2.1 상대기하 및 좌표계 정의

본 논문에서는 그림 1과 같이 수직면 상의 2차원 교전 기하를 고려한다. 그림에서 사용된 좌표계 및 기호의 정의는 표 1과 같다. 관성 좌표계의 각 축은 $(X_I, Z_I)$로 정의하며, $Z_I$축의 양의 방향을 수직 하방으로 설정한다. 유도탄은 INS 및 고도계를 통해 관성 좌표계 기준의 위치 $(r_x^m, r_z^m)$, 속도 $(v_x^m, v_z^m)$ 및 자세각 $\theta$를 정확히 알고 있다고 가정한다. 이때, 그림 1에서 표기한 바와 같이 탐색기가 추적하는 표적 추적점 (tracking point)과 실제로 유도하고자 하는 목표 타격점 (desired impact point)이 서로 다를 수 있는 상황을 고려하면, 수직면 기하를 두 기준점에 대해 각각 정의할 필요가 있다. 탐색기 추적점과 목표 타격점의 $X$축 위치는 동일하다 보아도 무방하다. 탐색기의 표적 추적점 고도를 $h_s$, 목표 타격점의 고도를 $h_d$ 라 하면 유도탄-표적 간 $X$축 및 수직 상대위치 및 속도는 다음과 같이 정의된다.

동체고정형 (strapdown) 피동 탐색기는 동체 기준의 시선각 $\eta$를 측정하며, IMU 자세 정보와 결합한 관성 좌표계 기준의 수직면 시선각 $\lambda$를 출력한다. 유도탄-탐색기 추적점 간 시선각 $\lambda$ 및 상대거리 $R$, 유도탄-목표 타격점 간 시선각 $\tilde{\lambda}$ 및 상대거리 $\tilde{R}$은 다음과 같이 계산된다.

식 (3) 및 식 (4)의 정의에 따라, 탐색기 추적점 및 목표 타격점 기준 상대거리변화율 및 시선각 변화율은 각각 다음과 같이 계산된다.

한편, 저고도 지상·해상 표적의 경우 추적점 고도 $h_s$는 임무계획 단계에서 수집된 정보에 의해 대략적인 범위가 알려져 있으므로 다음 유한 구간 내에 존재한다고 가정한다.

Remark 2.1 탐색기 측정치 $\lambda$는 탐색기의 추적고도 $h_s$ 및 $\Delta x$에 대응되는 정보이며, 실제 목표 타격점으로의 유도를 위해서는 $h_d$에 대응되는 시선각 변화율 $\dot{\tilde{\lambda}}$의 정보가 필수적이다. 따라서, 수직면 호밍필터의 설계목적은 탐색기 추적점에 대한 상대기하 $\Delta x$를 추정하고, 이를 기반으로 목표점 $h_d$에 대한 유도정보를 생성하는 것이다.

2.2 운동모델 및 측정모델

식 (3)~(6)에서 시선각 변화율 추정 및 목표점 유도명령 산출의 핵심은 $X$축 상대위치 $\Delta x$와 그 변화율 $\Delta \dot{x}$의 추정임을 알 수 있다. 한편, 식 (1)에서 수직 상대위치 $\Delta z$는 $h_s$와 항법 시스템으로부터 측정된 유도탄 고도 $r_z^m$의 차이로 계산된다. 즉, 표적 추적점 고도 $h_s$가 특정 값으로 주어졌다고 조건화하면, $\Delta z$는 유도탄 고도 측정치에 의해 결정되는 파라미터가 된다. 본 절에서는 이후 제안할 고도 가설 기반 부필터의 기본 모델을 정의하기 위해, 주어진 고도 조건 하에서 표적의 $X$축 위치 및 속도만을 상태변수로 갖는 축소 상태공간 모델을 기술한다.

표적이 지상 혹은 해면에서 등속 운동한다면 표적 동특성 상태공간 방정식 및 측정방정식은 다음과 같이 기술된다.

여기서

을 의미한다. $w(t)$는 표적의 미모델 가속도 혹은 기동 불확실성을 나타내는 공정잡음을, $\nu(t)$는 시선각 측정치의 측정잡음을 의미하며 각각 평균이 0이고 분산 $q_x$, $r_\lambda$를 갖는 백색잡음으로 가정한다.

