2.1 3-parameter 기반 Weibull 분포를 이용한 누적 분포 함수 추정

베이불 확률 분포는 아래 그림 1과 같이 두 개의 파라메터를 통해 치우친 형태의 데이터를 다루는 데 용이하며, 특히 풍속 데이터를 모델링할 때 많이 사용된다. 하지만 아래 그림 2처럼 저속의 풍속 데이터를 모델링 하기에 적합하지 못한 경우가 존재한다⁽⁷⁾. 따라서 제안하는 방법에서는 3-parameter 기반의 베이불 분포를 사용하여 누적 분포 함수(Cumulative density function)를 추정하려 한다. 식(1)은 3-parameter 기반 베이불 분포의 확률 밀도 함수(Probability density function)를 나타낸다.

여기서 $\alpha$, $\beta$, $\mu$는 각각 3-parameter 기반 베이불 분포의 shape, scale, location 파라메터를 의미한다.

2.2 C-Vine copula

코퓰라 함수는 구간 ^(0,1) 사이에서 균등 분포(Uniform distribution)를 따르는 확률변수들의 결합 분포 함수로 정의할 수 있다. 코퓰라 함수는 주어진 변수 간의 의존구조에 관한 정보를 포함하며 이를 통해 다변량 분포(Multivariate distri- bution)를 주변부 확률 분포와 결합 분포 함수를 연결하는 역할을 한다. 코퓰라는 여러 확률 변수들 사이의 복잡한 종속성을 고려하면서 다변량 누적 분포 함수를 추정하는 데 유용하게 사용되고 있다. Sklar’s theorem에 따르면, $d$차원의 랜덤 벡터 $x =[x_{1},\: x_{2},\: ... ,\: x_{d}]$ 의 누적 분포 함수는 코퓰라 함수 $C(·)$와 각각의 주변부 누적 분포 함수의 곱으로 식(2)와 같이 표현할 수 있다.

또한 결합 확률 분포 함수(Joint probability density function) $f(x)$도 아래 식(3)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $c(·)$는 $d$차원의 코퓰라 함수의 확률 분포 함수를, $f_{i}(·)$는 $i$개의 변수에 대한 각각의 주변부 확률 분포 함수를 의미한다.

다양한 코퓰라 함수가 여러 연구에 사용되었으며, 확률변수들의 상호의존성 구조의 특징에 따라 적합한 코퓰라 함수를 선택할 수 있다. 코퓰라 함수는 크게 Elliptical 코퓰라 함수와 Archmedean 코퓰라 함수 두 종류로 구분할 수 있으며, 각 대표적인 코퓰라 함수는 표 1을 통해 확인할 수 있다. Archme- dean 코퓰라 함수는 비선형 꼬리 의존성을 갖는 모델링에 매우 유용하지만 변수가 이변량인 경우에만 사용 가능하기 때문에 일반적으로 다차원으로의 확장이 어려워 사용이 제한적이다. 반면 Elliptical 코퓰라 함수의 경우 변수의 차원이 확장되어도 사용할 수 있지만, 대칭 구조(symmetric dependency)에서만 사용할 수 있다는 단점이 있다. 따라서 이러한 한계점을 극복하고, 모든 상호의존성 구조에 대응하여 사용할 수 있는 더욱 유연한 코퓰라 함수의 필요로 인해 Vine copula가 등장하게 되었다.

Vine copula는 ⁽¹⁶⁾에서 처음 언급되었으며, 앞서 언급한 한계점을 극복하여 다변량 종속성 구조를 유연하게 모델링할 수 있다는 장점이 있다. Vine copula는 결합 확률 분포 함수를 이변량 코퓰라 함수의 (pair-copula)의 연속적인(cascading) 형태로 분해할 수 있다. 다변량의 데이터를 하나의 코퓰라 함수로 설명하는 것이 아닌 변수 간의 각자의 다양한 의존구조를 새롭게 생성하기 때문에 다변량의 데이터를 유연하게 다루는데 용이하다. ⁽¹⁷⁾에서 Vine copula는 Regular Vine 이라고 불리는 그래픽 모델을 제안했다. 본 논문에서는 R-Vine 중에서 많이 사용되는 것 중 하나인 C-Vine을 사용하였다. 결합 확률 분포 함수를 C-Vine 코퓰라 함수를 사용하면 아래 식(4)와 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $c_{j,\:j+i│1:j-1}(· ,\:·)$은 $x_{1},\:...,\:x_{j-1}$을 조건부로 둔 $x_{j}$와 $x_{j+1}$ 의 조건부 이변량 코퓰라 함수를 의미한다. 이 때, 조건부 밀도 함수는 식(5)로 계산된다.

