1. 서 론
대부분의 물리적 시스템은 복잡한 비선형 동특성을 내포하고 있으며, 이러한 시스템에 대한 제어기 설계는 상당한 수학적 난도를 요구한다. 이러한 비선형성을
효과적으로 다루어 시스템을 정밀하게 제어하기 위해 슬라이딩 모드 제어 [1-
3], 퍼지 논리 제어 [3-
13] 등 다양한 비선형 제어 기법에 대한 연구가 활발히 이루어지고 있다. 그중 타카기-수게노 (Takagi-Sugeno, T-S) 퍼지 모델링 기반의
제어 기법은 비선형 시스템을 IF-THEN 규칙을 통해 소속도 함수와 국부적 선형 부분 시스템의 퍼지합으로 표현함으로써, 비선형 시스템에 선형 제어
이론을 적용할 수 있도록 하는 장점으로 인하여 현재까지도 제어 공학 분야에서 널리 활용되고 있다 [3-
13].
T-S 퍼지 시스템의 안정화 문제에 대해서는 일반적으로 parallel distributed compensation (PDC) 개념에 기반한 상태
피드백 제어 기법을 적용하는데, 이러한 상태 피드백 제어기를 실제 시스템에 구현하기 위해서는 제어에 필요한 상태 및 전제 변수를 정확하게 알고 있어야
한다는 가정이 필요하다. 그러나 실제 시스템에서는 센서 설치 비용 및 물리적인 측정 한계로 인하여 모든 변수를 정확하게 측정하기 어려운 경우가 빈번하게
발생한다. 이러한 한계를 극복하기 위해 측정 가능한 출력으로부터 시스템의 상태를 추정하는 관측기가 널리 활용되고 있으며, 이에 따라 관측기 기반 제어
기법에 대한 연구가 활발히 이루어지고 있다 [3-
7].
한편, 디지털 컴퓨터와 마이크로프로세서 기술의 발전으로 인하여 제어 시스템의 디지털 구현이 보편화됨에 따라 연속 시간 플랜트와 이산 시간 디지털 제어
메커니즘이 결합된 샘플데이터 시스템이 널리 활용되고 있다. 샘플데이터 시스템은 특정 샘플링 순간에 측정된 데이터만을 사용하여 네트워크 전송 부하를
줄이고 데이터 처리 효율을 높일 수 있으나, 샘플링에 의해 발생하는 시간적 불연속성이 시스템의 동특성 및 안정성에 직접적인 영향을 미친다. 특히 샘플링
주기가 적절히 설계되지 않았을 경우 시스템의 제어 및 추정 성능과 안정성을 저해할 수 있기 때문에, 샘플데이터 시스템의 안정성 분석에 대한 연구가
활발히 이루어지고 있다 [9-
15].
기존 샘플데이터 제어기는 샘플링 시점에서의 상태 변수값을 피드백 받아 영차 홀드를 통해 입력값을 상수로 고정하는데, 최근에는 샘플링 시간 변수가 포함된
제어 입력 항을 추가한 샘플링 시간 의존 제어 기법에 대한 연구가 활발히 이루어지고 있다 [13,
14]. [13]은 샘플링 의존 Lyapunov-Krasovskii functional (LKF)을 기반으로 비선형 시스템의 T-S 퍼지 모델에 대한 샘플데이터 제어기의
설계 조건을 선형 행렬 부등식 (linear matrix inequality, LMI) 형태로 유도하였고, [14]는 비선형 다중 에이전트 샘플데이터 시스템에 대한 샘플링 시간 의존 제어기 설계 조건을 제시하였다. 반면, 샘플링 시간 의존 접근법을 통한 샘플데이터
관측기 설계 문제를 다룬 연구는 아직 상대적으로 제한적이다.
이러한 분석에 착안하여, 본 논문에서는 샘플링 시간 의존 T-S 퍼지 모델 기반 샘플데이터 관측기 설계 문제를 다룬다. 본 연구의 주요 기여 사항은
다음과 같다.