실시간 구현을 위하여 식 (8)~(9)를 이산화한 이산시간 상태공간방정식은 다음과 같다.

여기서

이며 $T$는 고정된 연산 주기를 의미한다.

Remark 2.2 측정방정식 식 (9)는 상태변수 $r_x^t$ 외에도 탐색기 추적점 고도 $h_s$에 의존한다. 만약 실제 추적점 고도와 다른 단일 고도값 $h_d$를 사용하여 필터를 구성하면, 시선각 예측치에는 구조적인 편향오차가 발생하며, 그 크기는 $\Delta x$가 작아질수록 증가한다. 즉, 탐색기 추적점에 대한 시선각과 목표 타격점에 대한 시선각의 차이 $\delta\lambda$는 다음과 같이 계산된다.

낮은 하각 기하에서 $\Delta x \gg \Delta z, \Delta \tilde{z}$ 라 가정하면, 식 (13)은 다음과 같이 근사된다.

식 (14)를 통해 유도탄이 표적에 근접할수록 $h_d$와 $h_s$의 차이에 의한 시선각 오차 크기가 증가함을 볼 수 있다. 이는 역으로 표적 추적점 고도를 가설로 둔 후 다중모델필터를 구성할 경우, 잘못된 표적 고도 가설에 기반한 부필터의 모델 mismatch가 증가하여 표적 추적점 고도 참값에 가장 가까운 가설의 확률이 빠르게 증가할 것임을 예측할 수 있다.

3.1 표적 고도 가설 기반 상호작용 다중모델필터(AH-IMMF) 알고리듬

식 (7)의 표적 추적점 고도 사전 범위 $[h_{min}, h_{max}]$를 균등 간격으로 $N_h$개 분할하여 가설 집합을 구성한다. 즉, $i$번째 표적 고도 가설 $h_i$는 다음과 같이 정의된다.

그림 2는 제안하는 AH-IMMF의 필터링 프로세스를 도식화한 것이다. 그림에서 $\hat{x}_{k|k}^i, P_{k|k}^i$ 및 $\mu_k^i$ 는 $h_i$에 대응되는 모드의 $k$시점 사후추정치, 사후추정오차 공분산 및 모드 확률을 의미한다. 위 정의에 따라 AH-IMMF 알고리듬은 다음과 같이 구성된다.

Step 1) 필터 초기화 (Initialization)

BOM을 이용한 종말 호밍 시작 시점의 초기 표적 위치 정보 $r_{x0}^t$ 및 초기 위치 및 속도 오차의 표준편차 $\sigma_{x0}, \sigma_{v0}$가 주어진다고 가정한다. 이때, 각 부필터의 초기화를 위한 상태변수 및 추정오차 공분산의 초기값은 다음과 같이 설정한다.

또한, $h_s$에 대한 사전분포가 균등하다고 가정하면 초기 가설확률 $\{\mu_0^i\}_{i=1}^{N_h}$ 은 다음과 같이 정할 수 있다.

Step 2) 트랙 혼합 (Track Mixing)

각 모드가 $k$시점 측정치 갱신을 완료한 후, 동일한 표적 고도 가설로의 경로를 혼합하기 위한 결합확률은 다음과 같이 계산된다.

여기서 $T_{ji}$는 가설 $h_j$에서 $h_i$로의 마코프 천이확률을 의미한다. 표적 고도 자체는 시간에 따라 전이되는 동적 모드가 아니므로, 천이확률 $T_{ij}$는 물리적 고도 전이를 의미하기보다는 초기 모드 확률 고착을 방지하고 측정 누적에 따른 가설 재분배를 허용하기 위하여 적용된다. 따라서 본 논문에서는 대각 성분이 지배적인 near-identity transition을 사용하였다.

식 (18)을 이용하면 $i$번째 표적 고도 가설 모드의 기댓값 및 공분산을 다음과 같이 계산할 수 있다.

