1. 서 론

히스테리시스 전동기는 소음이 매우 적고, 자기동이 가능하여 구동을 위한 추가 제어 회로 없이도 기동할 수 있는 장점을 가지기 때문에 소형 시스템 적용에 매우 유리한 특징을 가진다 ^[1]. 이러한 히스테리시스 전동기의 출력 특성은 회전자 링 체적과 회전자 링의 히스테리시스 루프 면적에 의해 직접적으로 결정된다. 즉, 링 체적이 커질수록, 루프 면적이 넓을수록 출력이 증가하게 된다. 따라서 동일한 재료와 구동 조건에서 목표 출력을 확보하기 위해서는 회전자 링의 체적 확보가 필수적이다. 하지만 목표 출력을 달성하는 동시에 전동기의 체적을 줄이기엔 한계가 존재한다. 이를 고려하여, 전동기 체적이 같아지도록 회전자 링 두께를 조절하지만, 회전자 링 두께가 특정 두께 이상으로 두꺼워지면 오히려 출력이 감소하는 현상이 발생한다. 이러한 현상은 회전 히스테리시스로 인한 손실 증가에 의한 것이다 ^[2]. 하지만 기존 히스테리시스 전동기 설계에 사용되었던 등가회로 기반 동적 시뮬레이션으로 회전 히스테리시스 현상으로 인해 발생하는 출력 감소를 확인하는 것에는 한계가 존재하였다 ^[3].

따라서 본 연구에서는 유한 요소 해석을 통해, 동일한 회전자 체적 내에서 출력 감소가 발생하기 시작하는 회전자 링 두께의 한계값을 규정하는 것을 목표로 하였다. 이를 위해 동기속도 진입 전 토크 결과를 바탕으로 FFT 분석을 진행하였고, FFT 분석 결과 중, 기본파 성분의 변화를 비교하는 탐색 알고리즘을 제안하여 한계 링 두께를 체계적으로 도출하였다. 또한 도출된 한계 링 두께의 타당성과 출력 감소 경향의 신뢰성을 검증하기 위해 회전자 링 내부에서의 자화와 자계 간 위상차를 계산하고, 이를 통해 얻은 경향을 동기속도 진입 이전 토크 FFT 기본파 성분의 변화와 비교한다. 이러한 비교를 통해 동일한 출력 성능을 유지하며, 전동기 체적을 최소화할 수 있는 회전자 링 두께의 상한값을 제시하며, 본 연구 결과는 히스테리시스 전동기의 소형화 및 고출력 설계를 위한 정량적 설계 기준을 제공하는 데 기여하고자 한다.

2. 링 두께에 따른 특성 분석

그림 1. 히스테리시스 전동기 형상

Fig. 1. Hysteresis motor geometry

히스테리시스 전동기의 출력은 (1)과 같이 일반적인 전동기에서 손실로 작용하는 히스테리시스 손실이 출력으로 작용한다 ^[4]. 히스테리시스 전동기의 회전자 링은 반경질 재료로 구성된다. 반경질 재료는 일반적인 전기 강판보다는 높은 보자력을 가지며, 영구자석보다는 낮은 보자력을 가진다. 따라서 쉽게 자화 방향을 변경할 수 있기 때문에 자기동이 가능한 장점을 가진다.