1. 샘플링 시간 변수를 포함하는 T-S 퍼지 샘플데이터 관측기 구조를 구성하고, 샘플링 구간 내에서 관측기의 동작 신호가 시간에 따라 변화할 수
있도록 한다.
2. 비주기적인 샘플링의 정보를 활용하는 LKF를 기반으로 상태 추정 오차 동역학의 안정성을 보장하는 충분조건을 LMI 형태로 제시한다.
3. 시스템과 관측기 사이의 소속도 함수 불일치에 의해 발생하는 영향을 외란으로 간주하고 $H_{\infty}$ 성능 지표를 이용하여 상태 추정 오차에
미치는 영향을 제한한다.
4. 연속 시간의 소속도 함수와 샘플링 순간의 소속도 함수 사이의 불일치 정보를 안정성 분석에 반영하기 위한 slack 행렬과 스칼라 파라미터를 도입한다.
표기법 : 행렬 $A$에 대해서 $\text{Sym}(A)$는 $A+A^T$이며, 양의 정수 $r$에 대해서 $\mathbb{I}_r$은 정수 집합 $\{1,
\dots, r\}$을 나타낸다. 또한, $\text{col}\{*\}$은 열 벡터, $\text{diag}\{*\}$는 대각 블록 행렬을 의미한다.
2. 문제 제기
본 논문에서는 다음의 식으로 표현되는 비선형 시스템의 T-S 퍼지 모델을 고려한다.
여기서 $x(t) \in \mathbb{R}^{n_x}$는 시스템의 상태, $\omega(t) \in \mathbb{R}^{n_{\omega}}$는
외란이고, $A_i \in \mathbb{R}^{n_x \times n_x}$와 $B_i \in \mathbb{R}^{n_x \times n_{\omega}}$는
각각 시스템과 외란에 대한 행렬이며, $m_i\{z(t)\} \in \mathbb{R}_{[0,1]}$는 $i$번째 퍼지 규칙에 대한 플랜트의 소속도
함수로, $\sum_{i=1}^{r} m_i\{z(t)\} = 1$을 만족한다.
한편, (1)의 상태를 추정하는 새로운 형태의 샘플데이터 관측기에 대한 T-S 퍼지 모델은 다음과 같이 표현한다.
여기서 $\hat{x}(t) \in \mathbb{R}^{n_x}$는 관측기의 상태 벡터, $\hat{y}(t) \in \mathbb{R}^{n_y}$는
관측기의 출력이며, $L_{1i}, L_{2i} \in \mathbb{R}^{n_x \times n_y}$는 관측기 이득 행렬이다. $t_k$는 $k$번째
샘플링 시점이며, $h_k = t_{k+1} - t_k \in [h_1, h_2]$는 샘플링 간격을 의미한다. $\mu_i\{g(t)\} \in \mathbb{R}_{[0,1]}$는
$i$번째 퍼지 규칙에 대한 관측기의 소속도 함수로, $\sum_{i=1}^{r} \mu_i\{g(t)\} = 1$을 만족한다.
참고 1 : 샘플데이터 관측기의 T-S 퍼지 모델 (2)는 기존 관측기 이득 $L_{1i}$과 샘플링 시간 변수 $t - t_k$에 의존하는 추가 이득 $L_{2i}$로 구성된다. $L_{1i}$에 대한
항은 영차 홀드에 의해 각 샘플링 구간에서 일정한 값을 유지하지만, $L_{2i}$에 대한 항은 $t - t_k$에 따라 샘플링 구간 내에서 연속적으로
변화한다.
본 논문에서는 다음과 같은 표기법을 사용하여 표현을 간단히 한다.
