2.1 입력 데이터 처리 및 후보 모델별 SOH 추정

Fig. 1은 Q. Zou 등^[2]의 BMA 기반 SOH 추정법을 바탕으로 본 연구에서 구현한 오프라인 학습과 MCU 기반 온라인 추정의 전체 구조를 나타낸다. 오프라인 단계에서는 건전지표 추출과 표준화 및 주성분 분석(Principal Component Analysis, PCA)을 거쳐 후보 모델을 구성하고 BMA 모델의 SOH 추정값을 계산한다. 또한 온라인 단계에서 SOH 추정값과 예측 불확실성을 산출하는 데 필요한 표준화 상수, 고유벡터 행렬, 회귀계수, 모델 가중치, 평균 용량 및 불확실성 계산 상수를 산출한다.

그림 1 본 연구의 분석 대상인 기존 BMA 기반 SOH 추정 방법의 전체 구조

Fig. 1 Overall framework of the existing BMA-based SOH estimation method analyzed in this study

입력 데이터 처리 단계에서는 Q. Zou 등^[2]의 방법에 따라 배터리 원시 데이터로부터 9개의 건전지표를 추출하고 건전지표 간 다중 공선성을 완화하기 위해 수행한다. 변환된 주성분 행렬 $\mathbf{x}$는 BMA 후보 모델의 입력으로 사용된다.

$p$개의 주성분을 사용할 때 $k$ 번째 후보 모델 $M_k$는 각 주성분의 포함 여부를 나타내는 이진 선택 벡터 $\gamma_k$로 정의된다^[2].

여기서 $\gamma_{k,j}$가 1이면 $j$ 번째 주성분이 후보 모델 $M_k$에 포함되고 $\gamma_{k,j}$가 0이면 제외된다. 본 연구에서는 입력 변수가 하나도 포함되지 않은 공집합 모델을 제외하였으며 이에 따라 $p$개의 주성분으로 구성되는 후보 모델의 수는 $K = 2^p - 1$개이다. 선택 벡터 $\gamma_k$에 따라 구성된 부분 입력 행렬은 $X_{\gamma_k}$로 나타낸다.

각 후보 모델의 부분 입력 행렬과 학습 출력 데이터는 평균값을 이용하여 다음과 같이 중심화한다.

여기서 $\Delta X_{\gamma_k}$와 $\Delta y$는 각각 중심화된 입력과 출력을 의미하며 $\overline{X}_{\gamma_k}$와 $\overline{y}$는 각각 부분 입력 행렬 $X_{\gamma_k}$와 학습 출력 데이터 $y$의 평균값을 의미한다. 각 후보 모델의 회귀계수에는 Zellner의 $g$-prior를 적용한다^[3]. 하이퍼파라미터 $g$는 학습 샘플 수 $n$으로 설정한다^[4]. 이에 따른 $k$ 번째 후보 모델의 회귀계수 사후 평균은 다음과 같이 산출된다.

새로운 입력 $x^*$에 대한 $k$ 번째 후보 모델의 SOH 예측값은 다음과 같이 산출된다.

여기서 $\Delta x_{\gamma_k}^*$는 학습 입력 데이터의 평균을 기준으로 중심화된 새로운 입력값이다.

Q. Zou 등^[2]에 따라 본 연구에서는 배터리 열화에 따라 감소하는 최대 방전용량을 용량 기반 SOH 지표로 사용하였다. 따라서 본 연구에서 SOH 추정은 BMA 모델을 이용하여 최대 방전용량을 추정하는 것을 의미하며 모델의 추정값은 [Ah] 단위로 나타낸다.

2.2 모델 가중치 및 최종 SOH 추정

Q. Zou 등^[2]의 방법에서는 각 후보 모델의 사후 모델확률을 모델 가중치로 사용한다. $k$ 번째 후보 모델 $M_k$의 가중치 $w_k$는 모델 사전확률과 주변우도를 이용하여 다음과 같이 산출된다.

여기서 $D$는 학습 데이터, $\mathrm{Pr}(M_k)$는 후보 모델 $M_k$의 사전확률, $\mathrm{Pr}(D|M_k)$는 해당 후보 모델의 주변우도를 의미한다. 모델 사전확률에는 Q. Zou 등^[2]과 동일하게 베르누이 사전분포를 적용하였다^[5]. 최대 방전용량을 $\Delta$라 하면 전체 후보 모델을 고려한 사후평균은 다음과 같이 계산된다^[2].

