2.1 ESS 셀 전압 데이터 추출

본 연구에서는 실제 운전 중인 대용량 에너지저장장치(Energy Storage System, ESS)에서 수집된 셀 전압 데이터를 이용하여 셀 간 전압 불일치성을 분석하였다. 분석 대상 ESS는 4개의 배터리 랙(Rack)으로 구성되어 있으며, 각 랙은 17개의 모듈(Module)과 238개의 셀(Cell)로 구성된다. 본 연구에서는 개별 셀의 시간에 따른 전압 응답 특성을 분석하기 위해 BMS에서 취득된 셀 전압 시계열 데이터를 활용하였다.

랙에 직렬 연결된 셀에 전류가 흐를 때, 셀 전압은 셀별 SOC, 내부저항 및 열화 특성을 나타낸다. 따라서, 동일 전류가 흐르는 시점에 셀 전압 응답 편차를 분석하기 위해, 배터리 랙 단위로 셀 전압 편차를 분석하였다. 그러나, 운전 전류의 방향과 크기에 따라 전압 응답 특성이 달라지므로, 충전과 방전 구간을 분리하여 셀 간 전압 편차를 분석하였다. 이때, 충방전 구간을 분리하는 방법으로, 랙 데이터의 상태 데이터(Idle, Charging, Discharging)를 활용하였다.

따라서, 랙별로 취득한 셀 전압 데이터를 독립적인 분석 집단으로 구성하였으며, 충전 및 방전 구간별 셀 전압 데이터를 각각 행렬 형태로 변환한 후, RPCA 분석의 입력 데이터로 사용하였다.

랙 내부 $i$번째 셀의 전압 시계열 데이터는 식 (1)과 같이 정의하였다.

이때, $v_{i}(t_{j})$는 $j$번째 시간에서 측정된 $i$번째 셀의 전압을 의미하며, $n$은 해당 운전 구간의 시간 샘플링 수를 나타낸다. 랙을 구성하는 전체 $m$개 셀의 전압 시계열을 행 방향으로 배열하여 식 (2)와 같은 셀 전압 행렬을 구성하였다. 이때, 충전 구간과 방전 구간의 셀 전압 데이터는 각각 $A_{1}$과 $A_{2}$로 구분하였다.

2.2 RPCA 기반 셀 전압 데이터의 저랭크 분해

ESS 내 배터리 셀은 동일한 충방전 조건과 유사한 환경에서 전압 응답 특성을 나타내므로, 셀 전압 데이터는 상호 간 높은 상관성을 갖는 공통 전압 응답 특성을 형성한다. 이때, 셀 간 불일치 또는 이상 상태로 인해 발생하는 전압 편차는 이러한 공통 구조에서 벗어나 일부 셀에서 국부적으로 나타난다. 이에 셀 전압 데이터를 공통적인 저랭크 성분(Low-Rank)과 국부적인 희소(Sparse) 성분으로 분리하고자 강건 주성분 분석 기법(Robust Principal Component Analysis, RPCA)을 적용하였다.

RPCA는 데이터 행렬을 저랭크 성분과 희소 성분으로 분해함으로써, 이상치나 국부적 손상이 존재하는 환경에서도 데이터의 공통적인 변동 구조를 강건하게 추출하는 기법이다. 일반적인 주성분 분석(Principal Component Analysis, PCA)이 노이즈나 이상치에 민감한 것과 달리, RPCA는 이러한 국부적 이상 성분을 희소 행렬로 별도 분리함으로써 강건성을 확보한다. 이러한 특성으로 인해 RPCA는 영상처리, 얼굴 인식과 같이 대규모 데이터에서 이상치를 검출하거나 배경과 전경을 분리하는데 활용하고 있다.

ESS 운전데이터에는 셀 불량이나 센서 오류와 같은 실제 이상 상태뿐 아니라, 충방전 전환이나 셀 밸런싱과 같은 정상적인 운전 이벤트로 인한 변동도 존재한다. 이 중 다수의 셀에서 공통적으로 나타나는 변동은 저랭크 성분으로, 일부 셀에서 국부적으로 나타나는 변동은 희소 성분으로 분리되므로, RPCA를 적용하여 다수 셀이 공유하는 저랭크 구조와 일부 셀에서 나타나는 희소한 편차 성분을 분리하였다.