$\tau_1(t) = t - t_k, \quad \tau_2(t) = t_{k+1} - t,$
$v_1(t) = \begin{cases} \frac{1}{\tau_1(t)} \int_{t_k}^{t} e(s)ds, t \neq t_k, \\
e(t_k), t = t_k, \end{cases} \quad v_2(t) = \frac{1}{\tau_2(t)} \int_{t}^{t_{k+1}}
e(s)ds,$
$\kappa_1(t) = e(t) - e(t_k), \quad \kappa_2(t) = e(t_{k+1}) - e(t),$
$\kappa_3(t) = \text{col}\{e(t_k), e(t_{k+1})\},$
$\kappa_4(t) = \text{col}\{\kappa_3(t), v_1(t), v_2(t)\},$
$\kappa_5(t) = \text{col}\{\tau_2(t)\kappa_1(t), \tau_1(t)\kappa_2(t)\},$
$\chi(t) = \text{col}\{e(t), e(t_k), v_1(t), e(t_{k+1}), v_2(t), \dot{e}(t)\},$
$e_s = [0_{n_x \times (s-1)n_x} \quad I_{n_x} \quad 0_{n_x \times (6-s)n_x}], \quad
s \in \mathbb{I}_6, \quad e_0 = 0_{n_x \times 6n_x},$
$E_1 = e_1 - e_2, \quad E_2 = e_4 - e_1, \quad E_3^T = [e_2^T \quad e_4^T \quad e_3^T
\quad e_5^T],$
$E_4^T = [e_2^T \quad e_4^T], \quad E_5^T = [e_0^T \quad e_0^T \quad e_1^T - e_3^T
\quad e_0^T],$
$E_6^T = [e_0^T \quad e_0^T \quad e_0^T \quad e_5^T - e_1^T],$
$E_7 = e_1 + e_2 - 2e_3, \quad E_8 = e_4 + e_1 - 2e_5,$
$\sum_{i=1}^{r} m_i\{z(t)\}\Theta_i = \Theta_m(t), \quad \sum_{i=1}^{r} m_i\{z(t_k)\}\Theta_i
= \Theta_m(t_k),$
$\sum_{i=1}^{r} \mu_i\{g(t)\}\Theta_i = \Theta_{\mu}(t), \quad \sum_{i=1}^{r} \mu_i\{g(t_k)\}\Theta_i
= \Theta_{\mu}(t_k).$
시스템의 상태 추정 오차를 $e(t) = x(t) - \hat{x}(t)$로 정의하여, 이에 대한 동역학을 다음과 같이 유도한다.
여기서 $\Delta(t) = [A_m(t) - A_{\mu}(t)]x(t) - [L_{1\mu}(t) + \tau_1(t)L_{2\mu}(t)][C_m(t_k)
- C_{\mu}(t_k)]x(t_k)$이다.
본 논문에서는 외란 감쇠 조건을 포함한 샘플데이터 퍼지 관측기 설계 문제를 다음과 같이 설정한다.
문제 1 : 주어진 퍼지 시스템 (1)의 상태 변수를 추정하기 위해 미리 정의된 샘플링 주기 $h_k \in [h_1, h_2]$에 대해서 다음 두 조건을 만족하는 샘플데이터 퍼지 관측기
(2)의 이득 행렬 $L_{1i}, L_{2i} \in \mathbb{R}^{n_x \times n_y}$를 결정한다.
1) $W(t) = 0$일 때 (3)의 평형점이 점근 안정한다.
2) $e(0) = 0$일 때 다음의 $H_{\infty}$ 성능을 만족한다.
여기서 $\gamma > 0$는 미리 정의된 상수이고, $Q \succ 0$는 미리 정의된 가중 행렬이며, $W(t) = \text{col}\{\omega(t),
\Delta(t)\}$이다.
참고 2 : $\Delta(t)$는 시스템과 관측기의 소속도 함수 불일치로 인해 발생하는 부가적인 항으로, 외부 외란 $\omega(t)$와는 발생 원인이 다르지만,
오차 동역학에서 $\Delta(t)$와 $\omega(t)$는 모두 가산적인 입력으로 작용한다. 따라서 문제 1의 $H_{\infty}$ 성능은 $\omega(t)$만이
아니라 $\Delta(t)$까지 포함한 $W(t)$에 대한 추정 오차의 에너지 감쇠 성능을 의미한다.
