2.1 Modal Analysis

Modal Analysis는 정상 운전 점 근방에서 전력 계통의 비선형 동역학을 선형 근사화하여, 시스템 행렬의 고유치와 고유벡터를 통해 자연모드의 주파수, 감쇠 비율, 공간적 분포 및 영향도를 정량화하는 소신호 안정도 분석 기법이다^[8].

전력 계통을 비선형 미분-대수 방정식으로 모델링 하면 동적 거동은 다음 식(1)으로 표현된다. 여기서 는 상태변수(발전기 회전자 각도, 속도, 자속 등), y는 대수 변수(버스 전압, 위상 등) u는 입력 변수(제어 신호) 이다.

평형점($x_0, y_0, u_0$) 주변에서 식(1)을 선형화하면 다음 식(2)과 같이 상태 공간 모델이 도출된다. 선형화된 모델은 비선형 시스템의 국소적 안정도 분석을 위한 기반이 되며, 시스템의 동특성을 선형 행렬 형태로 표현함으로써 고유치 해석이 가능해진다. 여기서 A는 시스템 행렬, B와 C는 입력/출력 행렬, D는 피드 포워드 행렬이다.

소신호 안정도 해석에서는 입력이 없는 경우를 고려하여 식(3)과 같이 표현된다. 이 식은 외부 교란이 사라진 이후의 자유 응답을 의미하며, 시스템의 내재 된 진동과 감쇠 특성을 결정짓는 기본 형태이다. 즉, 행렬의 고유치를 분석함으로써 시스템이 안정적으로 감쇠 하는지 혹은 진동이 증폭되는지를 판별할 수 있다.

행렬 A의 고유치·고유벡터($\lambda_i, \phi_i, \psi_i$)는 다음 식(4)을 만족하며 $\psi_i^\top \phi_i = 1$로 정규화한다. 이 관계는 시스템의 고유모드 구성을 정의하며, 좌·우 고유벡터는 각각 모드의 공간적 분포와 변수 참여도를 표현한다.

복소 고유치 $\lambda_i = \sigma_i + j\omega_i$로 분해하면, 모드$i$의 주파수 $f_i$, 감쇠비 $\zeta_i$, 시간상수 $\tau_i$는 다음 식(5)과 같이 정의된다. 이 식은 고유치로부터 직접적으로 동특성 지표를 계산하는 핵심 단계이다.

각 상태변수의 모드 참여도는 다음 식(6)으로 정의된다. 참여도는 각 변수 $x_j$가 특정 모드 $i$의 진동에 얼마나 기여하는지를 정량화하며, 참여도가 큰 변수는 해당 모드 의 주요 진동원 또는 제어대상으로 간주한다.

표(1)는 선형화 모델의 고유치 $\lambda_i = \sigma_i + j\omega_i$ 기준으로 한 안정도 판별이다. 실수부 $\sigma_i$ 는 시스템의 감쇠 특성을 직접적으로 나타내며, 그 값에 따라 동적 응답이 안정, 불안정으로 분류된다. $\sigma_i < 0$인 경우 시스템은 안정적으로 감쇠되고 $\sigma_i > 0$인 경우 진동이 증폭되어 불안정하게 된다. 감쇠비 $\zeta_i$ 는 시스템의 감쇠 특성을 정량화 하는 무차원 측정값으로 시스템의 진동이 얼마나 빠르게 감쇠 하는지를 나타낸다. $\zeta_i \ge 5\%$는 양호, $\zeta_i = 3\sim5\%$ 일시 주의, $\zeta_i \le 3\%$ 일때는 조치가 필요한 수준이라고 본다. 시정수 $\tau_i$는 한 모드 의 진폭이 원래 값의 약 37%로 감쇠 하는데 걸리는 시간을 의미한다. $\tau_i$의 값이 작을수록 빨리 감쇠 하고, 클수록 감쇠가 느려 오래 지속된다^[9].

