1. 서 론

표면부착형 영구자석 동기전동기(Surface Mounted PM motor)는 영구자석을 이용하여 계자 자속을 형성하는 전동기로, 여타 권선형 회전자를 갖는 전동기와 비교하여 고효율, 고출력밀도의 장점을 갖는다^(1,2). 1900년 후반에 이르러 비약적으로 발전한 전력전자 기술을 바탕으로 정밀한 제어가 가능해져 현재 다양한 산업분야에 사용되고 있다.

이러한 SPMSM의 설계기법은 전력전자 기술과 더불어 발전해왔으나, 대부분의 내용이 FEM과 같은 수치적인 방법을 이용한 최적설계에 관해 이루어져 왔을 뿐^(3-6), 기초설계에 관한 자세한 문헌은 없는 실정이다. 일부 문헌에서 기초적인 설계기법에 대해 부분적으로 다루고 있으나^(7,8), 이는 고전적인 전동기에 대한 것이며 설계 수순에서 경험적인 값을 다소 이용한다. 최근 전동기의 성능 향상에는 최적설계의 발전이 주요한 것은 사실이나, 근본적인 관점에서 기초설계가 원활히 수행되어야 한다는 전제조건이 필요하다.

전동기의 전자기적 성능을 가장 잘 나타내는 지표는 토크와 역기전력이며, 대부분의 설계기법은 역기전력을 만족하기 위한 방향으로 서술되어 있다. 그러나 고전적인 전동기 설계기법에서 역기전력을 설계하는 과정에서 경험적인 계수가 다소 이용될뿐더러 추후 설계 결과와 다소 다른 경향을 보일 때가 많다.

따라서 원활한 기초설계를 위해 역기전력을 정확하고 빠르게 해석하는 방법이 요구되며, 이에 대한 접근으로 본 논문에서는 SPMSM의 기초설계에서 주요한 부분 중 하나인 무부하 역기전력을 해석적으로 계산하는 방법을 제안한다. 이를 위해 권상용 SPMSM의 설계를 사례연구로 채택한다. 이 SPMSM는 12극 54슬롯의 극 슬롯 조합을 가지고 있으나, 본 논문에서는 0극 54슬롯 즉, slotless 모델에 대해 공극 자계 분포를 산출한다⁽⁹⁾. 산출된 공극 자계 분포를 Winding Function과 결합하여 쇄교 자속과 역기전력 수식을 각각 도출하고, Matlab을 통해 각 계산을 수행한다. 그리고 FEM 해석 결과와 비교함으로써 수행된 계산 결과를 검증한다. 마지막으로, 동일한 설계 사양에 대해 0슬롯과 54슬롯 즉, slotless 모델과 slotted 모델에 대한 각 FEM 해석 결과를 서로 비교함으로써 본 논문에서 SPMSM의 설계를 위해 slotless 모델을 제시한 것에 대한 타당성을 검증한다.

2. Slotless SPM Model의 공극 자계 분포

본 논문의 사례연구로 권상용 SPMSM의 설계를 채택하였고, 이에 대한 설계 사양을 표 1에 나타내었다.

그리고 본 논문은 SPMSM을 설계하는 것이 아닌 SPM 모델의 역기전력을 해석하고 이를 검증하는 것에 중점을 두고 있으므로, 표 1에 대한 설계 제원은 표 2에 나타내는 것으로 대체하였다.

이 전동기에 대한 slotless 모델을 위해 표 2의 제원을 이용하여 전동기 모델을 구성하여 그림 1에 나타내었다. 그림 1에서는 코일을 삽입하기 위한 슬롯 영역을 제거하고, 자기 경로를 확보하기 위해 고정자 철심을 ring 형상으로 대체하였다. 대체된 ring 형상은 표 2와 동일한 고정자 보어를 갖고, 외경은 고정자 보어의 1.2배를 가정하였다. 그리고 그림 1에 나타낸 모델에 대해 공극 자계 분포를 계산하기 위해 다음과 같이 가정하였다.

1) 철심의 투자율은 무한대이다.

2) 자속밀도 분포는 축 방향으로 변하지 않는다.