2.3 C-Vine copula를 통한 시나리오 생성

본 절에서는 앞서 생성한 Vine copula 함수와 풍력 발전의 개별 확률 분포의 연속적인 형태로 구성되어있는 Vine copula 구조로부터 풍속 시나리오 생성을 위한 샘플링 과정을 설명한다.

먼저 ^(0,1)에서 균등한 (uniform) $i.i.d.$ 랜덤 샘플 $bold w =(w_{1},\:...,\:w_{d})$를 생성한다. 이후, 상관성이 존재하는 랜덤 샘플 $bold u =(u_{1},\:...,\:u_{d})$ 는 $bold w$에 의해 아래 식(6)처럼 나타낼 수 있다.

조건부 누적 분포 함수 $F_{d│d-1:1}^{-1}$는 Vine copula 구조로부터 결정된다. C-Vine copula의 경우, 식(5)를 통해 $F_{d│d-1:1}^{-1}$을 계산할 수 있다.

2.4 파워커브를 통한 풍력 발전 시나리오 변환

생성한 풍속 시나리오를 풍력 발전 시나리오로 변환하기 위해서는 계측된 풍속 데이터를 풍력 발전기의 터빈 높이에 맞추어 데이터를 스케일업하는 과정이 필요하다. 스케일업 과정을 수행하기 위해서 아래 식(7)이 사용되었다.

여기서 파라메터 $h_{1}$은 풍력 발전 터빈의 높이를 $z_{0}$은 조도 길이를 나타낸다. $z_{0}$은 지면 근처의 일부 수직축 풍속을 모델링할 때 사용하는 매개변수다. $v_{h_{0}}$과 $v_{h_{1}}$은 각각 원래의 풍속 데이터와 스케일 조정 과정을 거친 풍속 데이터를 나타낸다. 또한 $z_{o}= 0.03$, $h_{1}= 80 m$로 가정하였다⁽¹⁸⁾. 이후 풍속 데이터는 파워 커브 모델을 통해 풍력 발전량 데이터로 변환된다. 파워 커브 모델은 식(8)을 통해 확인할 수 있다.

$V_{c}$, $V_{r}$, $V_{f}$는 각각 풍력 발전기의 시동 풍속(cut-in), 정격 풍속(rated), 정지 풍속(cut-out)을 나타낸다. $P_{e}$는 풍속 데이터 $v$에서의 풍력 터빈의 출력을 의미한다. $P_{rated}$ 는 풍력 터빈의 정격 출력을, $P_{n}$은 풍속이 $V_{c}$와 $V_{r}$ 사이에 있을 때 정규화된 풍력 출력을 의미한다. 풍력 터빈의 출력을 추정하기 위해서 큐빅(Cubic) 모델을 사용하였다. 큐빅 모델은 파워 커브 증감 부분에 따라 터빈의 효율을 가정하며, 식은 (9)와 같이 나타낼 수 있다.

이러한 변환 과정을 거쳐, 풍력 발전 용량 최적화와 확률론적 조류 계산의 입력으로 사용되는 풍력 발전 시나리오를 얻을 수 있다.

5.1 시뮬레이션 데이터 설명

사례 분석을 위한 데이터로는 국내 14개 지역에서 측정된 2년 치 시간별(2018-2019) 풍속 데이터를 사용하였다. 기상청 포탈에서 데이터를 취득하였으며, 데이터의 결측치가 12시간 이하로 존재하면, 그 사이의 결측값을 앞뒤 전후의 평균값으로 대체하였으며, 12시간 이상 결측치가 존재하는 경우는 다른 연도의 동일 날짜의 데이터로 전처리를 수행하였다. 부하와 풍력 발전의 시간적, 계절적 특성을 고려하기 위해 (봄, 여름, 가을, 겨울)*(peak, off-peak)로 총 8개의 케이스로 구분하였다. 8개의 케이스 중에서 부하 대비 재생에너지 출력량이 높은 (봄, off-peak)를 선정하여 사례 분석을 수행하였다. 아래 표 3을 통해 시나리오 생성을 위한 풍속 데이터의 시간, 계절 구분 조건을 명시하였다. 선로 과부하 이벤트는 선로 용량 위반 정도에 따라 리스크 A와 리스크 B로 구분하였다. 선로의 조류가 선로 용량의 100%를 초과하는 이벤트를 리스크 A로 정의하고, 선로 조류가 선로 용량의 120%를 초과하는 이벤트를 리스크 B라고 정의하였다.