본 논문에서는 관측기 설계 조건을 수립하기 위한 다음의 가정과 보조 정리를 사용한다.
가정 1 [12] : 시간 $t \in [t_k, t_{k+1})$에 대하여, 소속도 함수의 불일치는 다음과 같이 편차 상한을 만족한다.
$|\mu_i\{g(t_k)\} - \mu_i\{g(t)\}| \leq \phi_i.$
보조 정리 1 [13,
15] : 주어진 양의 정부호 행렬 $\Xi \in \mathbb{R}^{n_{\zeta} \times n_{\zeta}}$와 벡터 $\zeta(t) \in
\mathbb{R}^{n_{\zeta}}$에 대하여 다음을 만족한다.
여기서 $\Omega = \zeta(b) + \zeta(a) - \frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} \zeta(s)ds$이다.
3. 주요 결과
본 장에서는 문제 1을 만족하는 T-S 퍼지 샘플데이터 관측기의 설계 조건을 유도하고, 다음의 정리를 통해 유도한 결과를 제시한다.
정리 1 : 주어진 샘플링 주기 $h_k \in [h_1, h_2]$, 스칼라 $\varpi > -1/h_2$, 양의 스칼라 $\beta_1, \beta_2,
\lambda_B, \gamma, \phi_v$에 대하여 다음의 LMI 조건을 만족하는 양의 정부호 행렬 $P, S_k, Z_k \in \mathbb{R}^{n_x
\times n_x}$, 대칭 행렬 $\Lambda_i \in \mathbb{R}^{10n_x \times 10n_x}$, $Y_1, Y_2 \in
\mathbb{R}^{n_x \times n_x}$, $H_k \in \mathbb{R}^{4n_x \times 4n_x}$, 그리고 임의의 행렬
$X_k, G \in \mathbb{R}^{n_x \times n_x}$, $Y_3 \in \mathbb{R}^{2n_x \times 2n_x}$,
$N_1, N_2, N_3, N_4 \in \mathbb{R}^{6n_x \times n_x}$, $\bar{L}_{1i}, \bar{L}_{2i}
\in \mathbb{R}^{n_x \times n_y}$이 존재하면, 식 (3)의 오차 동역학은 문제 1의 조건을 만족한다.
여기서 $\Psi_{ij}^l = \tilde{\Phi}_{ij}^l - \sum_{v=1}^{r} \phi_v(\tilde{\Phi}_{iv}^l
+ \Lambda_i)$,
이며, 관측기 이득 행렬은 $L_{1i} = G^{-1}\bar{L}_{1i}, L_{2i} = G^{-1}\bar{L}_{2i}$로 구해진다.
증명 : 다음의 LKF를 고려한다.
$V(t) = \sum_{i=1}^{4} V_i(t),$
여기서
$P, Z_k, S_k \in \mathbb{R}^{n_x \times n_x}$는 양의 정부호 행렬이다. $V_1(t), V_2(t), V_3(t),
V_4(t)$에 대한 미분은 다음과 같다.
$\dot{V}_3(t)$의 적분 항은 보조 정리 1을 통해 다음과 같이 변환할 수 있다.
한편, 임의의 행렬 $G$와 양의 스칼라 $\beta_1, \beta_2$에 대하여 다음의 식이 성립한다.
또한, 문제 1의 조건을 만족하기 위해 다음의 식을 고려한다.
이제 (7)-(9)로부터 다음과 같은 부등식을 얻는다.
식 (10)에서 $\chi(t)$에 대한 각 규칙쌍의 계수 행렬은 가중치 $\tau_2(t)/h_k$와 $\tau_1(t)/h_k$를 갖는 두 끝점 행렬의 볼록
조합으로 표현된다. 따라서 두 끝점에 대응하는 행렬 조건과 다음의 외란 관련 조건을 고려한다.
(11)과 (12)를 만족하는 $\sigma_1, \sigma_2$의 하한값은 다음과 같이 결정된다.
