1. 서 론

3상 농형 유도전동기는 구조가 간단하고 튼튼하며, 저가격의 장점으로 폭넓게 사용되고 있는데, 동기속도 이상의 영역에서 운전하여 유도발전기로 사용하는 경우가 많다^{[1- 4]}.

3상 농형 유도발전기의 해석은 3상 농형 유도전동기의 등가회로를 이용해서 하는데, 유도전동기의 정격의 조건에서의 등가회로 정수를 사용한다^{[1- 4]}. 등가회로 정수 중 자화인덕턴스는 철심의 B-H 곡선에 의해서 결정되는데, B-H 곡선은 자화전류의 증가에 따른 자속의 증가가 비선형적인 특성을 나타내며, 자기포화 현상을 나타내게 되므로 자화인덕턴스는 자화전류의 변화에 따라 변화하게 된다.

^[5]와 ^[6]은 자기여자 유도발전기에 관한 연구인데 자화전류의 증가에 따라 자기포화로 인해서 자화인덕턴스가 감소하는 모습을 제시하였으며, ^[6]은 자화전류의 증가에 따른 인덕턴스의 감소를 2차 함수로 근사화하는 방법을 제안하였다. 그런데 자화인덕턴스가 일정한 것으로 놓고 해석한 결과와 자화인덕턴스의 변화를 고려한 해석 결과를 비교한 연구가 없으므로 이에 관한 연구가 필요하다.

본 논문에서는 3상 농형 유도전동기를 유도발전기로 사용할 때 자화인덕턴스를 자화전류의 증가에 따라 2차함수 및 분수함수의 형태로 감소하는 것으로 설정하여 유도발전기의 특성을 해석한다. 특정 슬립의 조건에서 고정자전류, 회전자전류 및 자화전류를 구하기 위해서는 자화인덕턴스를 알아야 하는데 자화전류를 모르므로 정확한 자화인덕턴스를 알 수 없다. 이러한 문제를 해결하기 위하여 본 논문에서는 특정 슬립에서 자화인덕턴스의 초기값을 가정하여 해석을 해서 자화전류를 구한 다음 자화전류에 대응하는 자화인덕턴스를 구하는데 이러한 자화인덕턴스도 초기값을 가정해서 구한 것이므로 정확한 값이 아니므로 새롭게 구한 자화인덕턴스를 이용해서 다시 자화전류를 구하게 되는데 이러한 과정을 반복해서 수행하는 방법을 제안한다.

해석결과를 통해서 제안한 방법에 의한 반복계산에 의해서 구한 자화인덕턴스의 값이 수렴함을 보이며, 정격의 조건에서의 자화인덕턴스의 값으로 일정하게 설정한 기존의 해석 결과와 제안한 방법의 전류, 출력, 효율 등의 해석결과를 비교하여 자화인덕턴스의 변화를 고려한 해석이 미치는 영향에 대해서 살펴본다.

2. 3상 농형 유도전동기

3상 농형 유도전동기의 1상당 등가회로는 그림 1과 같다.

여기서 $\dot{V}_1$은 상전압, $r_1$은 고정자저항, $x_1$은 고정자누설리액턴스, $r_2$는 회전자저항, $x_2$는 회전자누설리액턴스, $s$는 슬립, $x_m$은 자화리액턴스이다.

^[4]는 유도기의 등가회로의 전압방정식을 풀어서 전류를 구한 후 토크, 입력, 효율 등의 다양한 특성을 해석한다. 본 논문에서는 ^[4]의 방법을 적용하여 유도발전기를 해석한다. 그림 1의 등가회로에 전압방정식을 세우면 식 (1)과 같다.

$\dot{V}_1 = V_1 \angle 0^\circ$로 놓고 $\dot{I}_1$ 및 $I_1$을 구하면 다음과 같다.

여기서 $A = r_1 R_2 - X_1 X_2 + x_m^2$, $B = r_1 X_2 + R_2 X_1$, $X_1 = x_1 + x_m$, $R_2 = \dfrac{r_2}{s}$, $X_2 = x_m + x_2$이다.

$\dot{I}_2$와 $I_2$는 다음과 같다.

$\dot{I}_m$은 식 (6)과 같다.

토크 $T$는 식 (7)과 같다. 토크는 $\dfrac{r_2}{s}$에서 소비되는 전력을 동기각속도로 나누어서 구하는데, 3상이므로 상수 3을 곱한다. $I_2$는 회전자전류의 최대치이므로 $\sqrt{2}$로 나누어서 실효치를 계산에 사용한다.

여기서 동기각속도 $\omega_s$는 $2\pi f$를 극쌍수로 나눈 것이며, $f$는 전원의 주파수이다.

기계적 출력 $P_2$는 식 (8)과 같다.