Step 3) 시스템 전파 (System Propagation)

식 (11)에서 정의된 시스템 방정식에 따라 $k+1$ 시점으로 시간 전파하면 각 모드의 사전 추정치 및 사전 추정오차 공분산은 다음과 같이 계산된다.

Step 4) 측정치 갱신 (Measurement Update)

식 (12)에서 정의된 비선형 측정방정식에 따라 측정치 갱신을 수행한다. 이때, $i$번째 모드의 예측측정치 $\bar{y}_{k+1}^i$ 산출 시 표적 고도 가설 $h_i$가 적용된다.

여기서

이며 $(r_{x,k+1}^m, r_{z,k+1}^m)$은 유도탄의 $X-Z$축 위치정보를, $\bar{r}_{x,k+1}^{t,i}$은 식 (22)에서 계산된 $i$번째 모드 사전추정치의 $X$축 표적 위치 성분을 의미한다.

Step 5) 모델확률 갱신 (Update Model Probability)

식 (24) 및 (26)에서 계산된 모드별 잔류오차 공분산 및 잔류오차를 이용하여 각 모드의 우도(likelihood) $L_{k+1}^i$ 및 사후확률 $\mu_{k+1}^i$을 계산한 결과는 다음과 같다.

Step 6) 대푯값 및 유도정보 산출

식 (27)~(28)에서 계산된 각 모드의 사후추정치, 사후추정오차공분산을 식 (30)의 사후확률을 이용하여 Gaussian mixing을 수행하면 AH-IMMF의 대푯값은 다음과 같이 계산된다.

또한, 표적 고도 추정치는 식 (30)을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

최종적으로, 식 (31)에서 계산된 대푯값 $\hat{x}_{k+1|k+1}^f$의 $X$축 표적 위치 및 속도 성분을 $\hat{r}_{x,k+1}^t$ 및 $\hat{v}_{x,k+1}^t$라 한다면 목표 탄착점에 대한 시선각 변화율 및 거리변화율, 상대거리 추정치는 다음 식에 따라 계산된다.

여기서

4.1 A-EKF 및 AH-IMMF의 가관측성 분석

먼저, 표적 고도를 연속상태로 포함하는 augmented 상태변수 및 상태전이행렬을 다음과 같이 정의하자.

A-EKF의 세 번째 상태는 표적 추적점의 관성좌표계 수직 위치 $r_{z,k}^t = -h_s$로 정의한다. 따라서 $\Delta z_k = r_{z,k}^t - r_{z,k}^m$이며, $h_s$의 추정치는 $\hat{h}_{s,k} = -\hat{r}_{z,k}^t$로 환산된다. 식 (37)에서 정의된 $x_k^{aug}$에 대해 측정방정식 (12)를 선형화한 결과는 다음과 같다.

여기서

이때, $k = 0, \dots, K$ 구간의 국소 관측가능성(local observability) Gramian $W_o^{aug}$는 다음과 같이 계산된다.

식 (39)에서 $rank(W_o^{aug}) = \dim(x_k^{aug})$가 만족되면 완전 관측 가능하며, 그렇지 않다면 관측 불가능한 방향이 존재한다. rank의 판별을 간결하게 수행하기 위하여 $k$번째 기여벡터 $g_k^{aug}$를 다음과 같이 정의하자.

이 경우, $W_o^{aug}$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

식 (41)을 이용하여 서로 다른 임의의 세 인덱스 $k_1, k_2, k_3$ $(0 \le k_1 < k_2 < k_3 \le K)$에 대한 가관측성을 확인해 보자. $rank(W_o^{aug}) = 3$이 되기 위해서는 관측 윈도우 내 다음 행렬식이 0이 아닌 조합이 존재해야 한다.

$\tan\lambda_k = -\alpha_k / \beta_k$임을 이용하여 식 (42)를 계산하면, A-EKF가 가관측하기 위한 조건은 최종적으로 다음과 같이 정리된다.

여기서 $s(\cdot) = \sin(\cdot), c(\cdot) = \cos(\cdot)$을 의미한다.

