2.1 시스템 구성

본 논문의 계통 구성은 그림 1과 같다. GFM 인버터는 3상 전압원 인버터와 LCL 필터로 구성되며, 인버터 측 필터 $L_{f1}$, 필터 커패시터 $C_{f}$, 변압기 측 $L_{f2}$를 통해 공통 연계점(Point of Common Coupling, PCC)에 연결된다. PCC 이후에는 변압기와 계통 등가 임피던스 $Z_{th}$를 거쳐 무한모선으로 접속되며, 계통 임피던스는 저항과 인덕턴스로 이루어진 $R-L$ 등가로 표현된다. 계통 강도는 단락비로 정의되며, 본 논문에서는 동일한 인버터 및 제어 파라미터 조건에서 $Z_{th}$를 조정하여 서로 다른 SCR 조건을 구현하였다. SCR은 정격 용량 $S_{base}$에 대한 계통의 단락 용량의 비로 정의되며, 계통 등가 임피던스의 크기 $|Z_{th}|$는 다음과 같이 결정된다.

여기에서 $V_{base}$와 $S_{base}$는 각각 정격 전압과 정격 용량이다. 계통 임피던스는 저항 R과 리액턴스 X로 구성되며, R과 X는 각각 다음과 같이 계산된다.

그림 1 GFM 인버터의 시스템 구성 및 제어 블록도

Fig. 1 System configuration and control block diagram of the GFM inverter

인버터의 제어는 크게 전력 동기화를 담당하는 VSG 제어부와 전압 및 전류를 조절하는 이중 루프 제어부로 구성된다. PCC의 3상 전압 $V_{abc}$와 전류 $i_{abc}$는 VSG가 생성한 위상 $\theta_{vsg}$를 기준으로 dq 좌표계로 변환되어 제어에 이용되며, 제어기가 산출한 $V_{dq\_ref}$는 다시 $\theta_{vsg}$를 기준으로 abc 좌표계로 역변환되어 인버터에 인가된다. 시스템 및 제어 파라미터는 표 1과 같다.

2.2 VSG 제어

VSG 제어는 동기발전기의 스윙 방정식을 모사하여 유효전력과 위상 간의 동기화를 구현한다. 유효전력 기준값 $P_{ref}$와 측정 유효전력 $P_{out}$의 편차에 대해, 가상 관성 $J$와 감쇠계수 $D$를 갖는 다음의 관계로부터 각주파수 편차 $\Delta\omega$가 결정된다.

여기서 측정된 유효전력은 시정수 $T_m$을 갖는 1차 저역 통과 필터를 거친 값이다.

2.3 상태공간 선형화 모델

앞서 기술한 VSG 제어 및 이중 루프 제어를 종합하여 정상상태 운전점 근방에서 선형화한 소신호 상태공간 모델을 수립하였다. 상태변수는 인버터 측 전류 $i_{1d}$, $i_{1q}$, 커패시터 전압 $v_{cd}$, $v_{cq}$, 계통 측 전류 $i_{2d}$, $i_{2q}$와 전압 및 전류 PI 제어기의 적분 상태 $\gamma_{vd}$, $\gamma_{vq}$, $\gamma_{id}$, $\gamma_{iq}$, 유효 및 무효전력 측정값, VSG 각주파수 편차 $\Delta\omega$ 및 VSG 위상각 $\theta$로 구성되어 총 14개이다.

상태변수를 $x$, 입력을 $u$로 하여 선형화하면 소신호 상태공간 모델은 다음과 같이 표현된다.

입력은 무한모선 전압의 dq 성분, 출력은 계통 측 전류의 dq 성분으로 정의하였으며, 계통 임피던스를 상태공간 모델에 포함하였으므로 산출되는 어드미턴스는 계통 강도의 영향이 반영된 형태를 가진다.

3.1 dq축 어드미턴스 행렬

2장에서 수립한 상태공간 모델로부터, 무한모선 전압 섭동에 대한 계통 측 전류 응답으로 정의되는 어드미턴스 행렬을 유도할 수 있다. 라플라스 영역에서 어드미턴스 행렬은 다음과 같이 표현된다.

d축과 q축 간의 교차 결합으로 인해 $Y(s)$는 다음과 같은 $2 \times 2$ 행렬 형태를 가지며, 비대각 성분 $Y_{dq}$, $Y_{qd}$가 존재하는 MIMO 특성을 나타낸다.

3.2 MIMO 일반화 나이퀴스트 판별법

계통에 연계된 인버터 시스템의 안정도는 인버터의 어드미턴스와 계통 임피던스의 상호작용으로 결정된다. 이때 안정도 판별을 위해 계통을 분리한 인버터 어드미턴스 $Y_{inv}(s)$를 정의하고, 계통 임피던스를 $Z_g(s)$로 나타내면, 두 부분 요소의 상호작용에 대한 개루프 이득 행렬은 다음과 같이 정의된다.

