1. 서 론

그림 1과 같은 ∆AOB의 세 각이 모두 120° 미만일 때, 꼭짓점 A, O, B와 동일 평면상에 존재하는 한 점을 통하여 세 점을 연결하고자 한다⁽¹⁾.

그림. 1. 세 점 A, O, B

Fig. 1. Three points A, O, B

1629년 Fermat는 그림 2와 같이 세 점 A, O, B와 내부의 점 S를 연결하는 선분 AS, OS, BS가 각각 120°를 이룰 때 AS+OS+BS의 길이가 최소가 됨을 발견하였다⁽¹⁾.

이 점 S는 ∆AOB 의 Fermat point라 불리워 왔다^(2,3).

최근 발표된 참고문헌 ⁽¹⁾은, Fermat point를 통하여 ∆ABC의 세 꼭짓점을 연결하는 path를 ‘Fermat tree’로 명명하고, 이 ‘Fermat tree’가 외심, 수심, 무게중심 및 내심을 통하여 세 꼭짓점을 연결하는 path 보다 더 짧음을 설명한 바 있다.

그림. 2. Fermat point S 를 경유한 세 점의 연결

Fig. 2. Fermat point S of three points A, O, B

세 점을 최단거리로 연결하는 Fermat point와 Fermat tree 문제는 이미 물리학. 유통(流通) 등 여러 분야에 활용되어 왔다^(4-6). 전기공학 분야에도 다음과 같은 활용이 가능할 것으로 사료된다⁽¹⁾.

- 전선의 길이 최소화에 따른 전선 소모량 감소 및 공사비 절감을 기대할 수 있다⁽⁷⁾. 특히 고가의 금속/비금속 도선이 전선로로 사용되는 경우 전선의 비용절감 효과는 더 커진다.

- 냉매의 온도유지가 필요한 초전도 cable 의 경우, 전선로가 짧아짐에 따라 운용유지 비용이 절감된다.

- 전기회로/전력기기의 소형화, 경량화, 전력손실 감소 및 회로내의 발열량 감소 등을 기대할 수 있다.

본 논문에서는 참고문헌 ⁽¹⁾과 ⁽⁸⁾의 내용을 간단히 review 하고, 참고문헌 ⁽⁸⁾에서 제시한 아래의 Fermat tree 길이 계산공식의 상세한 수학적 유도과정과 적용 사례를 기술하고자 한다.

2. 삼각형의 五心과 Fermat point

세 변의 길이가 $1:\sqrt{3}:2$ 인 직각 삼각형의 세 개의 꼭짓점 A, O, B를 오심(五心), 즉, 방심, 외심, 무게중심, 수심 및 내심을 통하여 연결하는 tree의 길이를 각각 계산하고 이를 Fermat tree의 길이와 비교해 보자^(1,8).

2.1 방심[傍心, Excenter]

그림 3에서 점 O의 좌표를 (0,0) 이라 할 때, 방심 E 의 좌표 $(x ,\: y)$는

(2)

$x=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}},\: y=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$

가 되고, 방심 E 와 세 점 A, O, B를 연결하는 tree의 길이는:

(3)

$AE + OE + BE$ $=\sqrt{(x+\sqrt{3})^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+(1-y)^{2}}$ $= 4.0781$

그림. 3. 방심 E

Fig. 3. Excenter E

2.2 외심(外心, Circumcenter)

그림 4에서 외심 C 와 세 점 A, O, B를 연결하는 tree의 길이는:

(4)

$AC+OC+BC=3\sqrt{(\dfrac{1}{2})^{2}+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=3$

그림. 4. 외심 C

Fig. 4. Circumcenter C

2.3 무게중심(Centroid)

그림 5에서 무게중심 G 와 세 점 A, O, B를 연결하는 tree의 길이는:

(5)

$AG + OG + BG$ \begin{align*} =\sqrt{(\dfrac{1}{3})^{2}+(\sqrt{3}-\dfrac{1}{\sqrt{3}})^{2}}+\sqrt{(\dfrac{1}{3})^{2}+(\dfrac{1}{\sqrt{3}})^{2}}\\ +\sqrt{(1-\dfrac{1}{3})^{2}+(\dfrac{1}{\sqrt{3}})^{2}} \end{align*} = 2.7504