Proposition 1. (A-EKF의 가관측성) 관측 윈도우 내 서로 다른 세 시점 $k_1, k_2, k_3 (0 \le k_1 < k_2 < k_3 \le K)$에 대해 식 (43)의 $D_{k_1, k_2, k_3} \neq 0$을 만족하는 조합이 존재한다면, A-EKF의 국소 가관측성 Gramian은 full-rank가 되어 국소 가관측성이 확보된다. 특히, $\lambda_k$가 0에 가까운 저 하각 조건 및 관측 윈도우 내에서 거의 일정하여 시선각 변화율이 0에 가까운 경우($\dot{\lambda}_k \approx 0$) $D_{k_1, k_2, k_3}$가 0 또는 0에 가까워져 가관측성이 약화된다.

한편, AH-IMMF의 각 부필터에서는 표적 고도가 가설에 의해 조건부로 고정되므로, $i$번째 부필터의 상태벡터는 $x_k^i = [r_{x,k}^{t,i}, v_{x,k}^{t,i}]^T$로 2차원이다. 따라서, 표적 고도 상태가 제거될 경우 식 (37)의 상태천이행렬 및 (38)의 측정 Jacobian의 해당 열 또한 사라진다.

식 (44)를 이용하여 기여벡터 $g_k^i$를 구하면

따라서, 임의의 관측 시퀀스 $k_1, k_2 (0 \le k_1 < k_2 \le K)$에 대하여 가관측성이 만족할 조건은 다음과 같다.

이때, $k_2 - k_1 \neq 0$이므로 $\lambda_{k_1}^i, \lambda_{k_2}^i \neq 0$이라면 가관측성이 만족한다.

Proposition 2 (AH-IMMF 부필터의 가관측성) $i$번째 부필터의 상태벡터 $x_k^i = [r_{x,k}^{t,i}, v_{x,k}^{t,i}]^T$는 관측 윈도우 내 서로 다른 두 시점에서 $\lambda_k^i \neq 0$, 또는 동등하게 $\Delta z_k^i \neq 0$이 만족되면 국소 가관측성을 갖는다. 따라서 AH-IMMF 부필터의 가관측성 조건은 A-EKF와 달리 시선각 변화율에 직접 의존하지 않는다.

Proposition 1~2를 비교하면, A-EKF는 관측 윈도우 내 세 시점의 기하 변화, 즉 시선각 및 시선각 변화율의 크기가 식 (43)의 $D_{k_1, k_2, k_3} \neq 0$을 만족할 만큼 충분해야 국소 가관측성이 확보된다. 반면, AH-IMMF의 각 부필터는 고도 가설이 조건부로 고정되어 상태변수 차원이 감소하므로, 서로 다른 두 시점에서 $\lambda_k^i \neq 0$이면 국소 가관측성을 확보한다.

4.2 국소 Fisher 정보행렬(Fisher Information Matrix: FIM) 및 추정 성능 분석

상태변수 $x_k \in \mathbb{R}^n$에 대하여 측정모델 식 (12)에 대한 FIM(Fisher Information Matrix)은 다음과 같이 정의된다^[12].

식 (47)에서 PDF(probability density function) $p(\lambda_k|x_k)$는 다음과 같이 정의된다.

위의 정의를 이용하여 A-EKF의 FIM을 구해보자. 식 (48)을 식 (47)에 대입하고, 식 (37) ~ (38)의 정의를 이용하여 조건부 기댓값 내부 Hessian을 계산하면

여기서 $e_k^{aug} = \lambda_k - h(x_k^{aug})$를 의미한다. 식 (49)에 기댓값 $E_{\lambda_k|x_k^{aug}}\{\cdot\}$을 취하면 식 (47)은 다음과 같이 정리된다.

이때, $k = 0, \dots, K$에 대한 누적 FIM을 계산하기 위해서는 식 (50)의 $J_k^{aug}$를 동일한 시점의 상태변수에 대해 정의할 필요가 있다. $x_k^{aug} = \Phi^{aug}(k,0)x_0^{aug}$임을 이용하여 $k=0$ 시점에 대한 FIM을 구하면 다음과 같다.

각 시점의 측정잡음 $\nu_k \sim N(0, r_\lambda)$가 서로 독립이므로 log-likelihood는 합산된다.

