2.1 주변 확률 분포 모델링

풍속과 부하의 확률적 특성을 더 정확하게 모사하기 위하여 데이터별 특성에 따라 다른 확률 분포 함수를 이용하여 모델링하는 방법을 사용하였다. 아래 2.1.1-2를 통해 여러 개의 확률 분포 함수를 후보로 선정한 후 와서스테인 거리를 이용하여 최적의 확률 분포 함수를 선택하는 과정을 설명한다.

2.1.1 와서스테인 거리 (Wasserstein distance)

와서스테인 거리는 확률 분포 사이에 정의된 거리 함수이며, 아래 그림 1에서와 같이, 두 확률 분포 사이를 측정할 수 있는 도구의 역할을 한다. 두 확률 분포 간의 와서스테인 거리는 ⁽¹³⁾에서 계산되었고, 식(1)과 같다. 이때, 두 확률 분포 간의 와서스테인 거리가 작을수록 두 분포가 실제로 유사하다는 것을 의미한다. 와서스테인 거리는 Earth’s Mover distance (EMD) 거리로도 알려져 있다. 이는 직관적으로 두 개의 분포가 주어졌을 때, 하나는 공간에 적절하게 퍼져 있는 지구의 덩어리로 볼 수 있고 다른 하나는 같은 공간에 있는 구멍의 집합체로 보는 것이다. EMD는 구멍을 흙으로 채우는 데 필요한 최소한의 작업량을 측정하는 것을 의미한다.

그림. 1. 두 개의 연속 확률 분포에서의 와서스테인 거리

Fig. 1. Wasserstein distance from two continuous probability distributions

(1)

$W_{p}(P_{1},\:P_{2})=\left(inf \int d^{r}(XY)du(X,\:Y)\right)^{1/r}$

전통적으로 와서스테인 거리는 주로 통계적 맥락에서 이산, 연속 확률 분포 모두에서 두 개의 분포를 비교하는데 사용되어 왔다 ⁽¹⁴⁾. ⁽¹⁵⁾에서는 통계적 추정을 위해 매개변수 모델에 대해 경험적 분포와 모델 분포 사이의 와서스테인 거리를 최소화하는 방식을 고려하였다고 밝혔다. 최근 와서스테인 거리는 데이터 분류, 이미지 식별 분야와 같은 기계 학습 분야에서도 그 개념이 많이 사용되고 있다 ^(16-17).

본 논문에서는 와서스테인 거리를 사용하여 여러 개의 확률 분포 모델 중 실제 데이터와 가장 유사한 지역별 확률 분포를 선정하는 방법을 사용하였다. 실적 데이터의 경험적 누적 분포함수와 (Empirical cumulative density function (ECDF)) 여러 개의 확률 분포 모델의 누적 분포 함수를 비교하는 데 와서스테인 거리를 이용해 가장 유사한 모델을 선택하여 확률적 모델링을 수행하려 한다.

2.1.2 최적의 확률 분포를 사용한 누적 분포 함수 추정

풍속 데이터와 부하 데이터의 분포 특성은 그림처럼 서로 다른 것을 확인할 수 있다. 그림 2는 경북 지역 부하를 나타낸다. 풍속의 경우 각 지역별로 아래 그림 3,4 처럼 데이터 분포의 특성이 서로 다른 것을 확인할 수 있다. 주로 풍속 데이터의 모델링을 위해서 치우쳐진 형태의 데이터를 다루는 데 용이한 베이불 확률 분포가 많이 사용된다. 하지만 기존의 2개의 파라메터를 사용하는 베이불 분포는 지역별 다양한 패턴이 존재하는 풍속 데이터를 모델링 하기에는 한계점이 존재한다. 특히 바람이 적게 불어 0 주변에 출력이 몰려있는 지역의 경우에는 기존의 베이불 분포 모델이 적합하지 않은 경우도 발생한다. 따라서 지역별 풍속과 부하 데이터의 정확한 확률 모델링을 위하여 일반적으로 가장 많이 사용되는 6개의 확률 분포를 후보군으로 설정하였다. 6개의 확률 분포로는 3-parameter 베이불, 2-parameter 베이불, 지수, 가우시안, 로그 정규, 카이스퀘어 분포가 있으며, 자세한 확률 분포 각각의 확률 분포 함수와 각 파라메터는 아래 (2)-(7)을 통해 확인할 수 있다. 6개의 확률 분포 중 실제 데이터와 가장 유사한 최적의 확률 분포가 선택하여, 선택된 확률 분포를 기반으로 누적 분포 함수를 추정한다.