따라서, 식 (3)과 같이 RPCA 방법론을 활용하여 셀 전압 시계열 데이터인 $A$를 저랭크 행렬 $L$(Low-rank Matrix)과 희소(Sparse)행렬 $S$의 합으로 분해(Decomposition)하였다^[6].

저랭크 성분 $L$은 개별 셀 전압 데이터가 소수의 공통적인 응답 특성의 조합으로 표현될 수 있음을 의미한다. 동일 랙 내 셀 전압은 전류 흐름, SOC 변화, 운전 상태에 대해 공통된 영향을 받아 셀 간 상관관계가 높으며, 이에 따라 셀 전압 응답 특성이 소수의 특이값(Singular Value)에 의해 표현된다.

희소 성분 $S$는 다수 셀이 공유하는 공통 전압 응답 특성에서 설명되지 않는 국부적인 전압 편차를 나타낸다. 이러한 편차가 일부 셀 또는 일부 시간 구간에서 제한적으로 나타나는 경우, $S$로 표현된다.

저랭크 행렬과 희소 행렬을 분해하기 위한 이상적인 최적화 문제는 식 (4)와 같다.

$rank(L)$은 0이 아닌 특이값의 개수를 나타내며, $\|S\|_{0}$는 희소행렬에서 0이 아닌 원소의 개수를 나타낸다. $\lambda$는 저랭크 행렬과 희소 행렬 사이의 상대적인 비중을 조절하는 가중계수이다. 그러나, 식 (4)의 경우 $rank$ 함수와 $l_{0}$노름을 최적화(Optimization)하는 문제로서 비볼록 함수의 형태를 가지기 때문에 식 (5)와 같이 변형하여 핵노름과 원소별 $l_{1}$ 노름을 이용해 볼록 함수로 완화하였다.

$\|L\|_{*}$은 식 (6)과 같이 행렬 $L$의 특이값의 합을 의미하며, 이를 최적화하여 $L$의 저랭크 구조를 유도한다. $l_{1}$노름 $\|S\|_{1}$은 식 (7)과 같이 행렬 원소의 절대값의 합을 의미하며, 이를 최적화하여 $S$의 희소성을 유도한다.

따라서, 식의 목적함수는 저랭크 행렬과 희소 행렬을 유도하면서 두 성분의 합이 $A$가 되는 것이다. 따라서, 두 성분의 합의 결과가 $A$가 되도록 등식 제약 조건을 만족하는 증강 라그랑지안 기법을 적용하였다. RPCA 문제에 증강 라그랑지안을 적용한 함수는 식 (8)과 같다. $Y$는 등식 제약조건을 만족시키기 위한 라그랑주 승수 행렬이고 $\mu$는 제약조건 위반에 대한 패널티 계수이다.

라그랑지안 함수를 적용한 RPCA 알고리즘은 그림 2와 같다.

저랭크 행렬 $L$은 식 (9)와 같이 SVT(Singular Value Thresholding)를 적용하여 계산한다. 각 반복 단계에서는 현재의 희소 행렬 $S$와 라그랑주 승수 $Y$를 이용하여 입력 행렬을 보정한 후, SVD(Singular Value Decomposition)를 수행하여 임계값 보다 작은 특이값은 제거하고, 상대적으로 큰 특이값은 유지하여 $L$을 산출한다. 이 과정에서 작은 특이값이 제거됨에 따라 셀 간 공통적으로 나타나는 주요 응답 특성이 저랭크 행렬 $L$로 추출된다.

희소 행렬 $S$는 식 (10)과 같이 Soft-Thresholding을 이용하여 계산한다. 따라서, $S$값이 임계값 이하일 경우 값을 0으로 제거하고 임계값을 초과하는 성분만 유지함으로써 희소성분을 추출한다. 그 결과, 다수 셀이 공유하는 저랭크 전압 응답 외에 국부적인 전압 차이는 $S$로 분리된다^[7].

$L$과 $S$를 갱신한 후, 입력 행렬 $A$와 복원행렬 $(L+S)$ 간의 잔차를 이용하여 식 (11)과 같이 라그랑주 승수 $Y$ 값을 산출한다. 이를 통해 반복 계산 과정에서 $A=L+S$의 제약조건을 만족하도록 보정한다.