여기서 $E[\Delta|M_k, D]$는 $k$ 번째 후보 모델에서 산출된 용량의 사후 평균이며 $E[\Delta|D]$는 모든 후보 모델을 결합하여 산출한 최종 추정값이다.

최종 예측 분산은 각 후보 모델 내부의 예측 분산과 후보 모델 간 추정값 차이를 함께 반영하여 다음과 같이 산출된다^[2].

여기서 $\mathrm{Var}(\Delta|M_k, D)$는 $k$ 번째 후보 모델의 예측 분산이다. 식 (7)의 첫 번째 항은 각 후보 모델 내부의 파라미터 불확실성을 나타내며 두 번째 항은 후보 모델 간 추정값 차이에 따른 모델 불확실성을 나타낸다.

Q. Zou 등^[2]은 후보 모델 공간을 탐색하기 위해 Reversible-jump Markov chain Monte Carlo (RJMCMC)를 적용하였다. 반면 본 연구에서는 입력 차원에 따른 추정 결과를 동일한 조건에서 비교하기 위해 공집합 모델을 제외한 모든 후보 모델을 직접 계산하였다. 이를 통해 샘플링에 따른 확률적 변동을 배제하고 최종 SOH 추정값과 예측 불확실성을 산출하였다.

3.1 오프라인 파라미터 추출 및 임베디드 구현

Q. Zou 등^[2]의 BMA 기반 SOH 추정 구조는 오프라인에서 모델 파라미터를 산출하는 과정과 학습된 파라미터를 이용하여 배터리 상태를 추정하는 온라인 과정으로 구분된다. 본 연구에서는 이 구조를 바탕으로 오프라인 연산은 Python 환경에서 수행하고 온라인 추정 과정은 Nucleo-H755ZI-Q 보드의 ARM Cortex-M7 코어에 구현하였다.

오프라인 단계에서는 학습 데이터로부터 건전지표의 표준화와 PCA에 필요한 파라미터를 산출한 후 모든 후보 모델에 대해 회귀계수, 모델 가중치 및 불확실성 산출에 필요한 파라미터를 계산하였다. 산출된 파라미터는 임베디드 보드에서 사용할 수 있도록 상수 형태로 변환하였으며 주요 파라미터들은 Table 1에 정리하였다.

$\mu_H$와 $\sigma_H$는 각각 학습 데이터로부터 산출한 건전지표의 평균과 표준편차이며 온라인 단계에서 입력 건전지표를 표준화하는 데 사용된다. $v$는 표준화된 건전지표를 주성분으로 변환하기 위한 고유벡터 행렬이다.

$\overline{y}$는 학습 데이터의 평균 용량이며 $\omega$는 $g$-prior에 따른 수축계수이다. $\widehat{\beta}_{\gamma_k}$와 $\gamma_k$는 각각 $k$ 번째 후보 모델의 회귀계수와 주성분 선택 벡터를 의미하며 $w_k$는 해당 후보 모델의 사후 모델확률로부터 산출된 모델 가중치이다. $\beta_{BMA}$는 각 후보 모델의 회귀계수를 모델 가중치에 따라 결합하여 산출한 BMA 통합 회귀계수이다. 또한 $\widehat{\sigma}^2$은 학습 데이터의 잔차로부터 계산한 잔차 분산이며 $\sigma_k^2$은 $k$ 번째 후보 모델의 사후 오차 분산이다. $(\Delta X_{\gamma_k}^T \Delta X_{\gamma_k})^{-1}$은 후보 모델별 사후 오차 분산을 계산하는 데 사용되는 역 공분산 행렬이다.

온라인 단계에서는 각 사이클의 방전 과정이 종료된 후 확보된 방전 전압, 전류 및 시간 데이터로부터 건전지표를 추출하고 오프라인 단계에서 산출된 $\mu_H$와 $\sigma_H$를 이용하여 표준화한다. 이후 고유벡터 행렬을 이용하여 주성분을 생성하고 Table 1의 파라미터를 이용하여 최종 용량 추정값과 예측 불확실성을 산출한다. 모델 학습과 모델 가중치 계산은 임베디드 보드에서 수행하지 않으며 보드에서는 오프라인 단계에서 미리 산출된 파라미터를 이용한 추정 연산만 수행한다.