3-parameter Weibull

- $\alpha$: shape, $\beta$: scale, $\mu$: location

(2)

$f(x)=\dfrac{\alpha}{\beta}\left(\dfrac{x-\mu}{\beta}\right)^{\alpha -1}e^{-\left(\dfrac{x-\mu}{\beta}\right)^{\alpha}}$

2-parameter Weibull

- $\alpha$: shape, $\beta$: scale

(3)

$f(x)=\dfrac{\alpha}{\beta}\left(\dfrac{x}{\beta}\right)^{\alpha -1}e^{-\left(\dfrac{x}{\beta}\right)^{\alpha}}$

Exponential

- $\lambda$: scale

(4)

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$

Gaussian

- $\mu$: location, $\sigma^{2}$: squared scale

(5)

$f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}$

Log-normal

- $\sigma$: shape, $\mu$: scale

(6)

$f(x)=\dfrac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\left(-\dfrac{(\ln x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right)}$

Chi-square

- $k$: degrees of freedom

(7)

$f(x)=\dfrac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2}$

그림. 2. 경북 지역 부하 데이터의 히스토그램

Fig. 2. Histogram of the load data in Gyeongbuk

그림. 3. 경북 지역 풍속 데이터의 히스토그램

Fig. 3. Histogram of the wind speed in Gyeongbuk

그림. 4. 전남 지역 풍속 데이터의 히스토그램

Fig. 4. Histogram of the wind speed in Jeonnam

2.2 Vine copula

코퓰라 함수는 구간 ^(0,1) 사이에서 균등 분포 (Uniform distribution)를 따르는 확률변수들의 결합 분포 함수로 정의할 수 있다. 코퓰라 함수는 주어진 변수 간의 의존구조에 관한 정보를 포함하며 이를 통해 다변량 분포 (Multivariate distribution)를 주변부 확률 분포와 결합 분포 함수를 연결하는 역할을 한다. 코퓰라는 여러 확률 변수들 사이의 복잡한 종속성을 고려하면서 다변량 누적 분포 함수를 추정하는 데 유용하게 사용되고 있다. Sklar’s theorem에 따르면, $d$차원의 랜덤 벡터 $ x =[x_{1},\: x_{2},\: ... ,\: x_{d}]$ 의 누적 분포 함수는 코퓰라 함수 $C(·)$와 각각의 주변부 누적 분포 함수의 곱으로 (8)와 같이 표현할 수 있다.

또한 결합 확률 분포 함수 (Joint probability density function) $f( x)$도 아래 (9)와 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $c(·)$는 $d$차원의 코퓰라 함수의 확률 분포 함수를, $f_{i}(·)$는 $i$개의 변수에 대한 각각의 주변부 확률 분포 함수를 의미한다.

다양한 코퓰라 함수가 여러 연구에 사용되었으며, 확률변수들의 상호의존성 구조의 특징에 따라 적합한 코퓰라 함수를 선택할 수 있다. 코퓰라 함수는 크게 Elliptical 코퓰라 함수와 Archmedean 코퓰라 함수 두 종류로 구분할 수 있다. Archmedean 코퓰라 함수는 비선형 꼬리 의존성을 갖는 모델링에 매우 유용하지만 변수가 이변량인 경우에만 사용 가능하기 때문에 일반적으로 다차원으로의 확장이 어려워 사용이 제한적이다. 반면 Elliptical 코퓰라 함수의 경우 변수의 차원이 확장되어도 사용할 수 있지만, 대칭 구조 (symmetric dependency) 에서만 사용할 수 있다는 단점이 있다. 따라서 이러한 한계점을 극복하고, 모든 상호의존성 구조에 대응하여 사용할 수 있는 더욱 유연한 코퓰라 함수의 필요로 인해 Vine copula가 등장하게 되었다.