Modal Analysis는 정상운전 점 근방에서 전력 계통의 비선형 동역학을 선형 근사화하여, 시스템 행렬의 고유치와 고유벡터를 통해 각 진동 모드의 주파수, 감쇠 비율, 공간적 영향도를 정량화하는 소신호 안정도 분석 기법이다. 이 방법은 계통 모델과 제어 파라미터를 기반으로 진동 특성을 사전에 예측할 수 있어, 설계 및 제어 단계에서 예방적 판단과 파라미터 조정에 활용될 수 있다. 그러나 이 기법은 정상운전 점 근방에서만 유효하며, 대규모 교란이나 비선형 현상이 우세한 구간에서는 선형 근사의 한계로 인해 실제 계통의 동특성을 완전하게 반영하지 못한다. 즉, 대규모 재생에너지의 출력 변동이나 제어기의 포화, 제한기 동작 등 비선형 요소가 우세할 경우 분석의 정확도가 저하될 가능성이 있다. 따라서 모드 해석법은 주로 소신호 영역의 안정도 평가 및 고유모드 식별에 활용되며, 비선형 영역의 진동 해석에는 보조적인 수단으로 사용된다. 또한, 계통 전역의 고유모드와 참여도 분석을 통해 진동이 발생하기 쉬운 발전기 집단이나 구역을 진단하는 데에는 유효하지만, 이러한 분석만으로는 교란 이전 단계에서 모선별 진동 취약도를 직접 산정할 수는 없다^[10].

2.2 Prony Analysis

전력 시스템에서는 부하, 전압, 주파수 등 다양한 운전 변수가 시간에 따라 연속적으로 변화하며, 이러한 측정 데이터는 PMU(Phasor Measurement Unit)나 SCADA(Supervisory Control and Data Acquisition) 시스템을 통해 실시간으로 수집된다. 이와 같은 시계열 데이터에는 계통의 동적 거동을 반영하는 진동 성분과 감쇠 특성이 포함되어 있으며, 이를 분석함으로써 계통 내의 이상 상태나 잠재적 불안정성을 조기에 탐지할 수 있다^[11].

이러한 동특성 분석 기법의 하나인 Prony 분석은 시계열 신호를 지수 감쇠 항의 선형 결합으로 모델링 하여, 각 모드의 주파수와 감쇠율을 추정하는 대표적인 시간영역 기반 진동 분석 기법이다. Prony analysis는 신호를 일정 차수의 회귀모델로 표현하고, 추정된 회귀계수로부터 고유치를 계산함으로써 각 모드의 진동 특성을 산출한다. 이러한 특성으로 인해 Prony 분석은 전력 계통의 고유진동 모드 추정, 발전기 감쇠 분석, 사고 후 진동 평가 등 다양한 응용 분야에서 폭넓게 활용되고 있다.

한편, 최근에는 자기상관 함수를 활용하여 Prony 분석의 안정성과 노이즈 내성을 향상 시키는 접근법이 제안되고 있다. 자기상관 함수는 신호의 시간 지연(lag)에 따른 자기유사성을 나타내며, 특정 시점의 신호 값과 일정 시간 지연된 신호 값 간의 상관관계를 정량적으로 표현한다. 이를 분석에 적용하면 시계열 데이터의 전체적 상관 구조를 유지하면서도 잡음의 영향을 완화할 수 있으며, 모드 특성을 더욱 안정적으로 추정할 수 있다. 이러한 이유로 자기상관 기반 분석은 최근 전력 시스템 진동 해석 분야에서 기존 Prony 방법을 보조하거나 개선하는 기법으로 널리 활용되고 있다^[12]. 이러한 분석 기법의 근간이 되는 Prony 방법의 핵심은 관측된 신호를 복소 지수 함수의 선형 결합으로 표현하여, 각 성분의 주파수와 감쇠 특성을 동시에 추정하는 것이다.

즉, 시간에 따라 변화하는 계통 신호를 여러 개의 감쇠 진동 성분으로 분해하여 각 모드의 동특성을 식별하는 방식으로 이루어진다. 이를 수학적으로 표현하면 다음 식(7)과 같다.

복소 지수항 $z_i = e^{(\sigma_i + j\omega_i)\Delta t}$을 정의하면, 식(7)은 다음과 같이 식(8)으로 단순화된다. 관측된 신호를 구성하는 복합 진동 성분의 합으로 나타낸 모델이며, 신호의 감쇠 특성과 주파수 변화를 정량적으로 표현할 수 있다.

Prony 방법은 신호를 자기회귀 형태로 모델링하여 다음 식(9)과 같은 차분 방정식으로 표현된다. 이 식은 시계열의 자기상관 관계를 선형 회귀모델 형태로 나타낸 것이다. 계수는 신호의 동특성을 반영하며, 이 회귀식으로부터 신호의 예측 가능성과 시스템 모드를 추정할 수 있다.

위 식(9)의 관계를 이용하면 다음 식(10)과 같은 행렬식을 구성할 수 있다.

여기서 각 행렬은 다음 식(11)과 같이 정의된다. 시계열 데이터의 선형 상관 구조를 표현하며, 회귀계수를 추정함으로써 시스템의 특성다항식을 도출할 수 있다.