위 성질을 이용하면 누적 FIM $J_c^{aug}$은 다음과 같이 계산된다.

누적 FIM의 역행렬 $(J_c^{aug})^{-1}$의 (1,1) 성분 및 (3,3) 성분은 각각 관측 윈도우 $k=0, \dots, K$에 대한 $X, Z$ 축 초기 위치추정치 $\hat{r}_{x,0|K}^t$ 및 $\hat{r}_{z,0|K}^t$의 CRLB를 의미한다. 식 (53)의 정의에 따라 $X, Z$축 위치정보의 CRLB는 다음과 같이 계산된다.

여기서

을 의미하며 Lagrange 항등식을 사용하면 다음과 같이 계산된다.

다음으로, 식 (54) 및 (55)의 분모에 들어가는 행렬식 $\det(J_c^{aug})$을 계산해 보자. 식 (41)에 대하여 Cauchy-Binet 공식을 사용하면 분모항은 다음과 같이 계산된다.

여기서 $D_{k_1, k_2, k_3}$는 식 (43)에서 구한 값과 동일하다.

Remark 4.1 관측 윈도우 내에서 $\dot{\lambda}_k \to 0, \lambda_k = \lambda_0 \forall k \in [0, \dots, K]$라면 $\alpha_k \to -\sin\lambda_0 / R_k, \beta_k \to \cos\lambda_0 / R_k$ 가 된다. 이를 식 (43)에 대입하면 $\det(J_c^{aug}) = 0$ 이 되며, $X, Z$ 축에 대한 CRLB가 동시에 발산하게 된다. 이러한 현상은 시선각의 크기와는 무관하게 성립되므로, 시선각이 큰 값을 갖더라도 시선각 변화율의 크기가 0에 가깝다면 A-EKF의 CRLB는 발산하게 된다.

동일한 방법으로 제안하는 AH-IMMF의 각 부필터의 CRLB를 계산해 보자. AH-IMMF의 i번째 부필터의 누적 FIM $J_c^i$는 식 (44)-(46)의 정의에 의해 다음과 같이 계산된다.

Lagrange 항등식을 적용하여 관측 윈도우 $k=0, \dots, K$에 대한 $X$축 초기 위치추정치 $\hat{r}_{x,0|K}^{t,i}$의 CRLB를 구하면 다음과 같다.

여기서

Remark 4.2 식 (60)에 따르면 AH-IMMF 각 부필터의 CRLB는 관측 윈도우 $k=0, \dots, K$ 내 모든 시점에서 $\lambda_k^i \to 0$, 즉 $\alpha_k^i \to 0$가 되어 $J_c^i$의 행렬식이 0으로 퇴화하는 경우 발산한다. 따라서, $\Delta z_k^i$가 관측 윈도우 전체에서 0에 가까워지는 특수한 기하가 아니라면 A-EKF의 CRLB와 달리 $\dot{\lambda}_k \to 0$이더라도 $J_c^i$의 행렬식은 0으로 퇴화하지 않으며 CRLB는 유한하게 유지된다. 일반적인 하강 교전 기하에서는 유도탄이 특정 가설 고도와 동일한 고도를 관측 윈도우 전체에서 지속적으로 유지하지 않으므로, AH-IMMF 부필터의 CRLB는 유한하게 유지된다.

5.1 공칭궤적에 대한 추정성능

본 절에서는 2차원 수직면 교전 상황을 가정하여, 시선각 변화율 참값을 사용한 유도탄 공칭궤적에 대한 기존기법과 AH-IMMF의 추정성능을 분석한다. 공칭 교전 기하는 그림 3과 같으며, 해당 궤적에서의 유도탄 가속도 명령 및 응답, 시선각 변화율 및 시선각은 그림 4에 도시하였다. 유도탄-표적 궤적은 종말 호밍 시작 시점의 상대거리 $R_0$로 정의하여 정규화하였으며, 가속도 응답 및 명령 $a_B^m$는 최대 가속도 $a_{max}$로 정규화하였다. 탐색기 추적점의 기준고도는 $h_s$, 목표 타격 고도 $h_d$로 정의한다. 초기 헤딩오차 5 deg를 가정하며, 표적으로의 유도 기법으로는 비례항법유도(Proportional navigation guidance: PNG)가 적용되었다. 탐색기의 측정잡음은 백색 잡음으로 가정한다.