그림. 5. 무게중심 G

Fig. 5. Centroid G

2.4 수심(垂心, Orthocenter)

그림 6에서 수심 O 와 세 점 A, O, B를 연결하는 tree의 길이는:

(6)

$AO +BO=\sqrt{3}+1 =2.732$

그림. 6. 수심 O

Fig. 6. Orthocenter O

2.5 내심(內心, Incenter)

그림 7에서 점 O의 좌표를 (0, 0) 이라 할 때, 내심 I 의 좌표 $(x ,\: y)$는

(7)

$x=y=\dfrac{\sqrt{3}}{\tan 45^{\circ}+\tan 75^{\circ}}$

가 되고, 내심 I 와 세 점 A, O, B를 연결하는 tree의 길이는:

(8)

$AI + OI + BI$ $=\sqrt{(x^{2}+(\sqrt{3}-y)^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{(1-x)^{2}+y^{2}}$ $= 2.6639$

그림. 7. 내심 I

Fig. 7. Incenter I

2.6 Fermat point

그림 8에서 Fermat point F와 세 꼭짓점 A, O, B를 연결하는 선분 AF, OF 및 BF의 길이를 각각 $l,\: m,\: n$ 이라 하고 Fermat point F 에서 아래 세개의 식을 세우면:

(9)

\begin{align*} (\sqrt{3})^{2}& =l^{2}+m^{2}-2 l m\cos 120^{\circ} \end{align*}

(10)

$1^{2}=m^{2}+n^{2}-2 m n\cos 120^{\circ}$

(11)

$2^{2}=n^{2}+l^{2}-2 n l\cos 120^{\circ}$

가 되고, 이로부터 Fermat tree의 길이는:

(12)

$l+m+n=2.6457$

그림. 8. 페르마 point F

Fig. 8. Fermat point F

식 (3)∼(8) 및 (12)에서 Fermat point F 를 통하여 세 점 A, O, B를 연결하는 Fermat tree가 방심, 외심, 무게중심, 수심 및 내심과 세 점을 연결하는 tree의 길이보다 더 짧음을 알 수 있다^(1,8).

3. Fermat tree의 길이를 구하는 공식과 유도과정

그림 9에서 ∆ABC의 세변의 길이를 각각 a, b, c 라 하고, Fermat point F와 세 꼭짓점 A, B, C를 연결하는 선분의 길이를 각각 $l,\: m,\: n$ 이라 하자. 여기서, Fermat point와 ∆ABC의 세 점 A, B, C를 연결하는 path의 길이, 즉 Fermat tree의 길이 $l+m+n$을 계산하는 공식을 유도해 보자[1,8,9].

그림. 9. Fermat tree와 branch $l,\: m,\: n$

Fig. 9. Fermat tree with branches $l,\: m,\: n$

△AFB, △BFC 및 △CFA는 점 F 에서 같은 각 120°를 가지므로: ^(1,9)

식(13-1), (13-2) 및 (13-3)의 양변을 합하고 정리하면.

그런데,

이므로, 하면:

가 된다.

Σ 를 ΔABC 의 넓이로 정의하면,

가 되고, 여기서

의 관계를 얻는다. 이를 (16) 에 대입하면:

가 되고, 여기서 다음의 공식을 얻을 수 있다^(1,9).

Heron의 공식:

$$ \Sigma=\sqrt{s(s-a) s(s-b) s(s-c)} $$

또는

를 (20)에 대입하면,

가 되고 안을 다시 정리하면:

과 같이 (1)과 동일한 수식을 얻을 수 있다. (23), (24)에서 Fermat tree의 길이 은 ∆ABC의 세변의 길이 로 표현되고 있음을 유의하자.

4. Example Calculations

4.1 $1: \sqrt{3}: 2$ 직각 삼각형의 경우

그림 10과 같이 A 지점과 B 지점 사이의 거리가 $\sqrt{3}$, B 지점과 C 지점 사이의 거리가 1, ∠ABC 가 90° 인 세 부하점을 최단거리로 연결해 보자.

이번에는 식(12)와 같은 Fermat point를 경유하는 기하학적 계산이 아닌, 공식 (24)를 이용하여 Fermat tree의 길이를 직접 계산해 보자.