여기서 $Y_{inv}(s)$와 $Z_g(s)$는 모두 dq 좌표계의 $2 \times 2$ 행렬이므로 $L(s)$ 또한 $2 \times 2$ MIMO 전달함수 행렬이 된다. 이러한 시스템의 안정도는 개루프 이득 행렬의 고유치 궤적을 이용하는 일반화 나이퀴스트 판별법을 통해 해석한다.

일반화 나이퀴스트 판별법에서는 $L(s)$의 두 고유치 $\lambda_1(j\omega)$, $\lambda_2(j\omega)$의 궤적을 주파수 $\omega$에 대해 그린다. 각 고유치 궤적이 복소평면 상의 임계점 (-1, 0)을 감싸는 횟수를 통해 폐루프 시스템의 안정도를 판별하며, 고유치 궤적이 임계점에 가까울수록 안정도 여유가 작음을 의미한다.

4.1 상태공간 모델 검증

SCR=3 조건에서 식 (5)로 산출한 dq축 어드미턴스 행렬을 PSCAD/EMTDC 시뮬레이션 결과와 비교하였다. PSCAD/EMTDC에서는 무한모선 정격 전압의 0.001[pu] 정현파 섭동을 d축과 q축에 각각 인가하고, 각 주파수에서 정상상태 전압 및 전류 응답을 정현파 피팅하여 크기와 위상을 추출한 뒤 dq축 어드미턴스를 산출하였다. 1Hz부터 1kHz까지 상태공간 모델과 PSCAD/EMTDC 결과의 크기 및 위상 차이에 대한 평균 제곱근 오차(RMSE)를 산출한 결과, 모든 어드미턴스 성분에서 크기 RMSE는 0.74[dB] 이하, 위상 RMSE는 2.89[deg] 이하로 나타났다.

그림 2 SCR=3에서 어드미턴스 행렬 비교

Fig. 2 Comparison of the admittance matrix at SCR=3

그림 2에서 상태공간 모델이 인버터의 주파수 영역 특성을 잘 반영함을 확인하였다. 이어서 시간 영역 동특성을 고유치로 분석하였다. 기준 조건에서는 지배 극점의 진동이 충분히 감쇠되어 관찰이 어려우므로, 감쇠계수 $D$를 낮춰 시스템이 불안정해지는 영역에서 이를 확인하였다.

SCR=3 조건에서 감쇠계수 $D$를 1[pu]부터 0.05[pu]까지 감소시켜 상태공간 모델의 고유치 궤적을 도출하였다. 감쇠계수가 작아질수록 지배 극점은 점차 우반평면으로 이동하였으며, 이때 지배 극점의 허수부에 해당하는 진동 주파수가 PSCAD/EMTDC 유효전력 응답에서 나타난 발산 진동의 주파수와 일치하는 것을 확인하였다.

그림 3 SCR=3 조건에서 감쇠계수 감소에 따른 근궤적

Fig. 3 Root locus for varying damping coefficient at SCR=3

감쇠계수 1[pu]와 0.05[pu]에서의 극점 위치와 이에 해당하는 진동 주파수를 표 2에 정리하였다.

이를 시간 영역에서 확인하기 위해, PSCAD/EMTDC에서 감쇠계수를 1[pu]로 설정하여 유효전력을 1[MW]로 출력하고 정상상태에 도달한 뒤, 감쇠계수를 0.05[pu]로 변경하였다. 그 결과 유효전력 응답에 진동이 발생하며 발산하였고, 이때 진동 주파수가 표 2에 제시한 진동 주파수와 유사한 것을 확인하였다.

그림 4 감쇠계수 변경에 따른 유효전력 응답

Fig. 4 Active power response with a change in damping coefficient

상태공간 모델의 시간 영역 응답을 PSCAD/EMTDC와 직접 비교하였다. SCR=3 조건에서 유효전력 지령을 1[MW]에서 2[MW]로 변화시켰을 때의 유효전력 응답을 두 모델에서 각각 비교한 결과, 과도 구간의 진동을 포함한 전체 파형이 서로 잘 일치하였다.

그림 5 SCR=3에서 유효전력 응답 비교

Fig. 5 Comparison of the active power response at SCR=3

어드미턴스 행렬, 극점 위치, 유효전력 응답 비교를 통해 수립한 상태공간 모델이 주파수 영역 특성과 시간 영역 동특성을 모두 잘 반영함을 확인하였다.