행렬식(11)으로부터 회귀계수 벡터는 최소제곱법을 이용하여 식(12)과 같이 계산된다. 이 식은 잡음이 존재하는 데이터에서도 잔차 제곱 합을 최소화하여 신호의 평균적 회귀 특성을 추정할 수 있게 한다. 따라서 계산된 계수는 신호의 고유진동 모드를 정의하는 특성다항식의 계수로 사용된다.

추정된 회귀계수를 이용하면, 시스템의 특성방정식은 다음식(13)과 같이 표현된다. 이 방정식은 시스템의 동특성을 표현하는 특성다항식으로, 그 근$z_i$ 는 신호의 고유모드(Eigenmode)에 해당한다. 복소평면 상에서 $z_i$의 위치를 통해 모드의 안정성(감쇠 또는 발산)과 진동 주파수를 판별할 수 있다.

특성다항식의 근 $z_i$는 신호의 고유모드에 해당하며, 각 모드의 감쇠율 및 주파수는 다음 식(14)과 같이 계산된다.

고유치 $z_i$를 이용하여 신호의 복원에 사용되는 Vandermonde 행렬은 다음 식(15)과 같이 구성된다. 이 행렬은 각 고유치의 지수 항으로 구성된 기저 행렬로, 각 모드의 진폭 및 위상을 계산하기 위한 선형 시스템을 형성한다.

각 모드의 진폭 벡터 A는 다음 식(16)을 통해 계산된다. 이 식은 관측된 신호 $y$를 모델 행렬 $V$에 적합 시켜 각 모드의 진폭을 추정하는 과정이다. 복소 행렬 연산을 통해 각 모드가 전체 신호에 미치는 에너지 기여도와 위상 정보를 산출하며, 이를 통해 신호의 복원 및 안정도 분석이 가능하다.

Prony 해석법은 시계열 데이터에 포함된 감쇠 진동 성분을 시간 영역에서 직접 분해하여, 모드 주파수, 감쇠율, 진폭 등 계통의 동특성을 정량적으로 추정하는 기법이다. 교란 이후 PMU 또는 WAMS 기반의 시계열 데이터를 이용하여 비선형 시스템의 복잡한 응답을 복소 지수함수의 선형 결합 형태로 근사함으로써, 주파수 영역으로의 변환 없이도 모달 정보를 직접 도출할 수 있다는 점에서 기존의 모드 해석법과 구별된다. 특히, Prony 해석법은 비 모델 기반 접근법으로서 실제 계측 데이터만으로 감쇠율의 변화를 실시간으로 추적할 수 있으며, 사고 이후의 진동 모드를 세밀하게 분석하여 시스템의 안정화 과정을 평가하는 데 유용하다.

그러나 Prony 해석법은 원시 시계열 데이터를 직접 회귀모델의 입력으로 사용하는 구조적 특성상, 선택된 모델 차수와 분석 구간에 따라 추정 결과가 민감하게 변하는 한계를 가진다. 또한 측정 데이터에 포함된 잡음에 취약하여, 노이즈가 큰 실 계통 데이터에서는 모드 추정의 안정성이 저하될 수 있다^[13]. 또한 Prony 해석법은 교란 이후의 시계열 데이터를 기반으로 분석이 수행되므로, 교란 이전 단계에서의 사전적 취약도 판별이나 예측적 모드 변화 분석에는 근본적인 한계가 존재한다.

2.3 Dissipating Energy Flow Method

Dissipating Energy Flow (DEF) 방법은 전력 계통 내에서 발생하는 진동 에너지의 주입과 소산 현상을 에너지 흐름의 관점에서 해석하여, 각 구성요소가 계통 진동에 미치는 영향을 정량적으로 평가하는 기법이다. 이 방법은 시간 영역에서의 전압·전류 위상자(phasor) 데이터를 이용하여, 발전기·부하·송전선 등 각 구성요소가 진동 에너지를 계통으로 주입(negative damping) 하는지, 또는 흡수(positive damping)하는지를 판별함으로써 진동의 근원을 식별한다^[14].

전력 계통의 송전선로에서 따른 복소전력은 다음과 같이 정의된다. 이 식은 유효전력(active power)과 무효전력(reactive power)을 동시에 표현하며, DEF 계산의 기초가 되는 전력 흐름의 물리적 관계를 나타낸다.

