2.1 이론적 배경

해저케이블은 해수로 포화된 해저 지반에 매설되므로 케이블에서 발생한 열은 토양을 통한 전도뿐만 아니라 간극수의 이동에 따른 자연대류의 영향을 함께 받는다. 따라서 해저케이블 주변의 온도 분포를 해석하기 위해서는 열전달과 유체 유동을 동시에 고려할 필요가 있다.

일반적인 자연대류 해석은 Rayleigh 수와 Nusselt 수를 이용한 경험식을 기반으로 수행되는 경우가 많다. 그러나 이러한 경험식은 단순 형상과 균일한 유체를 가정하여 도출되었기 때문에 해수로 포화된 다공성 지반에서 발생하는 간극수의 유동을 그대로 반영하기는 어렵다. 특히 해저케이블 주변에서는 간극수의 흐름, 부력에 의한 자연대류, 다층 케이블 구조가 서로 영향을 주므로 온도 벡터와 유동 벡터를 독립적으로 해석하기 어렵다.

따라서 본 연구에서는 해저 지반을 다공성 매질로 가정하고 Brinkman 방정식으로 간극수의 유동을 계산한 후 이를 에너지 방정식과 연계하는 열-유체 연성 해석을 수행하였다. Brinkman 방정식은 다공성 매질 내 유체의 운동을 기술하는 지배방정식으로 투수율을 반영하여 간극수의 속도 벡터를 계산한다. 산출된 속도 벡터는 에너지 방정식의 대류항에 적용되어 케이블 주변의 온도 분포를 결정하며 온도 변화에 따른 부력은 다시 유동 벡터에 영향을 미쳐 두 방정식이 상호 연성된 형태로 해석된다. 이러한 반복 계산 과정을 통해 다공성 매질에서 발생하는 자연대류와 전도 열전달을 동시에 고려할 수 있으며 실제 해저케이블 포설 환경의 열적 거동을 기존 전도 중심의 해석보다 더욱 사실적으로 모사할 수 있다^{[9- 11]}.

다공성 매질 내 열전달은 정상상태에서 간극수의 유동에 의한 대류와 고체 입자 및 간극수를 통한 전도를 함께 고려한 에너지 방정식으로 표현할 수 있으며 식 (1)과 같이 표현된다.

여기서, $\rho_f$, $c_{p,f}$, $\vec{u}$, $T$, $k_{eff}$는 각각 유체의 밀도, 정압 비열, 간극수의 속도 벡터, 온도, 유효 열전도율을 의미한다. 식 (1)은 정상상태에서 특정 위치의 에너지가 시간에 따라 축적되지 않고 두 열전달 메커니즘에 의한 에너지 변화가 균형을 이루는 에너지 보존 관계를 나타낸다. 따라서 투수율 증가에 따라 간극수의 유동 속도가 증가하면 대류에 의한 에너지 이송의 영향이 커지며 이에 따라 케이블 주변의 온도 분포와 열방산 특성이 변화한다.

여기서, $n$, $k_f$, $k_s$는 각각 공극률, 유체의 열전도율, 고체의 열전도율을 의미한다. 식 (2)는 고체 입자와 간극수로 구성된 다공성 매질의 유효 열전도율을 체적분율에 따라 산정하는 관계식이다. 고체와 유체의 열전도율이 일정하고 고체의 열전도율이 유체보다 큰 경우, 공극률이 증가할수록 유효 열전도율은 감소한다. 그러나 본 연구에서는 전도 물성 변화와 간극수 유동에 따른 열전달 변화를 구분하기 위해, 투수율 비교 해석에서 해저토양의 유효 열전도율을 직접 지정하여 일정하게 유지하였다. 따라서 식 (2)는 유효 열전도율의 일반적인 관계를 설명하기 위해 제시하였으며, 해당 비교 해석에서는 공극률 변화에 따라 유효 열전도율을 재산정하지 않았다. 한편 다공성 매질에서의 유체 유동은 점성력과 다공성 매질에 의한 유동 저항을 동시에 고려하는 Brinkman 방정식으로 기술되며 이는 식 (3)과 같이 표현된다.

