하기 때문에, 적절한 $u_{{aux}}(t)$을 설계하여 추가적인 성능 개선이 가능하다. 이에 착안하여, 본 논문에서는 다음과 같이 설계하였다.

이때 $K_{I}$는 주어진 양의 스칼라이며, $S(t)$는 위의 식을 만족하는 어떤 비선형 함수로 norm의 상한만을 알고 있다.

4. 시뮬레이션 예제

5. 결 론

본 논문에서는 자율주행 자동차의 핵심 기술 중 하나인 ACC 시스템의 성능 개선을 위해 보조 제어 입력을 추가한 새로운 제어기 구조를 제안하였다. 이를 위해 T-S 퍼지 모델을 이용하여 비선형 동역학을 가진 ACC 시스템을 모델링하였으며, ETP 성능과 점근 안정성을 보장하는 LMI 형태의 충분 조건을 제시하였다. 보조 제어기는 적분 제어기의 형태를 가지도록 하여 정상 상태 오차를 개선할 수 있도록 하였다. 특히, 상용 자율주행 시뮬레이터인 Morai를 통한 실험에서는 보조 제어기의 사용으로 인해 기본 상태 피드백 제어기에 비해 약 67.3% 개선된 성능을 낸다는 것을 확인하였다.