필터 성능검증을 위한 몬테칼로 시뮬레이션 횟수는 100회다. 그림 5는 표적 $X$축 위치 및 속도 추정치에 대한 RMSE (root mean square error)와 BCRLB (Bayesian CRLB)를 나타내며, AH-IMMF의 BCRLB는 참 고도 가설에 조건부로 대응되는 부필터의 성능 하한으로 계산하였다. 그림 6은 표적 고도 추정오차의 평균 및 표준편차를 나타낸다. 그림에서 실선은 평균을, 음영 영역은 표준편차를 뜻한다. 또한, 그림 7은 AH-IMMF의 표적 고도 가설의 사후확률을 몬테칼로 평균한 뒤 로그 스케일로 도시한 결과이다. 먼저, 추정하는 물리량의 $m$번째 몬테칼로 시행의 $k$시점 참값을 $\chi_{k,m}$라 하고, 해당 인덱스의 각 필터 추정치를 $\hat{\chi}_{k,m}$라 한다면 RMSE는 다음과 같이 정의된다.

또한, 필터 RMSE 하한의 이론적 근사값인 BCRLB는 다음과 같이 정의되며, 공칭궤적에 대하여 재귀적으로 산출된다^[11].

그림 5에서 볼 수 있듯, AH-IMMF의 RMSE 및 BCRLB는 대부분의 시구간에서 A-EKF에 비해 작게 나타났다. 이는 제안하는 필터가 4장에서 분석한 바와 같이 기존기법에 비해 완화된 가관측성 조건을 가지며, 필터의 차원 감소 및 $X, Z$축 오차의 결합특성 완화가 추정성능 향상을 야기함을 보여주는 결과이다. 한편, 제안 기법은 각 부필터의 가설확률이 충분히 수렴하지 않는다면 모드 병합 과정에서 오히려 오차가 증가할 수 있으나, 가설확률은 그림 7에서 볼 수 있듯이 표적에 가까워질수록 표적 고도 가설 참값에 수렴한다. 이는 2장 Remark 2.2의 해석결과, 즉 표적과 유도탄이 가까워질수록 잘못된 고도 가설에 대한 모델 mismatch 및 잔류오차가 증가하기 때문이다. 위 결과를 종합하면, 우수한 가관측성을 갖는 부필터를 병렬로 구조화함으로써 얻는 오차 감소가 모드 병합에 의한 추정오차 증가 수준에 비해 더 크다는 것을 볼 수 있다.

한편, 또 하나 특기할 점은 그림 5의 초기 구간 기존기법에서 발생한 RMSE의 일시적 증가가 제안기법에서는 나타나지 않는다는 점이다. 이러한 초기오차 증가 현상은 잘못된 초기 예측치 주변에서 선형화를 수행하는 EKF의 고질적인 문제이다^[13]. 즉, A-EKF의 경우 초기 추정오차가 $X$축 위치와 고도 보정으로 잘못 분배되면서 일시적인 상대거리 오차 피크를 유발하지만 제안기법은 각 부필터에서 $X$축 성분을 고도 가설 조건부로 추정하므로, 이러한 초기오차 증폭 현상이 상대적으로 작게 나타난 것으로 볼 수 있다. 기존기법에서 나타난 이러한 오차 피크 현상은 초기오차가 증가하고, 가관측성이 부족할수록 더욱 심화되며 최악의 경우 필터가 발산할 수 있다.