여기서 $\omega$는 회전자의 회전각속도이다.

식 (8)의 $P_2$는 전동기영역에서는 전동기의 기계적 출력 $P_{out-M}$이 되며, 발전기영역에서는 발전기의 기계적 입력 $P_{in-G}$가 된다.

입력단에서의 유효전력 $P_1$은 식 (9)와 같다. 상수 $1/2$은 전압과 전류의 실효치를 고려한 것이다. $P_1$은 전동기영역에서 전동기입력 $P_{in-M}$이 되며, 발전기영역에서는 발전기출력 $P_{out-G}$가 된다.

식 (10)은 발전기의 효율이다.

3. 제안한 방법

해석을 위한 3상 유도전동기의 제원은 표 1과 같다^[8].

고정자권선은 Y결선이다. 유도전동기의 고정자전류는 정격전류를 초과해서는 안되는데, 정격전류를 초과하여 오랜시간 운전하면 소손이 되기 때문이다. 표 1의 전동기의 계산 결과 고정자전류가 정격전류 100 A일 때 슬립은 0.043 (1723 rpm)이고, 출력은 31.5 kW, 토크는 174.6 N·m이며, 자화전류는 33 A이었다.

^[5]와 ^[6]은 유도발전기의 자화인덕턴스 $L_m$에 관한 연구인데 자화전류 $I_m$의 증가에 따라 철심의 자화곡선의 비선형 및 포화로 인하여 $L_m$이 감소하는 모습을 제시하였다. 그림 2는 ^[5]에서 제시한 결과인데, 4.4 kW의 유도기를 동기속도로 회전시키면서 공급전압을 정격전압의 120 %까지 증가시키면서 $L_m$을 측정한 것이다. $L_m$이 AB 구간에서 증가한 다음에 자화전류 $I_m$이 증가함에 따라 BC 구간에서 $L_m$이 약 0.23 H에서 약 0.085 H로 감소하는 모습을 나타내고 있다.

그런데 유도발전기의 해석에서 자화인덕턴스가 일정한 것으로 놓고 해석^[1, ^7]을 하는데, 자화인덕턴스를 일정한 값으로 놓고 해석한 경우와 자화인덕턴스의 변화를 고려한 해석 결과를 비교한 연구가 없으므로 이에 관한 연구가 필요하다.

^[6]은 $L_m$을 $I_m$의 2차 함수로 근사화시켜서 발전기의 특성해석에 사용하는 것을 제안하였다. $L_m$은 무부하시험으로 구하는데 슬립 s=0의 조건에서 구한다. 표 1의 전동기의 경우 s=0일 때 자화전류 $I_m$은 35 A로 계산되었다. ^[8]에서 제시한 표 1의 전동기의 자화인덕턴스는 정격의 조건에서 측정한 값이며 자화전류의 변화에 따른 값이 제시되지 않았다. 본 논문에서는 ^[6]에서 적용한 것과 마찬가지로 $L_m$을 $I_m$의 2차 함수로 설정하는데 $I_m$이 35 A일 때 $L_m$이 0.0095 H가 되도록 하며, 그림 2와 유사한 모습이 되도록 식 (11)의 2차 함수로 설정하였다. $I_m$이 5 A보다 작을 때에도 그림 2와 유사한 모습이 되도록 식 (12)의 2차함수로 설정하였다.

정격자속의 값을 포화자속으로 하면 여자전류가 대단히 커지고 철손이 증가하는 등의 문제가 있으며, 정격자속의 값이 너무 낮으면 동일한 출력을 내기 위해 전동기의 부피가 커지고 고가가 되므로 일반적으로 포화자속보다 약간 낮은 값이 되도록 한다. $I_m$이 35 A일 때 $L_m = 0.0095\text{ H}$는 정격자속에서의 값이고 $I_m$이 증가함에 따라 자속은 B-H 곡선에서 완전히 포화되는 영역으로 진입하는데 포화된 다음에는 기울기가 매우 작은 직선의 형태로 자속이 증가하게 되므로 자화전류의 증가에 따라 투자율이 감소하여 인덕턴스가 감소하는데 $I_m = 66\text{ A}$ 이상의 영역에서는 완전히 포화된 것으로 보고 $L_m$을 $L_m = \dfrac{a}{I_m} + b$의 함수의 형태로 식 (13)과 같이 설정하였다. 그림 3은 $I_m$의 변화에 따른 $L_m$의 모습을 나타낸다.

본 논문에서는 $L_m$을 $I_m$의 2차 함수 및 분수함수로 설정하였는데, 실험에 의해서 특정 자화전류의 값에서 자화인덕턴스의 값이 측정이 되었다면 측정된 값들 사이를 선형보간하는 방법을 적용하는 것도 가능하다.