그림. 10. 세 변 를 가진 직각 삼각형

Fig. 10. Right triangle with sides

그림 10에서

(25)

$$ \begin{array}{l}{a=1} \\ {b=2} \\ {c=\sqrt{3}}\end{array} $$

라 두고 이를 공식 (24)에 대입하여 Fermat tree의 길이를 구하면:

(26)

\begin{align*} l+m+n\\ \\ =\sqrt{\dfrac{\sqrt{3[4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}]}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}} \end{align*} $=\sqrt{\dfrac{\sqrt{3[4\bullet 1^{2}\bullet 2^{2}-(1^{2}+2^{2}-(\sqrt{3})^{2})^{2}]}+1^{2}+2^{2}+\sqrt{3^{2}}]}{2}}$ $=\sqrt{\dfrac{\sqrt{[3(16-4)}+8}{2}}$ $=\sqrt{7}$ = 2.6457

를 얻는다. 공식 (24)를 이용한 결과가, Fermat point를 경유하는 기하학적 계산식 (12)와 일치함을 확인할 수 있다.

4.2 직사각형의 경우

세 점 이상 다수의 점들을 연결하고자 할 때, (필요한 경우) extra point를 삽입하여, 이 점들을 연결하는 가장 짧은 path를 찾는 문제를 Steiner tree problem 이라 한다⁽¹⁰⁾. 이때 추가된 extra point 들을 Steiner nodes라 하고, Steiner nodes를 통하여 연결된 tree를 Steiner tree라 부른다. 삼각형의 각이 모두 120° 미만일 경우, 세 꼭짓점의 Fermat point와 Steiner node는 일치한다⁽¹⁾.

그림 11에서 점 P는 직사각형 ABCD의 대각선의 교점이다. 계산의 편의상 직사각형의 가로를 5, 세로를 $2\sqrt{3}$으로 가정하였다^(1,7).

점 S1은 A, B, P 점의 Fermat point, 점 S2는 C, P, D 점의 Fermat point 이다.

그림. 11. 네 점 A,B,C,D 의 두 Steiner nodes S1, S2

Fig. 11. Steiner nodes S1, S2 of points A,B,C,D

네 점 A, B, C, D와 점 S1, S2를 연결하는 branch AS1, BS1, S1S2, CS2, DS2로 구성되는 Steiner tree의 길이 LST는:

(27)

$L^{ST}=2+2+3+2+2=11$

이 된다^(1,7).

이번에는 식(27)과 같은 Fermat point S1, S2를 경유하는 기하학적 계산이 아닌, 공식 (24)를 이용하는 방법으로 Steiner tree의 길이를 직접 계산하여 보자.

그림 11의 ∆APB는 두 변의 길이가 $\sqrt{37}/2$ 이고 나머지 한 변의 길이가 $2\sqrt{3}$인 이등변 삼각형이다.

(28)

$a = c=\dfrac{\sqrt{37}}{2} $ $b = 2\sqrt{3}$

라 두고 이를 공식 (24)에 대입하여 ∆APB의 Fermat tree의 길이 LFT를 구하면:

(29)

\begin{align*} L^{FT}& =\sqrt{\dfrac{\sqrt{3[4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}]}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}} \end{align*} \begin{align*} & =\sqrt{\dfrac{\sqrt{3(4\bullet\dfrac{37}{4}\bullet 12-12^{2})}+\dfrac{37}{2}+12}{2}} \end{align*} \begin{align*} & =\sqrt{\dfrac{\sqrt{3\bullet(12\bullet 25)}+\dfrac{61}{2}}{2}} \end{align*} \begin{align*} & =\sqrt{\dfrac{30 +\dfrac{61}{2}}{2}} \end{align*} \begin{align*} & =\dfrac{1}{2}\sqrt{121} \end{align*} $=\dfrac{11}{2}$

를 얻는다. 직사각형의 네 점 A, B, C, D의 Steiner tree는 ∆APB의 Fermat tree와 ∆CPD의 Fermat tree가 나란히 연결된 것으로 볼 수 있으므로, Steiner tree의 길이 LST는 ∆APB의 Fermat tree의 길이 LFT의 2배로 볼 수 있다. 즉:

(30)

$L^{ST}=2\bullet L^{FT}=2\bullet\dfrac{11}{2}=11$

가 된다. 공식 (24) 을 이용하여 얻은 (30)이, Fermat point를 포함하는 기하학적 계산 (27)과 일치함을 확인할 수 있다⁽¹⁾.