다음으로, 그림 8은 유도에 직접적으로 사용되는 시선각 변화율, 시선각, 상대거리 오차의 평균과 표준편차를 나타낸 것이다. 그림에서 실선은 몬테칼로 시뮬레이션 오차 평균을, 음영 영역은 오차 표준편차를 나타낸다. 시선각 변화율 추정오차의 경우, 기존기법은 종말구간에 가까워질수록 오차가 빠르게 증가하고 표준편차도 크게 확대되는 경향을 보였다. 반면 제안기법은 시선각 변화율 오차의 발산이 더 늦게 발생하였으며, 오차 평균과 표준편차 모두 기존기법보다 작게 유지되었다. 이는 제안기법이 고도 불확실성을 모드 확률로 분리함으로써, 잘못된 고도 추정이 시선각 변화율 산출에 직접적으로 누설되는 현상을 완화하기 때문으로 해석된다. 시선각 및 상대거리 추정오차의 경우 제안기법의 시선각 추정오차 평균은 0에 수렴하며 표준편차 또한 기존기법 대비 작게 유지되었다. 또한, 기존 A-EKF의 경우 시선각 추정오차 및 상대거리 추정오차에 편향이 존재하였고, 표준편차 역시 제안기법보다 크게 나타났다. 특히, 기존기법의 상대거리 추정오차에 교전 초반 피크가 발생함을 볼 수 있는데, 이는 앞서 기술한 위치오차 RMSE 피크 발생과 동일한 현상이다. 종합하면, 공칭궤적 기반 추정성능 비교에서 제안기법은 상태 추정 RMSE, BCRLB, LOS-rate, LOS-angle 및 상대거리 추정오차 모두에서 기존 A-EKF보다 우수한 성능을 보였다.

5.2 종말 호밍성능

본 절에서는 제안기법의 추정성능 개선이 실제 종말 호밍성능으로 이어지는지를 확인한다. 이를 위해 탐색기 측정잡음 표준편차와 초기 $X$축 위치 오차를 변화시키며 폐루프 몬테칼로 모의실험을 수행하였다. 그림 9는 $X$축 표적 위치 초기오차를 고정한 후, 탐색기의 시선각 측정잡음 표준편차를 증가시키며 A-EKF 및 AH-IMMF의 유도오차 평균 및 표준편차를 그린 결과이다. 또한, 그림 10은 탐색기 측정잡음 표준편차를 고정한 후, 각 필터의 $X$축 초기오차를 증가시키며 A-EKF 및 AH-IMMF의 유도오차 평균 및 표준편차를 그린 결과이다. 종말 유도오차는 목표 탄착점과 유도탄의 모의실험 상 최소거리로 산출하였으며, 그림에서 종말 유도오차의 평균을 실선으로, 표준편차를 음영 영역으로 도시하였다.

먼저, 그림 9에서 볼 수 있듯, 제안기법은 설정한 측정잡음 전 범위에서 유도오차 평균이 안정적으로 유지되었으며, 측정잡음 증가에 따라 완만하게 단조 증가하는 경향을 보였다. 반면, 기존 A-EKF는 측정잡음이 증가함에 따라 유도오차 평균이 상대적으로 증가함을 확인할 수 있다. 표준편차 또한 기존기법이 제안기법보다 전반적으로 크게 나타났으며, 이는 기존기법이 측정잡음 증가에 대해 더 민감한 추정 및 유도응답을 보임을 의미한다.

또한, 그림 10에서 AH-IMMF의 유도오차 평균과 표준편차는 초기오차가 큰 경우에도 작은 범위 이내로 일정하게 유지된다. 이는 AH-IMMF의 부필터가 초기오차와 무관하게 관측 가능한 구조를 가지며, 측정이 누적됨에 따라 가설 식별이 정상적으로 이루어지기 때문이다. 반면, A-EKF의 유도오차 평균은 상대적으로 큰 값을 가짐을 알 수 있으며, 표준편차 역시 초기오차가 커짐에 따라 증가하는 패턴을 보인다. 특히, 기존기법의 경우 초기오차가 가장 큰 케이스에서 과도 유도오차가 발생하여 유도에 실패하는 경우가 나타났다. 이는 필터의 위치 추정오차가 교전 초반부터 발산하여 유도명령 산출이 불가능해진 데 기인한다. 이러한 추정 발산은 4장에서 분석한 바와 같이 A-EKF의 구조적 취약성과 직결된다. 두 결과를 종합하면, AH-IMMF는 측정 잡음 및 초기 추정오차 모두에 대해 A-EKF보다 우수한 종말 유도 성능과 강인성을 나타낸다.