$\sigma_1 = \frac{\lambda_B}{\gamma^2}, \quad \sigma_2 = \frac{1}{\gamma^2}.$
여기서 $\lambda_B$는 $t \geq 0$에서의 $B_m^T(t)B_m(t)$의 최대 고윳값이다. 위의 $\sigma_1, \sigma_2$를
대입하고, 식 (10)의 두 끝점에 대응하는 행렬 조건식에 Schur complement를 적용하면, 다음의 부등식을 얻을 수 있다.
$\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{r} \mu_i\{g(t)\}\mu_j\{g(t_k)\} \left[ \frac{\tau_2(t)}{h_k}
\tilde{\Phi}_{ij}^1 + \frac{\tau_1(t)}{h_k} \tilde{\Phi}_{ij}^2 \right] \prec 0$
이는 양의 스칼라 $\phi_j$에 대하여 다음과 같이 변환할 수 있다.
여기서 $\sum_{i=1}^{r}\mu_i\{g(t)\} = 1$로 인하여 다음의 식이 성립한다.
이제 (13)과 (14)로부터 다음과 같은 부등식을 얻는다.
가정 1에 의하여 (4)-(6)이 만족하면, (15)가 보장된다. ■
그림 1 비주기 샘플링 간격 $h_k$
Fig. 1 Aperiodic sampling interval $h_k$
참고 3 : 정리 1은 $L_1$과 $L_2$의 이득을 가지는 관측기에 대한 문제 1의 설계 조건을 만족하는 LMI 기반 충분조건을 제시한다. 만약 $L_2$를
영행렬이라고 가정한다면, (2)는 기존 샘플데이터 관측기 동역학이 되고, 정리 1에 제시된 조건은 $L_1$만이 존재하는 충분조건이 되므로, 제안하는 방식은 기존의 관측기 모델을
특수한 경우로 포함한다.
4. 시뮬레이션 예제
본 장에서는 정리 1에서 제안한 T-S 퍼지 샘플데이터 관측기 설계 조건을 [9]에 주어진 비선형 mass-spring 시스템에 적용하여 타당성을 검증한다. 시뮬레이션 예제에서 사용되는 시스템의 T-S 퍼지 모델은 (1)로 표현할 수 있으며, 시스템 파라미터는 다음과 같다.
여기서 $z(t) = x_1(t), g(t) = \hat{x}_1(t)$로 설정하였다. 정리 1의 LMI를 해석하기 위해 사용되는 파라미터는 $\varpi
= -0.1, \phi_1 = \phi_2 = 0.3, \beta_1 = 0.4, \beta_2 = 4, \lambda_B = 0.0144, \gamma
= 0.9, Q = 10^{-3} \times I_{n_x}$, 초기 상태는 $x(0) = \hat{x}(0) = [0.4 \quad 0.5]^T,
\omega(t) = \sin(3t)$로 설정하였으며, 각 샘플링 간격 $h_k$는 그림 1과 같이 $0.01$과 $0.9$ 값 사이에서 무작위로 선택한 값을 갖도록 설정하였다. (4)-(6)을 해석하여 얻은 관측기 이득 행렬은 다음과 같다.
비교를 위해 $L_{21} = L_{22} = [0 \quad 0]^T$라는 가정하에 정리 1의 LMI를 해석하면 다음의 관측기 이득 행렬을 얻을
수 있다.
그림 2 시스템의 상태 $x(t)$와 관측기의 추정 상태 $\hat{x}(t)$의 시간 응답
Fig. 2 Time responses of the state $x(t)$ of the system and the estimated state $\hat{x}(t)$
of the observer
그림 3 제안한 관측기와 기존 관측기의 안정화 영역 비교
Fig. 3 Comparison of stabilization region of the proposed observer and the conventional
observer
그림 2는 $x(t)$와 $\hat{x}(t)$의 시간 응답을 나타낸다. 소속도 함수 불일치와 외부 외란이 존재하는 환경에서 제안한 관측기가 시스템의 상태를
정확하게 추정하는 모습을 보여준다. 표 1에서는 샘플링 시간 의존 관측기와 기존 샘플데이터 관측기의 $H_{\infty}$ 성능 지표 함수 $\Gamma(\infty)$와 추정 오차의 RMS
오차를 비교한 결과를 나타낸다. RMS 오차는 다음과 같이 계산하였다.