(1)에서 $V_{core}$는 링의 체적, $W_h$는 $\oint HdB$로 링 재료의 B-H 루프 면적이며, $f$는 인가 주파수이다. 따라서 (1)에서 볼 수 있듯이 히스테리시스 전동기의 출력은 회전자 링의 체적과 히스테리시스 루프 면적에 직접적으로 비례함을 알 수 있다. 따라서 같은 재료 특성을 가지는 경우, 회전자 링의 체적이 크거나 루프 면적이 넓을수록 단위 시간당 에너지 변환량이 증가하여 더 높은 출력을 얻을 수 있다. 이러한 관계는 전동기의 소형화 측면에서 중요한 제약 조건이 되게 된다. 히스테리시스 전동기의 출력은 기본적으로 재료의 루프 면적과 체적에 의해 결정되므로, 목표한 출력을 유지하면서 전체 전동기의 체적을 줄이기엔 어려움이 존재한다. 이에 본 연구에서는 전동기의 전체 체적을 동일하게 유지한 상태에서 회전자 링의 두께를 조절하는 방법을 적용하였다. 이는 전동기 축 방향 길이와 외경을 고려해 시스템에 적합한 체적을 찾기 위함이다. 이론상 회전자 링의 두께를 증가시키면 동일한 축 방향 길이에서 비교적 높은 출력을 발생시킬 수 있다. 하지만 히스테리시스 전동기 회전자 링의 두께를 단순히 증가시키는 방식에는 한계가 존재한다. 이는 링의 두께가 증가할수록 회전 히스테리시스로 인한 손실 증가 때문이다. 회전 히스테리시스는 자계의 크기가 일정하고 2차원 평면상에서 회전하게 되면, 이에 따른 자속밀도는 교번 히스테리시스와 달리 공간적인 지연을 가지게 되며, 자계를 추종하게 된다. 이러한 현상을 회전 히스테리시스라 하며, 해당 현상에 의해 링의 두께가 일정 수준 이상으로 두꺼워지면 출력이 더 이상 증가하지 않고 오히려 감소하는 결과를 보이게 된다. 이러한 회전 히스테리시스 성분으로 인해 감소되는 출력을 확인해 보기 위해 동일한 링 체적을 가지도록, 링 두께가 변경될 때 축방향 길이를 조절하여 링 체적을 동일하게 설정한 뒤 해석을 진행하였다. 회전 히스테리시스 성분이 적은 얇은 두께에서 특정 두께까지는 비슷한 출력을 하며, 특정 두께부터 출력이 감소할 것을 예상할 수 있다. 표 1은 그림 1의 히스테리시스 전동기 형상의 파라미터 및 각 파트 별 재질 특성을 정리한 표이다. 해석에서 사용된 시뮬레이션 툴에서는 play model을 사용하여 비선형성 루프 거동을 표현한다 ^[5].

탐색 알고리즘에서 출력 경향을 비교하기 위해 본 연구에서는 동기속도 진입 이후의 토크 결과를 FFT 분석하여 얻은 기본파 성분을 비교하였다. 그림 2는 축방향 길이를 고정한 뒤 링 두께를 1mm, 1.3mm 1.8mm로 변경했을 때의 동기속도 진입 전까지의 토크 결과이다.

그림 2. 동기속도 진입 전까지의 토크 결과

Fig. 2. Torque results before entering synchronous speed

히스테리시스 전동기는 동기속도 진입 전에 와전류에 의한 비교적 높은 토크에서 시간이 지날수록 감소되어 히스테리시스 토크만 남게 되는 토크 특성을 가진다. 또한 동기속도 진입 이후에는 마찰, 풍손에 의한 토크와 부하 토크만 남게 된다. 따라서 동기속도 진입 전 과도상태에서의 출력이 해당 전동기가 낼 수 있는 출력을 의미하며, 해당 해석에서 설정한 부하 토크는 1.5mNm이기 때문에 동기속도 진입 이후에는 모든 해석의 출력이 동일하다.

과도 상태에서의 출력 경향을 비교하기 위해 본 논문에서는 FFT 분석을 진행하여 기본파 성분을 비교하였고, 그림 3은 그림 2의 토크 결과의 FFT 분석 결과를 보여준다. 그림 3에서 볼 수 있듯이 기본파 성분의 경향이 토크 경향과 일치하는 것을 확인할 수 있었다. 표 2는 그림 2의 토크 결과의 평균값과 그림 3의 기본파 성분의 값을 비교한 표이다.

표 2를 통해 알 수 있듯이 FFT 분석의 기본파 성분의 값과 평균 토크의 값이 일치함을 확인할 수 있었고, 해당 경향이 토크 결과의 경향과 일치함을 확인하였다. 따라서 본 연구에서 진행한 탐색 알고리즘에서 동기속도 진입 시점까지의 토크 결과의 FFT 분석 중, 기본파 성분의 값을 비교하여 출력 경향을 비교할 수 있음을 확인하였고, 이를 통해 탐색 알고리즘을 구현하였다.