Vine copula는 ⁽¹⁸⁾에서 처음 언급되었으며, 앞서 언급한 한계점을 극복하여 다변량 종속성 구조를 유연하게 모델링할 수 있다는 장점이 있다. Vine copula는 결합 확률 분포 함수를 이변량 코퓰라 함수의 (pair-copula)의 연속적인 (cascading) 형태로 분해할 수 있다. 다변량의 데이터를 하나의 코퓰라 함수로 설명하는 것이 아닌 변수 간의 각자의 다양한 의존구조를 새롭게 생성하기 때문에 다변량의 데이터를 유연하게 다루는데 용이하다. ⁽¹⁹⁾에서 Vine copula는 Regular Vine 이라고 불리는 그래픽 모델을 제안했다. 본 논문에서는 R-Vine 중에서 많이 사용되는 것 중 하나인 C-Vine을 사용하였다. 결합 확률 분포 함수를 C-Vine 코퓰라 함수를 사용하면 아래 (10)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $c_{j,\:j+i│1:j-1}(· ,\:·)$은 $x_{1},\:...,\:x_{j-1}$을 조건부로 둔 $x_{j}$와 $x_{j+1}$ 의 조건부 이변량 코퓰라 함수를 의미한다. 이 때, 조건부 밀도 함수는 (11)로 계산된다.

그림 5는 Vine copula의 종속성 구조를 각 트리마다 엣지로 나타내 것을 의미한다. 변수가 4개 있을 때, 서로 각각 다른 종속 구조를 모델링하는 이변량 코퓰라 함수로 구성된다는 것을 확인할 수 있다.

그림. 5. 변수가 4개인 C-vine copula의 종속 구조

Fig. 5. C-Vine copula structure with 4 variabels

2.3 C-Vine copula를 통한 시나리오 생성

본 절에서는 앞서 생성한 Vine copula 함수와 풍력 발전의 개별 확률 분포의 연속적인 형태로 구성되어있는 Vine copula 구조로부터 풍속 시나리오 생성을 위한 샘플링 과정을 설명한다.

먼저 ^(0,1)에서 균등한 (uniform) $i.i.d.$ 랜덤 샘플 $ w =(w_{1},\:...,\:w_{d})$ 를 생성한다. 이후, 상관성이 존재하는 랜덤 샘플 $ u =(u_{1},\:...,\:u_{d})$ 는 $ w$에 의해 아래 (12)처럼 나타낼 수 있다.

조건부 누적 분포 함수 $F_{d│d-1:1}^{-1}$는 Vine copula 구조로부터 결정된다. C-Vine copula의 경우, (5)를 통해 $F_{d│d-1:1}^{-1}$을 계산할 수 있다.

2.4 파워커브를 통한 풍력 발전 시나리오 변환

생성한 풍속 시나리오를 풍력 발전 시나리오로 변환하기 위해서는 계측된 풍속 데이터를 풍력 발전기의 터빈 높이에 맞추어 데이터를 스케일업하는 과정이 필요하다. 스케일업 과정을 수행하기 위해서 아래 식(13)이 사용되었다.

여기서 파라메터 $h_{1}$은 풍력 발전 터빈의 높이를 $z_{0}$은 조도 길이를 나타낸다. $z_{0}$은 지면 근처의 일부 수직축 풍속을 모델링할 때 사용하는 매개변수다. $v_{h_{0}}$과 $v_{h_{1}}$은 각각 원래의 풍속 데이터와 스케일 조정 과정을 거친 풍속 데이터를 나타낸다. 또한 $z_{o}= 0.03$, $h_{1}= 80 m$로 가정하였다 ⁽²⁰⁾. 이후 풍속 데이터는 파워 커브 모델을 통해 풍력 발전량 데이터로 변환된다. 파워 커브 모델은 식(14)을 통해 확인할 수 있다.

