2.1 1기 무한모선 계통

본 논문에서는 그림 1과 같은 1기 무한모선 계통의 선로 고장 감지 문제를 다룬다. 고장으로 인한 임피던스 변화를 외란으로 정의하고 그 크기를 추정하여 고장을 감지하기 위한 PI관측기를 설계한다. 그림에서 $F$로 표시된 곳은 고장 발생 지점이다.

1기 무한모선(SMIB) 계통은 다음과 같은 비선형 2계 미분 방정식을 통해 해석이 가능하다 ^(1-4).

위 식에서 $\delta$는 전력각, $P_{m}$은 발전기에 인가되는 기계적 입력, $P_{e}$는 발전기의 전기적 출력, $P_{d}$는 추가적인 외란, $H$는 단위 관성 계수이고, $f_{0}$는 동기 주파수이다. 식(1)에서 발전기의 전기적 출력은 아래 식과 같다 ⁽¹⁾.

이 때 $X$는 발전기와 무한모선 사이의 리액턴스, $E$는 발전기 유기 기전력, $V$는 무한모선 전압이다. 무한모선에서는 전압의 크기가 일정하며 위상은 0이고 언제나 충분한 양의 발전량과 부하량을 가진다 ⁽³⁾.

고장으로 인한 과도현상 이후 계통의 상태가 새로운 평형점으로 수렴하는 과정을 표현하기 위해 댐핑항을 추가하고 식(1)-(2)를 상태 공간 방정식으로 고쳐 쓰면 아래와 같다. 댐핑 계수 $D$는 보통 $0\sim 2$[pu] 범위의 값을 갖는다 ⁽⁴⁾.

위 식에서 $\omega_{\Delta}$는 동기 주파수에 대한 각주파수 편차이며, 고장 발생 이전에는 동기 주파수를 유지하고 있다고 가정한다. 선로에 고장이 발생하기 전에는 발전기의 기계적 출력과 전기적 출력이 평형을 이루고 있고, 동기 각속도로 회전하므로 전력각 $\delta$는 일정 값으로 평형 운전을 한다. 따라서 사고 발생 직전($P_{d}= 0$)의 초기 상태는 아래와 같다.

선로에 고장이 발생하면($P_{d}ne 0$) 발전기와 무한모선 사이의 리액턴스 $X$가 변하고, 식(2)에 따라 $P_{\max}$가 변하므로 발전기의 전기적 출력($P_{e}$)이 바뀌게 된다. 다음 절에서는 고장 위치에 따른 외란 $P_{d}$를 정의한다.

2.2 고장 위치에 따른 외란의 크기

선로의 고장 지점에 따라 리액턴스 $X$의 변화량이 다르다. 그림 1의 발전 모선(1번 모선)에서 고장 지점까지의 거리 비율을 $\lambda(0\le\lambda\le 1)$라고 하면 고장 지점이 발전 모선과 가까울수록 $\lambda$는 0에 가깝고 멀수록 1에 가깝다. 3상 단락 고장시 고장 후의 $X$를 $X_{post}$라고 정의하면 다음과 같다 ⁽¹⁾.

위 식에서 $X_{s}$는 변압기 및 발전기 d축 과도 리액턴스, $X_{L1}$과 $X_{L2}$는 각각 건전 선로 및 고장 선로의 리액턴스이다.

고장 거리 비율 $\lambda$가 0에 가까우면 $X_{post}$가 무한대의 값을 가지므로 고장 지점이 발전 모선 근처이면 $P_{\max}$는 0에 가까워 전력을 거의 공급하지 못하는 상황이 된다. 반대로 고장 지점이 무한 모선에 가까울수록($\lambda\approx 1$) $X_{post}$는 $X_{s}+X_{L1}+ X_{s}X_{L1}/X_{L2}$에 가깝다. 한편 고장 선로가 차단된 후의 $X_{post}$는 $X_{s}+X_{L1}$이므로 고장 중의 $P_{\max}$는 차단 후의 $P_{\max}$보다 커질 수 없다.

본 논문은 고장으로 인한 $P_{\max}$의 변화량을 외란의 크기($d$)로 가정한다. 식(2)에서 고장 전후 $E$와 $V$는 동일하고 고장 전후의 리액턴스가 각각 $X_{pre}$ 및 $X_{post}$라면 $P_{\max}$의 크기 변화량 $d$와 외란 $P_{d}$는 아래 식과 같다.

따라서 본 논문에서 고려하는 SMIB 계통은 아래와 같이 표현할 수 있다.

한편, 식(5)와 식 (6a)로부터 $\lambda$와 $d$의 관계식을 구하면 아래와 같다. 이는 관측기가 추정한 외란이 참값과 유사하다면 근사적으로 고장 위치를 결정할 수 있음을 의미한다.

다음 절에서는 외란의 크기 $d$를 추정하기 위한 외란 관측기를 설계한다.

2.3 외란 추정을 위한 PI 관측기 설계

본 절에서는 참고문헌 ⁽¹¹⁾과 ⁽¹⁴⁾를 참고하여 외란의 크기 $d$를 추정하는 PI 관측기를 설계한다. 전력각 $\delta$는 측정 가능하다고 가정하면⁽⁹⁾, 식(7)에 대해 제안하는 관측기는 다음과 같다.