5. Fermat tree의 전선로 시공 분야 적용 사례

그림 12의 A∼F 점을 천장에 설치될 여섯 개의 조명등이라 하자. 이 여섯 부하점을 모두 연결하는 가장 보편적인 방법은 그림 13과 같은 직선 연결일 것이다. 이때, 부하점과 부하점 사이의 거리를 2 m 라 하면, 다섯 개의 직선선로를 합한 전선로의 길이 L 은:

이 되어, 연결 전선로의 총 길이는 10 m 가 된다⁽¹⁾.

그림. 12. 여섯 개의 조명등

Fig. 12. Six light bulbs

그림. 13. 여섯 개의 조명등의 직선 연결

Fig. 13. Straight connection of six light bulbs

그러나 그림 14와 같이 부하점 A, C, D, F를 Steiner tree로 연결하고 부하점 B, E를 그 branch에 수직으로 접속하면, Steiner tree와 두 수선을 합한 전선로의 길이 LS 는:

이 되어 연결 전선로의 총 길이는 9.4641 m 로 짧아진다⁽¹⁾.

그림. 14. Fermat tree를 이용한 조명등 접속

Fig. 14. Connection of lamps by Fermat tree

그러나 그림 15와 같이 점 B, C, D, E를 그림 11과 같은 Steiner tree로 연결하고 점 A, B, F를 또한 Fermat tree로 접속한다면, 점 B, C, D, E를 잇는 Steiner tree의 길이와 점 A, B, F를 잇는 Fermat tree의 길이를 합한 전선로의 길이 LSF 는:

이 되어 연결 전선로의 총 길이는 9.3278 m 로 더 짧아진다.

그림. 15. Steiner tree와 Fermat tree를 통한 조명등 접속

Fig. 15. Connecting lamps by Steiner and Fermat trees

Fermat point를 (또는 Steiner nodes) 통한 연결이 이론적으로 최단거리임은 틀림없지만, Fermat point라는 추가 접속점이 필요하며, 이로 인한 새로운 부대비용이 발생하는 문제가 있다.

또한 Fermat point를 접속점으로 선택하는 것이 현실적으로 불가능한 경우를 고려해야 하는 문제도 있다. 예를 들면, Fermat tree가 송전선 가설이 불가능한 도심을 통과하는 경우, Fermat point가 기존 건축물의 내부에 존재하는 경우 등이 있을 수 있다⁽¹⁾. 송전/배전의 선로구성은 기본적으로 수지상 형태로 구성되나, 최소길이보다는 지형적인 특성에 더 큰 영향을 받으므로 이에 따른 분석이 추가되어야 한다. 즉, 전력선로구성과 배치에 대한 객관적인 고찰 후, 본 기술의 적용가능성을 검토할 수 있을 것으로 사료된다.

6. 결 론

본 논문에서는 Fermat tree의 길이 계산공식의 상세한 수학적 유도과정을 기술하고, Example Calculation을 통하여 기존의 기하학적 Fermat tree의 길이계산 결과와 본 논문에서 제시한 공식에 의한 계산결과가 일치함을 보이고, 전선로 시공분야의 적용 사례를 보였다.

세 점을 최단거리로 연결하는 Fermat point를 찾는 것과 그 Fermat tree의 길이를 구하는 것은 공학적으로 큰 의미가 있다.

세 점 이상 다수의 점들을 Steiner node를 통하여 가장 짧은 path를 찾는 Steiner tree problem에 있어서도, 세 점의 Fermat point의 위치를 찾고 Fermat tree의 길이를 구하는 것은 가장 선행되는 기초적인 작업이다.

수많은 접속점을 최단거리로 연결하는 문제는 전기/전자공학 분야에서도 의미가 있다. 본 논문이 제시한 Fermat tree의 길이 공식을 이용하면 세 접속점을 연결하는 최단거리의 직접 계산이 가능하다.

전력망을 비롯한 전기/전자회로 분야에 본 논문에서 제시한 Fermat tree 길이 계산 공식이 활용되기를 기대한다.