$V_{c}$, $V_{r}$, $V_{f}$는 각각 풍력 발전기의 시동 풍속 (cut-in), 정격 풍속 (rated), 정지 풍속 (cut-out)을 나타낸다. $P_{e}$는 풍속 데이터 $v$에서의 풍력 터빈의 출력을 의미한다. $P_{rated}$ 는 풍력 터빈의 정격 출력을, $P_{n}$은 풍속이 $V_{c}$와 $V_{r}$ 사이에 있을 때 정규화된 풍력 출력을 의미한다. 풍력 터빈의 출력을 추정하기 위해서 큐빅 (Cubic) 모델을 사용하였다. 큐빅 모델은 파워 커브 증감 부분에 따라 터빈의 효율을 가정하며, 식은 (15)와 같이 나타낼 수 있다.

이러한 변환 과정을 거쳐, 풍력 발전 용량 최적화와 확률론적 조류 계산의 입력으로 사용되는 풍력 발전 시나리오를 얻을 수 있다.

4.1 시뮬레이션 데이터 설명

사례 분석을 위한 데이터로는 국내 3개 지역 (경북, 전남, 충북)에서 측정한 1년 치 시간별 (2018-2019) 풍속 데이터를 사용하였다. 데이터는 기상청 포탈에서 취득하였으며, 결측치를 보완하고자 전처리 과정을 수행하였다.

데이터의 결측치가 12시간 이하로 존재하면, 그 사이의 결측값을 앞뒤 전후의 평균값으로 대체하였으며, 12시간 이상 결측치가 존재하는 경우는 다른 연도의 동일 날짜의 데이터로 전처리를 수행하였다. 지역별, 시간별로 정렬되어있는 부하 데이터의 취득이 불가하여 전국 부하 데이터를 지역별로 재구성하였다. 부하와 풍력 발전의 시간적, 계절적 특성을 고려하기 위해서 (봄, 여름, 가을, 겨울)*(peak, off-peak) 로 총 8개의 케이스로 구분하였다. 아래 표 1은 시간, 계절별 구분 조건을 나타낸 것이고, 본 사례 분석에서는 8개의 케이스 중, 부하 대비 재생에너지 출력량이 높은 (봄, off-peak)를 선정하여 시뮬레이션을 검토하였다.

4.2 확률적 모델링 및 시나리오 생성

3개 지역 내의 풍속 데이터와 부하 데이터를 사용하여 시나리오를 생성한 결과에 관해 설명하려 한다. 실제 와서스테인 거리를 통해 선택된 지역별 최적 분포의 적합성을 확인하기 위해 전남 지역 부하와, 충북 지역 풍속 데이터의 경험적 누적 분포 함수와 6개의 확률 분포 후보군에 관해 누적 분포 함수를 확인해보았다. 아래 그림 7을 통해 전남 지역 부하 데이터는 실제로 정규 분포와 누적 분포 함수의 형태가 거의 유사함을 보이는 것으로 나타났다. 그림 8에서 충북 지역 풍속 데이터 역시 데이터의 경험적 누적 분포 함수와 가장 유사한 누적 분포 함수를 보이는 확률 모델이 로그 정규 분포인 것을 확인할 수 있다. 최적의 확률 분포를 선택하는 데 있어 하나의 분포를 선택해서 접합하는 것보다 제안하고 있는 방법을 통해 성능의 개선점을 갖는 것을 의미한다.

또한 실적 데이터와 생성된 시나리오의 산점도를 이용하여 임의의 지역 내 부하와 풍속 간의 상호의존성 구조에 관한 모델링 성능을 확인할 수 있다. 그림 9는 전남 지역 내 풍속과 부하 데이터 간의 실적 데이터와 시나리오의 산점도를 비교하고 있다. 실제 데이터의 분포와 시나리오의 분포가 거의 유사한 패턴을 갖고 있는 것을 보아 두 사이의 상호의존성이 시나리오 내에 잘 반영된 것을 확인할 수 있다.