식 (2)와 식 (4)를 이용해서 전류 $\dot{I}_1$과 $\dot{I}_2$를 구한 후 식 (6)으로 $\dot{I}_m$을 구하는데 $\dot{I}_1$과 $\dot{I}_2$를 구하기 위해서는 $L_m$의 값을 알아야 하며, $L_m$은 $I_m$에 의해서 그림 3에 의해서 결정되므로 특정 슬립의 조건에서 $L_m$을 모르므로 계산된 $I_m$의 값도 정확한 값이 아니다. 따라서 본 논문에서는 특정 슬립에서의 $L_m$의 값을 구하기 위하여 다음과 같이 반복해서 계산하는 방법을 제안한다.

특성해석은 슬립 s를 –1.1에서 1까지 0.001씩 증가시키면서 전류, 토크, 출력 등의 변수를 계산하는데 s=-1.1일 때 $L_m$은 초기치 $L_{m0}$로 놓고 $I_m$을 식 (6)으로 계산한 후 그림 3에 의해서 $L_m$의 값을 결정한다. 다음에 결정된 $L_m$의 값으로 다시 $\dot{I}_1$, $\dot{I}_2$ 및 $\dot{I}_m$을 계산하고 그림 3에서 $L_m$의 값을 결정하는데, 이러한 과정을 3회 반복해서 전류, 토크, 출력, 입력, 효율의 변수의 값을 결정한다. 그 다음에 슬립을 0.001만큼 증가시킨 후 앞서 결정된 $L_m$의 값을 초기값으로 하여 설명한 것과 같은 방법으로 3회 반복 계산하여 전류, 토크, 출력, 입력, 효율의 변수의 값을 계산하며, 슬립 s=1까지 슬립을 0.001씩 증가시키면서 변수의 값을 계산한다.

4. 해석 결과

그림 4는 제안한 방법의 자화인덕턴스 $L_m$, 제안한 방법과 기존방법의 고정자전류 $I_1$, 자화전류 $I_m$을 나타낸다. $I_1$에서 흑색은 기존방법, 적색은 제안한 방법이다. 전류의 계산에서 기존방법은 자화인덕턴스를 0.0095 H로 일정하게 두고 계산한 것이며, 제안한 방법은 그림 3에서의 $L_m$을 사용한 것이다. 자화전류 $I_m$은 기존방법과 제안한 방법에서 차이가 크게 발생하고 있으며, 고정자전류 $I_1$은 기존방법과 제안한 방법에서 거의 일치하는 모습을 나타낸다. 표 1의 유도기는 단자전압이 일정하지만 자화전류 $I_m$은 자화인덕턴스를 일정한 값으로 둔 기존방법에서도 슬립의 변화에 따라 변화하고 있으며, 그림 3과 같이 $L_m$이 변화하는 경우에는 $I_m$이 더욱 크게 변화는 모습을 나타내고 있다. 따라서 $I_m$의 변화를 고려한 자화인덕턴스의 값을 해석에 적용해야 한다는 것을 알 수 있다.

주어진 슬립에서 $L_m$의 값을 모르기 때문에 초기치 $L_{m0}$로 계산하고 $I_m$을 식 (6)으로 계산한 후 그림 3에 의해서 $L_m$의 값을 결정하고, 결정된 $L_m$의 값을 초기치로 해서 다시 $I_m$을 계산하는 과정을 반복해서 $L_m$의 최종값을 결정하게 되는데, 그림 5는 $L_m$의 값이 수렴하는지를 파악하기 위하여 반복계산의 회수를 10회로 증가시켜서 계산한 결과를 반복계산 3회의 결과와 비교한 것이다. 3회의 결과는 흑색의 선이며, 10회의 결과는 적색의 선인데 3회와 10회의 결과가 거의 일치하여 반복계산에 의해서 주어진 슬립에서 $L_m$의 값이 수렴하였음을 알 수 있다. 반복의 회수를 증가시킬수록 더욱 수렴이 되어서 정확한 결과를 얻을 수 있는데 본 논문에서는 계산시간을 단축시키기 위해서 3회로 정하였다. $I_1$은 흑색의 선 위에 적색의 선이 완전히 겹쳐서 흑색의 선이 보이지 않는 모습이다.

그림 6은 제안한 방법과 기존방법의 전력과 토크를 나타내는데, 흑색의 선은 기존방법, 적색의 선은 제안한 방법이다. 토크 및 전력은 기존방법과 제안한 방법이 슬립 s= -0.2 에서 –0.6의 범위를 제외하고는 거의 일치하는 모습이다.

그림 7은 유도발전기의 동작영역에서의 해석을 위하여 슬립 s = 0 ∼ -0.038의 영역에서의 제안한 방법과 기존방법의 유도발전기의 출력과 고정자전류를 나타낸다. 그림 4에서 기존방법과 제안한 방법의 고정자전류 $I_1$은 거의 일치하는 모습이었으나 슬립 s = 0 ∼ -0.038의 영역으로 확대한 그림에서는 차이가 발생하고 있는 모습이다.