이때 본 연구에서 실시간 SOH 추정은 방전 중 SOH를 연속적으로 갱신하는 방식이 아니라 각 사이클의 전체 방전 구간이 종료되어 건전지표가 확정된 후 MCU에서 수행되는 사이클 단위의 온라인 추정을 의미한다.

3.2 배터리 데이터 및 건전지표 추출

실험에는 Q. Zou 등^[2]과 동일하게 TRI 데이터셋을 사용하였다^[6]. 해당 데이터셋은 공칭용량 1.1 Ah의 상용 LFP/흑연 원통형 셀(A123 Systems, APR18650M1A) 45개로 구성된다. 본 연구에서는 셀 1~34의 데이터를 학습 데이터로 사용하고 셀 35~45의 데이터를 시험 데이터로 사용하여 셀 단위로 학습 데이터와 시험 데이터를 분리하였다.

TRI 데이터셋은 0~80 % SOC 구간에서 서로 다른 다단계 급속충전 프로토콜을 적용하고 80~100 % SOC 구간에서는 1.1 A CC–3.6 V CV 충전을 수행한다. 방전 과정은 4.4 A CC–2.0V CV 조건으로 진행되며 모든 충·방전 사이클은 30 °C에서 수행되었다^{[2], [6]}.

Q. Zou 등^[2]에서는 TRI 데이터셋의 충전 과정이 서로 다른 다단계 급속충전으로 구성된다는 점을 고려하여 건전지표를 방전 곡선에서 추출하였다. 본 연구에서도 분석 대상 방법의 데이터 처리 조건을 따라 방전 전압과 전류를 이용하였으며 건전지표의 구체적인 계산 기준은 본 연구의 구현에 맞게 구성하였다.

건전지표를 추출하기 위해 먼저 전류가 -0.05 A 미만인 샘플을 방전 구간으로 선택하였다. 이후 전압이 $1.8 \le V \le 4.5$인 구간 및 전류가 $|I| \le 10\text{ A}$인 조건을 벗어나는 샘플을 제거하고 전압과 전류에 윈도우 크기 7의 중간값 필터를 적용하였다. 정제된 전체 방전 데이터로부터 산출한 9개의 건전지표는 Table 2와 같다.

H1은 사이클 번호이며 H2는 방전 전압이 3.0 V에서 2.5 V까지 감소하는 데 걸린 시간이다. H3은 전체 방전 시간이고 H4~H8은 방전 전류로부터 산출한 통계적 특징이다. H9는 방전 구간의 전압, 전류 및 시간 데이터를 이용하여 계산한 방전 에너지이다.

3.3 입력 차원 축소 조건 구성

입력 차원별 실험 조건을 구성하기 위해 각 건전지표와 방전용량 간의 피어슨 상관계수(Pearson Correlation Coefficient, PCC)를 계산하였다. PCC는 건전지표와 배터리 용량 간의 선형적 관련성을 정량화하는 지표이며 SOH 추정을 위한 건전지표의 선택 기준으로 활용되어 왔다^{[7], [8]}.

본 연구에서는 PCC 절댓값이 작은 건전지표부터 하나씩 제외하여 9차원부터 1차원까지 총 9개의 입력 조건을 구성하였다. Fig. 2의 PCC 절댓값을 기준으로 건전지표의 유지 우선순위는 H4, H6, H8, H5, H7, H1, H9, H3 및 H2의 순서로 설정하였다. 이에 따라 차원 축소 과정에서는 H2, H3, H9, H1, H7, H5, H8 및 H6의 순서로 건전지표를 제외하였으며 1차원 조건에서는 PCC 절댓값이 가장 큰 H4만을 사용하였다.

그림 2 건전지표와 최대 방전용량 간의 피어슨 상관계수

Fig. 2 Pearson correlation coefficients between health indicators and maximum discharge capacity

각 입력 차원 조건에서는 선택된 $j$개의 건전지표를 표준화한 후 PCA를 수행하였으며 생성된 $j$개의 주성분을 BMA 후보 모델의 입력으로 사용하였다. 따라서 본 연구에서 $j$는 해당 조건에서 사용된 건전지표의 수이자 PCA 변환 후 생성된 주성분의 수를 의미한다.