그림 3. 동기속도 진입 전까지의 토크 FFT 분석 결과

Fig. 3. FFT analysis results of torque before entering synchronous speed

그림 4는 본 연구에서 사용된 탐색 알고리즘의 흐름도를 보여준다. (2)는 본 연구에서 링 두께가 변경될 때 동일한 체적을 가지게 하는 축 방향 길이이다.

그림 4. 탐색 알고리즘의 흐름도

Fig. 4. Flowchart of Search Algorithms

(2)에서 $Z_2$ 는 링 두께의 변경으로 변경해야 할 축방향 길이이며, $r_o$는 회전자의 외반경, $r_i$는 회전자의 내반경, $Z_1$은 링 두께가 달라지지 않은 시점의 축방향 길이이며, $d_r$은 링 두께의 변화값이다. $d_r$을 통해 링 두께에 변화를 주었고, 탐색 알고리즘에서는 동일한 회전자 체적을 가질 때 $d_r$만큼 링 두께를 변화시켜, 그때의 토크 결과에서 동기속도 진입 시점까지의 결과를 FFT로 분석해 기본파 성분을 추출하고, 이 값들의 비교를 통해 추가 해석을 진행할지를 결정한다. 추가 해석이 멈추는 시점은 토크 결과의 기본파 성분이 특정 범위 이상으로 작아지는 시점이며, 이전 해석 결과의 링 두께가 최적값이 되게 된다. 표 3은 (2)를 통해 계산한 링 두께가 변화할 때의 링 체적을 보여준다.

표 3에서 확인할 수 있듯이, (2)를 이용하여 축방향 길이를 결정할 경우, 링 두께가 변하더라도 회전자 링의 전체 체적은 거의 유사한 값을 가지는 것을 확인할 수 있다. 이러한 조건을 바탕으로, 앞서 제시한 탐색 알고리즘을 적용하여 출력을 유지 가능한 링 두께를 찾기 위한 해석을 단계적으로 수행하였다.

탐색 알고리즘은 동기속도 진입 전까지의 토크 파형에 대해 FFT 분석을 수행하고, 그 결과 얻어진 기본파 성분의 크기가 감소하기 시작하는 링 두께를 탐색하도록 설정하였다. 이때 인가되는 전압은 과전압 기동 시의 상황을 가정하였다 ^[6]. 또한 본 연구에서 진행한 해석의 전동기는 4극 24슬롯 형상이며, 형상 외의 모든 해석 조건은 동일하다.

2.1 탐색 알고리즘을 통한 출력 결과

그림 5. 링 두께 1.5mm, 1.6mm 1.7mm일 때의 토크 결과

Fig. 5. Torque results for ring thicknesses of 1.5mm, 1.6mm, and 1.7mm

그림 5는 탐색 알고리즘의 중지 조건인 동기속도 진입 시점까지의 토크 FFT 결과를 비교하여, 기본파 성분의 크기가 감소하기 시작하는 1.6mm 두께의 해석 결과를 나타낸 것이다. 또한 앞서 수행한 링 두께 변화 해석 결과와 1.6mm 이후 두께 증가 구간의 해석 결과를 함께 비교함으로써, 링 두께 증가에 따른 토크 저하 경향을 명확히 확인할 수 있다.

본 연구에서는 회전자 링 두께가 일정 수준 이상 증가할 때 발생하는 출력 감소 현상이 단순한 구조적 요인이 아닌, 회전 히스테리시스 손실의 증가로 인한 본질적 현상임을 규명한다. 기본파 성분 분석만을 통한 결과상, 해당 전동기 구조에서 최대 출력을 발생할 수 있는 링 두께는 1.5mm 부근에 있음이 확인되었다.

2.2 링 두께에 따른 토크 결과 기본파 성분 비교

탐색 알고리즘 해석을 통해 얻은 결과가 회전 히스테리시스를 고려한 결과라는 타당성을 검증하기 위해 0.7mm의 링 두께부터 0.1mm 단위로 증가시켜 최대 2mm의 링 두께 해석까지 총 14개의 케이스 해석을 진행하여 결과를 비교하였다. 그림 6은 14개 케이스의 토크 결과에서 동기속도 진입 전까지의 데이터를 FFT 분석하여 기본파 성분의 값을 비교한 그림이다. 그림 6을 통해 사용된 유한 요소법은 회전 히스테리시스를 고려하는 것을 예상할 수 있다.