여기서, $p$, $\mu_f$, $k$, $\vec{F}$는 각각 압력, 유체의 점성계수, 투수율, 체적력을 의미한다. 식 (3)에서 투수율은 다공성 매질 내 유체의 유동성을 결정하는 주요 변수이며 투수율이 증가할수록 유체의 흐름 저항은 감소하고 간극수의 이동이 더욱 활발해진다. 이에 따라 자연대류에 의한 열전달이 촉진되어 케이블 주변의 열방산 성능이 향상된다. 한편 자연대류는 온도 변화로 인해 발생하는 유체의 밀도 차이에 의해 유도되며 이러한 부력은 식 (4)의 부력항으로 나타낼 수 있다.

여기서, $\rho_0$, $\beta$, $\vec{g}$는 각각 기준 밀도, 열팽창계수, 중력가속도를 의미한다.

온도가 상승하면 유체의 밀도가 감소하여 부력에 의한 상향 유동이 형성되고 케이블 주변의 열은 상부로 전달되어 자연대류가 발생한다. 이와 같이 다공성 매질에서는 전도와 대류가 동시에 작용하는 복합적인 열전달 메커니즘이 형성되며 투수율은 간극수의 유동을 지배하는 주요 물성으로서 열전달 특성에 중요한 영향을 미친다.

이상의 지배방정식을 통해 해저 지반에서는 전도뿐만 아니라 자연대류에 의한 열전달이 동시에 발생함을 알 수 있다. 따라서 해저케이블의 열적 거동을 보다 정확하게 해석하기 위해서는 전도와 함께 자연대류의 영향을 고려한 열-유체 연성 해석이 필요하다.

2.2 해저케이블 구조 및 소재 물성값

본 연구에서는 AC 154 kV XLPE 3-Core 500 mm² 해저케이블을 대상으로 해석을 수행하였다. 해석에 적용한 케이블의 단면 구조는 그림 1에 제시하였다. 해석 모델의 주요 제원과 각 구성 요소의 물성치는 표 1에 정리하였으며, 구성 재료의 열물성은 IEC 60287과 선행 연구에서 널리 사용되는 대표 물성값을 적용하였다^[12].

그림 1 XLPE 해저케이블 단면 구조 및 구성 요소

Fig. 1 Cross-sectional structure and components of XLPE submarine cables

해석에 적용한 경계조건 및 검토 조건은 표 2와 같다. 케이블은 해저면으로부터 중심 깊이 2 m에 매설된 것으로 가정하였으며, 해저토양의 투수율이 열방산 특성에 미치는 영향을 평가하기 위해 UP 파이프와 같은 보호공법이 적용되지 않은 단순 직매설 조건을 모델링하였다. 또한 투수율 변화에 따른 열적 거동을 비교·분석하기 위해 투수율 범위는 $2.66 \times 10^{-14} \sim 3.28 \times 10^{-9}\text{ m}^2$으로 설정하였다.

2.3 해저케이블 해석 모델 검증

본 연구에서는 AC 154 kV XLPE 3-Core 500 mm² 해저케이블을 대상으로 해저토양의 투수율 변화에 따른 연속허용전류를 분석하였다. 사용한 FEM 해석 모델은 선행 연구에서 검증된 모델을 기반으로 하였으며, 동일한 조건에서 IEC 60287 계산 결과와 비교하여 모델의 타당성을 확인하였다^{[15- 16]}.

검증 결과 IEC 60287과 FEM으로 산정한 연속허용전류의 차이는 최대 2.3 % 수준으로 나타났다. 이러한 차이는 두 방법의 해석 방식이 서로 다르기 때문으로 볼 수 있다. IEC 60287은 케이블의 열전달 경로를 등가 열저항 회로로 단순화하여 허용전류를 계산하는 반면 FEM은 실제 케이블 단면 형상과 재료 물성, 포설 환경을 반영하여 온도 분포를 직접 계산한다. 따라서 내부 구조가 복잡한 3-Core 해저케이블에서는 국부적인 열전달 특성과 외부 지반으로의 열확산을 상세히 고려할 수 있다^[15].

선행 연구에 따르면 IEC 60287과 FEM 해석 결과의 차이는 일반적으로 1~5 % 범위 내에서 나타난다. 본 연구의 최대 오차는 2.3 %로 이 범위에 해당하였으며, IEC 60287 계산 결과와도 큰 차이를 보이지 않았다. 이에 따라 본 해석 모델을 이용하여 투수율 변화에 따른 열전달 특성과 연속허용전류를 분석하였다.