5.2 풍속 시나리오 생성

14개 지역에서 측정된 풍속 데이터를 기반으로 시나리오를 생성한 결과에 대해 설명하려 한다. 먼저 아래 그림 5는 실적 데이터에서 14개 지역에 대한 상관관계를 히트맵을 통해 나타낸 것이다. 그림 6을 통해 주변 확률 분포는 3-parameter 기반의 베이불 분포를 사용하여 누적 분포함수를 추정하고, Vine copula를 통한 모델링을 통해 생성된 시나리오에서의 상관관계를 히트맵으로 확인할 수 있다. 또한 실적 데이터와 생성된 시나리오 모두에서 상관관계를 추정하기 위해서는 비선형 종속성을 측정하는데 널리 알려진 kendall’s $\tau$를 사용하였다. 그림 5,6에 나타낸 히트맵을 비교해서 보면 kendall‘s $\tau$값이 거의 동일한 것을 확인할 수 있다. 이 결과는 Vine copula 샘플링 방법이 여러 풍력 발전 사이트에서의 복잡한 종속 구조를 성공적으로 모델링 할 수 있다는 것을 의미한다.

그림. 5. 실적 데이터의 상관관계 히트맵

Fig. 5. Correlation Heatmap of the historical data

또한 실적 데이터와 생성된 시나리오의 산점도를 이용해 임의의 두 지역 간의 상호의존성 구조에 관한 모델링 성능을 확인할 수 있다. 그림 7, 8은 14개 지역 중 임의로 선정한 부산,울산-경북, 인천-서울의 인접한 지역에서의 산점도와 Kendall’s $\tau$를 나타내고 있다. 부산,울산-경북 지역과 인천-서울 지역에서는 Kendall’s $\tau$ 가 실적 데이터에서와 시나리오에서 유사한 값을 갖는 것을 확인할 수 있다. 실적 데이터에서의 두 지역 간 산점도를 통해 상호의존성이 시나리오에서도 실제로 반영된 것을 확인할 수 있었다.

그림. 6. 시나리오의 상관관계 히트맵

Fig. 6. Correlation heatmap of the generated scenario

그림. 7. 부산, 울산 지역과 경북 지역에서 풍속 데이터와 시나리오의 산점도

Fig. 7. Scatter plots of wind speed data and generated scenarios in provinces of Busan, Ulsan and Gyeongbuk

그림. 8. 서울 지역과 인천 지역에서 풍속 데이터와 시나리오의 산점도

Fig. 8. Scatter plots of wind speed data and generated scenarios in provinces of Seoul and Incheon

5.3 IEEE 39 모선 시스템

시뮬레이션을 위해서 IEEE 39 모선 시스템을 사용하였다. 계통에 총 2GW의 풍력 발전량이 투입된다고 가정하였다. 앞서 생성한 시나리오를 사용하여, 목표 수용량을 2GW 계통에 투입시켜 풍력 발전 위치 최적화를 수행하였다. 표 4은 2GW 투입 시, 모선별로 풍력 발전 설비 용량의 최적 용량을 나타낸다.

그림 9는 최적화한 결과를 바탕으로 계통에 풍력 발전을 약 2GW 투입한 IEEE 39 모선 시스템의 계통도를 나타낸다. 기존 계통에서의 발전량은 6.2 GW, 부하는 대략 5.1 GW이다. 선로 46개에 대해 검토하였고, N-1 상정 고장을 통해 약 2,500번의 반복 조류 계산을 수행하였다. 이때 상정 고장을 위한 선로로는 계통에서 선로가 탈락이 되었을 때 flow performance index⁽¹⁹⁾ 기준으로 계통에 가장 critical한 결과를 가져올 수 있는 선로인 15-16으로 선정하였다.