모든 입력 조건에는 동일한 학습, 시험 데이터 분할과 동일한 BMA 설정을 적용하였으며 Table 1의 오프라인 파라미터는 각 입력 차원 조건에 대해 별도로 산출하였다.

건전지표 사이에는 계산 과정의 의존성이 존재한다. H6과 H7의 계산에는 방전 전류의 평균과 표준편차가 필요하고 H8의 계산에도 평균 전류가 사용된다. 따라서 H4 또는 H5가 BMA 입력에서 제외되더라도 H6, H7 또는 H8이 유지되는 조건에서는 관련 중간 연산이 계속 수행된다. 이로 인해 입력 차원의 감소와 임베디드 실행 시간의 감소가 선형적으로 비례하지 않을 수 있으며 실제 실행 시간의 변화는 4.3절에서 분석한다.

4.1 실험환경 및 평가

오프라인 파라미터 산출은 PC의 Python 환경에서 수행되었다. 오프라인 연산에 사용된 PC의 하드웨어 사양은 Intel Core i5-4590 (3.30 GHz) CPU, 16 GB RAM, 그리고 NVIDIA GeForce GTX 1060 (3 GB) GPU로 구성되었다. 이후 3.1절에서 산출한 오프라인 파라미터와 온라인 추정 알고리즘을 임베디드 시스템에 이식하여 SOH 추정 성능과 임베디드 실행 시간을 측정하였다.

이때 사용한 MCU는 STMicroelectronics사의 Nucleo-H755ZI-Q 보드이며 펌웨어 환경 구성 및 시간 측정은 STM32Cube IDE를 통해 수행되었다.

모델의 정확도와 추종 능력을 평가하기 위해 Root Mean Square Error (RMSE), Mean Absolute Percentage Error(MAPE), 그리고 Normalized Integrated Absolute Error($IAE_{norm}$)를 평가지표로 사용하였다. 각 지표는 식 (8) ~ 식 (10)에 표현하였다.

위 식에서 $N$은 전체 검증 데이터의 샘플 수, $y_i$와 $\widehat{y}_i$는 각각 용량 기반 SOH 지표로 사용한 실제 최대 방전용량과 모델이 추정한 최대 방전용량을 의미하며 $C$는 충방전 사이클을 의미한다. RMSE, $IAE_{norm}$ 및 MAPE는 모델의 전반적인 오차를 나타내기 위한 지표로 사용했다. 또한 모델이 출력하는 예측 분포의 신뢰도와 불확실성을 종합적으로 평가하기 위해 Continuous Ranked Probability Score (CRPS)를 평가 지표로 사용했다.

$x$는 실제 용량값, $F(\cdot)$는 BMA 모델이 예측한 최대 방전용량의 누적확률분포함수, $I(\cdot)$는 지시 함수이다. CRPS 값이 작을수록 예측 분포가 실제 관측값에 더 가깝게 집중되어 있음을 의미한다.

본 연구에서는 최대 방전용량을 추정 대상으로 사용하므로 RMSE, $IAE_{norm}$ 및 CRPS의 단위는 [Ah]이며 MAPE는 %로 나타내었다.

임베디드 실행 시간은 ARM Cortex-M7 코어에 내장된 DWT (Data Watchpoint and Trace) 사이클 카운터를 이용하여 하드웨어 클럭 단위로 측정하였으며 측정된 사이클 수는 시스템 코어 클럭인 480 MHz를 기준으로 ms 단위로 환산하였다.

이때 측정 범위에는 방전 데이터 전처리, 건전지표 추출, 표준화, PCA 변환, SOH 추정 및 예측 불확실성 산출까지의 온라인 연산을 모두 포함하였으며, 각 연산별 실행 시간 비율은 Fig. 3에 나타내었다. 방전 데이터 수집과 오프라인 모델 학습 및 파라미터 산출은 측정 범위에서 제외하였다. 각 입력 차원 조건에서는 동일한 입력 데이터에 대한 온라인 연산을 5회 사전 실행한 후 100회 반복 측정하였으며 사전 실행 결과를 제외한 100회 측정값으로 실행 시간의 평균과 표본표준편차를 산출하였다.