3.1 투수율에 따른 열방산 특성

해저토양에서 발생하는 자연대류는 간극수의 유동에 의해 결정된다. 따라서 자연대류를 해석하기 위해서는 유동 특성을 적절하게 나타낼 수 있는 물성의 선정이 필요하다. 다공성 매질의 특성을 나타내는 대표적인 변수로는 공극률과 투수율이 있다. 두 물성은 서로 관련되어 있지만 동일한 공극률이라도 토양 입자의 크기나 배열 상태에 따라 투수율은 크게 달라질 수 있다. 따라서 자연대류에 따른 열전달 특성을 비교·분석하기 위해서는 공극률보다 투수율을 직접 변수로 적용하는 것이 적합하다.

투수율은 다공성 매질 내 간극수의 유동성을 직접적으로 나타내는 물성으로 자연대류의 발생 여부와 열전달 강도를 결정하는 핵심 변수이다. 선행 연구에서는 그림 2와 같이 투수율이 약 $10^{-11} \sim 10^{-12}\text{ m}^2$ 범위에 이르면 열전달 메커니즘이 전도 지배 영역에서 대류 지배 영역으로 전이되는 것으로 보고되었다. 이 구간에서는 간극수의 순환이 활발해지면서 케이블에서 발생한 열이 주변 해수로 효과적으로 전달되어 전도만을 고려한 경우보다 연속허용전류가 크게 향상되는 특성을 보인다^{[5, 14]}.

그림 2 투수율에 따른 도체 온도 변화[13]

Fig. 2 Conductor temperature changes according to permeability

이에 본 연구에서는 해수 대류 효과를 가장 효과적으로 반영할 수 있는 변수로 투수율을 선정하였으며 투수율 변화에 따른 케이블 주변의 온도 분포와 연속허용전류 특성을 FEM 해석을 통해 정량적으로 분석하였다.

그림 3은 전도만 고려한 경우와 전도 및 대류를 동시에 고려한 경우의 케이블 주변 온도 분포를 비교한 결과를 나타낸 것이다. 전도만 작용하는 경우에는 케이블에서 발생한 열이 토양 내 열전도에 의해 방사형으로 확산되므로 고온 영역이 케이블 주변에 비교적 대칭적으로 형성된다. 반면 대류를 고려한 경우에는 케이블의 발열에 의해 주변 간극수의 온도가 상승하면서 밀도 차이에 따른 부력이 발생하고 이로 인해 상승 유동이 형성된다. 이러한 자연대류는 케이블에서 발생한 열을 상부 방향으로 이송하여 케이블 주변의 열 축적을 감소시키고 결과적으로 열이 상부로 효과적으로 방출되는 특성을 나타낸다. 따라서 대류가 발생하는 환경에서는 전도만 작용하는 경우보다 케이블 주변의 온도 분포가 비대칭적으로 형성되며 열방산 성능이 향상되어 케이블의 냉각 효과가 증가함을 확인할 수 있다.

그림 3 전도 및 대류 조건에서의 케이블 주변 온도 분포 비교

Fig. 3 Comparison of temperature distribution around the cable under conduction and convection conditions

3.2 투수율 변화에 따른 연속허용전류

해저토양의 투수율 변화가 케이블의 열방산 특성 및 연속허용전류에 미치는 영향을 분석하기 위해 열-유체 연성 해석을 수행하였다. 해저 지반은 해수로 포화된 다공성 매질로 가정하였으며 열전달 해석에는 고체 입자를 통한 전도와 간극수의 유동에 의한 대류를 동시에 반영할 수 있는 다공성 매질 열전달 모델을 적용하였다.

해석 조건은 표 3에 제시된 투수율과 공극률을 이용하여 설정하였으며, 주위온도 25 ℃와 토양열저항 0.9 K·m/W를 기준 조건으로 하였다. 투수율은 $2.66 \times 10^{-14}\text{ m}^2$에서 $3.28 \times 10^{-9}\text{ m}^2$까지 변화시켰으며, Brinkman 유동 해석에는 각 조건의 투수율과 공극률을 적용하였다. 반면 열전달 해석에서는 토양열저항 0.9 K·m/W에 대응하는 유효 열전도율을 약 1.11 W/(m·K)로 고정하여, 공극률 변화에 따른 전도 물성 변화가 포함되지 않도록 하였다. 이를 통해 동일한 전도 물성 및 주위온도 조건에서 투수율과 공극률에 따른 간극수 유동 및 자연대류의 영향을 비교하였다. 각 조건에서 도체의 최고 온도가 허용온도인 90 ℃에 도달하는 전류를 연속허용전류로 산정하였다.