4.2 계통 강도에 따른 안정도 변화

앞서 검증한 상태공간 모델을 이용하여 계통 강도가 안정도에 미치는 영향을 분석하였다. 감쇠계수를 1[pu]로 고정하고 SCR을 3, 7, 10으로 변화시키며 유효전력 지령 변화에 대한 응답을 비교하였다.

그림 6 SCR 변화에 따른 유효전력 응답 비교

Fig. 6 Comparison of the active power response for different SCR values

SCR이 증가할수록 과도 구간의 진동 크기가 커지고 감쇠되기까지 더 많은 진동이 나타나는 것을 확인하였다. 이는 계통 강도가 강해질수록 시스템의 감쇠 특성이 저하됨을 의미한다.

이러한 경향을 주파수 영역에서 확인하기 위해, 동일한 SCR 조건에 대해 식 (7)의 개루프 이득 행렬로부터 일반화 나이퀴스트 선도를 도출하였다. 앞서 기술한 바와 같이 고유치 궤적과 임계점 사이의 거리를 통해 SCR에 따른 안정도 여유를 비교할 수 있다.

그림 7 SCR 변화에 따른 일반화 나이퀴스트 선도

Fig. 7 Generalized Nyquist plots for different SCR values

SCR이 증가할수록 고유치 궤적이 임계점 (-1, 0)에 근접하는 것을 확인할 수 있으며, 이는 계통 강도가 강해질수록 안정도 여유가 감소됨을 의미한다.

4.3 가상임피던스 적용

강계통 조건에서 저하되는 안정도 여유 개선을 위해 전압 제어 루프에 가상 임피던스를 적용하였다^{[11~ 12]}. 가상 임피던스는 실제 소자를 추가하지 않고 가상 저항 $R_v$와 가상 리액턴스 $X_v$에 의한 전압 강하를 전압 지령에 반영하는 방식으로 구현되며, dq 좌표계에서 다음과 같이 표현된다.

식 (8)과 (9)의 전압 성분이 전압 제어 루프에 반영되는 구조는 그림 8과 같다. 측정된 dq축 전류로부터 가상 임피던스의 전압 강하를 계산하여 전압 지령에 반영한다. 가상 저항 성분은 감쇠 특성을, 가상 리액턴스 성분은 계통과의 전력 전달 특성을 조정하는 역할을 한다.

그림 8 가상 임피던스가 적용된 제어 루프

Fig. 8 Control loop with virtual impedance

가상 리액턴스에 의한 등가 인덕턴스 증가는 강계통 연계 GFM 인버터의 소신호 안정 영역을 확대할 수 있음이 분석된 바 있다^[13]. 본 연구에서는 안정도 개선과 전압 강하를 함께 고려하여 $R_v = 0.05[\text{pu}]$, $X_v = 0.2[\text{pu}]$로 설정하였다. $R_v$는 전압 강하를 제한하면서 감쇠 개선 효과를 확보하고, $X_v$는 본 연구의 SCR 범위에서 강계통 안정도 개선을 고려한 값이다. 가상 임피던스 적용 조건에서도 동일한 방식으로 산출한 어드미턴스를 PSCAD/EMTDC 결과와 비교하였다.

그림 9 SCR=3에서 가상 임피던스 포함 어드미턴스 행렬 비교

Fig. 9 Comparison of the admittance matrix with virtual impedance at SCR=3

가상 임피던스 적용 조건에서도 동일한 방법으로 정량적 일치도를 평가한 결과, 모든 어드미턴스 성분의 크기 및 위상 RMSE는 각각 0.73[dB], 2.81[deg] 이하로 나타났다.

가상 임피던스의 적용이 어드미턴스 특성을 어떻게 변화시키는지 확인하기 위해, 동일한 조건에서 가상 임피던스 적용 전후의 어드미턴스 행렬을 비교하였다.

그림 10 가상 임피던스 적용 전후의 어드미턴스 행렬 비교

Fig. 10 Comparison of the admittance matrix with and without virtual impedance

가상 임피던스가 적용된 조건에서도 상태공간 모델이 시간 영역 응답을 정확히 반영하는지 확인하기 위해, 앞서 가상 임피던스를 적용하지 않은 경우와 동일하게 유효전력 지령은 1[MW]에서 2[MW]로 변화시켰을 때의 응답을 상태공간 모델과 PSCAD/EMTDC에서 각각 비교하였다.

그림 11 가상 임피던스 적용 시 유효전력 응답

Fig. 11 Active power response with virtual impedance

SCR=3, 7, 10의 모든 조건에서 상태공간 모델과 PSCAD/EMTDC의 유효전력 응답이 잘 일치하였다. 과도 구간에서 나타나는 오버슈트의 크기와 진동의 주기, 그리고 정상상태에 도달하기까지의 거동이 두 결과에서 유사하게 나타났으며, 이는 가상 임피던스에 의한 전압 강하 성분이 상태공간 모델에 적절히 반영되었음을 의미한다.