2.3 부분공간 투영 기반 셀 전압 특징 추출

2.2절에서는 RPCA를 이용하여 셀 전압 행렬($A$)를 저랭크 성분($L$)과 희소 성분($S$)으로 분해하였다. 이 중 저랭크 행렬($L$)은 다수의 셀에서 공통적으로 나타나는 전압 응답 특성을 표현한다. 이러한 공통 전압 응답을 기준으로 셀별 특징값을 표현하기 위해 부분공간 투영(Subspace Projection)을 진행하였다.

먼저, 식 (12)와 같이 RPCA를 통해 추출된 저랭크 행렬($L$)에 대해 특이값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)를 수행하였다.

이때, $U$와 $Q$는 각각 좌특이벡터와 우특이벡터로 구성된 행렬이며, $\Sigma$는 각 특이값을 대각성분으로 가지는 행렬이다. 본 연구의 셀 전압 행렬($A$)은 각 행을 개별 셀, 각 열을 시간에 따른 전압 측정값으로 구성하였다. 따라서, 우특이벡터는 저랭크 행렬의 시간축 방향을 구성하는 직교 기저벡터이며, 각 벡터는 시간에 따른 전압 응답 특성을 나타낸다. 이때, 특이값은 각 특이벡터에 대응하는 전압 응답 특성이 저랭크 행렬에서 차지하는 상대적 크기를 나타내며, 가장 큰 특이값에 대응하는 첫 번째 우특이벡터는 셀 전압 데이터에서 가장 지배적인 시간 변화 특성을 의미한다. 이에 본 연구에서는 첫 번째 우특이벡터 $q_{1}$을 다수 셀이 공유하는 지배적인 시간축 전압 응답을 나타내는 기준벡터로 사용하였다.

따라서, 식 (13)은 각 셀의 전압 시계열($A$)을 기준 벡터에 투영하여 산출한 셀별 특징값 계산식이다. 이를 통해 분석 구간 전체에 측정된 다수의 전압 데이터를 하나의 특징값으로 나타내어 모든 셀을 동일한 기준에서 비교할 수 있도록 하였다.

2.4 Mahalanobis Distance 기반 셀 전압 불일치성 정량화

2.3절에서 부분공간 투영을 통해 각 셀은 충방전 구간에서 각각의 특징값을 갖게 되며, 이를 결합하여 2차원 특징벡터로 표현하였다. $i$번째 셀의 특징 벡터는 식 (14)와 같이 정의한다.

여기에서 $f_{i}^{charge}$, $f_{i}^{discharge}$는 각각 $i$번째 셀의 충방전 구간에서 산출한 부분공간 투영 특징값을 의미한다. 따라서 하나의 셀은 충방전 전압 특성을 동시에 나타내는 특징공간의 하나의 점으로 표현된다.

동일한 운전조건에서 유사한 전압 응답 특성을 갖는 셀은 특징 공간에서 서로 유사한 위치에 분포하는 반면, 다른 셀들과 상이한 충방전 전압 응답 특성을 갖는 셀은 전체 셀의 특징 분포 중심에서 상대적으로 멀리 위치한다. 이에 본 연구에서는 각 셀의 특징벡터가 전체 셀의 특징 분포로부터 벗어난 정도를 정량적으로 평가하기 위하여 Mahalanobis Distance 기법을 적용하였다^[8].

$i$번째 셀의 Mahalanobis Distance는 식 (15)와 같이 계산한다. 이때, $\mu$는 충방전 특징값의 평균벡터를 의미한다. $C$은 공분산 행렬로, 전체 셀 집단에서 충방전 특징값의 분산과 두 특징 간의 선형적 연관성을 나타내는 행렬이다.

Mahalanobis Distance는 단순한 유클리드 거리와 달리 충방전 특징값의 분산과 두 특징 간의 상관관계를 함께 고려한다. 따라서 $MD_{i}$가 작을수록 해당 셀의 전압 특성이 전체 셀 집단과 유사함을 의미하며, $MD_{i}$가 증가할수록 전체 셀의 일반적인 전압 특성에서 상대적으로 벗어나 있음을 의미한다. 본 연구에서는 이를 셀 전압 불일치성을 정량화하기 위한 지표로 활용하였다.