유도전동기의 정격전류는 100 A인데 $I_1$이 정격전류를 초과해서 장시간 운전되면 과열로 소손이 발생하게 된다. 따라서 풍력 터빈의 에너지가 충분히 크다고 하더라도 유도발전기의 고정자전류는 정격전류를 초과하지 않도록 제어해야 한다. 기존방법에서 $I_1$이 정격전류 100 A일 때 발전기의 출력은 점 B가 되는데 출력은 33,655 W로 계산되었다. 제안한 방법에서 $I_1$이 정격전류 100 A일 때 발전기의 출력은 점 A가 되는데 출력은 30,049 W로 계산되어서 기존방법은 제안한 방법에 비해서 3,606 W 만큼 크게 계산이 되어 오차는 12 %이다.

터빈의 풍력에너지가 작을 경우의 발전기 출력의 변화를 파악하기 위하여 $I_1$이 50 A인 경우를 비교해 보면, 기존방법에서 발전기출력은 점 D가 되는데 12,828 W로 계산되었으며, 제안한 방법에서의 출력은 점 C가 되어서 8,163 W가 되며, 기존방법은 제안한 방법에 비해서 4,665 W 만큼 크게 계산이 되며, 오차는 57.1 %로 크게 발생하게 된다.

그림 8은 슬립 s = 0 ∼ -0.038의 영역에서의 제안한 방법과 기존방법의 유도발전기의 $L_m$, $I_m$, $I_1$을 나타낸다. 기존방법은 $I_1=100\text{ A}$인 정격의 조건에서 $I_m$이 36.8 A이고 $L_m$은 0.0095 H로 일정하며, 제안한 방법은 정격의 조건에서 $I_m$은 점 m이며 56.5 A이고, $L_m$은 점 n이며 0.0061 H이다. 고전자전류가 50 A일 때 기존방법의 $I_m$은 점 s이고 35.7 A이며, 제안한 방법의 $L_m$은 점 r이며 0.007418 H이고, $I_m$은 점 q이며 45.5 A이다. 그림 7에서 정격의 조건에서 출력의 오차가 12 %이고, $I_1$이 50 A일 때 출력의 오차가 57.1 %로 발생한 것은 그림 8에 나타난 기존방법 및 제안한 방법의 $L_m$ 및 $I_m$의 차이에 의한 것임을 의미한다.

그림 9는 기존방법과 제안한 방법의 발전기의 효율을 나타낸다. 고정자전류가 정격인 조건에서 기존방법의 효율은 점 F이며, 0.905이고, 제안한 방법의 효율은 점 E이며, 0.898이다. 오차는 0.78 %이다. $I_1$이 50 A인 경우를 비교해 보면, 기존방법에서 효율은 점 H이며 0.945이고 제안한 방법의 효율은 점 G이며 0.924이다. 차이는 0.021이며 계산오차는 2.27 %로 오차가 적다.

5. 결 론

본 논문에서는 3상 농형 유도전동기를 발전기로 사용할 때 자화인덕턴스의 변화를 고려한 발전기의 해석방법을 제안하였다. 자화전류의 변화에 따른 자화인덕턴스를 2차함수 및 분수함수로 설정해서 주어진 슬립에서 자화인덕턴스의 초기값을 가정하여 자화인덕턴스가 수렴할 때까지 반복해서 계산해서 자화인덕턴스의 값을 결정하는 방법을 제안하였으며, 해석결과에서 자화인덕턴스가 제안한 방법에 의해서 수렴이 되었음을 확인하였다. 자화인덕턴스를 일정한 값으로 놓고 해석하는 기존의 방법에 비해서 인덕턴스의 변화를 고려하는 제안한 방법에 의해서 발전기의 동작영역에서 전류 파형의 오차가 발생하는 것을 확인하였으며, 정격전류의 절반치에서 출력 계산의 오차가 크게 발생함을 확인하였다.

그러나 해석에 사용한 자화전류 변화에 따른 자화인덕턴스의 파형은 측정한 값이 아니라 ^[5]에서 제시한 자화인덕턴스의 파형과 형태가 유사하도록 설정한 것이다. 따라서 본 논문에서 제시한 결과는 실제로 측정한 인덕턴스에 기반한 결과와는 다르게 될 것이라는 점이 본 논문의 아쉬운 점이라 할 수 있다. 그러나 유도발전기를 동기속도로 회전시키면서 자화전류 변화에 따른 자화인덕턴스를 측정한 후 본 논문에서 제안한 방법을 적용하여 유도발전기를 해석할 필요가 있음을 확인하였다.