가상 임피던스의 적용이 유효전력 응답에 미치는 영향을 확인하기 위해, 동일한 SCR 조건에서 가상 임피던스 적용 전후의 유효전력 응답을 비교하였다.

그림 12 가상 임피던스 적용 전후의 유효전력 응답 비교

Fig. 12 Comparison of the active power response with and without virtual impedance

가상 임피던스를 적용한 경우 모든 SCR 조건에서 과도 구간의 진동이 감소하였으며, SCR 증가에 따라 진동이 심화되던 경향 또한 완화되었다. 이를 통해 가상 임피던스의 적용이 강계통 조건에서 증가하는 유효전력 진동을 억제함을 확인하였다. 이러한 개선 효과를 주파수 영역에서 확인하기 위해, 동일한 SCR 조건에 대해 일반화 나이퀴스트 선도를 도출하여 비교하였다. 이를 통해 시간 영역과 주파수 영역에서 나타나는 개선 경향의 일관성을 함께 확인하였다.

그림 13 가상 임피던스 적용 전후의 나이퀴스트 선도

Fig. 13 Nyquist plots with and without virtual impedance

가상 임피던스를 적용한 경우 모든 SCR 조건에서 고유치 궤적이 임계점 (-1, 0)으로부터 멀어지는 것을 확인할 수 있다. 이는 강계통 조건에서 저하되었던 안정도 여유가 가상 임피던스의 적용을 통해 개선되었음을 의미하며, 앞서 유효전력 응답에서 확인한 진동 억제 효과와도 일치하는 결과이다. 다만 일반화 나이퀴스트 선도만으로는 조건별 개선 정도를 직접 비교하기 어려우므로, 안정도 여유 지표를 통해 이를 보다 명확하게 정량화하였다. 이러한 개선 효과를 정량적으로 비교한 결과는 표 3과 같다. 이때 표 3의 안정도 여유 지표 $\eta_{\sigma}$는 식 (10)과 같이 정의된다.

여기서 $\sigma_{\min}$은 최소 특이값을 의미하며, 안정도 여유 $\eta_{\sigma}$는 주파수별 $\sigma_{\min}[I + L(j\omega)]$ 중 가장 작은 값으로 결정된다. 이는 SISO 시스템에서 나이퀴스트 선도와 임계점 (-1, 0) 사이의 최소 거리 개념을 MIMO 시스템으로 확장한 지표로, $\eta_{\sigma}$가 작을수록 $I + L(j\omega)$가 특이행렬에 가까워져 안정도 여유가 감소함을 의미하며, 값이 클수록 상대적으로 큰 안정도 여유를 나타낸다. 표 3에서 안정도 여유 $\eta_{\sigma}$는 가상 임피던스 적용 시 SCR=3, 7, 10에서 각각 약 2.1, 3.5, 4.2배로 증가하였다. 이를 통해 SCR이 증가할수록 가상 임피던스 적용에 따른 안정도 여유 개선 효과가 크게 나타남을 정량적으로 확인하였다.

가상 저항과 가상 리액턴스의 개별적인 영향을 확인하기 위해 동일한 운전 조건에서 $R_v$와 $X_v$를 각각 단독 적용한 경우의 안정도 여유를 추가로 비교하였으며, 그 결과를 표 4에 나타내었다. 모든 SCR 조건에서 $X_v$를 단독 적용한 경우가 $R_v$를 단독 적용한 경우보다 큰 안정도 여유를 나타냈다. 또한 표 3의 $R_v$와 $X_v$를 동시에 적용한 결과와 비교하면 두 성분을 함께 적용한 경우 가장 큰 안정도 여유를 나타냈다. 이는 본 연구 조건에서 가상 리액턴스가 안정도 개선에 더 크게 기여하며, 두 성분을 함께 적용할 때 추가적인 개선이 나타남을 의미한다.

한편 가상 임피던스는 소신호 안정도 개선 외에도 전류 제한, 전압 변동 및 전력 전달 특성에 영향을 미칠 수 있다. 기존 연구에서는 가상 임피던스가 고장 전류 제한에 활용될 수 있으나 초기 과전류 제한 성능에 한계가 있을 수 있으며, 등가 임피던스 증가에 따라 최대 전달 전력이 감소할 수 있음이 보고되었다^[14]. 또한 가상 임피던스의 증가는 안정도 여유를 향상시키는 반면 출력 전압 편차를 증가시킬 수 있다^[15]. 따라서 실제 적용 시에는 이러한 실용적 영향과 소신호 안정도 개선 효과 사이의 trade-off를 함께 고려할 필요가 있다.