위 식에서 $L =\left[l_{1}l_{2}l_{3}\right]^{T}$은 결정해야할 관측기 이득이다. 식(7)과 식(9)에 따라 관측 오차 시스템은 아래와 같이 나타난다. 이때 $\left[\begin{array}{lll}{\tilde{\delta},} & {\tilde{\omega}_{\Delta},} & {\tilde{d}]=\left[\begin{array}{ccc}{\delta-\hat{\delta},} & {\omega_{\Delta}-\hat{\omega}_{\Delta},} & {d-\hat{d}}\end{array}\right]}\end{array}\right.$이다.

평형점 $\delta_{o}$에서의 오차 시스템 행렬 $A_{L}$은 아래와 같다.

식(9)의 관측기가 상태를 잘 추정하기 위해서는 행렬 $A_{L}$이 안정해야 하므로 그 특성 방정식을 구하면 다음과 같다.

단, $\beta =\sin(\delta_{0})$이다. 위 식이 안정하려면 Routh-Hurwitz 판별법에 의해 아래 식들이 만족되어야한다.

위 식에서 $\delta_{0}$가 $\delta_{0}\in\{\theta | 0 <\theta <\pi\}$을 만족한다면, 시스템 행렬 $A_{L}$을 점근적으로 안정하게 만드는 관측기 이득 $L$을 항상 찾을 수 있다. 이 때 시스템 행렬 $A_{L}$이 점근적으로 안정하다는 의미는 계통의 상태가 안정하다는 뜻이 아니라 제안하는 관측기가 외란의 영향 하에서도 시스템의 상태를 잘 추정한다는 의미이다.

2.4 모의실험 연구

본 절에서는 표 1([Ex. 11.5, 2])의 파라미터를 가진 계통에 대해 앞 절에서 설계한 관측기의 추정 성능을 모의실험 한다. 단, 댐핑 계수는 계통 상태가 새로운 평형점으로 수렴하는 모의시간을 줄이기 위해 일반적인 범위보다 큰 값을 사용하였다. 표 1의 파라미터에 의한 초기 상태 (4)는 $\left[\begin{array}{llll}{0.46055} & {0}\end{array}\right]^{T}$이다.

관측기 모의실험에 앞서 식(5)에 고장 위치($\lambda$)를 대입하여 구한 $X_{post}$와 식(6)을 통해 표 2의 외란의 크기를 계산하고 식(7)의 모의실험을 통해 임계고장제거 시각(Critical Clearing Time; CCT)을 구하였다. 선로 고장시 계통의 탈조를 보호하기 위해서는 CCT 이전에 차단기가 동작해야한다.

관측기가 추정한 외란이 충분히 빨리 수렴한다면 추정한 외란에 해당하는 CCT와 차단기의 동작 시간을 사용하여 차단기 동작 후 계통의 탈조 여부를 판단할 수 있다. 본 모의실험에서는 외란의 추정치가 계통 전압 주파수 60[Hz]의 5사이클 이내에 수렴할 수 있도록 관측기 (9)의 특성다항식이 $\gamma(s)=(s+400)(s+100\pm j200)$가 되도록 다음과 같이 관측기 이득을 결정하였다.

그림 2는 3상 단락이 발생했을 때, 1.2초에 차단기가 동작한 모의실험 결과이다. 그림 2의 위에서부터 차례대로 $\delta$, $\omega_{\Delta}$, $d$와 그 추정치를 함께 표시하였다. 제안하는 관측기가 상태 및 외란을 모두 잘 추정하고 있음을 확인할 수 있다. 그림 2의 세 번째 외란 추정과정에서 볼 수 있듯이 외란은 1초 이후 증가하기 시작해서 1.06초 이전에 1.15[pu]로 수렴한다. 이때 수렴 여부 판단은 추정치의 변화율이 충분히 작아지는 순간으로 결정한다 (내부 확대 그림 참조). 그와 동시에 외란의 추정치(1.15[pu])에 해당하는 CCT는 0.52초이다. 한편 차단기는 1.2초에 동작했으므로 추정된 외란이 증가하기 시작한 시간으로부터 차단기는 0.2초 만에 동작했음을 알 수 있다. 이 값은 CCT보다 작으므로 계통은 일시적인 동요를 거쳐 새로운 평형점으로 수렴함을 예상할 수 있다. 결과적으로 제안하는 관측기로 추정한 외란의 크기로 탈조 예측이 가능함을 알 수 있다.

그림 3은 3상 단락이 발생했을 때, 1.6초에 차단기가 동작한 모의실험 결과이다. 0.6초 만에 차단기가 동작하였고 이는 CCT를 초과한 시간이므로 그림 3과 같이 탈조한다. 계통이 탈조하는 과정에서도 상태 및 외란이 잘 추정되고 있음을 확인할 수 있다. 결국 그림 3의 계통은 1차 차단 후 탈조할 것으로 예상되어 건전 선로도 차단이 필요함을 알 수 있다.

그림 2와 그림 3의 모의실험 결과를 통해 설계한 외란 관측기가 상태와 외란을 모두 성공적으로 추정하고 있음을 확인할 수 있고, 관측기가 추정한 외란이 실제 외란에 충분히 빨리 수렴한다면, 추정된 외란에 해당하는 CCT와 차단기의 동작 시간을 비교하여 동기 탈조 여부를 예측할 수 있음을 알 수 있다. 이때 선로 위치에 따른 CCT 정보가 필요하다.