3.1 셀 전압 불일치성 정량화를 위한 ESS 운전 조건

본 연구에서는 실제 운전 중인 ESS에서 취득된 셀 전압 데이터를 이용하여 동일 랙 내 셀 간 전압 응답 특성을 분석하였다. 분석 대상 ESS는 4개의 배터리 랙으로 구성되며, 각 랙은 238개의 셀 전압 데이터를 포함한다. 또한, 서로 다른 운전 시점에서 취득한 총 3개 Cycle의 데이터를 분석 대상으로 선정하였으며, 각 Cycle에 대해 동일한 방법으로 랙 1부터 랙 4까지의 셀 전압 데이터를 추출하였다. 표 1은 Cycle별 ESS 운전 조건을 나타내며, 동일한 SOC 범위의 충방전을 위해 일정 시간, 일정 출력을 조건으로 시운전을 진행하였다.

그림 3은 분석 대상 데이터 중 Cycle 1의 랙 1에서 측정한 셀별 충방전 전압 시계열을 나타낸다. 각 랙의 셀은 직렬로 연결되어 충방전시 동일한 전류가 흐르고, 이로 인해 랙 내 셀은 유사한 전압 응답 특성을 갖는다. 그러나, 동일 운전 조건에서 일부 셀은 다른 셀에 비해 상대적으로 높거나 낮은 전압 응답이 나타나는 것을 확인할 수 있으며, 이러한 차이는 셀별 SOC, 용량, 내부저항, 열화 상태의 차이에 기인할 수 있으며, 온도와 계측, 밸런싱 조건의 영향도 받을 수 있다.

셀 간 전압 차이를 평가하는 통계 지표로는 최대최소 전압 차이가 있으나 이는 측정 시점의 전압 값에 의존하며 셀 전압의 시간적 변화 특성을 반영하기 어렵다. 따라서 이후 분석에서는 단일 시점의 전압 차이뿐 아니라 충방전 구간 전체에서 나타나는 셀별 전압 응답 차이를 비교하였다.

3.2 RPCA 기반 공통 전압 구조 추출 결과

그림 4는 Cycle 1의 랙 1에 대해 수행한 RPCA 분해 결과를 나타낸다. 그림 4(a)는 충전 구간의 저랭크 성분($L$)을 나타내며, 그림 3(a)와 비교했을 때, 개별 셀에서 나타나는 국부적인 편차 성분이 분리된 결과임을 확인할 수 있다. 그림 4(b)는 희소 성분($S$)을 나타내며, 그림 3(a)의 값에서 일부 국부적인 편차의 결과임을 확인할 수 있다. 그림 4(c)는 방전 구간의 저랭크 성분($L$)을 나타내며, 그림 3(b)와 비교했을 때, 개별 셀에서 나타나는 국부적인 편차 성분이 분리된 결과임을 확인할 수 있다. 그림 4(d)는 희소 성분($S$)을 나타내며, 일부 국부적인 편차의 결과임을 확인할 수 있다.

이때, 희소 성분($S$)은 셀의 물리적인 이상 또는 고장을 의미하지 않으며, 셀 특성 차이로 인한 응답일 뿐 아니라 계측 및 통신의 오차나 운전 이벤트에 의한 변동이 포함될 수 있다. 따라서 본 연구에서는 희소 성분 자체를 불일치성 지표로 사용하지 않고, 저랭크 성분($L$)을 활용하여 셀 집단의 지배적인 시간축 부분공간을 추출하였다.

3.3 Mahalanobis Distance 기반 셀 전압 불일치성 정량화

3.2절에서 추출한 충방전 저랭크 행렬을 통해 다수의 셀이 공유하는 시간적 전압 응답 특성을 나타내는 기준 벡터를 추출한 후, 부분공간 투영을 진행하였다. 이때, 각 셀의 충전 및 방전 특징값을 결합하여 셀별 2차원 특징벡터를 구성하였다. 특징 벡터의 분포정도를 정량적으로 표현하기 위해 Mahalanobis Distance를 적용하였으며, 이를 통해 동일 랙 내 셀 전압의 상대적 불일치 정도를 정량화하였다. Mahalanobis Distance는 충방전 특징의 분산과 두 특징 간 상관관계를 고려하므로, 전체 셀의 일반적인 전압 응답 특성으로부터 상대적으로 벗어난 셀일수록 큰 값을 갖는다. 본 연구에서는 이를 통해 동일 랙 내 셀의 상대적인 전압 불일치성을 정량적으로 나타내는 지표를 도출하였다.