그림. 7. 확률 분포 함수 후보에 대한 경북 지역 부하의 누적 분포 함수 비교

Fig. 7. Comparison between the CDFs of load in Gyeongbuk province and probability distribution candidates for its estimation

그림. 8. 확률 분포 함수 후보에 대한 충북 지역 풍속의 누적 분포 함수 비교

Fig. 8. Comparison between the CDFs of wind speed in Chungbuk province and probability distribution candidates for its estimation

그림. 9. 실적 데이터와 시나리오의 산점도

Fig. 9. Scatter plot of historical data and scenario

4.3 IEEE 39 계통 분석

생성된 시나리오를 기반으로 계통 검토를 하기 위해 IEEE 39 모선 시스템을 사용하였다. 계통에 약 3GW 정도의 풍력 발전을 투입하였으며, 부하 데이터는 그와 균형 (balanced) 상태가 될 수 있도록 조정하였다. 그림 10은 풍력 발전과 부하 데이터를 반영한 IEEE 39 모선 시스템의 계통도를 나타낸다. 기존 계통에서의 발전량은 6.2GW, 부하는 대략 5.1GW이다. 선로 49개에 대해 계통 검토를 수행하였으며, N-1 상정 고장을 통해 약 1,000개의 시나리오를 가지고 조류 계산을 수행하였다. 이때 선로의 탈락은 전체 선로를 후보로 한 후 선로의 용량 대비 선로에 흐르는 조류랑에 관한 지표인 flow performance index ⁽²¹⁾ 를 기준으로 선로의 탈락 시 계통에 가장 critical한 결과를 가져올 수 있을지 판단하였다. 본 시뮬레이션에서는 flow performace index를 기준으로 하여 선로 15-16이 탈락되었다고 가정하였다.

그림. 10. 풍력 발전과 부하를 투입한 Modified IEEE 39 모선 시스템

Fig. 10. Modified IEEE 39 Bus System of the simulation

조류 계산 이후 부하율에 따라 선로 과부하 이벤트의 리스크를 아래의 기준처럼 구분한다.

● Risk A : 선로의 조류가 선로 용량의 100%를 초과하는 이벤트

● Risk B : 선로의 조류가 선로 용량의 120%를 초과하는 이벤트

1,000번의 조류 계산 수행 후, 약 46개 선로에서 12개의 선로에서 과부하 발생 확률이 확률적 리스크로 측정되었다. 아래 표는 그 중 임의의 6개의 선로에 관해 N-1 상정 고장 수행 후 선로에서 측정된 확률적 리스크를 두 개의 방법을 통해 비교하여 보여주고 있다. 시나리오를 생성하는 두 가지 방법의 정의는 아래와 같다.

● Vine copula 샘플링 : 부하와 풍력 발전 간 상호의존성을 고려하여 샘플링한 시나리오 생성 방법

● 랜덤 샘플링 : 부하와 풍력 발전 간 종속성을 고려하지 않고 와서스테인 거리를 통해 각 데이터별 최적의 확률 분포를 통해 한계 분포만을 모델링한 후 샘플링한 시나리오 생성 방법

표 2에서는 대다수의 선로에서 Vine copula 샘플링 방법을 사용했을 때 랜덤 샘플링 방법을 취했을 때 보다 더 많은 선로의 과부하 이벤트에 관한 확률적 리스크를 측정할 수 있음을 확인할 수 있었다. 선로 1-2, 선로 17-18은 과부하 발생 이벤트에 관해 측정된 리스크가 미미함에도 불구하고 부하와 풍력 발전 사이의 다양한 상호의존성을 고려하여 ine copula 방법으로 시나리오를 생성하였을 때가 그렇지 않을때 보다 리스크 A가 약 2% 정도 더 높은 것을 확인하였다. 반면 선로 4-14의 경우 드물게 부하와 풍력 발전의 상호의존성을 고려하지 않은 랜덤 샘플링 방법에서 과부하 사건 발생 확률이 더 높은 리스크로 측정되는 경우도 존재하기도 한다. 하지만 해당 선로를 제외한 나머지 선로에서는 풍력 발전과 부하 사이의 상관성을 고려하여 시나리오를 생성해 계통을 검토하였을 때 과부하 발생 가능성이 있는 리스크가 높은 빈도로 많이 측정된 것을 표를 통해 확인할 수 있다. 특히 두 개의 선로에서 (선로 3-4, 선로 1-39) Vine copula 샘플링 방법을 사용하였을 때 랜덤 샘플링 방법을 사용했을 때와 비교하여 더 높은 확률을 가지는 것을 볼 수 있다. 결과를 통해 확률론적 조류 계산을 사용한 계통 검토 방법에서 풍력 발전과 부하 사이의 종속성을 고려하지 않을 경우, 잠재적인 선로 용량 위반에 관한 리스크를 과소평가할 가능성이 있다는 것을 의미한다.