그림. 9. 풍력 발전을 투입한 Modified IEEE 39 모선 시스템

Fig. 9. Modified IEEE 39 Bus System with 2 GW of wind power expansion

확률론적 조류 계산 수행 후, 약 46개의 선로 중에서 9개 선로에서 과부하 발생 확률이 리스크를 통해 측정되었다. 표 5는 임의의 5개의 선로에 대해 N-1 상정 고장 결과에 따라 Vine copula 샘플링 방법과 랜덤 샘플링 방법을 사용하여 확률론적 조류 계산을 통해 추정할 수 있는 잠재적인 선로 과부하 확률을 나타낸다. 랜덤 샘플링 방법은 풍력 발전원 간 종속성을 고려하지 않고 풍속의 한계 분포만을 사용하여 시나리오를 생성하는 샘플링 방법을 말한다. 주로 대부분의 선로에서 Vine copula 샘플링 방법을 사용했을 때 랜덤 샘플링 방법을 사용했을 때 보다 더 많은 선로 용량 위반 확률에 대한 잠재적인 리스크를 측정할 수 있었다. 예를 들어 선로 9-39에서 발생하는 리스크 A 사건에서의 확률은 랜덤 샘플링 방법에서 10.32%로 계산되는 반면 Vine copula 샘플링 방법을 적용하면 16.36%로 계산되는 것을 확인할 수 있다. 리스크 B 사건 역시 랜덤 샘플링 방법을 취했을 때 보다 Vine copula 방법을 적용했을 때 약 6.68% 정도 더 높은 확률을 갖게되는 것을 확인할 수 있다. 이는 확률론적 조류 계산에서 풍속 자원 간 종속성을 무시한다면, 잠재적인 선로 용량 위반의 리스크를 과소평가할 수도 있는 가능성이 있다는 것을 보여주고 있다.

그림 10, 11은 선로 8-9에 흐르는 조류량을 Vine copula 샘플링, 랜덤 샘플링 기반의 확률론적 조류 계산 방법과 기존의 평균 값 기반 결정론적 조류 계산 방법을 사용하여 계산된 선로 부하율 결과를 보여준다. 그림에서 파란색 선은 결정론적 방법으로 조류 계산을 수행했을 때 선로의 부하율을 나타낸다. 이는 56.78%로, 선로의 용량 한계값 보다 작은 수치를 나타내고, 계통에 풍력 발전 설비가 투입되더라도 결정론적 방법을 사용한다면 해당 선로에서는 잠재적인 선로의 과부하 발생 확률에 관한 리스크를 인식하지 못하게 된다. 반면 확률론적 조류 계산 방법을 사용하면 선로의 과부하가 발생할 잠재적인 리스크를 정량적으로 평가할 수 있다.

또한 그림 10, 11을 통해 풍속 간의 복잡한 종속성을 고려한 Vine copula 샘플링과 랜덤 샘플링 방법을 사용하여 확률론적 조류 계산을 수행한 결과를 비교할 수 있다. 그림 10에서 선로 8-9에서 발생할 수 있는 리스크 A와 리스크 B에 대한 확률은 각각 13.96%, 4.84%로 추정된다. 하지만 랜덤 샘플링 방법을 사용하여 확률론적 조류 계산을 수행한 그림 11은 리스크 A는 7.6%, 리스크 B는 0.8%로 추정하고 있다. 리스크 A의 경우, 약 6.36% 리스크 B의 경우 4.04% 경우 더 확률이 증가한 것을 확인할 수 있다. 이는 풍속의 복잡한 종속성을 모델링하였을 때 계통에서 발생할 수 있는 잠재적인 리스크를 더욱 정확한 확률로 추정할 수 있다는 것을 의미한다. 이러한 이점은 발전 및 송전 확장 계획에 관한 최적의 결정을 내릴 때 전력 시스템 운영자 및 계획자에게 계통 평가에 관한 정량적 지표로 활용될 수 있다.

그림. 10. Vine copula 샘플링 시나리오를 사용한 선로 8-9의 확률론적 조류 계산 결과

Fig. 10. Probabilistic power flow results for line 8-9 using the vine copula sampling scenario

그림. 11. 랜덤 샘플링 시나리오를 사용한 선로 8-9의 확률론적 조류 계산 결과

Fig. 11. Probabilistic power flow results for line 8-9 using the random sampling scenario