그림 3 건전지표 9개를 사용한 온라인 SOH 추정의 단계별 실행 시간 비율

Fig. 3 Execution time breakdown of on-line SOH estimation using nine health indicators

4.2 입력차원 축소에 따른 SOH 추정 및 분포

본 절에서는 특징 개수($j$)를 9개에서 1개로 순차적으로 축소함에 따라 BMA 모델의 점 추정 정확도와 확률적 예측 성능 변화를 분석한다.

Fig. 4는 전체 데이터셋에 대한 차원 축소에 따른 각 평가지표(RMSE, $IAE_{norm}$, MAPE, CRPS)의 추세를 나타낸다. 실험 결과 입력 차원 축소에 따른 오차는 선형적으로 증가하지 않고 구간별로 단계적인 성능 저하를 보였다.

그림 4 입력 차원 축소에 따른 평가지표: (a) RMSE, (b) $IAE_{norm}$, (c) MAPE 및 (d) CRPS

Fig. 4 Evaluation metrics according to input feature dimensionality reduction: (a) RMSE, (b) $IAE_{norm}$, (c) MAPE, and (d) CRPS.

입력 차원이 9인 조건과 8인 조건에서는 모든 오차 지표가 낮은 수준을 유지하였다. 그러나 입력 차원이 7인 조건에서는 RMSE가 0.030으로 증가하여 첫 번째 성능 저하가 나타났으며 입력 차원이 6인 조건에서도 RMSE는 0.030으로 나타나 두 조건 간 유사한 수준을 보였다. 이후 입력 차원이 5인 조건에서는 오차 지표가 다시 증가하였으며 입력 차원을 1까지 추가로 축소하더라도 오차 증가 폭은 상대적으로 제한적으로 나타났다.

이러한 결과를 추정 궤적에서 확인하기 위해 Fig. 5에 대표 시험 셀인 Cell 36의 입력 차원별 용량 기반 SOH 추정 결과와 95 % 예측구간을 나타내었다. Fig. 5(a)는 입력 차원이 9인 조건, Fig. 5(b)는 첫 번째 성능 저하가 나타난 입력 차원 7의 조건, Fig. 5(c)는 입력 차원이 6인 조건, Fig. 5(d)는 두 번째 성능 저하가 시작된 입력 차원 5의 조건을 나타낸다.

그림 5 입력 차원 축소에 따른 용량 기반 SOH 추정 결과및 95 % 예측구간: (a) 9개, (b) 7개, (c) 6개 및 (d) 5개.

Fig. 5 Capacity-based SOH estimation results and 95 % prediction intervals according to input dimensionality reduction: (a) 9, (b) 7, (c) 6 and (d) 5.

모든 건전지표를 사용한 Fig. 5(a)에서는 추정 궤적이 실제 방전용량의 감소 경향을 전반적으로 가깝게 추종하였으며 비교적 좁은 예측구간을 형성하였다. 입력 차원이 7인 Fig. 5(b)에서는 수명 중반부까지 추종 성능이 유지되었으나 약 800 cyc 이후 나타나는 급격한 용량 감소 구간에서 추정값이 실제값으로부터 이탈하는 현상이 관찰되었다.

입력 차원이 6인 Fig. 5(c)에서는 건전지표를 하나 더 제외했음에도 입력 차원이 7인 조건과 비교하여 추정 오차가 크게 증가하지 않았다. 반면 입력 차원이 5인 Fig. 5(d)에서는 초기 사이클부터 모델의 추정값이 실제 방전용량보다 높게 형성되는 경향이 나타났다. 또한 예측 분산이 증가함에 따라 95 % 예측구간도 이전 조건보다 넓게 형성되었다. 전체 시험 결과에서는 입력 차원이 7인 조건에서 일부 단발성 추정 이탈이 관찰되었으나 그 외의 조건에서는 추정 궤적이 비교적 안정적으로 유지되었다.

4.3 입력차원 축소에 따른 온라인 실행 시간

4.1절에서 설명한 임베디드 실험 환경을 기반으로 입력 차원 축소에 따른 온라인 추정 실행 시간의 변화를 측정하였다. 100회 반복 측정 결과 입력 차원이 감소함에 따라 평균 실행 시간은 전반적으로 감소하였으나 그 감소 폭은 선형적이지 않았다. 각 입력 차원 조건에서 실행 시간의 표준편차는 0.0001~0.0033 ms로 나타나 측정 변동성은 매우 작았다.