그림 6. 동기속도 진입 전까지의 토크 기본파 성분 비교

Fig. 6. Comparison of the first harmonic component of torque before entering synchronous speed

3. 링 두께에 따른 B-H 위상차 비교

그림 7. 공간상에서의 자화와 자계의 위상각 계산

Fig. 7. Calculation of the phase angle of the magnetization and magnetic field

링 두께가 증가할 때 특정 두께 이상으로는 출력이 감소하는 경향이 회전 히스테리시스 성분에 의한 것인지 확인하기 위해 본 연구에서는 회전자 링의 중간지점에서 원주 방향으로의 자속밀도, 자계 세기를 측정하였다. 그림 7은 본 연구에서 확인한 자화와 자계의 위상차에 대한 그림이다.

위상차 측정은 일정한 교번 히스테리시스 성분이 거의 제거되는 동기속도 진입 이후에서 진행하였고, 14개의 케이스에서 회전자 링 면적의 원주 방향으로 각 지점에 대한 $B_x$, $B_y$, $H_x$, $H_y$를 측정하였다. 측정한 데이터를 바탕으로 (3)을 통해 자화와 자계에 대한 위상각을 구하였고, 최종적으로 자화와 자계의 위상각을 통해 자화와 자계의 위상차를 구할 수 있었다. 그림 8은 1.2mm의 링 두께와 2mm의 링 두께 해석의 자속선을 보여준다.

그림 8. 링 두께에 따른 자속선 결과 비교 a) 1.2mm, b) 2mm

Fig. 8. Comparison of magnetic flux line results by ring thickness a) 1.2mm, b) 2mm

그림 9는 (4)를 통해 얻은 동기속도에 진입한 후 일정 시간이 지난 0.18s에서 0.182s까지의 회전자 링 중간에서 원주 방향으로 각 노드에서의 $B_x$, $B_y$, $H_x$, $H_y$를 통해 계산된 1.2mm의 링 두께를 가지는 전동기 해석과 2mm의 링 두께를 가지는 전동기 해석에서의 자화와 자계의 공간에서의 위상차를 보여준다. 그림 5를 통해 알 수 있듯이 1.2mm의 링 두께를 가지는 전동기 해석에서는 자화와 자계의 최대 위상차가 90도와 유사한 값을 가지지만 2mm의 링 두께를 가지는 전동기 해석에서는 최대 위상차가 약 60도임을 확인할 수 있다. 일반적으로 공간상에서 전동기에서 자화와 자계 간의 위상차가 90도일 때 최대 토크가 발생하게 된다. 자화는 자속밀도와 동상이며, 자계 세기는 전류와 직접적인 연관성이 있다. 즉, 자화와 자계 사이의 공간적 위상차가 서로 직교하는 것이 최대 에너지 전달이 이루어지는 조건이다. 따라서 두 벡터 사이의 공간적 위상차가 감소하면 토크가 감소하게 되고, 이에 따라 출력 성능이 감소하는 경향이 발생한다. 또한 그림 5와 그림 6을 통해 최대 위상차가 발생한 각도와 자속이 링에서 고정자로 넘어가는 부분의 각도가 일치함을 확인할 수 있다. 이를 통해, 공간상에서 직교 성분이 많은 1.2mm의 링 두께 해석이 2mm의 링 두께 해석 결과보다 토크 결과가 우수할 것을 예상할 수 있다. 이는 1.2mm의 링 두께 해석이 공간상에서 최대 토크를 발생하는 조건인 자화와 자계의 위상차가 90도에 가까운 값을 가지며 이는 자화와 자계가 직교하여 최대의 에너지가 전달되기 때문이다. 반면 2mm의 링 두께를 가지는 해석의 경우 해당 위상차가 60도로 확인됨에 따라 출력이 감소하여 더 작은 출력을 가지는 것으로 분석할 수 있다.