그림 4 투수율 변화에 따른 연속허용전류

Fig. 4 Ampacity according to variations in permeability

투수율이 연속허용전류에 미치는 영향을 평가하기 위해 토양열저항 0.9 K·m/W 및 주위온도 25 ℃ 조건에서 열-유체 연성 해석을 수행하였다. 표 4와 그림 4에 나타낸 바와 같이 연속허용전류는 투수율이 증가함에 따라 증가하는 경향을 보였으며 증가 특성은 선형적이지 않고 투수율 구간에 따라 뚜렷한 차이를 보였다.

해석 결과 그림 2에 제시된 선행 연구와 유사한 경향을 보였다. 실트질($k \le 10^{-12}\text{ m}^2$)에서는 투수율이 증가하더라도 연속허용전류의 증가는 거의 나타나지 않았으며 대류를 고려하지 않은 조건과 동일한 약 590 A 수준을 유지하였다. 이는 투수율이 낮은 실트질에서는 간극수의 이동이 제한되어 열전달 메커니즘이 전도에 의해 지배되므로 투수율 변화가 케이블의 열방산 특성에 미치는 영향이 크지 않기 때문으로 판단된다.

반면 투수율이 증가하여 세립사 및 중립사($k \approx 10^{-11}\text{ m}^2$)에 이르면 연속허용전류가 590 A에서 649 A까지 증가하였다. 이러한 결과는 세립사 또는 중립사 입자 사이에서 간극수의 유동이 형성되기 시작하면서 전도와 자연대류에 의한 열전달이 함께 작용하기 때문으로 사료된다.

투수율이 $10^{-10}\text{ m}^2$ 이상인 조립사에서는 연속허용전류가 급격하게 증가하여 최대 864 A의 연속허용전류를 보였다. 조립사에서는 간극수의 순환이 활발해지면서 자연대류가 열전달의 중요한 메커니즘으로 작용하여 케이블에서 발생한 열이 주변 지반으로 효과적으로 방산되었기 때문으로 사료된다.

그림 5 투수율 영역별 토양열저항 변화에 따른 연속허용전류

Fig. 5 Ampacity according to soil thermal resistivity in different permeability regions

투수율 변화에 따른 연속허용전류 변화 결과를 종합하면 최저 투수율 조건에서 연속허용전류는 590 A였으나 최고 투수율 조건에서 864 A로 약 46.4 %의 증가율을 보여 동일 해석 모델로 수행한 선행 연구 결과인 토양열저항 변화(약 5.5 %)와 주위온도 변화(약 5.6 %)에 따른 연속허용전류 변화보다 월등히 큰 변화율을 보였다. 이러한 결과는 해저토양의 투수율에 따른 자연대류 발생이 케이블의 열방산 특성을 크게 변화시키며 연속허용전류를 결정하는 주요 변수임을 나타낸다^[15].

3.3 해수 대류에 따른 토양열저항 영향력 변화 분석

해수의 자연대류가 토양열저항과 연속허용전류에 미치는 영향을 확인하기 위해 실트질과 조립사 토양을 대상으로 토양열저항 변화에 따른 연속허용전류를 비교하였다. 이때 실트질과 조립사의 대표 투수율은 각각 $2.66 \times 10^{-14}\text{ m}^2$와 $3.28 \times 10^{-9}\text{ m}^2$로 설정하였으며, 비교 결과를 그림 5에 제시하였다. 비교 결과, 토양열저항이 연속허용전류에 미치는 영향은 투수율에 따라 차이를 보였다^[15].

실트질 토양에서는 토양열저항이 0.9 K·m/W에서 0.7 K·m/W로 감소함에 따라 연속허용전류는 608 A에서 654 A로 증가하여 약 8 % 향상되었다. 이 투수율 영역에서는 간극수의 이동이 제한되어 열전달이 대부분 전도에 의해 이루어진다. 이로 인해 토양열저항이 낮아질수록 케이블에서 발생한 열이 주변 지반으로 더욱 원활하게 전달되고 연속허용전류도 함께 증가하였다.