그림. 11. Vine copula 샘플링 시나리오를 사용한 선로 1-39의 확률론적 조류 계산 결과

Fig. 11. Probabilistic power flow results for line 1-39 using the vine copula sampling scenario

그림. 12. 랜덤 샘플링 시나리오를 사용한 선로 1-39의 확률론적 조류 계산 결과

Fig. 12. Probabilistic power flow results for line 1-39 using the random sampling scenario

위 그림 11,12은 선로 1-39 에 흐르는 선로의 조류량을 히스토그램으로 자세하게 나타낸 것이다. 그림 11을 통해 부하와 풍력 발전 사이의 복잡한 종속성을 고려하여 샘플링한 Vine copula 방법과 그림 12의 종속성을 고려하지 않은 랜덤 샘플링 방법으로 각각 계통 검토를 수행한 후의 결과를 비교할 수 있다. Vine copula 방법을 사용하여 1,000번의 조류 계산을 수행한다고 하면 선로 1-39에서 발생할 수 있는 리스크 A에 대한 확률은 10%, 리스크 B에 대한 확률은 3.1%로 측정되었다. 반면 랜덤 샘플링 방법을 사용하여 확률론적 조류 계산을 수행한 그림 12를 보면 리스크 A에 대한 확률은 5.7%, 리스크 B에 관한 확률은 1.4%로 추정된다. 리스크 A는 약 4.3%, 리스크 B는 1.7% 정도 vine copula 방법을 사용했을 때 더 높은 확률이 관찰된 것을 확인할 수 있다.

그림. 13. Vine copula 샘플링 시나리오를 사용한 선로 3-4의 확률론적 조류 계산 결과

Fig. 13. Probabilistic power flow results for line 3-4 using the vine copula sampling scenario

또한 그림 13,14는 선로 3-4에서 흐르는 선로의 조류량을 히스토그램으로 제시하고 있다. 그림 13은 Vine copula 방법을 사용해서 계통 검토를 수행한 후의 결과를, 그림 14는 랜덤 샘플링 방법을 사용하여 계통 검토 후의 결과를 보여주고 있다. 선로 1-39보다 더 다이나믹한 결과를 확인할 수 있는데, 종속성을 고려한 그림 13에서는 리스크 A가 23.6%, 리스크 B가 4.9%의 확률을 갖는다. 반면 랜덤 샘플링의 방법으로 검토한 결과인 그림 14는 리스크 A의 경우 11.1%, 리스크 B는 5.8%의 수준으로 확률이 추정되었다. 종속성을 고려하였을 때가 그렇지 않았을 때보다 리스크 A가 약 12.5%의 차이가 발생하는 것을 확인할 수 있다. 선로 조류량의 결과를 기반으로 계통 내 부하와 풍력 발전 간의 종속성을 모델링하여 실제 계통을 검토할 때 이를 반영하는 것이 계통에서 잠재적으로 발생할 수 있는 리스크를 측정하는 것에 영향을 준다는 것을 확인할 수 있었다. 이는 다시 말하자면 실제 복잡한 종속성을 모델링 했을 때 잠재적인 리스크를 더욱 정확한 확률로 추정할 수 있다는 것을 의미한다. 선로 용량 위반에 관한 정확한 리스크는 추후 재생에너지 및 분산 자원이 더욱 많아져 복잡성이 커진 계통을 운영하고 계획하는 데 있어 도움이 될만한 지표로 활용될 수 있을 것으로 보인다.

그림. 14. 랜덤 샘플링 시나리오를 사용한 선로 3-4의 확률론적 조류 계산 결과

Fig. 14. Probabilistic power flow results for line 3-4 using the random sampling scenario