그림 10. 링 두께 1,2mm와 2mm일 때의 토크 결과 비교

Fig. 10. Comparison of torque results for ring thicknesses of 1.2mm and 2mm

그림 9. 링 두께 변경에 따른 회전자 링 B-H 위상차 계산 결과 및 자속선 결과 비교 a) 1.2mm 링 두께 해석의 회전자 링 B-H 위상차 계산 결과 및 자속선 결과, b) 2mm 링 두께 해석의 회전자 링 B-H 위상차 계산 결과

Fig. 9. Comparison of rotor ring B-H phase difference calculation results and magnetic flux line results according to ring thickness changes a). Rotor ring B-H phase difference calculation results and magnetic flux line results for the 1.2mm ring thickness analysis b). Rotor ring B-H phase difference calculation results for the 2mm ring thickness analysis

그림 10은 앞서 비교한 두 가지 조건인 링 두께가 각각 1.2mm와 2mm인 히스테리시스 전동기 해석 결과 중 토크 결과이다. 그림 7을 통해 확인할 수 있듯이, 예상대로, 링 두께가 1.2mm인 경우가 2mm인 경우보다 토크 특성이 전반적으로 우수함을 확인할 수 있었다.

해당 결과의 타당성을 검증하기 위하여, 앞서 수행한 총 14개의 링 두께 변경 해석 케이스들에서 공간상의 자화-자계 위상차를 계산하였다. 계산한 위상차를 바탕으로 동기속도 진입 전까지의 토크 결과를 FFT 분석하여 얻은 기본파 성분과 비교하였고, 기본파 성분과 위상차 간의 상관성을 분석한다.

그림 8은 앞서 진행한 14개의 케이스의 위상차의 최대값을 나타낸 그래프이다. 그림 11을 통해 알 수 있듯이 회전자 링의 B-H 최대 위상차는 링 두께가 0.7mm부터 1.6mm까지 약 90도의 값을 가짐을 확인하였다.

그림 11. 케이스 별 B-H 위상차 최대값 비교

Fig. 11. Comparison of maximum B-H phase difference by case

그림 11의 결과는 1.6mm부터 출력이 감소됨을 보여주며 이는 앞서 그림 2를 통한 분석에서 얻은 결과와 다르다. 그림 2에서 확인할 수 있는 1.6mm 링 두께에서의 히스테리시스 토크 값은 1.5mm와 거의 같다. 즉, 이는 해석 오차로 인해 발생한 차이로 예상된다. 동기속도 진입 전 토크의 기본파 성분이 가장 크게 나타났던 1.5mm의 경우 최대 위상차는 이전 링 두께 위상차 결과보다 작다. 하지만 1.6mm 해석 결과의 오차를 생각했을 때, 기본파 성분의 경향과 B-H 위상차의 최대값이 감소하는 경향은 같음을 확인하였다. 즉, 해석 오차에 영향을 덜 받고 더욱 직접적으로 회전 히스테리시스에 의한 출력 감소를 분석하기 위해서는 공간에서의 B-H 위상차를 측정하는 것이 타당하다.

따라서 본 연구에서는 해석적 오차를 고려하여 동기속도 진입 전 토크 결과로 얻은 기본파 성분과 자계와 자화 위상차의 최대값이 감소하기 시작하는 링 두께인 1.4mm 이하의 링 두께를 가지는 것이 해당 형상 해석에서의 적절한 값으로 판단된다. 이러한 접근 방법은 히스테리시스 전동기가 적용될 시스템에 맞추어 목표 출력을 달성할 수 있는 축 방향 길이와 링 두께를 결정할 수 있게 한다.

본 논문에서 제안한 접근법인 축방향 길이를 조절하여 회전자 링 체적을 동일하게 설정하는 방법과, 축방향 길이를 고정하여 전동기의 전체 체적을 일정하게 유지하는 접근법을 비교하기 위해, 축방향 길이를 22 mm로 고정한 상태에서 링 두께를 0.8 mm부터 2.0 mm까지 변화시키며 비교 해석을 수행하였다. 그림 12는 축방향 길이를 고정한 조건에서 계산된 토크 결과에 대해 FFT 분석을 수행한 뒤, 그중 기본파 성분을 비교한 결과를 나타낸다.