반면 조립사 토양에서는 동일한 토양열저항 변화에도 연속허용전류가 865 A에서 873 A로 약 0.9 % 증가하였다. 이러한 이유는 투수율이 높은 영역에서는 간극수의 유동이 활발해지면서 자연대류가 주요 열전달 메커니즘으로 작용하기 때문이다. 열전달이 전도가 아닌 대류에 의해 이루어지는 비중이 커지면서 전도 열전달의 주요 변수인 토양열저항 변화가 전체 열전달에 미치는 영향이 상대적으로 감소하였기 때문이다.

그림 6 투수율 영역별 주위온도 변화에 따른 연속허용전류

Fig. 6 Ampacity according to Ambient Temperature in different permeability regions

위의 결과는 토양열저항이 연속허용전류에 미치는 영향이 투수율에 따라 달라짐을 보여준다. 실트질과 같이 투수율이 낮은 영역에서는 토양열저항이 연속허용전류를 결정하는 중요한 변수인 반면 조립사와 같이 투수율이 높은 영역에서는 자연대류 효과가 커지면서 토양열저항의 영향은 상대적으로 감소하는 것으로 나타났다.

3.4 해수 대류에 따른 주위온도 영향력 변화 분석

투수율에 따라 주위온도가 연속허용전류에 미치는 영향을 비교하기 위해 실트질과 조립사 토양을 대상으로 주위온도 변화에 따른 연속허용전류를 비교하였다. 이때 실트질과 조립사의 대표 투수율은 각각 $2.66 \times 10^{-14}\text{ m}^2$와 $3.28 \times 10^{-9}\text{ m}^2$로 설정하였으며, 비교 결과를 그림 6에 나타내었다. 주위온도가 25 ℃에서 17 ℃로 감소할 경우, 투수율이 낮은 실트질에서 연속허용전류가 약 37 A 증가한 반면, 투수율이 높은 조립사에서는 약 55 A 증가하여 조립사에서 더 큰 전류 증가폭을 보였다.

투수율이 낮은 토양에서는 간극수의 유동이 제한되어 열전달이 주로 전도에 의해 이루어진다. 따라서 주위온도가 낮아질수록 케이블과 주변 지반 사이의 온도차가 커지고 케이블에서 발생한 열이 주변 지반으로 보다 쉽게 전달된다.

반면 투수율이 높은 토양에서는 간극수의 유동이 활발하여 자연대류가 주요 열전달 메커니즘으로 작용한다. 주위온도가 낮아질수록 케이블과 주변 해수 사이의 온도차가 증가하면서 자연대류가 활발해지고 연속허용전류의 증가폭도 투수율이 낮은 영역보다 크게 나타났다.

이러한 결과는 주위온도가 연속허용전류에 미치는 영향이 투수율에 따라 달라질 수 있음을 보여준다. 따라서 자연대류가 활발한 포설 환경에서는 주위온도의 영향을 함께 고려하는 것이 필요하다.

토양열저항과 주위온도의 단위가 상이함을 고려하기 위해 기준값 대비 입력 변화율에 대한 연속허용전류의 상대 변화율을 이용하여 유한구간 무차원 민감도를 산정하였으며 그 결과를 표 5에 제시하였다. 주위온도는 도체 최고허용온도와의 차이인 허용 온도차로 환산하였으며 각 해석의 초기 조건을 기준값으로 사용하였다.

표 5에 나타낸 바와 같이, 토양열저항이 0.9 K·m/W에서 0.7 K·m/W로 감소하는 구간에서 무차원 민감도는 저투수 영역과 고투수 영역에서 각각 −0.340과 −0.042로 나타났다. 반면 주위온도가 25 ℃에서 17 ℃로 감소하여 허용 온도차가 65 ℃에서 73 ℃로 증가하는 구간에서는 각각 0.492와 0.531로 나타났다. 이는 고투수 영역에서 토양열저항에 대한 민감도의 절댓값은 크게 감소하지만, 주위온도 변화에 따른 허용 온도차에 대한 민감도는 유사한 수준을 유지함을 보여준다. 따라서 본 연구의 검토 범위에서는 고투수 영역에서 토양열저항의 영향이 감소함에 따라 주위온도의 상대적 중요도가 커지는 것으로 해석할 수 있다.