여기서 $N$은 RMS 오차 계산에 사용한 시뮬레이션 시간 데이터 개수를 의미하며 $N = 30001$이다. 표 1에서 볼 수 있듯이, 본 논문에서 제안한 샘플링 시간 의존 관측기가 $\Gamma(\infty) \leq \gamma^2 = 0.81$를 달성하여
문제 1의 조건을 만족하면서 기존 관측기보다 추정 성능이 더 우수함을 보여준다.
표 1 시뮬레이션 예제에서의 $\Gamma(\infty)$와 RMS 오차 비교
Table 1 Comparison of $\Gamma(\infty)$ and RMS error of $e(t)$ in the simulation example
|
|
$L_1, L_2$
|
Only $L_1$
|
|
$\Gamma(\infty)$
|
$1.415 \times 10^{-6}$
|
$1.451 \times 10^{-6}$
|
|
RMSE of $e(t)$
|
0.0847
|
0.0858
|
그림 3에서는 $\gamma$와 $h_2$만을 변화시켜 이에 따른 안정화 영역을 비교한 것으로, 제안한 관측기의 설계 조건이 기존 관측기의 설계 조건보다
덜 보수적이라는 것을 보여준다. 이는 $L_{21} = L_{22} = [0 \quad 0]^T$으로 고정됨에 따라 관측기 설계 변수의 자유도가 감소하여
LMI의 보수성이 증가한 것으로 보인다.
5. 결 론
본 논문에서는 T-S 퍼지 샘플데이터 시스템에 대한 샘플링 시간 의존 관측기 설계 문제를 다루었다. 기존 샘플데이터 퍼지 관측기에 샘플링 시간 변수에
의존하는 이득을 추가하였고, 이를 기반으로 상태 추정 오차 동역학을 제시하여 이에 대한 안정화 조건을 유도하였다. 이 과정에서 시스템과 관측기 사이의
소속도 함수 불일치에 의한 영향을 외란으로 간주하여 $H_{\infty}$ 외란 감쇠 기법으로 다루었고, 연속 시간 및 샘플링 순간의 소속도 함수
간 불일치가 편차 상한을 만족한다고 가정하였다. 상태 추정 오차 동역학의 안정화 조건은 샘플링 간격에 의존하는 행렬을 포함한 LKF를 통해 LMI
형태로 유도하였다. 마지막으로, 기존 샘플데이터 퍼지 관측기와 비교하여 제시한 관측기 설계 조건의 유효성을 검증하였다.
Acknowledgements
This work was partly supported by the Institute of Information & Communications Technology
Planning & Evaluation(IITP)-ITRC (Information Technology Research Center) grant funded
by the Korea government(MSIT)(IITP-2026-2024-00437102, 40%) and by the National Research
Foundation of Korea(NRF) grant funded by the Korea government(MSIT)(RS-2026-00251621,
60%).
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저자소개
He received the B.S. degree in the department of electronics and electrical engineering
at Dankook University, in 2025. Currently, he is working toward the M.S. degree in
the school of electronics and electrical engineering at Dankook University.
E-mail: jhy2002@dankook.ac.kr
He received his Ph.D. degree in Electrical and Electronic Engineering from Yonsei
University, South Korea, in 2018. From 2018 to 2019, he was a Senior Engineer with
the Mobile Communications Business, Samsung Electronics, South Korea. From 2019 to
2023, he was an Associate Professor with the Division of Artificial Intelligence Engineering,
Korea Maritime and Ocean University, South Korea. Since 2023, he has been an Assistant
Professor with the Department of Electrical and Electronic Engineering, Dankook University,
South Korea.
Since 2026, he has been serving as an Associate Editor of the International Journal
of Control, Automation and Systems (IJCAS) and The Transactions of the Korean Institute
of Electrical Engineers.
E-mail: hansol@dankook.ac.kr