그림 5는 동일한 운전조건에서 총 3회의 Cycle에 대해 랙 1부터 랙 4까지 산출된 셀별 Mahalanobis Distance를 나타낸다. 이는 전압 불일치성의 정량적 지표에 대해 Cycle 간 MD 분포와 상위 셀의 반복 출현 경향을 비교한 결과이며, 동일한 셀 위치에 대해 Cycle별 MD 값을 분석하였다.

표 2는 각 랙별 Cycle 마다 MD 값이 상대적으로 높은 값을 갖는 상위 3개 셀을 정리한 결과이다. 따라서, 랙 1에서는 M4-14가 3번 연속 상위 셀로 나타났으며, M12-14는 첫 번째와 세 번째 Cycle에서 반복적으로 나타났다. 랙 2에서는 M11-14가 연속적으로 상위 값을 가지며, M4-14는 첫 번째와 두 번째 Cycle에서 M12-14는 첫 번째와 세 번째 Cycle에서 반복적으로 높은 값이 나타났다. 랙 3에서는 M10-14와 M16-14가 3번 연속 상위 셀로 나타났으며, 랙 4에서는 M5-14와 M12-14가 연속적으로 높은 MD 값을 나타냈다. 이러한 결과는 ESS 충방전 Cycle별로 전체 셀의 일반적인 전압 응답에서 상대적으로 벗어나는 셀을 식별하고, 그 정도를 정량적으로 평가할 수 있음을 나타낸다.

그림 6은 랙 1의 Cycle 1을 예시로, MD 값이 높은 상위 2개 셀(M4-14, M12-14)과 MD 값이 낮은 하위 3개 셀(M7-7, M15-11, M16-9)의 충방전 전압 응답 결과를 나타낸다.

비교 결과, 낮은 MD를 갖는 셀들은 충방전 과정에서 서로 유사한 전압 응답 특성을 나타내며 비교적 밀집된 전압 응답을 보인다. 반면 높은 MD 값을 갖는 M4-14와 M12-14는 동일한 운전 조건에서도 다른 셀 집단과 상대적인 전압 차이가 나타나며, 충방전 과정에서 지속적인 차이가 발생하는 것을 확인할 수 있다. 이는, 부분공간 투영을 통해 추출한 충방전 특징값과 MD 값이 단일 시점이 아닌 분석 구간 전체에서 나타나는 셀 전압 응답 특성의 상대적인 전압 응답 차이를 식별할 수 있음을 확인했다.

한편, Cycle별 상위 MD 값을 갖는 셀의 위치를 비교한 결과, 표 2에 제시된 총 36건의 상위 셀 선정 사례 중 30건이 각 모듈의 14번 셀에 해당한다. 따라서 전압 불일치성을 개별 셀의 열화 특성만으로 해석하기보다는, 모듈 내 셀 위치에 따른 구조적 특성 또는 계측, 배선, 밸런싱 조건의 영향 가능성을 함께 검토할 필요가 있다. 특히 여러 랙의 동일한 셀 번호에서 ESS 운영마다 높은 MD가 반복될 경우, 실제 셀 열화뿐만 아니라 계측 채널, 모듈 구성 구조에 따른 영향이 존재하는지 추가적인 확인이 필요하다.

따라서 본 연구에서 산출된 Mahalanobis Distance는 동일 랙 내에서 상대적으로 다른 충·방전 전압 응답 특징을 나타내는 셀을 선별하는 데 활용할 수 있다. 다만 높은 MD 값은 곧바로 물리적인 고장 또는 열화 셀을 의미하지는 않으며, 반복적으로 높은 MD를 나타내는 셀에 대해서는 실제 충방전 전압 응답 특성을 비교하고, 향후 용량, 내부저항, SOH, EIS등의 상태진단 결과와 열화 추적관리를 통해 MD의 물리적인 의미를 검증할 필요가 있다.