초기 차원 축소 구간에서 평균 실행 시간이 가장 크게 감소하였다. 특히 입력 차원이 9에서 8로 감소하였을 때 평균 실행 시간은 9.070 ms에서 8.093 ms로 약 0.977 ms 단축되어 가장 큰 감소 폭을 보였다. 이후 입력 차원을 지속적으로 축소함에 따라 평균 실행 시간도 감소하였으나 차원당 감소 폭은 점차 줄어들었다.

입력 차원이 4인 조건의 평균 실행 시간은 6.738 ms였으며 입력 차원 4~1의 평균 실행 시간은 6.608~6.738 ms 범위로 나타났다. 따라서 입력 차원이 4 이하인 구간에서는 실행 시간이 약 6.6 ms 부근에 머물러 추가적인 차원 축소에 따른 시간 단축 효과가 제한적으로 나타났다.

그림 6 입력 차원에 따른 BMA 모델의 온라인 실행 시간

Fig. 6 On-line execution time of the BMA model by input dimension

이러한 실행 시간 변화는 Fig. 6에 나타내었다. 이와 같은 비선형적인 실행 시간 감소는 3.3절에서 설명한 건전지표 간 계산 의존성과 관련된 것으로 판단된다. 왜도, 첨도 및 평균 절대 편차를 계산하기 위해서는 평균과 표준편차에 관한 중간 연산이 필요하므로 일부 건전지표가 BMA 입력에서 제외되더라도 특징 추출에 필요한 연산이 모두 제거되는 것은 아니다.

4.4 SOH 추정 성능과 실행 시간의 트레이드오프 분석

4.2절에서 산출한 SOH 추정 성능과 4.3절에서 측정한 실행 시간을 종합하여 입력 차원에 따른 트레이드오프 관계를 분석하였다. 대표 오차 지표로는 큰 추정 오차를 상대적으로 크게 반영하는 RMSE를 사용하였다.

Table 3은 9개의 건전지표를 사용한 조건을 기준으로 입력 차원별 RMSE 변화량과 실행 시간 감소율을 정리한 것이다. 기준 조건의 RMSE와 실행 시간은 각각 0.009와 9.070 ms이다. Table 3의 ‘4 이하’ 행에는 입력 차원 4~1에서 나타난 RMSE 변화량과 실행 시간 감소율의 최솟값과 최댓값을 각각 범위로 제시하였다.

입력 차원이 9에서 8로 감소하였을 때 평균 실행 시간은 9.070 ms에서 8.093 ms로 감소한 반면 RMSE는 0.009에서 0.010으로 0.001 증가하였다.

따라서 입력 차원이 8인 조건은 추정 정확도를 대부분 유지하면서 실행 시간을 감소시킨 조건으로 볼 수 있다. 입력 차원이 7인 조건에서는 RMSE가 0.030으로 증가하여 첫 번째 성능 저하가 나타났다.

반면 입력 차원이 6인 조건에서는 입력 차원이 7인 조건과 유사한 RMSE를 유지하면서 평균 실행 시간이 7.266 ms까지 추가로 감소하였다. 입력 차원을 6에서 5로 추가 축소하면 9차원 조건 대비 RMSE 변화량은 0.021에서 0.035로 0.014 증가한 반면 실행 시간 감소율은 19.9 %에서 21.1 %로 1.2 %p증가하는 데 그쳤다.

또한 입력 차원이 4 이하인 조건에서는 입력 차원을 추가로 축소하더라도 실행 시간이 약 6.6 ms 부근에 머물러 추가적인 시간 단축 효과가 제한적으로 나타났다.

이러한 트레이드오프를 고려하면 정확도 저하를 최소화하면서 실행 시간을 단축하고자 하는 경우에는 입력 차원이 8인 조건이 유리하다. 제한된 임베디드 연산 자원에서 추정 성능과 실행시간을 함께 고려하는 경우에는 입력 차원이 6인 조건이 비교적 균형 있는 트레이드오프 지점으로 판단되어 이를 권장할 수 있다.

다만 이 권장값은 본 연구에서 사용한 데이터셋, 건전지표 제거 순서 및 임베디드 보드 환경에 한정된다.