$P_{ij}(t), Q_{ij}(t)$는 시간 $t$에서 버스 $i \rightarrow j$ 방향으로 흐르는 유효·무효전력이고, $V_i(t), I_{ij}(t)$는 각각 버스 $i$전압과 가지 $ij$전류의 위상자이다. 복소전력 표현을 사용하면 전압·전류의 위상 관계와 전력 흐름을 한 식으로 묶어 표현할 수 있다.

실제 계통에서는 이들 물리량이 정상상태 값 주위에서 진동하므로, 정상상태 값과 그로부터의 편차(deviation)를 다음 식(18)과 같이 분리하여 정의한다.

여기서 아래첨자 $s$는 정상상태를 나타내며 식(19)의$\Delta$는 정상상태로부터의 진동 성분만을 나타내는 편차를 의미한다. 특히$\Delta \ln V_i(t)$는 전압 크기 변화 $\Delta V_i(t)$로그 영역으로 옮긴 것으로, 후속 에너지 식에서 전압 항을 더욱 간단하게 다루기 위해 도입된다. 에너지 기반 방법에서는, 버스 $i$에서 가지 $ij$로 주입되는 에너지의 미소 변화를 전력과 전압 상태의 변화로 다음 식(20)과 같이 표현한다.

첫 번째 항 $P_{(ij)}d\theta_i$는 유효전력과 위상각 변화에 따른 에너지 교환으로, 주로 발전기 기계 각도 동요와 연관된 에너지 변화를 나타낸다. 두 번째 항 $Q_{(ij)}d(\ln V_i)$무효전력과 전압 크기 변화에 따른 에너지 교환으로, 전압 안정도 및 전자기 에너지 변화와 관련된다. 식(20)에 정상상태로부터의 편차만을 대입하면, 진동 성분에 의해 주입되는 dissipating 에너지의 미소 증분은 다음 식(21)과 같이 쓸 수 있다.

즉 $dW_{(ij)}^D(t)$는 정상상태 주위에서 발생하는 소신호 진동 성분이 가지 $ij$에 주입하는 에너지의 미소량을 나타낸다.

일정 시간 구간 $[t_o, t]$동안 가지$ij$를 통해 주고받은 dissipating energy의 누적값은, 식(21)을 시간에 대해 적분하여 다음 식(22)과 같이 정의한다.

여기서 $W_{(ij)}^D(t)$는 해당 구간 동안 편차 성분에 의해 가지 $ij$로 순수하게 전달·소산된 에너지의 총량을 의미하며, 이 값의 시간 변화 추세가 나중에 진동원(source)과 진동 싱크(sink)를 구분하는 핵심 지표가 된다. 주파수 편차를 이용한 DEF는 전압 위상각의 시간 변화율은 주파수 편차와 직접적으로 연결되므로, 버스 $i$의 주파수 편차를 다음 식(23)과 같이 정의한다.

즉 $\Delta\theta_i(t)$의 시간 미분은 $2\pi\Delta f_i(t)$에 해당하며 이를 식(22)에 대입하면 dissipating energy는 시간 적분 형태로 다음 식(24)과 같이 쓸 수 있다.

여기서 첫 번째 항은 유효전력 편차와 주파수 편차의 곱을 시간에 대해 적분한 항으로, 주파수 동요와 관련된 기계적 에너지 교환을 표현한다. 두 번째 항은 무효전력 편차와 전압 로그 편차의 곱을 적분한 항으로, 전압 크기 동요와 관련된 전자기 에너지 교환을 나타낸다. 따라서 식(24)는 에너지 기반 DEF 정의의 연속형 정석 식으로서, 이후 절에서 제시되는 DE 계수와 진동원/진동 싱크 판별은 $W_{ij}^D(t)$을 통해 이루어지게 되며, 다음 표 2와 같이 판별할 수 있다^[15].

DEF 기법은 PMU 또는 WAMS 기반 시계열 데이터에서 특정 주파수 대역의 전압, 위상, 유효·무효전력 진동 성분을 추출하여, 누적 소산 에너지 흐름을 계산함으로써 사고 발생 이후 버스 또는 선로 단위의 에너지 주 입원(진동원)과 흡수원(진동 싱크)을 실무적으로 식별할 수 있는 장점이 있다.

그러나 DEF 기법은 주파수 선택성(특정 모드 필터링) 및 PMU의 측정 대역폭에 따라 결과가 달라질 수 있으며, 측정 잡음, 관측 성, 대역 선택에 민감하다. 따라서 실제 진동이 관측된 상황에서만 유효한 결과를 제공하며, 교란 이전 단계에서의 사전적 취약도 평가에는 한계가 존재한다^[16].