그림 1에서 $\vec{M}$ 은 영구자석의 자화 방향으로 식(1)와 같으며, 그림 2와 같이 radial과 parallel로 구분할 수 있다. 이 때 $M_{r}$과 $M_{\theta}$ 는 식(2), (3)과 같으며, $M_{rh}$ 과 $M_{r\theta}$ 는 영구자석의 자화방향에 따라 식(4), (5)와 같다. 여기서 $h$ 는 고조파 차수이다.

for radial magnetization,

for parallel magnetization,

for $hp\ne1$,

그림 1과 같은 내전형 slotless SPM 모델에 대해서 공극 자계 분포의 해석은 경계조건을 고려하여 공극 영역에서의 지배 방정식을 풀이함으로써 얻을 수 있다. 공극 자계 분포의 radial 성분을 식(7)에 나타내었고, 이는 홀수 고조파만을 포함하는 푸리에 급수 형태로 표현된다. 여기서 $r$ 은 공극 자계 분포를 관찰하고자 하는 위치까지의 반경으로, 본 논문에서는 $R_{m}+g/2$ 로 채택하였다. $\phi$는 원주를 따라 반시계 방향으로 증가하는 공극 내의 특정 위치를 의미한다.

for $hp\ne 1$,

for radial magnetization and $hp\ne 1$,

for parallel magnetization and $hp\ne 1$,

식(7)을 Matlab으로 해석하여 그림 3에 나타내었다. 고조파 차수는 99차까지 고려하였으며, FEM 해석 결과와 비교하여 수식을 검증하였다. 그림 3에서 $y$축은 자속밀도의 크기이며, $x$축은 전동기의 단면도에서 반시계 방향으로 증가하는 공극 위치를 의미한다. 그림 3에 나타난 바와 같이, 식(7)의 계산은 slotless SPM 모델에 대해 공극 자계 분포의 극 전환 혹은 극 외곽 부분을 정확하게 반영하는 것을 확인할 수 있다.

3. 공극 자계 분포의 Analytical Solution 및 검증

5. Conclusion

본 논문에서는 SPM 전동기의 설계 단계에서 경험적인 값을 배제하고 공극 자계 분포, 쇄교 자속 그리고 무부하 역기전력을 정확하게 고려하기 위해 해석적인 방법을 이용하여 계산하는 방법을 제안하였다. 공극 자계 분포는 실제의 slotted 모델이 아닌 고정자가 ring 형상으로 대체된 slotless 모델에 대해 경계조건을 적용한 지배 방정식을 풀이하여 얻은 수식으로부터 계산할 수 있으며, 이를 FEM으로 해석한 결과와 비교했을 때 정확히 일치하는 모습을 나타내었다.

쇄교 자속 및 무부하 역기전력은 권선 레이아웃을 공극 위치에 대해 정의되는 Winding Function을 이용하여 수식적으로 도출했으며, 이는 ring 형상을 갖는 고정자 보어에 미소도체를 고려하여 수행한 FEM 해석 결과를 통해 제안된 수식의 타당성을 검증하였다. 제안된 수식은 권선 레이아웃이나 턴 수 그리고 영구자석의 자화 방향 혹은 물성치에 대해 자유도가 높아 기초 설계 단계에서 쇄교 자속 및 무부하 역기전력을 관찰하는데 있어 높은 장점을 가진 것을 판단된다. 그러나 본 논문에서는 푸리에 급수 전개를 통해 Winding Function을 도출하였으며, 이는 난해하거나 시간이 많이 소요되는 과정은 아니지만, 여러 형태의 극/슬롯 조합 그에 대한 다양한 코일피치에 대응하기에는 무리가 있어 추가적인 연구가 필요하다.

또한 본 논문에서 제안된 방법은 slotless SPM 모델에 대한 것이나, 표 7에 나타낸 것처럼 슬롯 구조의 영향은 매우 작기 때문에 설계 단계에서 매우 정밀하게 요구되는 사례가 아니라면, 슬롯 고조파에 대한 정확한 고려 없이 slotless 모델에 대한 결과로도 원활한 설계를 수행할 수 있을 것으로 사료된다. 한편, Conformal Mapping 기법을 통해 슬롯 고조파의 영향을 정확하게 고려할 수 있으나, 이는 본 논문의 추후 연구로 수행될 예정이다.