그림 12. 축방향 길이를 고정한 뒤 진행한 해석의 토크 기본파 성분 비교

Fig.12. Comparison of fundamental torque components with fixed axial length

동일한 축방향 길이를 갖는 조건에서 링 두께가 작은 구간에서는 회전자 링의 체적이 충분하지 않아 출력이 감소하는 경향을 보였다. 이후 링 두께가 증가함에 따라 회전자 체적이 증가하면서 출력 또한 증가하는 것을 확인할 수 있었다. 그러나 링 두께가 약 1.1 mm 이상으로 증가할 경우, 출력이 다시 감소하는 경향이 나타났으며, 이는 본 논문에서 제시한 결과의 전반적인 경향과 일치함을 확인하였다.

다만, 축방향 길이를 고정한 상태에서 수행한 본 해석은 전동기의 전체 체적이 이미 결정되어 있을 때 최적의 링 두께를 도출하는 접근법에 해당한다. 반면, 본 논문의 주된 목표는 동일한 출력을 만족하는 최소 전동기 체적을 탐색하는 것으로, 현재 수행한 해석과는 접근 관점에서 차이가 존재한다. 즉, 본 해석은 전동기 체적이 주어진 조건에서 성능을 극대화하기 위한 설계 방법인 반면, 본 논문에서 제안한 방법은 체적 자체를 최소화하는 설계 전략이라 할 수 있다.

그럼에도 불구하고, 축방향 길이를 고정한 상태에서 링 두께를 변화시키는 접근법은 체적이 제한된 설계 조건에서 링 두께를 합리적으로 선정하는 데 유용한 방법으로 판단된다. 따라서 체적 제약이 명확한 응용 환경에서는 본 접근법이 효과적으로 활용될 수 있을 것으로 기대된다. 한편, 본 논문에서 제안한 방법은 동일 출력을 만족하는 최소 체적의 전동기 설계를 가능하게 하므로, 초소형 히스테리시스 전동기 설계에 있어, 특히 유의미한 이점을 제공할 수 있을 것으로 판단된다. 추후, 연구된 내용을 바탕으로 선정된 링 두께와 축 방향 길이를 가지고 있는 히스테리시스 전동기의 시제품을 제작하여 실험할 예정이다.

4. 결 론

본 연구에서는 히스테리시스 전동기의 목표 출력을 달성할 수 있는 축 방향 길이와 링 두께를 선정하는 방법이 연구되었다. 히스테리시스 전동기의 출력은 회전 히스테리시스 성분으로 인하여 어느 수준의 링 두께 이상부터는 출력이 감소하게 된다. 고전적인 히스테리시스 전동기 설계 방법인 등가회로 기반 동적 시뮬레이션에서 이를 확인하고 설계에 고려하는 것에는 한계가 존재한다. 이를 해결하기 위해, 유한 요소 해석을 통해 회전 히스테리시스 성분의 영향을 받는 링 두께를 구하는 방법이 연구되었다. 직접적인 해석 결과인 토크 해석 결과를 사용할 때는, 해석 오차 등에 의해 정확한 히스테리시스 토크를 구하기 어려웠다. 이는 기본파 성분 분석이 축 방향 길이와 링 두께 사이의 정확한 관계를 보여주기 부족함을 의미한다. 이를 해결하는 방법으로 회전자 링의 원주 방향으로 자계와 자화의 위상차를 계산하였다. 링 두께가 변경될 때의 위상차 경향과 동기속도 진입 전 토크 파형의 FFT 분석을 통해 얻은 기본파 성분의 경향이 비슷함을 확인하였다. 또한, 공간상에서의 위상차 분석은 기본파 성분으로 표현하기 어려운 히스테리시스 토크를 더욱 잘 표현할 수 있음이 확인되었다. 이를 통해, 간단한 탐색 알고리즘을 이용해 자동으로 링 두께의 최대값을 찾을 수 있으며 이는 실용적인 히스테리시스 전동기 설계에 큰 도움이 될 것으로 기대된다. 이후, 본 논문의 결과를 토대로 시제품을 제작하여 실험적으로 타당성을 검증해 볼 예정이다.